solución

1. 1
Abstract—En el presente documento se detallaran los pasos
para la modelación y simulación de un convertidor Buck,
actividad correspondiente a una de las tareas del módulo
integración I de ingeniería en Mecatrónica, se buscará comparar
simulaciones propias con las simulaciones de paquetes
comerciales como lo es PSIM.
I. INTRODUCCION
L introducirse en el mundo del control y simulación de
sistemas siempre se interactúa con programas y paquetes
de simulación comerciales, a veces sin pensar todos los
procesos que hay detrás de los resultados finales, en esta
ocasión se hará la simulación de un convertidor Buck, sistema
que es una fuente conmutada DC-DC que reduce la tensión de
salida con respecto la tensión de la fuente de alimentación,
manteniendo la tensión de salida constante, frente a las
variaciones de tensión, el convertidor presentado a
continuación posee más almacenadores de energía que el Buck
converter tradicional, ya que tiene representado en sus
componentes la inductancia de la red (L0) y también además
de la carga resistiva, posee un filtro formado por una bobina
que eliminaría el rizado de corriente y un condensador que
eliminaría el rizado de tensión producido por el switch.
Fig. 1 Esquema del convertidor Buck a simular.
TABLA I
PARÁMETROS DEL CONVERTIDOR BUCK
L0 5 mH
C1 2000 uF
L1 10 mH
R1 100 Ohm
C2 1 uF
R2 10 Ohm
L2 1 mH
C3 10 uF
R3 1 Ohm
S1 10KHz-d50%
Va 220 V 50 Hz
II. MODELO Y ECUACIONES DINÁMICAS
En primer lugar se realizará el proceso de escribir las
ecuaciones que describen al sistema de convertidor Buck, las
cuales se obtienen con las leyes de Kirchhoff de nodos y
mallas.
Para el análisis se consideraran los efectos que produce la
posición del Switch en el circuito, con lo cual se tienen dos
posibles esquemas a analizar, un esquema con el interruptor
cerrado y otro con el switch abierto.
Obteniendo las ecuaciones, se podrá formar un sistema de
ecuaciones diferenciales, que de ser resuelto describirá las
variables de estado y su evolución en el tiempo ante la acción
de la fuente y del switch, variables que en este caso
corresponden a las corrientes en los inductores y voltajes en
los capacitores.
Para el caso de la posición S=1, correspondiente al switch
cerrado se tiene el siguiente esquema:
Fig. 2 Topologia del convertidor Buck con S1=1.
Se presenta el siguiente análisis que arroja las siguientes
ecuaciones describiendo el nodo y las mallas que se muestran
en la figura 2:
Tareas Taller de integración I –Convertidor Buck
José Quintanilla Acevedo1
, Nicolás Vicencio Mora2
Facultad de Ingeniería, Universidad de Talca, Curicó
1
jquintanilla12@alumnos.utalca.cl
2
nvicencio12@alumnos.utalca.cl
Ingeniería en Mecatrónica
Chile
A

2. 2
Para la malla 1:
( )
Para el nodo 1:
( )
Para la malla 2:
En donde se aplica la regla correspondiente a corrientes en un
nodo, para poder describir la corriente que se conduce por el
resistor , la cual se puede escribir como: la corriente que
alimenta al nodo del resistor (o bien la corriente que circula
por ), menos la cantidad de corriente que circulará por los
otros dos condensadores de la izquierda y , ya que son
éstos los que definirán la corriente que circulará por la línea
en donde se ubican, debido a la conexión en serie que se
presentan, quedando para la malla 2:
( )
(
( ) ( )
)
Para la malla 3:
Para esta malla y para la número 4, se usará la misma relación
de la corriente que circula por la resistencia , ya que con la
caída de voltaje producida en esta resistencia, se puede
deducir el voltaje en los extremos de las 2 piernas restantes, ya
que se presenta una conexión en paralelo entre estas tres
piernas de la derecha del circuito, quedando:
(
( ) ( )
)
Para la malla 4:
( )
[
( )
] (
( ) ( )
)
Como se presenta la particularidad de que para describir el
voltaje en el inductor se necesita la expresión de la
corriente que circula por él, este voltaje se debe escribir como
una doble derivada sobre la variable que es en definitiva la
que en el análisis, definirá la corriente de esta particular
conexión en serie entre un inductor, un capacitor y un resistor.
