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双曲幾何学
1.
幾何学 双曲幾何学
2.
ユークリッド幾何から現代幾何へ 目次 第1章 Euclidの幾何 1 Euclidの公理 2
平行線の公準なしで何が言えるか 3 Euclidの48の命題 第2章 非Euclidの幾何 1 平行線の公準を証明する試み 2 双曲幾何の発見 3 複比、一次変換、反転 4 Poincareのモデル 5 双曲幾何の三角法 6 PoincareのモデルとKleinのモデル 第3章 Riemann幾何としての双曲幾何 1 球面の第一基本形式 2 Poincare計量と測地線 3 KleinのモデルのRiemann計量 4 擬球 5 曲率とその積分 第4章 Hilbertの幾何 1 Hirbertの距離 2 Hirbert距離の一般化 3 射影危機からの準備 4 Hilbertの第四問題 双曲幾何学入門 目次 序章 非ユークリッド幾何学の誕生 第1章 球面幾何 第2章 双曲幾何の基礎 第3章 双曲幾何の直線形 第4章 双曲幾何の多角形と円 第5章 双曲幾何における弧長と曲面積 第6章 双曲幾何の古典的モデル 第7章 双曲幾何における等長変換 第8章 楕円幾何 ユークリッド幾何から現代幾何へ を元に 双曲幾何学入門 を勉強することにする
3.
ユークリッド幾何から現代幾何学へ で何を学んだか • 第1章はまあいいだろう(第2章の下準備であった •
第2章ではまず上半平面上で複比によって距離を定義した。得に三角不等式を示すのが大変であった。方法として教科書に のっとる方法と、点の並びによって実は示せることを僕が見つけた。(カメラかスマホの画像に取ってあるはず) • また2次変換を定義して反転写像、写像の一意性、等長写像(よって恐らく等角写像)性を示したのであった。また三角形が小 さくなるにつれて普通の三角形に近づいていく(目視して図る長さと同じになるという意味)のであった。 等長写像で円は円に 移るが等角でも言えるんじゃないかなって議論を個人的にした。 • また3角形の内角の和が面積に比例するのも驚きだった。 • また今度は上半平面から円板への写像を定義し、円盤状で別に定義した距離が実際に上半平面から引き起こされるものであ ることを示した。(ポアンカレモデル) • 今度はクラインモデルを定義し(直線は普通の直線として定義)、ポアンカレモデルからの写像によりクラインモデルにたいし ユークリッドの公理が満たすかなどを議論した。 • ポアンカレモデルは角度は角度だが長さは違う。クラインモデルは長さは長さだが角度が違う。 • 第3章は最初に即池線をテンソルの計算をしながら学び、ポアンカレモデル、クラインモデルの計量を定義し、実際に第2章で 成り立っていたことを確かめながら進んだ。ここでもやはりポアンカレモデルにおいて第2章の話を計量をつなげて、ポアンカ レモデルからの写像によりクラインモデルの性質を調べるというものだった。また等角写像がどういうものか接平面と計量を 使って説明した。(おそらくこれは幾何学的関数論に通じるものであろう) • ゼミはp115で終わってしまったのだが、その後ガウス曲率K=-1の擬球を定義しポアンカレモデルから擬球への等長写像 (全単射ではない、おそらく普遍被覆と言われるものだろう)を作り目で見れる形にした。ガウスボンネの定理は飛ばした。 • 第4章に関しては解説に入った。何をしたかというと一般のR^2上の凸領域に対して複比を使って距離を定義しようとするのだ が、それが距離になるとは限らず擬距離と言われるものを作った。境界の形状(線分を含むか否かや有界かどうか)により線 分が“唯一”かを調べ、その後“符号”に注意しながらSchwarzの補題(p151)を学習。その後連結なR^n上の領域に対する “擬距離の集合”の性質を調べた。 • Hilbertの第4問題は「凸領域D⊆R^n内の距離関数でその即池線が通常の直線となるようなものを全て決定しその幾何を決 定せよ」というものである。Hilbert距離以外にMinkowski距離を定義し実はそのような距離の定義はいくらでも存在するを示し た。 • M⊆R^n⊆P^nとしたときを、双対空間M*を定義し、(Mの凸平方)*=M*,Mが凸ならばP^n-M*が凸になることを示した。そまた M上の測度を元にM*に測度を定義した。(余談だがおそらく双対空間を考える上で球面幾何学が必要になると思われる) • フィンスラー計量を定義しp108で議論した測池線方程式を議論した。フィンスラー計量と呼ばれるものの測地線は直線であ ることも示した。M上に測度が定義されるとフィンスラー関数が定義でき、逆に(というわけではないが)Pogorelovは任意の次 元の凸領域DにHilbertの第4問題を満たすものはD*の適当な測度から得られることを示したらしい。
4.
