Álgebra de Boole

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Matemática Discreta. Álgebra de Boole

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Álgebra de Boole

  1. 1. Álgebra de Boole
  2. 2. Sumário • Estrutura e Modelos • Definições e Propriedades • Isomorfismo
  3. 3. • As mesmas propriedades matemáticas podem ser observadas em contextos diferentes?
  4. 4. Lógica Proposicional Equivalência Nome da regra P ∨ Q P ∧ Q Q ∨ P Q ∧ P Comutatividade (P ∨ Q) ∨ R (P ∧ Q) ∧ R P ∨ (Q ∨ R) P ∧ (Q ∧ R) Associatividade P ∨ (Q ∧ R) P ∧ (Q ∨ R) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) Distributividade P ∨ 0 P ∧ 1 P P Elemento Neutro P ∨ P’ P ∧ P’ 1 0 Complemento
  5. 5. Teoria dos Conjuntos A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade A∪∅ = A A∩S = A Existência de elemento neutro A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do complemento
  6. 6. • Uma das especialidades do pensamento científico é a busca de padrões entre diversos fenômenos observados. ‣ Seriam, essas semelhanças, manifestações de um mesmo princípio geral subjacente? ‣ Esse princípio pode ser identificado e estudado por si mesmo?
  7. 7. Modelos e Generalizações • Uma estrutura matemática é um conjunto abstrato de objetos, junto com operações ou relações bem definidas entre eles ‣ modelo formal que descreve propriedades específicas (que podem ser comuns a diferentes sistemas); ‣ generalização que captura um conjunto de caraterísticas essenciais;
  8. 8. • A Álgebra de Boole é uma estrutura matemática. ‣ A Lógica Proposicional é uma álgebra de boole ‣ A Teoria dos Conjuntos é uma álgebra de boole ‣ A Álgebra de Boole caracteriza formalmente as propriedades comuns entre Lógica proposicional e a Teoria dos Conjuntos. ‣ A aritmética de inteiros não é uma álgebra de boole
  9. 9. Definição Uma álgebra de Boole é um conjunto B no qual estão definidas duas operações binárias, + e ⋅, e uma operação unária, ′, e que contém dois elementos distintos, 0 e 1, tais que as seguintes propriedades são válidas, quaisquer que sejam x, y, z ∈ B: x+y = y+x x⋅y = y⋅x Comutatividade (x+y)+z= x+(y+z) (x⋅y)⋅z= x⋅(y⋅z) Associatividade x+(y⋅z)=(x+y)⋅(x+z) x⋅(y+z)=(x⋅y)+(x⋅z) Distributividade x+0 = x x⋅1 = x Elemento neutro x+x′ = 1 x⋅x′ = 0 Complemento
  10. 10. Notação • Podemos denotar uma álgebra de boole por [ B, +, ⋅, ′, 0, 1 ] • Qualquer modelo matemático que seja uma álgebra de boole possui ‣ as operações +, ⋅ e ′ ‣ os elementos 0 e 1 ‣ as propriedades especificadas.
  11. 11. Complemento • Se x é um elemento de uma álgebra de boole, o elemento x′ é denominado o complemento de x. • O complemento é único.
  12. 12. Propriedades • A formalização permite identificar as propriedades comuns a todos os modelos • Se demonstrarmos uma nova propriedade, esta nova propriedade será válida para qualquer álgebra de boole ‣ ela também poderá ser usada para demonstrar outras propriedades.
  13. 13. Idempotência A propriedade de idempotência da soma x + x = x é valida em qualquer álgebra de boole.
  14. 14. Exemplo • Usando as propriedades de uma álgebra de boole, demonstre que a idempotência da soma é válida.
  15. 15. Exemplo • Usando as propriedades de uma álgebra de boole, demonstre que a idempotência da soma é válida. x+x = (x+x)⋅1 = (x+x)⋅(x+x′) = x + (x⋅x′) = x+0 = x
  16. 16. Propriedade Dual • Cada propriedade em uma álgebra de Boole tem a sua propriedade dual • A propriedade dual é obtida permutando-se + com ⋅ e 1 com 0. • Exemplos Propriedade Propriedade Dual x + x = x x⋅x = x x+0 = x x⋅1 = x