Quedando finalmente:
( ) [ ]
(
( ) ( )
)
Ahora para el circuito con el S1=0 se presenta la siguiente
conexión equivalente:
Fig. 3 Topologia del convertidor Buck con S1=0.
Donde se puede realizar el siguiente análisis:
Para la malla 1:
( )
Para el nodo 1:
( )
Para la malla 2:
( )
(
( ) ( )
)
Para la malla 3:
(
( ) ( )
)
Para la malla 4:
( )
[
( )
] (
( ) ( )
)
Quedando finalmente:
( ) [ ]
(
( ) ( )
)
Se puede observar que estas ecuaciones solo difieren de 2
expresiones, las cuales dependen de la posición del switch, por
lo cual se puede crear una relación ente éstas.
Ahora consolidando las ecuaciones de ambos modelos, las
cuales describen el comportamiento del convertidor buck, que
además dependen de , quedan:
( )
( )
( )
(
( ) ( )
)
(
( ) ( )
)

3. 3
( ) [ ]
(
( ) ( )
)
III. ALGORITMOS DE INTEGRACIÓN
Existen poderosos algoritmos para la resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias u ODEs, siendo la base del campo de
simulación digital de sistemas continuos
El concepto básico de la simulación digital es que, para
simular sistemas continuos en un computador (mundo digital),
la variable independiente (en general el tiempo) debe ser
discretizada de modo que las ecuaciones diferenciales se
transformen en ecuaciones en diferencias (mundo discreto).
Como todas las variables son función de la variable
independiente, sólo son calculadas en valores discretos de la
variable independiente.
• Si la simulación opera con incrementos constantes de
tiempo ∆t, esos instantes pueden calcularse de la forma:
T (en cada iteracion)= t inicial+k·∆t,
siendo k=0,1,2,3,4,5…,(tmax-to)/∆t.
Así la simulación comenzará en el tiempo inicial y terminará
en el tiempo máximo dado.
Existen muchos algoritmos que aproximan las soluciones
requeridas, Están los métodos implícitos e explícitos estos
últimos, donde el valor de los puntos siguientes vienen dados
por:
( )
Siendo este tipo de método el que será utilizado para esta
actividad.
Dentro de los métodos explicitos existen varios algoritmos,
como por ejemplo los siguientes:
•Aproximación de orden 0 (Euler)
• Aproximación de orden 1(Adams-Bashforth)
• Polinomios de extrapolación
• Métodos de Runge-Kutta
Para aproximar la solución a las ecuaciones se usara el método
explícito de Euler, es el algoritmo integrador de EDOs más
simple, por ende el más rápido de implementar en código de
Matlab o lenguaje C.
El método de Euler consiste en reemplazar una derivada por
una aproximación discreta:
( )
( ) ( )
Válida para un paso h pequeño.
Desde ahí nace la solución de un problema de valor inicial que
se presentan como del tipo del tipo:
{
( ) ( ( )) [ ]
( )
Si se reemplaza quedaría:
( ) ( )
( ( ))
Y para los efectos se solución lo buscado seria:
( ) ( ) ( ( ))
Si se comienza con la condición inicial ( ) el primer
valor solución buscado seria:
( ) ( ( ))
Esto último define una aproximación para ( ).
Una vez calculada esta aproximación, se puede utilizar para
obtener la aproximación y2 correspondiente a ( ).
( )
Y si se repite este proceso se pueden obtener aproximaciones
para ( ).
Quedando el algoritmo para un tiempo discreto equiespaciado:
Como se tiene más de una ecuación solo bastará evaluar de
forma simultánea a cada ecuación por separado, teniendo en
cuenta que se debe tener tantas condiciones iniciales como
incógnitas para que el algoritmo funcione, ya que al tratarse de
un sistema algunos “estados” dependen de otros.
IV. ACONDICIONAMIENTO DE ECUACIONES
Si se aprecian las ecuaciones dinámicas expresadas en el
análisis, se destaca una derivada de segundo orden, la cual
para efectos de solución analítica son muy difíciles de resolver
y más aun numéricamente, pero ventajosamente se sabe que
una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un
sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por
lo cual el problema es posible de eliminar, aumentando el
número de ecuaciones.