双曲平面 p42 双曲平面Qの直線は双曲平面と原点を通る平面の交わり部分と定義されている。 Q上の直線の長さをこの直線の長さとする。 P41補題4よりQ上に対し<A,B><-1がわかっており上のQ上の直線をABとす ると p45p217 CoshAB=ー<A,B>となりこれを使って O(2,1)を定義し、これがQ上の等長写像となる 任意の2つの半直線を写しあう等長写像が存在する(よってQは対称だと思える) P24
球面におて直線(よって円)の球面の内部にある中心pを極ベクトルという P43 同様にQ上の平面を定義する式<p、x>=0のpを極ベクトルという またクライン円板上ではQ上の極ベクトルと同じものを極ベクトルとする P71 直線から他の直線へ移ったときの極ベクトルの行先を表す式がある 第3章 クライン円板上での角度は通常の角度ではなく双曲平面上での角度を角度 と定義している 2次形式1,2と読み合わせると面白いと思っているが未開発である
5.
双曲幾何学入門 のまとめ p3 R^3上のA,B,Cに対し 𝐶𝑜𝑠
<ABC = B・C ー A・B A・C 1- A・B 2 1- A・C 2 p50 2双曲平面(ポアンカレ円板)上のA、B、Cに対し 𝐶𝑜𝑠(<ABC)= B・C +(A・B)(A・C) A・B 2-1 (A・C) 2 -1
6.
合同条件 2つの三角形が合同であるとは3辺が等しく対応する3角が等しいときである P216射影平面上では合同である必要十分条件は等長写像で移せることでありおそらく下の例でも同様だっ たと思うが逆にこの必要十分が成り立たない幾何学は無数にある(対象でなければそうであろう) (下のモデルから別の多様体上に等長写像が存在すればその上でも局所的には同じ議論が成り立つと思う)/ 次の時三角形は合同である 平面(R^n)上 • 3辺が等しい • 2辺とその間の角が等しい •
1辺と両端の角が等しい P20 球面上 • 3辺が等しい • 2辺とその間の角が等しい • 1辺と両端の角が等しい • 3角が等しい(ただし内角の和が一定でないことに注意しなければならない P54 双曲平面(ポアンカレ円板)上 • 3辺が等しい • 2辺とその間の角が等しい • 1辺と両端の角が等しい • 3角が等しい • 2角と対辺が等しい(ユークリッド幾何から現代幾何へp83で示した通り3つの角は面積に比例するので最 後の条件が出てくると思えばいい) P209 射影平面上 • 同じ型で3辺が等しい • 2辺とその間の角が等しい • 3角が等しい • 対応する2角と1辺が等しい
7.
エネラウスの定理(チェバの定理も同様 P21、シグマベストⅠ+A p211 平面上の図で BD DC CE EA AF FB =-1 P22 球面上の図で SinBD SinDC SinCE SinEA SinAF SinFB =-1 ここで注意していただきたいのは球面は対称なので線分の長さ が決まれば(よって面積が決まれば)角度が決まりSinの値も 決まる P80
双曲平面(クライン円板)上で SinhBD SinhDC SinhCE SinhEA SinhAF SinhFB =-1 ここで注意していただきたいのはユークリッド幾何から現代幾何 学へp78で学んだように線分の長さが決まれば(よって面積が 決まれば)角度が決まりCoshの値も決まる
8.
