1. INTEGRALES
Anival Torre
ANIVAL TORRE
1

2. Integrales
 Integrales definidos
 Teorema fundamental del cálculo
 Descomposición de fracciones
parciales
 Integrales definidas
2
ANIVAL TORRE

3. Antiderivada
 
 
?
6
:
11
5
14
3
6
5
5
16
3
14
11
3
11 3
x
xAnt
daantiderivaOtra
xxAnt
xxAntxAnt













  1
1



n
x
xAnt
n
n
   65
6 xx 
7
2
7
5
3
1
3
2
7
8
7
6
54
2
7
3
7
7
5
3
3
xxAnt
x
x
x
x
x
xx






















1 Formato de Integrales
derivada antiderivada
a)
b)
c)
d)
3
ANIVAL TORRE

4. Integrales
c
x
x
x
x












6
8
6
2
6
6
6
6
6
6
    cxfxdf
cxdx




La contraria a la
derivada mas una
constante (c)
Integrales
4
ANIVAL TORRE

5.         
cxxx
dxsenxdx
x
dxxdxxsen
x
x
dxxgdxxfxgxf
c
n
x
dxx
n
n




















cosln
3
2
11
1
2
3
2
1
1
Ej. de integrales indefinidas
5
ANIVAL TORRE

6.  
     
   















x
xdx
x
x
c
arctgx
arctgxdarctgx
c
x
c
x
dxx
1
ln
ln
4
88
5
5
4
5
48
7
 
  cxcx
xd
x
dx
dx
xd
x
dxxsen
x
dx
x
xsen
xdxtg









 
seclncosln
cos.
cos
1
.
cos
.
cos
1
.
cos
1
.
cos
 
 














dx
dx
xd
x
dx
x
x
ln
.ln
1
ln
5
5
a)
b)
c)
6
ANIVAL TORRE

7. 





cffd
cxdx
dx
22

cede
x
iabledecambiounHaciendo
dxedx
dx
dx
e
dxe
x
dxex
Ej
xx
xx
















3
1
.
3
1
:var
.
3
1
..
3
1
.
3
.
3
3
3
3
2
33
33
a)
7
ANIVAL TORRE

8. Teorema fundamental del cálculo
   dxgffgdxgf
 
cxxx
dx
x
xxxdxxxfdxx

 
ln
1
lnlnln
 
   
cxsenxx
xdxxx
dxxxxx
dxxdxxsenx








 
cos
coscos
coscos
cos
b)
a)
Para aplicar este
formato tiene que
haber una
multiplicación o
darle la forma de
una multiplicación.
8
ANIVAL TORRE

9.  
 
 
 
  cxxe
cexexe
ceexxe
dxeexxe
dxexxe
dxexxe
dxxedxxe
x
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xx







 



22
22.
2.
.2.
.2.
.2.
.
2
2
2
2
2
2
22
c)
9
ANIVAL TORRE

10.  
  
cx
x
c
x
xx
x
x
x
xxx
dxxx
dxx
x
xx

































 
2
1
ln
2
2
ln
2
1
1
ln
ln
2
1
ln.
2
ln
2
2
2
2
22
2
2
d)
10
ANIVAL TORRE

11.  
   
cxx
x
dxdxxdxx
dxxxdxx
c
x
x
xdxdxdxx




 

 
42
3
44
442
2
5
55
2
3
2
22
2
a)
b)
11
ANIVAL TORRE

12.  
 
  c
x
cd
dxd
dx
d
dx
xd
dx
d
x
dxx











4
2
4
1
2
2
2
4
4
3
3






     
 
    c
n
x
dxx
c
x
xdxdxx
n
n











1
3
3
10
5
555
1
10
99
 
  c
x
c
d
d
xdx
d
xdxdx
dx
d
xdxxx









22
5
11
1
2
1
2
.
2
22
55
2
11
1010
2
10
2








a)
b)
  dxxd 
c)
d)
12
ANIVAL TORRE

13. Descomposición de fracciones parciales
 
 
cxx
cxx
x
dx
dx
x
dx
x
x
xx
x
x
x
dx
x
x




























5ln7
5ln7
5
7
1
5
7
1
5
2
5
7
1
5
75
5
2
5
2
13
ANIVAL TORRE

14.  
 
  cxdx
x
cx
xd
x
dx
x
cdx
x









 

5ln3
5
3
2ln
2
2
1
2
1
ln
1a)
b)
c)
14
ANIVAL TORRE

15. Integrales definidas
 
 
   
  
 
    2
1
0
21202
0
1
2
.2
.2
2
2
0
1
:
u
eex
xdeex
dxxeex
dxex
dxexdxeSol
dxe
xx
xx
xx
x
xx
x






 











La int. Definida halla el área de
una sección acotada
comprendida entre funciones.
Desaparece
la constante
“c”
15
ANIVAL TORRE

16.  
    2
2
1
0
514
0
1
3
32cos















ee
xx
xsen
e
dxxxe
x
x
a) b)
 

 




4
2
2
1
4
1
4
1
4
1
40
1
dxxdxxdxxA
dxxdxgf
xy
xxy
            
n
c
m
n
b
m
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
16
ANIVAL TORRE

17.  
20
1
10
1
5
100
1
10
1
5
5
1
5
5
2
2
2
2




































xy
xy
xxy
xxyxf
1
5/3
1
35
0325
35
2
2





x
x
x
x
xx
xxx
    
 
2
3
2
232
2
1
5/3
75/94
125
27
3
5
5
9
25
9
3
7
5/3
1
3
5
3
5/3
1
23
5
3
2
5/3
1
53
uA
x
xxA
xx
x
x
A
dxxxxA
xdxfxgA































 


-3 -3/5
-1/100
1/10 1
3
f g =techoBase=
A esto opera
lal int.
Definid.
y
x
17
ANIVAL TORRE

18. Gráfica de las funciones trigonométricas
2
2
3
 
2


1
-1
2
 
2
3 2 x
y
y
x
1
-1
2


2
3
2
2
 
2
3 2
Y = sen x
Y = cos x
18
ANIVAL TORRE

19. 2


2



2
3

2
3
2
2
2
5
2
5

2

2

2
5


2
3
2
3
2
2
y
y
x
x
2
5

F(x)= tg x
F(x)= ctg x
19
ANIVAL TORRE

20. 2


2



2
3

2
3
 2

2

2
2
2
5

2
5

2
5
2
5
2
2
2
3
2
3


y
y
x
x
1
1
-1
-1
F(x) =sec x
F(x) = csc x
20
ANIVAL TORRE

21. 2


2

1-1
Y= arcsenx Y= arccos x
Y = arctg x Y = arcctg x
1/2
-1 1

2

2


2


21
ANIVAL TORRE

22. Y= arcsec x
Y= arccsc x
x y
2


2

2


1-1-1 1
22
ANIVAL TORRE

23. Gracias
23
ANIVAL TORRE