TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE ÁREAS

1. ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO : ESTÁTICA
DOCENTE : ING. LUIS ALBERTO BALLENA RENTERÍA
TEMA : TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES Y
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
DE ÁREAS
ALUMNOS : DÍAZ DÍAZ, Osman Vladimir
FERNÁNDEZ IRIGOIN, Roberth
IRIGOIN DELGADO, Joselito
IRIGOIN EDQUEN, Dilmer Eli
RAFAEL LIVAQUE, Néstor
TINGAL CORONADO, Ángel Luis
CICLO : III
CHOTA – PERÚ
2014

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ÍNDICE
ÍNDICE Pág.
I. RESUMEN. 02
II. ABSTRACT 03
III. INTRODUCCIÓN 04
IV. MARCO TEÓRICO 05
A. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN Y MOMENTOS PRINCIPALES DE
INERCIA DE ÁREAS.
05
1. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN PARA MOMENTOS Y
PRODUCTOS DE INERCIA
05
2. MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA 06
EJEMPLOS 09
V. CONCLUSIONES. 15
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 16
VII. ANEXOS 17
PROPIEDADES INERCIALES DE ÁREAS PLANAS 17

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I. RESUMEN.
Momento de inercia en áreas planas, es el tema que se trata a continuación, con ayuda
de textos de ciencias e ilustraciones nos concentraremos en detallar la idea de la
investigación. Las causas de investigación son la práctica y el dominio de dicho tema
para bien.
Nuestros objetivos son describir al lector en su mayoría universitarios los conceptos y
utilidades del momento de inercia, dando a conocer sus fórmulas principales y como
poder utilizarlas en algún ejercicio propuesto, describiremos por igual algunos otros
temas que ayudan a fortalecer el concepto general.

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II. ABSTRACT
Moment of inertia in plane areas, is the topic that is next, with the help of texts of
sciences and illustrations we will concentrate on detailing the idea of the investigation.
The investigation causes are the practice and the domain of this topic for well.
Our objectives are to describe to the reader in their majority university students the
concepts and utilities of the moment of inertia, giving to know their main formulas and
as being able to use them in some proposed exercise, we will describe some other topics
equally that they help to strengthen the general concept.

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III. INTRODUCCIÓN
El momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de
un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro.
El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje
de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

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IV. MARCO TEÓRICO
A. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
DE ÁREAS.
En general, los valores de Ix, Iy e Ixy para un área plana dada dependen de la ubicación
de O (el origen del sistema coordenado) y de la orientación de los ejes xy. El efecto
de reubicar O, lo que es equivalente a trasladar los ejes coordenados, se ha estudiado
y ha resultado en el teorema de los ejes paralelos. Aquí se investigan los cambios en
los momentos y en el producto de inercia causados al variar la orientación de los
ejes coordenados. Esto a su vez permite determinar los momentos de inercia
máximo y mínimo asociados con el punto O y encontrar la orientación de los ejes
correspondientes.
1. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE
INERCIA
Considere la región plana A con área A qué se muestra en la figura, donde los
ejes uv en el punto O se obtienen girando los ejes xy en sentido contrario a las
mane- cillas del reloj un ángulo θ. Ahora se deducen fórmulas para Iu, Iv e Iuv en
términos de Ix, Iy, Ixy y θ. Estas fórmulas se conocen como ecuaciones de
transformación para momentos y productos de inercia.
Se inicia con las ecuaciones de transformación de las coordenadas de posición,
que se pueden deducir de la siguiente forma.
............................................................ (01)

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Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación que define Iu, se obtiene
Identificando los momentos y productos de inercia, esta ecuación se convierte
en:
………………………………….. (02)
Las ecuaciones para Iv e Iuv se pueden deducir de una manera similar y los
resultados son:
.........………………….. (03)
……………………..…. (04)
La ecuación para Iv también se podría deducir remplazando θ por (θ + 90°) en la
ecuación (02).
Utilizando las identidades trigonométricas
Las ecuaciones (02) a (04) también se pueden escribir en la forma
…………………. (05)
…………………. (06)
…………………. (07)
De las ecuaciones (05) y (06) se observa que Iu + Iv = Ix + Iy, un resultado que se
esperaba, ya que los dos lados de la ecuación son iguales a JO, el momento polar
del área respecto a O.