内心、傍心、重心、外心、垂心 平面上で内心とは2角(よって3角)の2等分線が交わる点の事である 平面上で傍心とは1角の2等分線と2つの外角の2等分線が交わる点の事である 平面上で重心とは2辺(よって3辺)の中心から対点を結んだ時交わる点の事である 平面上で外心とは2辺(よって3辺)の垂直2等分線が交わる点の事である 平面上で垂心とは2頂点(よって3頂点)からそれに対応する対辺へ垂線を下した時交わる点 の事である 平面上にはデザルグの定理、アインシュタインの定理がある p24p25p26p26p28p29 球面上では垂心の場合2点が共役点上にないという制限が着く が全て成り立つ p30 球面上にはデザルグの定理がある p81p82
双曲平面(クライン円板)上では内心(内部にある)と垂心(内部にある)の場合は常 に成り立つ。(交わるか平行か超平行(ポアンカレ円板上で2直線がポアンカレ円板の外で交 わる場合)ための必要十分条件p80をよく使う) P85p86 傍心については1角の2等分線と2つの外角の2等分線は1点で交わるか平行か 超平行である(3辺のうち2辺が交われば1点で交わる)、また上の状況で1点で交わるための 必要十分条件と超平行であるための必要十分条件がある p89p90p92p93 外心、垂心についても傍心と同様である 双曲平面(クライン円板)上にはデザルグの定理があるあ(これは平面上のデザルグの定理か らわかる ここのページは未完成である。幾何学辞典を使ってもっとまとめていきたいと思っている。 またそれぞれの半径に対して公式があり3角形の面積公式があるはずである。
9.
三角形の面積 平面上の三角形ABCの面積 △ABC の外接円、内接円の半径、周の長さの半 分をそれぞれ R
、r 、sとすると、 S= s(s-AB)(s-BC)(s-CA) =abc/4R=rs http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm p15p17 球面上の三角形ABCの面積 S=A+B+C-π=Sin^-1(~) P127 双曲平面(ポアンカレ円板)上の三角形A BCの面積
10.
等長写像 P35p59 松島 多様体論入門にはR^nとP^nについて の等長写像についての議論がある 等長写像なら等角であるし直線は直線に移す のではないか? 関数論でこの題材は例えばユークリッド幾何か ら現代幾何へのSchwartzの補題にもあるように 重要になっていくので今後開発予定
11.
第4章 凸角形に関する定理があった。 P106 双曲平面上に同一直線上にない3点に対して、3点 を通る円か等距離線かホロサイクルが唯一存在する。直線 が円(等距離線、ホロサイクル)と交わる点は高々2つ。 Aを通る直線はAを中心とする円と直行(2つのベクトルが擬 内関で0になる)している。lに直行するmはlの等距離線と1 点で垂直に交わる。V∞を無限遠点にもつ直線mはホロサイ クルΓ(V,k)と1点で垂直に交わる。 P109 2つのAを中心にする円に対して線分BB’はr-r’か r+r’に等しい V∞を無限遠点にもつ直線mの2つのホロサイクルΓ(V,k)、 Γ(V,k’)とmの交点線分BB’は一定で|K-k’|に等しい ホロサイクルはトポロジーやタイヒミュラー空間論で重要に なってくる概念であると思う
これからも追記していく
12.
第5章 P113 円C(A,r)の円周の長さは2πSinhrである p113 定理6で面白いのは角度と長さの役割が逆 転してるところである R^2⊃U→Qが与えられると授業ではgij=<,>(普通 の内積)を定義したがここでは<,>を擬内関 x1y1+x2y2-x3y3で定義する。(前にも言ったようにQ 上ではこれは正であった)これにより定まる計量を双 曲計量という 双曲曲面上の等長写像は面積を不変に保つ(一般 に成り立たないのかちょっとわからない p124
円C(A,r)の面積は4πSinh^2(r/2)である
13.
第6章 p158 内心、傍心、重心、外心、垂心で議論し たが上半平面モデルで平行、超平行であるための 必要十分条件が書かれてある P160 Q→D(クラインモデル)→H(上半平面) でQ上の円がH上の円(よってユークリッドの意味 でも円)に移り、等距離曲線とホロサイクルについ ては図のように映る、D上でも同様である、ホロサ イクル(極限円)の名前の由来が書いてある 開発予定
14.
