´                  Campos de calibre classicos: Maxwell                                              M.T. Thomaz          ...
¸˜                                         Apresentacao:        ı        ı      ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao        ˜    ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando:                                         Es...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando:                                         Es...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                                         ¸˜            ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                                         ¸˜            ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                                         ¸˜            ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                                         ¸˜            ...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                      Exemplos de 4-vetores de Lorentz:...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                      Exemplos de 4-vetores de Lorentz:...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando        os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) ...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando        os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :                               ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :                               ...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar:     ı                              ...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                       ¸˜As componentes das equacoes de...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                       ¸˜As componentes das equacoes de...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                  ¸˜                   ˆComo obter as e...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                  ¸˜                   ˆComo obter as e...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell                  ¸˜                   ˆComo obter as e...
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´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell    ¸˜            ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-p...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell    ¸˜            ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-p...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell    ¸˜            ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-p...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell   ˜Entao:             S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 ...
´        ´     Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell   ˜Entao:             S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 ...
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Quarto seminario: Teoria de campos clássicos
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A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das
equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o
aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever
as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante).
Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre
é implementada nestes campos.

Apresentação:
. Campos eletromagnéticos clássicos: campos de Maxwell

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Quarto seminario: Teoria de campos clássicos

  1. 1. ´ Campos de calibre classicos: Maxwell M.T. Thomaz mariateresa.thomaz@gmail.com Instituto de F´sica, UFF ı Resumo: ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes ¸˜ ´de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos ı ´e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, ¸˜ ¸˜estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e ¸˜escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos ´ ´ ˆ ´eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementadanestes campos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 30
  2. 2. ¸˜ Apresentacao: ı ı ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao ˜ ´ ´2. Revisao de topicos em Matematica ´ ¸˜3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell4. Espaco de Minkowski ¸ ´5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ´6. Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 30
  3. 3. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30
  4. 4. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30
  5. 5. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30
  6. 6. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ı ´ ´ ´A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) no vacuo e c emtodos os referenciais ⇒ sistema relativ´stico. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30
  7. 7. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30
  8. 8. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V β= cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30
  9. 9. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V β= ⇒ 0≤β≤1 cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30
  10. 10. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V 1 β= ⇒ 0≤β≤1 e γ= c 1 − β2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30
  11. 11. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V 1 β= ⇒ 0≤β≤1 e γ= ⇒ 1 ≤ γ < ∞. c 1 − β2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30
  12. 12. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Produto escalar no espaco de Minkowski ¸. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);ii) Vetores covariantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 30
  13. 13. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Produto escalar no espaco de Minkowski ¸. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);ii) Vetores covariantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.Produto escalar no espaco de Minkowski: ¸ −x2 + c2 t2 = x0 x0 + x1 x1 1 = xµ xµ ≡ xµ xµ . µ=0 soma impl´cita ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 30
  14. 14. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell. d=4 (3+1) ¸˜.Quadri-vetor posicao: Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x); Vetor covariante: xµ = (x0 , −x).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30
  15. 15. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell. d=4 (3+1) ¸˜.Quadri-vetor posicao: Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x); Vetor covariante: xµ = (x0 , −x). 3 µEscalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30
