1. Funciones Racionales
Presentado por:
Nicole Fernanda Osorio López
Mariana Quevedo Arandia
Laura Ximena Serrato Diaz

2. ¿Qué es una relación?
Una relación es un vínculo o una
correspondencia. En el caso de la relación
matemática, se trata de la correspondencia
que existe entre dos conjuntos: a cada
elemento del primer conjunto le corresponde
al menos un elemento del segundo conjunto.
A B

3. Elementos para conformar una relación
 Dominio: Es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos
del conjunto de partida que están relacionados.
 Codominio: Son los elementos del conjunto de llegada que están relacionados, es decir, el
conjunto de imágenes.
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8 }}y R la relación definida de A en B determinada por la
regla y= 2x
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

4. Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
Así, el dominio y rango o codominio son:
Dominio = {2, 3, 4}; Rango = {4, 6, 8}
Grafico…
2
3
4
4
6
8
X Y
Dominio Rango
5
4
3
2
4 6 8 10
0
(2,4)
(4,8)
(3.6)
Plano
Cartesiano
Diagrama
Sagital

5. Asíntotas: En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la
que se aproxima continuamente la gráfica de tal función;1 es decir que la distancia entre las
dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.
 Intercepto: En matemáticas, es cuando dos rectas se unen en un punto determinado dentro
de un plano cartesiano, es decir, es donde se cruzan dos rectas, con determinada trayectoria
y velocidad.
Grafico: Para hallar el grafico de una relación se hace lo siguiente:
Construir la gráfica de: y=-2 x -1
1. Construimos una tabla de valores para x
X -2 -1 0 1 2
Y

6. 2. Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.
Si x=-2, entonces y=-2 -2-1=3
Si x=-1, entonces y=-2 -1-1=1
Si x= 0, entonces y=-2 0-1=-1
Si x= 1, entonces y=-2 1-1=-3
Si x= 2, entonces y=-2 2-1=-5
3. Completar la tabla.
4. Graficar todos estos puntos en el plano xy.
3 -3-1 -51

7. -2
5
4
3
2
1
-1
-3
-4
-5
1 2 3 4-1-2-3-4
Y= -1
Intercepto en el eje Y
f(x)= -2x -1
X=0
F(0)= -2 (0) -1
Intercepto en el eje X
0= -2x -1
2x = -1
22
X= -0,5
Y
X

8. Formas de representar una relación
Diagrama Sagital: Es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por un
enlace llamados aristas o arcos, permiten representar relaciones binarias entre elementos
de un conjunto.
Diagrama Cartesiano: Es un sistema de referencias que se encuentra conformado por
dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado
punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al vertical eje de las
coordenadas o de las yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina origen. La
principal función o finalidad de este plano será el de describir la posición de puntos, los
cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las
coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del eje y.

9. Diagrama Sagital Diagrama Cartesiano

10. ¿Cómo calcular el dominio y el codominio de una
relación?
1. Determinar los interceptos con los ejes
coordenados:
Con el eje x : Resolver la ecuación E(x,0) =0
Con el eje y: Resolver la ecuación E(0, y) =o
Forma gráfica:

11. 2. Determinar las simetrías
Con el Eje X : Existe simetría si se cumple: E(x,y) = E(x, y)
Con el Eje Y : Existe simetría si se cumple: E(-x, y) = E(x, y)
Con el Origen: Existe simetría si se cumple: E(-x,-y) =E(x, y)

12. 3. Determinar la extensión de la curva:
Consiste en determinar el dominio y el rango
de la relación R .
*Para hallar el dominio de la relación definida
por la ecuación E(x, y) = 0 se despeja la
variable“ y ” en términos de “ x ”, si fuera
posible. Luego se analiza ¿para qué valores de
x la variable y es real?
* Para hallar el rango de la relación definida
por la ecuación E(x, y) = 0 se despeja la
variable“ x ” en términos de “ y ”, si fuera
posible. Luego se analiza ¿para qué valores de
y la variable
x es real?

13. 4. Determinar las Asíntotas
*Para hallar las asíntotas verticales de la relación
definida por la ecuación E(x, y) = 0 se despeja la variable
“ y ” en términos de “ x ”, si fuera posible. Si la expresión
resulta ser una
fracción algebraica, entonces los valores que anulan al
denominador son las asíntotas
verticales.
* Para hallar las asíntotas horizontales de la relación
definida por la ecuación E(x, y) =0 se
despeja la variable “ x ” en términos de “ y ”, si fuera
posible. Si la expresión resulta ser una
fracción algebraica, entonces los valores que anulan al
denominador son las asíntotas
horizontales.