第7章 Q上の等長変換A∊O(2,1)に判別式をD(A)=trA+1 Aの固有ベクトルをxで定義すると D(A)<4(⇔<x、x><0)を楕円的 D(A)>4(⇔<x、x>>0)を双曲的 D(A)=4(⇔<x、x>=0)(Aはidじゃない)を放物的 といいそれぞれ形が決まっている Aが楕円的であるとき、A(c)=cとなる点c∊Qがただ1つ存在し、cを中心とする各円はAにより それ自身に写り、cを視点とする半直線kはAによりcを視点とする他の半直線に写りkとA(k)の なす角(=α)は一定である Cosα=D(A)/2-1、Sinα= 4-D(A)/2 任意の点p∊Qに対しSinh(d(p,A(p)/2)=Sin(α/2)Sinhd(C,x) Aが双曲的であるとき、A(l)=lとなる直線がただ1つ存在し、そのlからの各等距離曲線はAに よりそれ自身に写り、lに直行する各直線mはAによりlに直行する他の直線A(l)に写りd(m、A (m))=Tは一定である Cosα=D(A)/2-1、Sinα= D(A)-4/2 任意の点p∊Qに対しSinh(d(p,A(p)/2)=Sin(T/2)Sinhd(l,x) Aが放物的であるとき、Av=vで第1成分が1であるベクトルがただ1つ存在し、vはクラインモデ ル円版D上の境界∂D上を向いていて、V∞を中心とする角ホロサイクルΓ(V,k)はAによりそれ 自身に写り、V∞を無限遠点にもつ各直線mはAによりV∞を無限遠点にもつ直線に写りmとA (m)は平行であり任意の点p∊Qに対しd(p、A(p))=一定である p179
また鏡映変換による議論もされている(楕円、双曲、放物はそれぞれ交わる、 またクラインモデル、ポアンカレモデルでも同様の事が成り立つが、楕円、双曲、放物がそれ ぞれに対応するとは限らない(p192 楕円、双曲、放物
15.
第8章 射影平面はメビウスの帯と円板の境界を張り合 わせることにより得られる d(A,B)=min{ds^2(A,B),ds^2(A*,B)} P45p217 dQ(A.B)=dP^2(A,B)より射影平 面からQ上への等長写像が存在する(これが ユークリッド幾何から現代幾何へp120 Hから 擬球上への等長写像のように被覆写像になる かはなぞである?
16.
発展 [谷口]双曲幾何学への招待 ↓ [落合]幾何学的関数論 [谷口]タイヒミュラー空間論 の部分に入る 以下通称を(招待、幾関、タイヒ)とする 箇条書きになると思うができるだけ学んだ順、 学ぶべき順で書いていこうと思う
17.
円板の幾何幾関第1章 ユークリッド幾何から現代幾何へ の3章4章の続きとみていただければいい 幾関p1
定義 U⊆Cに対しh=2a(z)dzdz^-がHermite擬距離(detgij>0が仮定されてない)とは 1 a(z)が実数値連続関数、a(z)≧0 2 Zero(h)={z∊U;a(z)=0}はU上疎な集合(宮島関数解析参照) 3 a(z)はU-Zero(h)上でC^∞(おそらくxとyそれぞれで偏微分可能という意味であり正則とは別物) もしa(z)がa(z)≧0でU上でC^∞の時Hermite計量と定義する 幾関p2 曲面と曲線 ユークリッド幾何から現代幾何へp130 この時、ガウス曲率 Kh(z)=-1/a(z)・∂^2loga(z)/∂z∂z^- ユークリッド幾何から現代幾何へ で出てきたものはこれをみたす 3が成り立たなかったら何が起こるかわか? 正則写像 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%86%99%E5%83%8F φ:C→Cが正則写像とはφを“z”で微分したものが連続(よってφ’も正則写像になったはず)であることである。正則ならばz=x+iyとしたとき∂φ/∂xも連続となる。)4 幾関P2 一次分数変換も双正則写像である 幾関P3 B(r)上のHermite計量が回転対称(a(z)=a(|z|))、0≧Kgとする 1 a(t)は[0.r]上増加関数 2 gがリーマン計量として完備であるならばlim 𝑡→r 𝑎(𝑡) = ∞ 幾関p4 h=2a(z)dzdz^-が回転対称な完備Hermite計量、g=2b(z)dzdz^-をB(r)上のHermite計量として、 k:[0,∞)→[0、∞]を減少関数とし、s>1に対しsk(st)>tとし、全てのz∊B(r)に対し、Kh(z)≧-k({dh(0,z)}^2(中心からの距離の2乗である)、-k(dg(0、z)}^2)≧Kg(z) とする 1 h≧gが成り立つ (キーポイント偏微分方程式 ここで少しラプラス方程式を思いだすと方程式を満たすものは極を持っていなかった。