実数全体のなす集合を R,有理数全体のなす集合を Q とする.Q のすべての部分集 合
が開集合となる最弱の位相を R に入れた位相空間を X とする.
(1)写像f:X→Xをf(x)=x+1により定める.fは連続写像であることを示せ。
[斎藤毅]集合と位相p130より生成している開集合がf
−1
で開集合に行っていればいい。
またこの位相は開集合に有理数が入っていれば無理数は入っていない。また無理数が
入っている開集合は全体になる。
xが有理数の時、全てのεに対してあるδが存在して|x-y|<δ(ただしyは有理数)なるなら
|x+1-y-1|<δ=ε(x+1,y+1は有理数）である。
xが無理数の時、xの開近傍はRなので良い。よって連続写像。
(2)X はハウスドルフ空間であるかどうか,理由をつけて答えよ。
ハウスドルフではない。１点が無理数だと無理数の開近傍は全体しかない。
(3)X はコンパクトであるかどうか,理由をつけて答えよ.
コンパクトである。なぜならXを被覆するには無理数の入った開集合を取らないとい
けなく、それは全体Rであるから。
(4)R に通常の位相を入れた位相空間を R とし,写像 f : X → R を
f(x) =
0 𝑥が有理数
1 𝑥が無理数
と定める.f が連続かどうか,理由をつけて答えよ。
連続でない。０を含まず、１を含む開集合は無理数全体に行くが、無理数全体は開集
合ではないから。
ちなみに位相は{O:Oは有理数の部分集合か全体か空集合}となっている。