14. 5. Tabulación:
La tabulación consiste en determinar algunos
puntos particulares de la relación, teniendo en
cuenta su dominio o su rango.
6. Trazar la gráfica:
Con la información obtenida en los pasos
anteriores y llevando al plano ordenadamente, los
pares ordenados calculados en la tabulación se
logrará una gráfica exacta.

15. Tabulación Grafica

16. Función Matemática
Se dice que
una magnitud o cantidad es función de
otra si el valor de la primera depende del
valor de la segunda. Por ejemplo
el área A de un círculo es función de
su radio r (el valor del área
es proporcional al cuadrado del
radio, A = π·r2)g

17. una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de
elementos Y (llamado codominio ) de forma que a
cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del codominio (los que forman
el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

18. Función real de variable real es toda
correspondencia f que asocia a cada
elemento de un determinado subconjunto
de números reales, llamado dominio, otro
número real.
f : D ----- R
x --------- f(x) = y
Función en los reales

19. Formas de expresar una función
 Mediante una tabla
 Mediante una gráfica
 Mediante una expresión algebraica
 Mediante un enunciado

20. El diagrama cartesiano:
Consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares
entre sí (horizontal y vertical respectivamente).
Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el
nombre de origen de coordenadas.
 La fórmula:
Es la expresión algebraica de la función, en la cual los
elementos de los conjuntos se simbolizan, la de
manera general, mediante variables.

21.  La tabla de valores:
Una tabla de valores es una tabla donde aparecen algunos (pocos) valores de
la variable independiente x y sus correspondientes valores de la variable
dependiente y. Necesariamente, para poder ser manejable y útil, deben
aparecer pocos valores de ambas variables.

22. Funciones
Para que una relación ℜ sea una
“relación funcional” o “función”
deben cumplirse dos condiciones
1) Existencia: Todo elemento
correspondiente al conjunto de
Partida “A” debe tener una imagen
en el conjunto de llegada “B”. Es
decir que el dominio de la relación
debe ser igual al conjunto
de partida “A”. En lenguaje
simbólico:
ℜ cumple existencia ⇔( ∀x/x ∈ A ∃ y ∈ B: (x ; y) ∈ ℜ )
La relación del ejemplo que estamos tratando no es función
debido a que el elemento “4” no tiene una imagen relacionada en
“B”. El conjunto de partida difiere por tanto del dominio de
la relación.
No es función porque: Dom (ℜ) ≠ A
1
2
3
4
a
b
c
d
e
A B
Conjunto
de
partida
Dominio de la
relación

23. ℜ cumple unicidad ⇔ (∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B, ∀ z ∈ B: ((x ; y) ∈ ℜ ∧ (x ; z) ∈ ℜ) ⇒ y = z
La relación del ejemplo que estamos tratando no cumple
unicidad debido a que el elemento “2” tiene dos
imágenes distintas en “B”.
a
b
c
d
e
1
2
3
4
A B
No hay unicidad pues c y d son dos imágenes distintas
asociadas al elemento "2" del dominio.
Unicidad: Cada elemento
correspondiente al
conjunto de Partida “A”
debe tener una sola imagen
en el conjunto de llegada
“B”. Es decir que no puede
haber un elemento del
dominio asociado con dos
valores distintos de imagen
en el conjunto de llegada

24. Estas dos condiciones que debe cumplir una
relación ℜ para ser una función, pueden
sintetizarse en una sola:
"La relación ℜ es función si cada elemento del
Conjunto de Partida (A) tiene una y sólo una
imagen en el conjunto de llegada (B)".
Si la relación se expresa gráficamente por
diagramas de flechas, para determinar si es
función habrá que revisar que desde cada
elemento del conjunto de partida "A" salga
una y sólo una flecha hacia algún elemento
en "B". Por ejemplo: en las siguientes
relaciones expresadas por diagramas de
flechas, las dos primeras son funciones
puesto que cumplen las condiciones de
existencia y unicidad; pero las dos restantes
no son funciones al no satisfacer dichas
condiciones simultáneamente.
1
2
3
4
a
b
c
d
e
Función