Para ordenar las ecuaciones, y así acomodarse a la sintaxis del
algoritmo a utilizar se redefinirán las siguientes variables:
̇
( )
̇
( )

4. 4
̇
( )
̇
( )
̇
̇ ̇ ̈
[ ]
Reordenando estas ecuaciones, solo en función de estados y
entradas:
̇
( )
̇
̇ [ ( ) ]
̇
( )
̇
̇ [
( ( ) )]
Cabe decir que acomoda aún más siendo que esta forma de
escribir las variables, es la acostumbrada para describir
variables de estado en sistemas por lo cual es aún más
familiar.
Tambien se debe despejar cada variable derivada, y deben
quedar solo en función de variables de estado no derivadas,
entradas y perturbaciones como lo son el switch y el voltaje de
la fuente, esto se consigue relacionando algebraicamente el
conjunto de ecuaciones del sistema de ecuaciones final, que
tendrá 6 ecuaciones.
A continuacion se presentara la simulacion en un paquete
comercial para circuitos para luego abordar el problema de
integracion por medio de codigo.
V. SIMULACIÓN EN PSIM
PSIM es una herramienta de simulación de circuitos
desarrollada por la empresa Powersim. Este software está
especialmente diseñado para simulaciones de electrónica de
potencia, control de motores y sistemas dinámicos, en este
caso se simulará el convertidor Buck propuesto.
Para estos efectos y como la interfaz del simulador es intuitiva
solo resta disponer de los componentes del circuito y dar valor
a los parámetros expuestos en la tabla 1.
Uno de los aspectos relevantes y que merece ser mencionada
de la simulación es la utilización de un transistor bipolar de
puerta aislada (IGBT), que generalmente se aplica como
interruptor controlado en circuitos de electrónica de potencia y
en especial para conmutaciones de alta frecuencia, para
simularlo se usara el siguiente arreglo para que actúe de forma
casi ideal.
Fig. 4 Esquema del control del switch S1.
Este arreglo tiene como controlador una fuente de voltaje de
onda cuadrada a la cual le será asignada una frecuencia y un
ciclo de trabajo, seguido de esto y antes del switch se
encuentra un controlador de encendido y apagado del switch.
Teniendo ésto claro se deben explicitar las variables que se
desean simular por lo cual habrá que insertar voltímetros y
medidores de corriente en los condensadores y en los
inductores respectivamente, ya que son estas las variables a las
cuales se pretende buscar solución numérica.
Con lo cual se tendrá lo siguiente en la ventana de simulación:
Fig. 5 Implementacion del Buck en PSIM.
Con esto se procede a la simulación, a la cual se le debe dar un
tiempo de duración y también indicar las variables a mostrar
en los gráficos, los cuales deben ser etiquetados en los
voltímetros y amperímetros.

5. 5
Fig. 6 Respuesta de las variables en PSIM.
Se observa que la corriente del inductor L0 tiene valores
transitorios hasta el tiempo de 0.01 s que es el tiempo de un
semi-ciclo positivo de la fuente de alimentación de 50 Hz,
para luego reducir bastante su valor al igual que las corrientes
restantes como la de los inductores L1 y L2 que rondan en
valores cercanos o menores de 1 A.
Cosa distinta ocurre con los voltajes ya que el voltaje del
condensador C1 eleva bastante su tensión sobrepasando los
340 V, mientras que los voltajes de los capacitores C2 y C3
rondan en los 170 V siendo VC2 un poco más rizado u
ondulatorio que el voltaje VC3 debidos a los efectos del
interruptor. Para efectos de exactitud de soluciones, se
discutirá en lo sucesivo del documento, pero estos son los
resultados de los cuales habría que comparar con la simulación
con las ecuaciones escritas anteriormente.
VI. SIMULACIÓN EN MATLAB
Para simular el convertidor en MATLAB se debe tener en
mente todos los pasos a realizar previamente, primera vista lo
que se debe hacer es resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales que se encontraron en el análisis de la dinámica
del circuito, e intentar mostrar los resultados en un lapso de
tiempo.
Pero este sistema a simular tiene varias particularidades, como
lo son que posee una fuente de voltaje alterno, con una
frecuencia de 50 Hz y también que el circuito tiene un diodo
en la fuente que actúa como rectificador de media onda, y que
a la vez, al estar polarizado en inversa actúa como un circuito
abierto, por ultimo lo más importante es el comportamiento
del switch ya que se debe simular la frecuencia de éste.