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2. MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
Los momentos de inercia máximo y mínimo en un punto se denominan
momentos principales de inercia en ese punto. Los ejes respecto a los cuales
los momentos de inercia son máximo o mínimo se denominan ejes principales
y a las direcciones correspondientes se les refiere como direcciones
principales. Para encontrar los momentos de inercia máximo y mínimo, se
iguala a cero la derivada de Iu en la ecuación (05):
Despejando 2θ, se obtiene
………………………………. (08)
Observe que hay dos soluciones para el ángulo 2θ que difieren en 180° o,
equivalentemente, dos soluciones para θ que difieren en 90°. Estas soluciones
las denotamos por θ1 y θ2.
…………………………………… (09)
Donde
…………………………………… (10)
Los ángulos θ1 y θ2 medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj desde
el eje x, definen las direcciones principales. Sustituyendo la ecuación (09) en la
ecuación (05) y simplificando, se obtienen los momentos principales de inercia.
…………………………….. (11)
Donde I1 e I2 corresponden a los ejes definidos por θ1 y θ2, respectivamente.

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En las ecuaciones (09) y (11), el signo superior de ± o ∓ se debe utilizar con θ1 y
el signo inferior con θ2 (consulte la figura que se muestra a continuación).
Para determinar el producto de inercia respecto a los ejes principales, se
sustituyen las ecuaciones (09) en la ecuación (07), lo que da:
Por tanto, el producto de inercia respecto a los ejes principales es cero.
Las propiedades de un área, en general, dependen de la ubicación del origen O
del sistema coordenado xy. Por tanto, los momentos principales de inercia y las
direcciones principales varían con la ubicación del punto O. Sin embargo, en la
mayoría de las aplicaciones prácticas, como en la ingeniería estructural, se tiene
interés en los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales.

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EJEMPLOS
1. Para la región que se muestra en la figura, calcule:
a) Los momentos principales centroidales de inercia
y las direcciones principales.
b) Los momentos y el producto de inercia respecto a
los ejes uv que pasan por el centroide C.
Solución
Las coordenadas centroidales
Luego se aplica el teorema de los ejes paralelos para calcular las propiedades inerciales
respecto a los ejes centroidales.

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Parte 01
Se obtiene
Por tanto la ecuación
Se convierte
De donde se obtiene los momentos principales de inercia
Para las direcciones principales, la ecuación
Los ejes principales, identificados 1 y 2 en la figura,
corresponden a los ejes I1 e I2, respectivamente.

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Parte 02
De la ecuación
Se obtiene
La ecuación da
De la ecuación da

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EJEMPLO 02

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EJEMPLO 03

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EJEMPLO 04

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V. CONCLUSIONES.
Se logró conocer la teoría de la transformación de ecuaciones y
momentos principales de inercia de áreas.
Se concluyó que Los momentos de inercia máximo y mínimo en un punto
se denominan momentos principales de inercia en ese punto.
Se logró determinar el momento de inercia delas áreas y pudimos ver
como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribución
de su masa.

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VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
Bedford, Anthony; Fowler, Wallace T. Mecánica para ingeniería. Estática Quinta edición.
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
Beer, Ferdinand; Johnston, Russell. “Mecánica vectorial para ingenieros: Estática”, 9na
ed. Mc – Graw Hill, México. 2007.
Hibbbeler, Russel. 2004. Mecanica vectorial para ingenieros: Estática. 12va Ed. Prentice
– Hall. México 2010.
Andrew Pytel y Jaan Kiusalaas. “Ingeniería Mecánica” – Estática. 3ra Ed. Cengage
Learning. Santa Fe 2012.

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VII. ANEXOS
PROPIEDADES INERCIALES DE ÁREAS PLANAS

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