25. Para representar estas relaciones o funciones se recurre entonces a la gráfica cartesiana. Los
elementos del conjunto de partida “A” se ubican en el eje horizontal de abscisas y los elementos del
conjunto de llegada “B” se ordenan en el eje vertical de ordenadas. Luego cada par ordenado (x;y)
que pertenezca a la función se indica con un punto sobre el plano XY. La representación gráfica de
la función es por tanto una curva plana compuesta por infinitos puntos.
Representación Cartesiana de una Relación ℜ que aplica A en B.
y
x
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
ℜ : A → B
B = [2; 4]
A = [1; 5]
Conjunto
de
partida
Conjunto
de
llegada

26. v
Dada una relación en coordenadas cartesianas, para determinar si es
función o no, se procede así:
1) Se toma una recta vertical (de ecuación x = constante) y se “barre”
con ella todos los elementos del conjunto de partida “A” especificados.
2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la
gráfica dada, la misma corresponde a una función. Si no la corta en
algún punto o la corta más de una vez, no corresponderá a una
función.

27. Clasificación de Funciones
Las funciones se pueden clasificar en
I
B
S
U
Inyectivas
Suryectivas
Universo
de
Funciones
Biyectivas

28. v
a. Inyectivas:
Una función "f" que aplica "A" en "B" es inyectiva si cada elemento
del conjunto de llegada "B" es imagen de un solo elemento
del conjunto de partida "A" o de ninguno. En otras palabras, "f" es
inyectiva si cada elemento de "B" es imagen de un elemento de "A"
como máximo. Dado una función mediante un diagrama de
flechas, es inyectiva si a cada elemento de "B" llega una sola
flecha o ninguna. O sea, si a cada elemento de "B" llega una sola
flecha como máximo. Dada una función en coordenadas
cartesianas, para determinar si es inyectiva, se procede así:
1. Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se
“barre” con ella todos los elementos del conjunto de llegada
“B” especificados.
2. Si esta recta “imaginaria” corta siempre una sola vez o
ninguna vez ala gráfica dada, la función es "inyectiva“.
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
1 2 3 41234
f (x) = 2x + 1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
f
x y

29. b. Suryectivas:
Una función "f" que aplica "A" en "B" es suryectiva si
cada elemento del conjunto de llegada "B" es
imagen de uno o más de un elemento del conjunto
de partida "A". En otras palabras, "f" es suryectiva si
cada elemento de "B" es imagen de un elemento de
"A" como mínimo.
De manera que la imagen de una función
suryectiva coincide exactamente con el conjunto de
llegada. Dado una función mediante un diagrama
de flechas, es suryectiva si a cada elemento de "B"
llega una flecha o más de una. O sea, si a
cada elemento de "B" llega una flecha como
mínimo. Dada una función en coordenadas
cartesianas, para determinar si es suryectiva, se
procede así:
1. Se toma una recta horizontal (de ecuación y =
constante) y se “barre” con ella todos
los elementos del conjunto de llegada “B”
especificados.
2. Si esta recta “imaginaria” corta siempre una vez o
más de una vez a la gráfica dada, la función es
“suryectiva”.

30. c. Biyectivas:
Una función "f" que aplica "A" en "B" es biyectiva si
cada elemento del conjunto de llegada "B" es imagen
de uno y sólo un elemento del conjunto de partida "A”
La función "f" es biyectiva si es inyectiva y suryectiva
a la vez. La imagen de una función biyectiva también
coincide exactamente con el conjunto de llegada.
Dado una función mediante un diagrama de flechas,
es biyectiva si a cada elemento de "B" llega una y sólo
una flecha. Dada una función en coordenadas
cartesianas, para determinar si es biyectiva, se
procede así:
1. Se toma una recta horizontal (de ecuación y = constante) y se “barre” con ella todos
los elementos del conjunto de llegada “B” especificados.
2. Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la función es
"biyectiva”.

31. Tipos de funciones
Funciones Polinómicas
 Constante
 Lineal
 Cuadrática
 Cubica
 N. Enésimo grado
Funciones Trascendentes
 Exponencial
 Logarítmica
 Trigonométrica
Funciones Especiales
 Inversa
 Segmentado
 Compuesta
 Racional
 Valor absoluto
 Mayor entero
 Escalonada

32. v
Funciones Polinómicas
Función Constante: Es aquella en la que
para cualquier valor de la variable
independiente ( x ), la variable
dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir,
permanece constante.
Sea f (x) = c . El dominio de esta función es
el conjunto de todos los reales, y el
contradominio es únicamente el real c.