  17. 17. Exemplo • Como fica a idempotência da soma no contexto de lógica proposicional? • E no contexto de teoria dos conjuntos?
  18. 18. Exemplo • Como fica a idempotência da soma no contexto de lógica proposicional? • E no contexto de teoria dos conjuntos? P ∨ P = P
  19. 19. Exemplo • Como fica a idempotência da soma no contexto de lógica proposicional? • E no contexto de teoria dos conjuntos? P ∨ P = P A ∪ A = A
  20. 20. Exemplo • Prove que propriedade x+1 = 1 é válida em qualquer álgebra de boole. • Qual é a propriedade dual?
  21. 21. Exemplo • Prove que propriedade x+1 = 1 é válida em qualquer álgebra de boole. • Qual é a propriedade dual? x+1 = x + (x+x′) = (x+x)+x′ = x+x′ = 1
  22. 22. Exemplo • Prove que propriedade x+1 = 1 é válida em qualquer álgebra de boole. • Qual é a propriedade dual? x+1 = x + (x+x′) = (x+x)+x′ = x+x′ = 1 x⋅0 = 0
  23. 23. Exercício • Prove que o complemento é único.
  24. 24. Dicas para Demonstrações • Comece pela expressão mais complexa e tente mostrar que ela se reduz à expressão mais simples. • Considere somar 0 (x⋅x′) ou multiplicar por 1 (x+x′). • Lembre-se da idempotência (x⋅x = x e x+x=x) e da distributividade.
  25. 25. Isomorfismo • Duas instâncias de uma estrutura são isomorfas se existe uma bijeção que relaciona os elementos de uma instância aos elementos da outra, de modo que as propriedades são preservadas. ‣ Cada instância é uma imagem espelhada da outra. ‣ As duas instâncias são, essencialmente, iguais.
  26. 26. Isomorfismo • Um isomorfismo é uma bijeção que preserva as propriedades relevantes. • Exemplo: Sejam (S1,ρ) e (S2,σ) dois conjuntos parcialmente ordenados. ‣ S1 = {1,2,3,5,6,10,15,30}; x ρ y x divide y ‣ S2 = ℘({1,2,3}); A σ B A ⊆ B ‣ S1 e S2 são isomorfos
  27. 27. • A função bijetora f é um isomorfismo do conjunto parcialmente ordenado (S1,ρ) no conjunto parcialmente ordenado (S2, σ) ‣ as propriedades são preservadas! f: {1,2,3,5,6,10,15,30} → ℘({1,2,3}) f(1) = ∅ f(2) = {1} f(3) = {2} f(5) = {3} f(6) = {1,2} f(10) = {1,3} f(15) = {2,3} f(30) = {1,2,3} A função f-1 é um isomorfismo de (S2, σ) em (S1, ρ).
  28. 28. É fácil encontrar um isomorfismo entre duas instâncias? Considere o caso de uma estrutura matemática mais complexa, como uma álgebra de Boole. O isomorfismo precisa preservar também o comportamento das operações!
  29. 29. efetuar a operação e aplicar a bijeção aplicar a bijeção e efetuar a operação = a, b c operação r, s bijeção bijeção t operação f(a) = r f(b) = s f(c) = t
  30. 30. Isomorfismo de Álgebras de Boole • Sejam A1 e A2 álgebras de Boole. ‣ A1 = [B, +, ×, ′, 0, 1] e A2 = [C, ⊕, ⊗, ″, ∅, ⊥] • Uma função f: B→C é um isomorfismo de A1 em A2 se: 1. f é uma bijeção 2. f( x + y) = f(x) ⊕ f(y) 3. f( x × y) = f(x) ⊗ f(y) 4. f(x′) = (f(x))″
  31. 31. Exemplo • Sejam A1 e A2 álgebras de Boole. ‣ A1 = [ {0, 1, a, a′}, +, ⋅, ′, 0, 1] ‣ A2 = [ ℘(S), ∪, ∩, ′, ∅, S], S = {1,2} ′⋅
  32. 32. Exemplo • Então a função f, como definida a seguir, é um isomorfismo de A1 em A2 f(0) = ∅ f(1) = S f(a) = {1} f(a′) = {2}
  33. 33. • Não é fácil determinar se duas instâncias de uma estrutura matemática são isomorfas. • Porém, sabemos que ‣ Se B é uma álgebra de Boole com n elementos e n = 2m para algum m, então B é isomorfa a [℘(S), ∪, ∩, ′, ∅, S], S = {1, 2, ... , m}.

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