7 - matek 2 - 2023.pptx
20 de May de 2023•0 gostou•3 visualizações
Baixar para ler offline
Denunciar
Indústria automotiva
persamaan diferensial bernouilli
newchar2Seguir
Mais conteúdo relacionado
Similar a 7 - matek 2 - 2023.pptx
Matematika Teknik Modul 2 b pd linier orde n homogenPrayudi MT
IntegralDidit Prasetiyo
Integral tak tentu dan tertentu irafsanjanistrong
Integral tak tentu dan tertentu irafsanjanistrong
Contoh soal integralRamaWidjaya
Sistem Persamaan LinearUniversitas Sebelas Maret
7 - matek 2 - 2023.pptx
- 1. Dosen : Ir. Mohamad Jusuf, MSi
- 2. 4. Persamaan Diferensial Bernoulli Bentuk Umum : dy dx + P( x) y = Q(x) 𝒚𝒏 Cara Menyelesaikan *dibagi 𝑦𝑛 1 𝑦𝑛 dy dx + P( x) 𝑦1−𝑛 = Q(x) **dimisalkan u = 𝑦1−𝑛 → du = (1 – n) 𝑦−𝑛 dy → d𝑢 dx = (1 – n)𝑦−𝑛 dy dx 1 1−𝑛 d𝑢 dx = 1 𝑦𝑛 dy dx Persamaan difrensial akan menjadi 1 1−𝑛 d𝑢 dx + P(x)u = Q(x) ....... kalikan kedua sisi dengan (1-n) d𝑢 dx + (1-n) P(x)u = (1-n)Q(x) ......... Pers diff Bernoulli orde 1 dalam u
- 3. Untuk menentukan solusi dari PD bernoulli ini, maka terlebih dahulu kita perlu mereduksinya menjadi PD linier *dibagi 𝑦𝑛 Caranya dengan mensubtitusikan ** 𝑦1−𝑛 = u Setelah menjadi PD Linier maka solusi umumnya dapat ditetapkan sebagaimana cara untuk menetukan solusi PD linier
- 4. Solusi umum 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒 P(x) dx u𝑒 P(x) dx = Q(x) 𝑒 P(x) dxdx + C u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄(𝑥) 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 dx + C} dimana p(x) = (1-n) P(x) q(x) = (1-n) Q(x)
- 5. Contoh : 1. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb dy dx + y x = (𝑥2 - 3x) 𝑦2 Jawab *dibagi 𝑦2 1 𝑦2 d𝑦 dx + 1 y 1 x = (𝑥2 - 3x) **dimisalkan u = 1 y d𝑢 dx = - 1 𝑦2 d𝑦 dx − d𝑢 dx = 1 𝑦2 d𝑦 dx
- 6. Persamaan difrensial akan menjadi − d𝑢 dx + u 1 x = (𝑥2 - 3x) d𝑢 dx + u (- 1 x ) = (3𝑥 − 𝑥2 ) Solusi umum u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋) dx + C} = 𝑒− − 1 𝑥 𝑑𝑥 { (3𝑥 − 𝑥2) 𝑒 − 1 𝑥 𝑑𝑥 dx + C} − 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑙𝑛𝑥 = 𝑥 { (3𝑥 − 𝑥 2 ) 1 𝑥 𝑑𝑥 + C} = 1 𝑥 = 𝑥 { (3 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥 {3𝑥 - 1 2 𝑥2 + C} 1 𝑦 = 3𝑥2 − 1 2 𝑥3 + C𝑥 y = 1 3𝑥2 − 1 2 𝑥3+ C𝑥
- 7. 2. Diketahui persamaan Difrensial Bernoulli dy dx − y = (1 − 𝑒3𝑥) 𝑦2 carilah solusi persamaan tersebut Jawab *dibagi 𝑦2 1 𝑦2 d𝑦 dx - 1 y = 1 − 𝑒3𝑥 **dimisalkan u = 1 y d𝑢 dx = - 1 𝑦2 d𝑦 dx − d𝑢 dx = 1 𝑦2 d𝑦 dx