これと正則性とはどう絡み合う だろうか?) P5 またgrをPoincare計量とする 2 h=2a(z)dzdz^-が回転対称な完備Hermite計量、g=2b(z)dzdz^-をB(r)上のHermite計量として、 k:[0,∞)→[0、∞]を減少関数とし、s>1に対しsk(st)>tとし、全てのz∊B(r)に対し、Kh(z)≧-k({dh(0,z)}^2(中心からの距離の2乗である)、-k(dg(0、z)}^2)≧Kg(z) とする k(0)h≧gr=1のポアンカレ計量 3 g=2b(z)dzdz^-をB(r=1)上のHermite擬距離で-1≧Kgとすると gr=1のポアンカレ計量≧g 4 T:B(1)→B(1)を正則写像(よって1次分数変換)とする。gr=1のポアンカレ計量≧T*(gr=1のポアンカレ計量) これをユークリッドから現代幾何へ 第3章第4章を使って解説する 1 ,2,3 ポアンカレ計量の曲率は-1である。 ユークリッド幾何から現代幾何へp157 でρ任意の擬距離δに対してρ≧δ≧cと言っているだがこことどうつながるかなぞ である?。 4 ユークリッドから現代幾何へp151 で学んだR+上でのSchwarzの補題をユークリッドから現代幾何へp157 式で適用すると得られるが、ここでは計量を使って微分幾何 学的に得られている 幾何p5 補題(擬球はこの補題を満たす ここの微分幾何学的議論とユークリッド幾何から現代幾何へで行われている幾何学的議論をつなげるには「計量幾何学」をまとめるのが得策だと思った
18.
フィンスラー計量ユークリッド幾何から現代幾何へp99p189 先生の助言の元、p99では接ベクトルがどういうものかを黒板に書いて説明した(カメラかスマホの写真参照)。これの類似(p189(30))としてD上のフィンスラー関数(計量)をD*を定義した。これが実際に測地 線方程式を満たすことをp190で見た。 幾関p7 Mを複素多様体(リーマン計量が与えられている)とする FM(ξx)=inf{1/r:正則写像f:B(r)→Mが存在してf(0)=x,f*((∂/∂z)0)=ξx} =inf{a:正則写像f:B(1)→Mが存在してf(0)=x,f*(a(∂/∂z)0)=ξx、a∊C} と定義するとフィンスラー計量のF(ξx)=0ならばξx=0がないものを満たす ユークリッド幾何から現代幾何へp144 でも円が小さいほど(AとBの間の距離が一定としてみるとAとBが境界に近いほど(領域が小さいほど))長くなるのだったが1番目の定義はそれを表しているのではない か? このフィンスラー計量が本当にユークリッド幾何から現代幾何へp189
で定義したフィンスラー計量なのか? TxM上の直線上でFMの2回微分が定数になってほしいが P8 M、Nを複素多様体、f;M→Nを正則写像とするとき、FN≧f*FMが成り立ち、fが双正則“ならば”等号が成り立つ。 これはまさしくリーマン幾何から現代幾何へp8 で学んだことの類似である p8 M1、M2を複素多様体、ξx∊TM1、ηx∊TM2とする FM1xM2(ξx+ηx)=Max(FM1xM2(ξx)、FM1xM2(ηx)) これはユークリッド幾何から現代幾何へp160の類似である 平行性に対するいくつかの定理 松島 多様体論入門 SGC 微分幾何学 小林 微分幾何学とゲージ理論 スピン幾何学 Fuch ホモトピー論 トポロジーでは、写像が分岐集合と呼ばれる疎集合を除いて至る所被覆写像となっている場合に、この写像を分岐被覆と呼ぶ。 不分岐被覆とはようは普通(アドミシブル近傍を持つがここの定義が複素多様体の場合正則写像となる)の被覆の事である http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/kyokusen1.pdf P8 M、M^~を複素多様体,M^~をMの不分岐被覆写像とするとFM^~=π*FM となる P9 FC^m=0である、これはユークリッド幾何から現代幾何へp145 で定義したものでも0になるが、つながりとしては定義 FM=inf{1/r:正則写像f:B(r)→Mが存在してf(0)=x,f*((∂/∂z)0)=ξx} =inf{a:正則写像f:B(1)→Mが存在してf(0)=x,f*(a(∂/∂z)0)=ξx、a∊C}と定義したが、結局B(r)上の距離がFMを決めている。B(r)内の(擬)距離はユークリッド幾何から現代代何へp157p158 でρ 任意の擬距離δに対してρ≧δ≧cを満たしており、よってFMの局所的な集合Dにおいてもこの境界∂Dがない場合は0でないといけないのである。