1. アルゴリズムイントロダクション 第 24 章 単一始点最短路問題 2009.6.21 Naoya Ito

3. 単一始点最短路問題とは

8. 単一始点最短路問題の考え方

22. 5. 緩和 ( R ELAX ) #2 5 9 2 u v R ELAX (u, v, w) 5 7 2 u v 5 6 2 u v R ELAX (u, v, w) 5 6 2 u v 一つ前の頂点 ( 先行点 ) から緩和するところがポイント 緩和の結果何も更新されないこともある

28. 三角不等式 任意の辺 (u, v) ∈ E に対して δ(s, v) ≦ δ(s, u) + w(s, v) が成立する 5 7 2 u v 0 s 5 δ(s, u) δ(s, v) w(s, v)

30. 上界性 すべての v ∈ V に対して、 d[v] ≧ δ(s, v) が成立する。ひとたび d[v] が値 δ(s, v) を取ると、その後は決して変化しない 5 6 2 u v R ELAX (u, v, w) 5 6 2 u v d[v] = δ(s, u)

32. 無経路性 頂点 s から v に至る経路がない場合、 d[v] = δ(s, v) = ∞ が成立する 5 ∞ u v 0 s 5 d[v] = δ(s, v) 初期化ですべての d[v] は ∞になっていて、 d[v] が更新されるのは緩和操作時だけ。緩和操作は先行点から行われるが、孤立した頂点は先行点がないので∞から更新されることがない

34. 収束性 ある u, v ∈ V に対して、 s ～ > u -> v を G の最短路と仮定する。辺 (u, v) に対して緩和を実行する前に d[u] = δ(s, u) が成立した時点があったとすると緩和実行後は常に d[v] = δ(s, v) が成立する 5 9 2 u v R ELAX (u, v, w) 5 7 2 u v δ(s, u) δ(s, v)

36. 経路緩和性 p = <v 0 , v 1 , ･･･ , v k > が s = v 0 から v k に至る最短路で、 p の辺が (v 0 , v 1 ), (v 1 , v 2 ), ..., (v k-1 , v k ) の順序で緩和されたとき、 d[v k ] = δ(s, v k ) が成立する。 この性質は他の任意の緩和操作とは無関係に成立する。たとえこれらの緩和操作の実行が p の緩和操作の実行とシャッフルされた順序で実行されたとしてもこの性質は成立する。

38. 先行点部分グラフの性質 すべての v ∈ V に対して d[v] = δ(s, v) が成立するとき、先行点部分グラフは s を根とする最短路木である この性質から、すべての頂点を緩和で δ(s, v) にすることができれば目的を達成したことになる、と言える 先の経路緩和性から、定められた順序で緩和していけば d[v k ] = δ(s, v k ) が得られることは分かっている。よって 順番に緩和 -> 全部の頂点が δ -> 最短路ゲット というのがアルゴリズムの基本方針となる

40. ベルマン･フォードの アルゴリズム

43. ベルマン・フォードのアルゴリズムの動き 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 6 7 8 5 -4 9 7 2 -3 -2 s 0 6 ∞ 7 ∞ 6 7 8 5 -4 9 7 2 -3 -2 s |V| - 1 回ループし、ループ毎に各辺を緩和する 左はループ開始直前 ループ 1 回目。始点 s 以外の頂点は d[v] = ∞ なので、始点 s の出辺だけ d が更新される ( 緑の辺は先行点の値 )

44. ベルマン・フォードのアルゴリズムの動き 0 6 4 7 2 6 7 8 5 -4 9 7 2 -3 -2 s 0 2 4 7 2 6 7 8 5 -4 9 7 2 -3 -2 s ループ 2 回目。 1 回目のループで d が減少した頂点からの出辺の緩和により 2 頂点が更新 ループ 3 回目。 2 回目のループで d が減少した頂点からの出辺の緩和により更新

45. ベルマン・フォードのアルゴリズムの動き 0 2 4 7 -2 6 7 8 5 -4 6 7 2 -3 -2 s ループ 4 回目 ( 最後 ) 。 3 回目のループで d[v] が減少した頂点からの出辺の緩和により更新 ループを抜けた時点での d と π の値が最終的な値

49. トポロジカル･ソート順 による緩和

52. アルゴリズムの動き 閉路のない有向グラフをトポロジカル・ソートする 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2 左の頂点から順番に選択、選択された頂点の出辺を緩和する

53. アルゴリズムの動き 0 ∞ 2 6 ∞ ∞ s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2 0 ∞ 2 6 6 4 s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2

54. アルゴリズムの動き 0 ∞ 2 6 5 4 s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2 0 ∞ 2 6 5 3 s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2

55. アルゴリズムの動き 0 ∞ 2 6 5 3 s 5 2 7 -1 -2 6 1 3 4 2

59. ダイクストラの アルゴリズム

62. ダイクストラのアルゴリズムの動き 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 10 5 2 3 1 9 2 4 6 s 7 0 10 ∞ 5 ∞ 10 5 2 3 1 9 2 4 6 s 7 Q = V - S にある 選択された u ( 最小の最短路推定値 ) S にある 最初に選択された始点 s からの出辺が緩和される 始点 s は S に加えられる。次に選択されるのは、 S にまだ入ってないもので最小の最短路推定値 (5) を持つ頂点

63. ダイクストラのアルゴリズムの動き 0 8 14 5 7 10 5 2 3 1 9 2 4 6 s 7 同様に u からの出辺が緩和される そして Q から次の u を選ぶ 0 8 13 5 7 10 5 2 3 1 9 4 6 s 7 同様に繰り返す

64. ダイクストラのアルゴリズムの動き 0 8 9 5 7 10 5 2 3 1 9 4 6 s 7 0 8 9 5 7 10 5 2 3 1 9 4 6 s 7 緩和 ! 緩和 !! おつかれさまでした 最短路重み d, 最短路木 π がそれぞれ得られました

68. 線形計画問題への応用

70. 続き ( 例題の解き方 ) A, B を 1 時間あたりそれぞれ x 個、 y 個作るとすると 2x + 8y ≦ 60 4x + 4y ≦ 40 x ≧ 0, y ≧ 0 という制約の下で 目的関数 f = 29x + 45y を最大化するような解 (x i , y i ) を求めれば良い

71. 幾何学的には･･･ O x y ax + by = c a'x + b'y = c' 可能領域 各制約を満たす領域 ･･･ 可能領域にある解のうち目的関数を最大化するものを選ぶ ( 最適解は必ず可能領域の頂点になるという性質を利用する -> シンプレックス法 )