- 8. Persamaan difrensial akan menjadi − d𝑢 dx − u = 1 − 𝑒3𝑥 d𝑢 dx + u = 𝑒3𝑥− 1 Solusi umum u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋) dx + C} = 𝑒− 1𝑑𝑥 { ( 𝑒3𝑥− 1 ) 𝑒 1𝑑𝑥 dx + C} = 𝑒−𝑥 { 𝑒3𝑥 − 1 . 𝑒𝑥 dx + C} = 𝑒−𝑥 { ( 𝑒4𝑥−𝑒𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 = 1 4 𝑒3𝑥 − 1 + C𝑒−𝑥 1 𝑦 = 1 4 𝑒3𝑥 − 1 + C𝑒−𝑥 y = 1 1 4𝑒3𝑥−1 + C𝑒−𝑥
- 9. 3. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb dy dx + y = (2 - 3x) 𝑦4 Jawab *dibagi 𝑦4 1 𝑦4 d𝑦 dx + 𝑦−3 = (2 – 3x) **dimisalkan u = 𝑦−3 du = (-3) 𝑦−4dy 1 −3 d𝑢 dx = 1 𝑦4 d𝑦 dx
- 10. Persamaan difrensial akan menjadi 1 −3 d𝑢 dx + u = (2 - 3x) d𝑢 dx - 3u = (6 - 9x) Solusi umum u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋) dx + C} = 𝑒− −3𝑑𝑥 { (−6 + 9𝑥) 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 dx + C} = 𝑒3𝑥 { (−6 + 9𝑥) 𝑒−3𝑥 dx + C} = 𝑒3𝑥 { −(−6+9𝑥) 3 𝑒−3𝑥 + C} 1 𝑦3 = (2 – 3x) – 1 + C𝑒3𝑥 y = 1 3 1− 3𝑥−𝐶𝑒3𝑥
- 11. 4. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb dy dx + 2 x y = 3x 𝑦3 Jawab *dibagi 𝑦3 1 𝑦3 dy dx + 2 x 𝑦−2 = 3x **dimisalkan u = 𝑦−2 du = (-2) 𝑦−3dy 1 −2 d𝑢 dx = 1 𝑦3 d𝑦 dx
- 12. Persamaan difrensial akan menjadi 1 −2 d𝑢 dx + 2 x u = 3x d𝑢 dx - 4 x u = = -6x Solusi umum u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋) dx + C} = 𝑒− − 4 x dx { (−9𝑥) 𝑒 − 4 x dxdx + C} = 𝑒4𝑙𝑛𝑥 { (−9𝑥) 𝑒−4𝑙𝑛𝑥 dx + C} = 𝑥4 { (−9𝑥) 𝑥−4 dx + C} 1 𝑦2 = 𝑥4 ( − 9 −2 𝑥−2 + C) = 9 2 𝑥2 + C 𝑥4 y = 1 9 2 𝑥2 + C 𝑥4
- 13. 5. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb x dy dx + y = x 𝑦2lnx Jawab *dibagi x → bentuk umum dy dx + P( x) y = Q(x) 𝑦𝑛 dy dx + y 1 x = 𝑦2 lnx ..... dibagi 1 𝑦2 1 𝑦2 dy dx + 1 y 1 x = lnx **dimisalkan u = 1 y du = - 1 𝑦2dy d𝑢 dx = − 1 𝑦2 d𝑦 dx
- 14. Persamaan difrensial akan menjadi - d𝑢 dx + 1 x u = lnx d𝑢 dx - 1 x u = = - lnx Solusi umum u = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑞(𝑥) 𝑒 𝑃(𝑋) dx + C} = 𝑒− − 1 x dx {− 𝑙𝑛𝑥 . 1 x dx + C} 𝑢 𝑑𝑢 = 1 2 𝑢2 = 𝑒𝑙𝑛𝑥 {− 1 2 (𝑙𝑛𝑥)2 + C} 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 = x {− 1 2 (𝑙𝑛𝑥)2 + C} d𝑢 = 1 x 𝑑𝑥 1 y = − 1 2 x (𝑙𝑛𝑥)2 + Cx 1 2 𝑢2 = 1 2 (𝑙𝑛𝑥)2 y = − 1 2x(𝑙𝑛𝑥)2 + Cx
- 15. Latihan soal 7 1. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb x dy + n ydx = 𝑦5 (n x − 𝑦5 ) 2. Selesaikan persamaan difrensial Bernoulli sbb dy dx + y x = 𝑦7(𝑥2 - n x)