33. Características
 La función constante como un polinomio en x es de la forma:
F(x)= ax 0
Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le
corresponde siempre el valor a.
El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los
Reales“
Es una Función Continua.
Tiene como grafica una línea horizontal

34. 3
1
2
1
4
-1
-2
2 3 4-1-2-3-4
Ejemplo
La función f(x)= 3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:
X F(x)
-1 3
0 3
1 3
√2 3
1.5 3
5/2 3
5

35. Función Lineal: Es una función cuyo dominio son todos los
números reales, cuyo codominio también todos los números
reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer
grado.
La función lineal se define por la ecuación:
f(x) = m x + b ó y = m x + b
Ecuación canónica
Pendiente de la
recta
Intercepto eje Y

36. v
Características:
 Satisface las siguientes dos propiedades:
 Propiedad aditiva : Si existen f(x) y f(y), entonces f(x
+ y) = f(x) + f(y).
 Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo
número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a
la propiedad aditiva en todos los casos donde a es
racional. En el caso de que la función lineal sea
continua, la homogeneidad no es un axioma adicional
para establecer si la propiedad aditiva esta
establecida.
 En esta definición x no es necesariamente un número
real, pero es en general miembro de algún espacio
vectorial.

37. Ejemplo:
y = - 3x + 4
5
4
3
2
1
-1
-3
-4
-5
1 2 3 4-1-2-3-4
X Y
0 4
1 1
2 -2
3 -5
-2

38.  Función Cuadrática: Una función cuadrática
es aquella que puede escribirse como una
ecuación de la forma:
f(x) = a x 2 + b x + c
Son números reales
Para recordar:
 a es distinto de cero
(puede ser mayor o
menor que cero, pero
no igual que cero).
 El valor de b y de c sí
puede ser cero .
 ax 2 es el término
cuadrático
 bx es el término lineal
 c es el término
independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo
grado o cuadrática vimos que si la ecuación
tiene todos los términos se dice que es una
ecuación completa , si a la ecuación le falta el
término lineal o el independiente se dice que la
ecuación es incompleta .

39. Características
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
 Algunas parábolas cortan al eje de las X (eje de abscisas) en dos puntos. Esos
valores son las raíces (reales) o ceros del polinomio.
Cuando el coeficiente a es un número positivo, la parábola se abre hacia arriba y
si a es un número negativo se abre hacia abajo.
Si a es mayor a 0 la parábola es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 la
parábola es convexa y admite un máximo.

40. v
Ejemplo:
y = -x² + 4x – 3
 Vértice
x v = − 4/ −2 = 2 y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1)
 Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0
Punto de corte con el eje OY: (0, −3)
(3, 0) (1, 0)

41. Función Cubica: La función cúbica se
define como el polinomio de tercer grado; el
cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2
+ cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR.
Es generalmente utilizada para relacionar
volúmenes en determinados espacio o tiempo.
Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de
un feto en gestación con el hecho de relacionar
su distancia de los pies a la cabeza se puede
determinar la semanas de gestación del feto.
También el hecho de relacionar los vientos o la
energía eólica con respecto a la intensidad de
estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en
el campo de la economía y de la física.

42. Características:
 El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
 El recorrido de la función es decir la imagen es la recta
real.
 La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-
x)=-f(x).
 La función es continua en todo su dominio.
 La función es siempre creciente.
 La función no tiene asíntotas.
 La función tiene un punto de corte con el eje Y.
 La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de
intersección con el eje X.