Todos estos aspectos mencionados, deben acompañar a la
simulación mientras se resuelve el sistema de ecuaciones
diferenciales con el algoritmo presentado, como todos estos
puntos varían en el tiempo, deben cambiar también en los
tiempos de simulación discreta.
Las funciones estarán disponibles en el apéndice.
Cabe decir también que el switch se puede modelar con un
modelo promedio, en donde esa señal binaria se reemplaza por
un valor continuo controlable entre 0 y 1, fenómeno que
correspondería en la realidad a controlar el ciclo de trabajo de
la señal moduladora, eliminando el rizado simulado.
Para abordar estas particularidades se deben crear funciones
de MATLAB que en cada iteración del algoritmo de
integración devuelvan un valor particular para el tiempo
representado en cada iteración.
Fig. 7 procedimiento para encontrar solución al sistema.
El resultado de la simulación en matlab, presenta mucha
similitud con el resultado del software PSIM, solo restaría
analizar en detalle cada valor en puntos particulares para ver
las diferencias que tienen las dos formas de simulación, pero a
primera vista los resultados no están tan alejados de la
realidad.
ESTABILIDAD DEL ALGORITMO
Un método es estable si produce soluciones acotadas cuando
la solución exacta es acotada y es inestable cuando produce
una solución no acotada cuando la solución exacta es acotada.
Hay varias definiciones de estabilidad, informalmente, se dice
que un método es inestable si los errores en las
aproximaciones crecen en forma exponencial a medida que el
cálculo avanza.
Para ver el rango de validez del método propuesto se probarán
valores del tamaño del paso de tiempo, ya que por la
definición del algoritmo este valor de paso define cuanto se
aleja de la función real ya que es una aproximación por medio
de una tangente. El hecho de que la estabilidad del método
dependa del valor de h, hace que el método sea
“condicionalmente estable”.
La simulación, al igual que en PSIM se realiza para un tiempo
de 0.02 segundos, por lo cual los pasos serán definidos tal
como lo dice el algoritmo presentado en el diagrama de flujo,

6. 6
de la forma:
[( ) ( )]
Donde el tiempo inicial será 0 segundos.
Resultados:
Para un paso de :
Fig. 8 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/1000 .
En este primer intento se observa que un paso de esta
magnitud, hace que la simulación exprese valores muy
elevados hacia el final del tiempo simulado, lo cual expresa de
forma enérgica que el paso dado no es suficiente para obtener
resultados, al menos en los rangos esperados, ya que se conoce
que las variables de estado simuladas no son tan inestables en
el tiempo.
Para un paso de 0.02/2000:
Fig. 9 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/2000 .
En este valor de paso se prueba la alta dependencia del de
paso, de los valores de las variables entregados, se aprecia que
empieza a haber una similitud con la respuesta entregada con
el software PSIM, con la sola salvedad de que la variable
X4(VC2), realiza una oscilación excesiva en comparación con
PSIM.
Para un paso de 0.02/3000:
Fig. 10 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/3000 .
Acá se observa una muy cercana aproximación a los
resultados de PSIM, con la reducción del paso se logra un
mejor resultado sin aumentar tanto el número de pasos, con
respecto al primer valor de paso, en donde los resultados no
correspondían ni en lo más mínimo al resultado real.
Para un paso de 0.02/500000:
Este número de paso aplicado solo fue hecho para comprobar
que el aumento de numero de pasos o la reducción del tamaño
del paso en demasía, no variará en mucho el resultado más
bien, solo hilará un poco más fino en los valores exactos, sin
afectar de gran manera en la estabilidad del sistema.
Fig. 11 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/500000 .
VII. COMPARACIÓN DE RESULTADOS
Para comparar los resultados se debieron importar los
resultados de PSIM hacia el ambiente de trabajo de
MATLAB, esto se hizo aprovechando la opción de guardar
como texto con extensión .txt, en forma de columnas para
cada valor en el tiempo de las variables simuladas en PSIM,

7. 7
para así poder leerlo en MATLAB. Lo que permitiría poder
comparar gráficas montando una encima de la otra y calcular
el error cuadrático medio. Cabe mencionar que PSIM también
posee un selector de tiempo de paso, por lo cual la
comparación será hecha con los algoritmos al mismo paso de
tiempo.
