1.
Funciones vectoriales de una variable
real
Profesora: Alumnos:
Ciudad Guayana, Julio 2014

2.
Definición de función vectorial de una variable real,
dominio y grafica
Unafunción vectoriales unafunción quetransformaun número realen un
vector:
Dondex (t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentesde
variable real del parámetro t.
Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y
z(t).
La función vectorial también se puedeencontrar representadacomo 𝑓 (𝑡).
Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
Dominio
El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los
dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:
Representación Gráfica
La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que
describen los puntosfinalesdelos vectoresque forman partedelafunción
para toda t que pertenece al dominio de la función.

3.
Un punto dela curvaC tiene la representación cartesiana (x,y,z)donde:
𝑥=𝑓1 𝑡 𝑦=𝑓2(𝑡) 𝑧=𝑓3(𝑡)
Las cuales se llaman ecuaciones parametricas de C. Al asignar números
reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de
C.
Límites y Continuidad
Limite
Dadaunafunción vectorial 𝐹 (𝑡) =(𝑥 (𝑡) ,𝑦 (𝑡) ,𝑧(𝑡)
Esto significa quecuandot tiendealvalor dea, el vector 𝐹 (𝑡)se acerca más
y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el
límite de cada una de las funciones componentes.

4.
Continuidad
Sea :𝐴→ℝ𝑛 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐴⊆ℝ.
𝐹 𝑡 es continua en a sí y sólo si:
- Existe el vector 𝐹 (𝑎)
- Existe el lim𝑡→𝑎𝐹 (𝑡)
- lim𝑡→𝑎𝐹 (𝑡)= 𝐹 (𝑎)
Teorema:Una función con valoresvectoriales r(t)es continuaen t = a si y
sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.
Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
Sea la función vectorial 𝐹 (𝑡) entoncesdiremosque 𝐹 ′ (𝑡) es la derivada
de dicha función y se definemediante:
Para valorescualesquiera det paralos que existe el límite. Cuando el
límite existe para t=a se dice que 𝐹 (𝑡) es derivable en t = a.
Teorema: Sea 𝐹 𝑡 unafunción vectorialy supongamosquesusfunciones
componentes f ,g y h son todas derivablesparaalgún valor de t, entonces 𝐹
𝑡 es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

5.
Propiedades
Supongamosque r(t)y s(t)son funcionesvectoriales derivables,que f(t)es
una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera,
entonces:
Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es
derivable indefinidamentey su primeraderivadano es nula, decimos que
se trata de una curva regular.
Al vector 𝐹 (𝑡) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores 𝐹
′(𝑡)y 𝐹 ′′(𝑡)se les llama, respectivamente,vectoresvelocidad yaceleración.
De modo que la rapidez en un instante t es 𝐹 ′(𝑡) , es importanteobservar
que la rapidez esun escalar, mientrasque la velocidad un vector. Al vector
𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector tangente a la curva 𝐹 (𝑡) en t, y el vector
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
Integración de funciones vectoriales
La función vectorial 𝐹 (𝑡) es unaantiderivadade la función vectorial 𝑓 (𝑡),
siempre y cuando

6.
Integral Indefinida
Si 𝐹 (𝑡) es cualquier antiderivadade 𝑓 (𝑡), la integral indefinidade esta se
define como
Donde c es un vector constante arbitrario.
Vectores Posición, velocidad y aceleración

7.
Curvas Parametricas
x = 2t − 2 sen t
y = 2− 2cost
cicloide
t ∈[−4π,4π]
x = sen3
t
astroide
y = cos3
t
t ∈[0,2π]
x = 5 cos t −cos5t
y = 5 sen t −sen 5t
epicicloide
t ∈[0,2π]

8.
x = cos t + t sen t
y = sen t − tcos
involuta de un círculo
t ∈[0,6π]
x = 2t – πsent
cicloide prolata
y=2-π cos t
t ∈[−π ,π]

9.
Longitud de arco
Teorema: Si C es la gráfica de un función Fen un intervalo [a,b] y si F’ es
continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y
Ejemplo:
Encuentrela longitud de la parte de la parábola con ecuación 𝑦=4−𝑥2que
está en la parte superior del eje x.
Solución: La curva que se desea determinar es la gráfica de
Como 𝐹 𝑥 =4−𝑥2, 𝐹′ 𝑥 =−2𝑥, vemosque F’ es continua en [-2,2]; por tanto
se puede aplicar el teorema anterior y tenemos:
Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:
La fórmula anterior sugiere que si la curva C tiene la representación
paramétrica
𝑥= , 𝑦=𝐻 𝑡 , 𝑡∈[𝑡1,𝑡2]

10.
Donde 𝑎=𝐺 𝑡1, 𝑏=𝐺 𝑡2, 𝑐=𝐻 𝑡1, 𝑑=𝐻 𝑡2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, c𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥=𝐺′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑦 𝑑𝑦=𝐻′
𝑡 𝑑𝑡, 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐿 𝑑𝑒 𝐶 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑟:
La fórmula anterior se puedeaplicar para cuando la ecuación de la curva
está dadaporunafunciónvectorial, porlo que, la longituddearco decurva
entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula:
Velocidad y Aceleración
Si x, y, z son funcionesdet derivables dos veces y los vectores velocidad y
aceleración son:
el vector aceleración viene dado por:
Teorema:Si C es unacurva suavedadapor
en el intervalo [a,b] la longitud de arco deC en ese intervalo es

11.
Vector tangente y normal
Vector Tangente
Al vector 𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector tangente a la curva
𝐹 (𝑡) en t, 𝐹 ′ 𝑡 =(𝑓′ (𝑡) ,𝑔′(𝑡) , h′(𝑡)) y el vector
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
Vector Normal
Estos dos vectores son unitarios y perpendiculares entre sí.
Curvatura
Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la
longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del
intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva
está parametrizadapor la longitud dearco, que llamamoss. En este caso el
vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la
variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.
La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su
longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular.

12.
Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede
calcular como
Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de
define a la torsión T como:

13.
Ejercicios
Límite:
Determine, si existe, el límite dela siguiente función vectorial(x, y) tiende
a (0, 0)
Resolución:
Calculando el límite de cada unadelas funcionesvectoriales se obtiene:
parala primeracomponente:
Haciendo un cambio de variable

14.
Continuidad:
Analizar la continuidad dela siguiente función vectorial
Resolución:

15.
Derivada:
Vector posición,velocidady aceleración:

16.
Curvatura,componente tangencial y normal:

17.
Sustituyendo