43. Ejemplo:
Grafique y analice las propiedades de la siguientes
funciones
f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x
Propiedades
 Dominio: El conjunto de los Reales
 Imagen: El conjunto de los Reales
 Ceros de la función:
Se iguala la función a cero
2x3 + 3x2 - 12x = 0 x( 2x2 + 3x - 12) = 0
Extrayendo factor común x = 0 ( 2x2 + 3x + 12)= 0
Igualando a cero ambos factores y realizar la
descomposición.
 Continuidad: La función es continua
en todo su dominio pues
gráficamente se puede observar que
no tiene ningún punto de
discontinuidad.
 La función no tiene asíntotas.
 Para determinar los puntos donde la
función corta el eje de la y
Se determina el valor de la función para
x=0 f(0) = 2. 03 + 3. 02 - 12. .0
Obteniendo y= 0 y la función corta el
eje de la y en el punto (0:0)

44. v
Ejemplo 2: Grafica F(x) = -x3 +8

45.  Función N. Ésimo grado: La función P(x) = a x + a -1 x + ... + a1x + a0 ,
donde a es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n
ésimo grado. Los números a , a , ..., a1,a0 se llaman los coeficientes de la
función.
n
n
n
n -1
n n -1
Una función constante, diferente de cero, es un
polinomio de grado cero, una función lineal es un
polinomio de primer grado, una función cuadrática es
un polinomio de segundo grado. La función P(x) = 0 se
considera como un polinomio pero no se le asigna
ningún grado.
Definición: Un número r es raíz o solución de una
función polinómica si P(r) = 0.

46. Es una función que no satisface
una ecuación polinómica cuyos
coeficientes sean a su vez polinomios;
esto contrasta con las funciones
algebraicas, las cuales satisfacen dicha
ecuación.
En otras palabras, una función
trascendente es una función que
trasciende al álgebra en el sentido que no
puede ser expresada en términos de una
secuencia finita de operaciones
algebraicas de suma, resta, multiplicación
división y potenciación a exponentes
constantes reales.
Funciones Trascendentes

47. El logaritmo y la función exponencial son
algunos ejemplos de funciones
trascendentes. El término función
trascendente a menudo es utilizado para
describir a las funciones
trigonométricas ya que también son
funciones trascendentes, o sea
el seno, coseno, tangente, cotangente, seca
nte, y la cosecante.

48. v
Función Exponencial : Las funciones exponenciales son las funciones que
tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:

49. 1. El dominio de una función
exponencial es R.
2. Su recorrido es (0, +∞) .
3. Son funciones continuas.
4. Como a0 = 1 , la función siempre
pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el
punto (0, 1) y no corta el eje X.
5. Como a1 = a , la función siempre
pasa por el punto (1, a).
6. Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es
decreciente.
Características
7. Son siempre cóncavas.
8. El eje X es una asíntota horizontal.
• Si a > 1 :
Al elevar un número mayor que 1 a
cantidades negativas cada vez más
grandes, el valor de la potencia se
acerca a cero, por tanto:
Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0
• Si 0 < a < 1 :
Ocurre lo contrario que en el caso
anterior:
Cuando x → + ∞ , entonces a x → 0

50. Ejemplo
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = Dom(g) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales
es (0, + ∞) .
Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con
el eje Y es (0, 1).
g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte
con el eje Y es (0, 1).
La funciones f(x) y g(x) no
cortan al eje X.

51. 4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a
> 1 .
La función g(x) es decreciente ya
que 0 < a < 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las funciones f(x) y g(x) son
cóncavas.
6) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una
asíntota en el eje X.
7) Tabla de valores:
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
x -2 -1 0 1 2
y 4 2 1 1/2 1/4
f (x) = 2 x
g (x) = 2 - x = (1/2) x

52. v
Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y
es de la forma:
siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
La función logarítmica es la
inversa de la función
exponencial.
Función Logarítmica:

53. Características
Dominio: El dominio son todos los números reales positivos.
Recorrido: El recorrido son todos los números reales.
Derivada de la función logarítmica:
Las funciones logarítmicas son continuas.
Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es
estrictamente creciente. En cambio, si a es menor
que 1 (a < 1), la función es estrictamente
decreciente.

54. La imagen de 1 siempre es 0 y
la imagen de a es 1.
Así pues, las funciones logarítmicas siempre
pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).
La función logarítmica es inyectiva.

55. Propiedades
Función logarítmica del producto:
Función logarítmica de la división:
Función logarítmica del inverso multiplicativo:
Función logarítmica de la potencia:

56. v
Función Trigonométrica:
Una función trigonométrica es aquella
que da el valor de una razón
trigonométrica en función del ángulo.
Las funciones trigonométricas
son: sen x, cos x, tg x, cotg x, sec
x, cosec x
Todas las funciones trigonométricas
son periódicas.

57. Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
Función de Seno

58. 5) Es estrictamente creciente en los
intervalos de la forma (a, b) donde a =
- π/2 + 2·k·π y b = π/2 +
2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los
intervalos de la forma (a, b) donde a
= π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 +
2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en
los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π,
1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los
puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1)
con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es
periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye
y para 0 < |k| <1 el periodo
aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1
e inferiormente por - 1.

60. Función Segmentada:
Una función segmentada (también
denominada función por , función
seccionada o función definida por
tramos) es una función cuya
definición, (la regla que define la
dependencia), llamada regla de
correspondencia, cambia
dependiendo del valor de la variable
independiente.
Formalmente, una función real f
(definida a trozos) de una variable real x
es la relación cuya definición está dada
por varios conjuntos disjuntos de su
dominio (conocidos como subdominios).
La palabra "A trozos" se usa para describir
cualquier propiedad de una función definida
a trozos que se cumple para cada trozo
aunque podría no cumplirse para todo el
dominio de f.
Por ejemplo, una función es diferenciable a
trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo
del dominio

61. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función definida entre ellos.
f : A B
Supongamos que A puede representarse como
una unión de conjuntos disjuntos Ai
y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi
fi : Ai B
Definición
f es una función definida a trozos si

62. v
Una función definida a trozos es continua en
un intervalo dado si está definida por el intervalo,
las expresiones matemáticas apropiadas que
constituyen a la función son continuas en ese
intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto
extremo de los subdominios en ese intervalo.
Continuidad
La función que está a la derecha, por
ejemplo, es una función definida a
trozos continua en todos sus
subdominios, pero no es continua en
todo el dominio.

63. Realizar la representación de la
siguiente función definida a trozos:
En este ejemplo tenemos cuatro
funciones diferentes:
-Cuando x está en el intervalo (-
∞,1], se trata de una función
constante que vale 1.
-Cuando x está en el intervalo (1,3],
tendremos que representar la recta
y=x. Es muy importante dar en la
tabla el valor de los extremos del
intervalo, que pasa cuando x=1 y
cuando x=3.
-Cuando x está entre (3, 6], es una recta; y=-
x+6
-Cuando la x es mayor que 6, vuelve a tratarse
de una función constante de valor 0.
Por tanto obtenemos la siguiente
representación:
Ejemplo

64. Función compuesta
una función compuesta es
una función formada por
la composición o aplicación sucesiva de
otras dos funciones. Para ello, se aplica
sobre el argumento la función más
próxima al mismo, y al resultado del
cálculo anterior se le aplica finalmente
la función restante.

65. Sean las funciones:
F(x)= x2
G(x)= sin (x)
La función compuesta de g y de f que
expresamos:
( f o g) (x)0 f(g(x))=(sin(x))2= sin 2(x)
La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la
variable x significa que primero tenemos que
aplicar g a x, con lo que obtendríamos un
valor de paso
Z= g(x)= sin(x)
y después aplicamos f a z para obtener
Y= f(z)= z2= sin2(x)

66. Función valor absoluto
La función de valor absoluto tiene por
ecuación f(x) = |x|, y siempre representa
distancias; por lo tanto, siempre será positiva o
nula .
En esta condición, de ser siempre positiva o
nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo
del eje x. Su gráfica va a estar siempre por
encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

67. Las funciones en valor absoluto siempre representan
una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se
pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes
pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto,
y se calculan sus raíces (los valores de x) .
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de
x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en
cuenta que en l os intervalos donde la x es negativa
se cambia el signo de la función .
4. Representamos la función resultante.

68. La función valor absoluto asocia a cada
número su valor absoluto, es decir su
valor prescindiendo del signo.
Esta función se puede escribir
descompuesta en dos tramos:

69. Función mayor entero
La función mayor entero es aquella que
asocia como imagen, a cada numero real
del dominio, el entero mas cercan no
mayor que el. Se denota por y= f(x)= (x),
por lo que también se le conoce como
función parte entera, máximo entero

70. La función mayor entero tiene como dominio y
recorrido respectivamente:
D= R
R= Z
Esta función es
escalonada y
discontinua

71. Función escalonada
Una función escalonada es
aquella función definida a trozos que
en cualquier intervalo finito [a, b] en
que esté definida tiene un número
finito de discontinuidades c1 < c2 < ... <
cn, y en cada intervalo abierto (ck, ck+1)
es constante, teniendo discontinuidades
de salto en los puntos ck