Fig. 12 ajuste de paso de PSIM .
Para poder leer los valores, en primer lugar el archivo de texto
debe ser transformado a un archivo de planilla de Excel para
luego leerlo en matlab como una matriz de valores con el
comando num = xlsread('archivo.xls').
A continuación se presentan ambas graficas superpuestas,
simulación en MATLAB y PSIM, se observa una gran
concordancia entre las curvas, menos en las que representan a
los condensadores C2 y C3.
Fig. 13 Respuesta de las variables comparadas PSIM-MATLAB .
Para poder calcular el error cuadrático medio, se recurrió a su
enunciado el cual nos arroja el promedio de los errores al
cuadrado del estimador, que en este caso es la simulación en
MATLAB por el método de Euler, y donde se tomarán como
valores verdaderos el resultado en PSIM, se calcula de la
siguiente forma:
∑(̂ )
Donde ̂ es un vector de n predicciones e es el vector con
los valores verdaderos.
Los resultados de error para las 6 variables dan los siguientes
resultados.
TABLA II
ERROR CUADRÁTICO MEDIO PARA CADA VARIABLE
Error X1 0.8295
Error X2 0.1881
Error X3 0.0102
Error X4 89.6916
Error X5 85.38
Error X6 0.0260
Los resultados de los errores coinciden con las diferencias que
se pueden apreciar gráficamente, se presentan valores muy
bajos para las variables excepto para X4 y X5,
correspondientes a los valores de los voltajes de C2 y C3, este
error se puede explicar ya que desde el comienzo del tiempo
de simulación las gráficas están separadas, al contrario de las
demás que se encuentran casi superpuestas.
También se debe considerar que con el interruptor produce
una especie de oscilación en la respuesta de las variables
mencionadas, por lo que se hace más difícil que entre una
simulación y otra calcen en su variación en el tiempo, A todo
esto se debe sumar que el algoritmo de Euler siempre produce
errores para curvas con muchos relieves, cosa que sucede en
este caso.
Se hizo una prueba con el método de Euler con un paso mucho
mayor que el de PSIM, con lo cual se puedo obtener una
simulación más cercana al valor de PSIM, la cual arroja la
siguiente grafica en la zona de conflicto de variables X4 y X5.
Fig. 14 Respuesta de las variables comparadas con mayor paso Euler.
Se puede apleciar que mejorando el paso, se mejora
demasiado la sumulación, quedando las graficas cuestionadas
casi montadas una ensima de la otra, lo que costo eso si,
demasiado tiempo.
VIII. CONCLUSIÓN
La implementación de un algoritmo integrador, da a conocer
todo el trabajo que hay detrás de una simulación de un
sistema, en este caso se utilizó el algoritmo más simple para

8. 8
solucionar sistemas de EDOs, el cual si bien aproxima los
resultados de una forma cercana a la realidad, deja bastante
que desear al momento de compararse con algoritmos más
sofisticados como lo son los métodos multipaso runge-kutta, o
los propios algoritmos internos de los paquetes simuladores,
ya que para acercarse a la precisión de las respuestas se
necesita una cantidad enorme de puntos a considerar en las
iteraciones, Aunque mirando el lado positivo del método es de
muy fácil implementación y una buena opción resolver
sistemas simples y con respuestas no tan bruscas, ya que como
se vio en el análisis de los errores las curvas con más
oscilaciones les son más difíciles de aproximar a un algoritmo
tipo Euler.
Por último la experiencia ganada en este trabajo fue mucha ya
que costó mucho encontrar las ecuaciones y relacionarlas para
que se formara un sistema de ecuaciones discretizable, fue de
gran satisfacción ver que la respuesta simulada manualmente
se correspondiera a la respuesta de un gran simulador como lo
es PSIM.
IX. REFERENCIAS
Carrasco, H. (2004). Control difuso de conversores Buck y
Boost. Universidad de Magallanes.
cruz, D. a. (2009). Resolvedores EDOs. Matematica superior
aplicada.
Muñoz, J. (2014). Sistemas Dinámicos. Curicó: Universidad
de Talca.