HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Nguyễn Chí Công
Ngày 5 tháng 6 năm 2014
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình mặt cầu
– Mặt cầu tâm tại điểm I(a, b, c) và
bán kính R có phương trình dạng
chính tắc
(x − a)2
+ (y − b)2
+ (z − c)2
= R2
– Mặt cầu có phương trình tổng quát
dạng
x2
+y2
+z2
+2ax+2by +2cz +d = 0
với a2
+ b2
+ c2
− d > 0, dưới dạng
này mặt cầu có tâm I(−a, −b, −c) và
bán kính của nó là
R =
√
a2 + b2 + c2 − d
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt
phẳng
Cho hình cầu (S) : (x − a)2
+ (y −
b)2
+(z −c)2
= R2
và mặt phẳng (P)
phương trình Ax+By +Cz +D = 0.
Khi đó, h = |Aa+Bb+Cc+D|
√
A2+B2+C2 là khoảng
cách từ tâm I của (S) đến mặt phẳng
(P).
– Nếu h > R thì (S) và (P) không
cắt nhau.
– Nếu h = R thì (S) và (P) tiếp xúc
với nhau.
– Nếu h < R thì (S) và (P) cắt nhau
theo một giao tuyến là một đường
tròn có bán kính r =
√
R2 − h2.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
B-1. (KD–2004) Cho ba điểm A(2, 0, 1),
B(1, 0, 0), C(1, 1, 1) và mặt phẳng (P)
phương trình x+y+z−2 = 0. Viết phương
trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm
thuộc (P).
B-2. Lập phương trình mặt cầu (S) có
tâm thuộc đường thẳng d phương trình


x = t
y = 2
z = 1 − t
và cắt mặt phẳng (P)
phương trình y − z = 0 theo thiết diện
là một đường tròn lớn có bán kính bằng
4.
B-3. (KD–2008) Trong không gian tọa độ
Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua
bốn điểm A(3, 3, 0), B(3, 0, 3), C(0, 3, 3),
D(3, 3, 3).
B-4. (KB–2005) Trong không gian cho
hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1
với A(0, −3, 0), B(4, 0, 0), C(0, 3, 0),
B1(4, 0, 4). Viết phương trình mặt cầu
tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC1B1).
B-5. Trong không gian cho bốn điểm S(2, 2, 6),
A(4, 0, 0), B(4, 4, 0), C(0, 4, 0).
(a) Chứng minh rằng S.ABCO là hình
chóp tứ giác đều.
(b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCO.
B-6. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
(P) phương trình 2x + y − z + 5 = 0 và
các điểm A(0, 04), B(2, 0, 0). Viết phương
trình mặt cầu đi qua A, B.O và tiếp xúc
với (P).
B-7. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm
nằm trên đường thẳng d phương trình
x + y + z + 1 = 0
x − y + z − 1 = 0
và tiếp xúc với hai
mặt phẳng (P) phương trình x+2y+2z+
3 = 0, (Q) phương trình x+2y+2z+7 = 0
1

B-8. Viết phương trình mặt cầu có tâm tại
điểm I(2, 3, −1) và cắt đường thẳng d
phương trình
5x − 4y + 3z + 20 = 0
3x − 4y + z − 8 = 0
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
B-9. Tìm điểm A trên mặt cầu (S) phương
trình x2
+ y2
+ z2
− 2x + 2z − 2 = 0 sao
cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất,
nhỏ nhất.
B-10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt cầu (S) phương trình x2
+ y2
+ z2
+
2x−4y −4 = 0 và mặt phẳng (P) phương
trình x+z−3 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (Q) đi qua điểm M(3, 1, −1) vuông
góc với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
B-11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho hai đường thẳng d1 phương trình
x−4
3
= y−1
−1
= z+5
−2
và d2 phương trình
x−2
1
= y+3
3
= z
1
. Viết phương trình mặt
cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả
hai đường thẳng d1 và d2.
B-12. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt
phẳng (P) phương trình 2x−y −2z −2 =
0 và đường thẳng d phương trình x
−1
=
y+1
2
= z−2
1
. Viết phương trình mặt cầu (S)
có tâm I ∈ d, I cách (P) một khoảng bằng
2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn có
bán kính bằng 3.
B-13. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai
điểm A(0, 0, 4), B(2, 0, 0) và mặt phẳng
(P) phương trình 2x + y − z + 5 = 0. Lập
phương trình mặt cầu (S) đi qua A, B, O
và khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến
mặt phẳng (P) bằng 5√
6
.
B-14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho ba điểm A(3, 1, 1), B(0, 1, 4),
C(−1, −3, 1). Lập phương trình mặt
cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm
nằm trên mặt phẳng (P) phương trình
x + y − 2z + 4 = 0.
B-15. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt
phẳng (P) phương trình 2x−2y−z−4 = 0
và mặt cầu (S) phương trình x2
+y2
+z2
−
2x − 4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh rằng
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao
tuyến một đường tròn. Xác định tâm và
bán kính của đường tròn đó.
B-16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt cầu (S) phương trình x2
+ y2
+ z2
+
4x − 6y + m = 0 và đường thẳng d là giao
tuyến của hai mặt phẳng 2x−2y−z+1 = 0
và x+2y −2z −4 = 0. Tìm m để mặt cầu
(S) cắt d tại hai điểm M, N sao cho độ
dài MN = 8.
B-17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho hai điểm A(1, 5, 0), B(3, 3, 6) và đường
thẳng ∆ phương trình x+
2
= y−1
−1
= z
2
. Viết
phương trình đường thẳng d đi qua B và
cắt đường thẳng ∆ tại điểm C sao cho diện
tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
B-18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
đường thẳng d phương trình x−3
2
= y+2
1
=
z+1
−1
và mặt phẳng (P) phương trình x +
y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của
d và (P), viết phương trình đường thẳng
∆ ∈ (P) vuông góc với d đồng thời khoảng
cách từ M đến ∆ bằng
√
42.
B-19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
phương trình đường thẳng d đi qua điểm
M(−4, −5, 3) và cắt cả hai đường thẳng
d1 phương trình
2x + 3y + 11 = 0
y − 2z + 7 = 0
, d2
phương trình x−2
2
= y+1
3
= z−1
−5
.
B-20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng (P) phương trình 2x−y+2z−
3 = 0 và hai đường thẳng d1, d2 lần lượt
có phương trình x−4
2
= y−1
2
= z
−1
và x+3
2
=
y+5
3
= z−7
−2
. Viết phương trình đường thẳng
∆ song song với (P) đồng thời cắt d1 tại
A, cắt d2 tại B sao cho AB = 3.
B-21. Trong không gian Oxyz cho hai đường
thẳng d1, d2 và mặt phẳng (P) lần lượt có
phương trình x+1
1
= y+2
2
= z
1
, x−2
2
= y−1
1
=
z−1
1
và x+y−2z+5 = 0. Lập phương trình
đường thẳng d song song với mặt phẳng
(P) và cắt d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho
AB có độ dài nhỏ nhất.
The End
2