B(1)-{O}、B(1)(螺旋のような無限被覆写像)を考えると結局F Mによる計量はそれぞれポアンカレ計量(ユークリッド幾何から現代幾何へp114)、|a|/|x|log|x|^2となる これはそもそもユークリッド幾何から現代幾何p160 の凸ならばc=dで結局Hirmert距離に一致する よりわかっていることである ここで疑問なのはB(1)-{0}の擬距離はどれくらいあるか? P10 多重円板D上でFDは連続である P10 複素多様体上の小林微分計量FMは上半連続である Wiki 上半連続 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E9%80%A3%E7%B6%9A 関数論のききどころ Roydenの定理 証明の本質はWikiに乗ってあるこれである 空でない集合 I で添字付けられた函数の族 fi: X → [−∞, ∞] が全ての添字 i について下半連続関数であり、f が fi たちの点ごとの上限、すなわち f ( x ) = sup i ∈ I f i ( x ) , x ∈ X {displaystyle f(x)=sup _{iin I}f_{i}(x),qquad xin X} f(x)=sup _{{iin I}}f_{i}(x),qquad xin X で定義されるものとするとき、fは下半連続である。全ての fi が連続であったとしても、f は必ずしも連続ではない。実際に、一様空間(例えば距離空間)における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現 れる 上半連続の定理一覧 リッチフロー 大学院入試問題
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小林距離フィンスラー関数により定義した“長さみたいなもの”を小林擬距離という 関数p1 複素多様体上に小林擬距離dMを定義しこれが本当の距離になるとき双曲多様体と呼ぶ Wiki 双曲多様体の定義と同値だろうか?
違うのである https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93 定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 H n {displaystyle mathbb {H} ^{n}} {mathbb {H}}^{n} と等長である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は H n {displaystyle mathbb {H} ^{n}} {mathbb {H}}^{n} である。したがって、そのようなすべての M は、H n {displaystyle mathbb {H} ^{n}} {mathbb {H}}^{n} 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、H n / Γ {displaystyle mathbb {H} ^{n}/Gamma } {mathbb {H}}^{n}/Gamma と書くことが出来る。 P15 Mの不変被覆M^~がB(1)(ほかにCとC+{∞}の場合がある)の時、小林双曲多様体となる P14 M,Nを複素多様体、f:M→Nを正則写像とする。 1 dM(x、y)≧dN(f(x)。F(y)) 2 fが双正則ならば符号が成り立つ これはP4 T:B(1)→B(1)を正則写像(よって1次分数変換)とする。gr=1のポアンカレ計量≧T*(gr=1のポア ンカレ計量)(ユークリッド幾何から現代幾何へp151の一般化) Kobayashi Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings に描かれてあることを説明する
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双曲多様体か?示したいものは次の命題である P18 Mをコンパクト多様体としH:T(M)→R+を任意のFinsler計量(つまりFinsler 計量の公理をみたす)とする。Mgが双曲的であるための必要十分条件は正則写像f C→Mが存在しH(f*(0))=1、1≧H(f*(z))(z∊C)であるrことである P18 (小平
複素多様体論 より複素多様体の直積も複素多様体になる)π:B(1) xM→B(1)を考えると0<ε<1が存在して|z|<εに対してπ^-1(z)は双曲的であ る これらを示していく P15 補題 Mを複素多様体としH:T(M):→R+を連続微分形式とし、f:B(r)→M は正則写像、H(f*(0)≧C>0とする。このとき正則写像g:B(r)→Mが存在する 1 H(g*(0))=C/2 2 H(g*(z))/ηr(z)≧C/2 (z∊B(r)、ηr(z)=r^2/(r^2-|z|^2) p9 B(a) のフィンスラー関数と同じである 3 f(B(r))⊃g(B(r)) 証明ではμが連続関数であることに注意すればいい(supの中身が連続の積ででき ているのでμも連続である) 1.4.3が抜けていてどういうことかわからない状態です
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