72. Características
una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la
forma de una escalera o una serie de escalones (que no
necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El
ejemplo más común de función escalonada es la función
parte entera.
Otras funciones escalonadas son la función unitaria de o
función escalón unitario, y la función signo.
La composición de cualquier función escalonada s(x) y
una función cualquiera f(x) da por resultado una
función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté
definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).
Evidentemente, la derivada de una función escalonada es
0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede
definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

73. Función inversa
se llama función inversa o reciproca
de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
si f es una aplicación o función que
lleva elementos de I en elementos de J,
en ciertas condiciones será posible
definir la aplicación f -1 que realice el
camino de vuelta de J a I. En ese caso
diremos que f -1 es la
aplicación inversa o recíproca de f.

74. Ejemplo:
Determina la inversa de la siguiente función. a)
f(x)= 4x + 5
Sustituyendo f(x) por y y = 4 x + 5 Se intercambian
x por y x = 4 y + 5 Despejando y x - 5 = 4y, x - 5/ 4
= y
f-1(x)= x - 5/ 4 Finalmente se obtiene la inversa de
f(x)

75. Función racional
Las funciones racionales f(x) son el
cociente de dos polinomios. La
palabra racional hace referencia a
que esta función es una razón
P(x) es el polinomio del numerador
y Q(x) el del denominador.
Ejemplo:

76.  Toda función racional es de un dominio que no
incluya las raíces del polinomio Q(x).
 Todas las funciones racionales en las que
el grado de Q sea mayor o igual que el grado de
P tienen asíntotas (verticales, horizontales u
oblicuas).
 Todas las funciones racionales cuyos
coeficientes pertenecen a un cuerpo forman un
cuerpo que incluye al cuerpo base como
subcuerpo.
 El cuerpo de funciones racionales forma un
subcuerpo del cuerpo de series de potencias
formales.
propiedades

77. El dominio de una función racional son
todos los números reales los valores de
la variable x que anulan el denominador
(Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces
del polinomio correspondiente.
La gráfica de estas funciones, si el
polinomio del denominador Q(x) es de
grado 1, es una hipérbola:

78. Un tipo de función racional es
la función de proporcionalidad
inversa de ecuación:

79. Sus gráficas son hipérbolas.
También son hipérbolas las
gráficas de las funciones

80. Cuando se hace la gráfica de una función racional
es importante saber:
• Qué se puede decir de los valores de la función
cuando x se acerca a un cero del denominador?
• Qué se puede decir de los valores de la función
cuando x es grande y positiva o negativa?

81. Asíntota vertical
La recta x = a es una asíntota vertical
de la gráfica de una función si f (x) –
> ∞ o f (x) –> -∞ cuando x tiende a a.
Asíntota horizontal
La recta y = c es una asíntota horizontal de
la gráfica de una función si f (x) –
> c cuando x –> ∞ o cuando x –> -∞

82. Ejemplo:
Grafique la función racional
La asíntota vertical de una función
racional es el valor de x donde el
denominador de la función es cero.
Iguale el denominador a cero y
encuentre el valor de x .
2 x + 1 = 0
x = -1/2
La asíntota vertical de la función racional
es x = -0.5.

83. Esta función tiene la intercepción en x en
(-1/4, 0) y la intercepción en y en (0, 1).
Encuentre más puntos en la función y
grafique la función.

84.  Algunas veces la función racional dada tiene que ser
simplificada, antes de graficarla. En ese caso, si hay
algunos valores excluidos (donde la función no esté
definida) diferentes de las asíntotas, entonces hay un
paso adicional involucrado al graficar la función.
 Para representar la función no definida, asegúrese
que la función no es una curva lisa continua en el
valor excluido. Este valor excluido es usualmente
referido como un hoyo en la función racional.

85. Ejemplo: Encontrar el dominio de cada función se indican a
continuación.
a) g (x) = (x - 1) / (x - 2)
b) h (x) = (x + 2) / x
Analítica
a) Para la función g que se determine, el denominador x - 2 debe ser
diferente de cero o x no es igual a 2. Por lo tanto el dominio de g viene
dada por
(-Infinito, 2) U (2, + infinito).
b) Para h definición de la función, el denominador x debe ser diferente
de cero o x no es igual a 0. Por lo tanto el dominio de h está dada por
(-Infinito, 0) U (0, + infinito).