  16. 16. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell. d=4 (3+1) ¸˜.Quadri-vetor posicao: Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x); Vetor covariante: xµ = (x0 , −x). 3 µEscalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .Como relacionar os vetores covariantes econtra-variantes?   1 0 0 0  0 −1 0 0  xµ = gµν xν sendo gµν = gµν =  0 0 −1 0 .  0 0 0 −1M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30
  17. 17. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: usando a matriz do tensor metrico gµν , mostre que: ı ´ gµν = gνµ e gµα gαβ = δµβ ,onde   1 0 0 0  0 1 0 0  δµ β =  0 , 0 1 0  0 0 0 1e a matriz identidade de dimensao 4 × 4.´ ˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 30
  18. 18. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:i. 4-vetor: Bµ = gµν Bν ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30
  19. 19. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:i. 4-vetor: Bµ = gµν Bν ,ii. tensor de ordem 2: Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30
  20. 20. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:i. 4-vetor: Bµ = gµν Bν ,ii. tensor de ordem 2: Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,iii. tensor de ordem n: Bµ1 µ2 ...µn = gµ1 ν1 gµ2 ν2 . . . gµn νn Bν1 ν2 ...νn .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30
  21. 21. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ ´aos campos eletromagneticos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30
  22. 22. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ ´aos campos eletromagneticos.ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), ´ ´ ´onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de ´corrente eletrica.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30
  23. 23. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ ´aos campos eletromagneticos.ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), ´ ´ ´onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de ´corrente eletrica. ¸˜As transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x,t) A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂te A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),podem ser escritas na forma covariante:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30
  24. 24. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ ´aos campos eletromagneticos.ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), ´ ´ ´onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de ´corrente eletrica. ¸˜As transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x,t) A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂te A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),podem ser escritas na forma covariante: A′ µ = Aµ − ∂ µ G(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30
  25. 25. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Lagrangeana de campos classicos ¸˜Acao associada a uma part´cula: ı tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ´ ´ ˆonde x e variavel e t e parametro.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30
  26. 26. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Lagrangeana de campos classicos ¸˜Acao associada a uma part´cula: ı tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ´ ´ ˆonde x e variavel e t e parametro.A acao associada a um campo Φ(x, t): ¸˜ tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t), t0 V∞onde x e t sao parametros e Φ e variavel. ˜ ˆ ´ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30
  27. 27. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Lagrangeana de campos classicos ¸˜Acao associada a uma part´cula: ı tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ´ ´ ˆonde x e variavel e t e parametro.A acao associada a um campo Φ(x, t): ¸˜ tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t), t0 V∞onde x e t sao parametros e Φ e variavel. ˜ ˆ ´ ´ A acao S e a densidade de lagrangeana L de um sistema ¸˜relativ´stico e um escalar de Lorentz. ı ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30
  28. 28. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´ Equacao para campos classicos Part´cula: ı Campo: ∂L ∂L −→ ∂x ∂Φ(x, t) 3 d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L −→ + i = ˙ dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ ∂t ∂x ∂ ∂Φi i=1 ∂x ∂L = ∂µ , ∂(∂µ Φ) ∂onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇). cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 30
  29. 29. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´ Equacao para campos classicos Part´cula: ı Campo: ∂L ∂L −→ ∂x ∂Φ(x, t) 3 d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L −→ + i = ˙ dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ ∂t ∂x ∂ ∂Φi i=1 ∂x ∂L = ∂µ , ∂(∂µ Φ) ∂onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇). c ¸˜Equacao de Euler-Lagrange: ∂L ∂L − ∂µ = 0. ∂Φ ∂(∂µ Φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 30
  30. 30. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ ´Campos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell ¸˜A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30
  31. 31. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ ´Campos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell ¸˜A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?Definimos o tensor Fµν : Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, = −Fνµ (x, t), ∂onde ∂µ = ( 1 c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30
  32. 32. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ ´Campos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell ¸˜A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?Definimos o tensor Fµν : Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, = −Fνµ (x, t), ∂onde ∂µ = ( 1 c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)). ˜ ´Quais sao as componentes do tensor Fµν ? Sera que elas podem ´ser escritas em termos dos campos eletromagneticos?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30
  33. 33. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30
  34. 34. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30
  35. 35. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30
  36. 36. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)2) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − ∂xj ∂xiM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30
  37. 37. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)2) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − = ∇ × A(x, t) ∂xj ∂xi kM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30
  38. 38. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)2) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − = ∇ × A(x, t) ∂xj ∂xi kEscrevendo explicitamente as componentes de Fij : F12 = −Bz (x, t), F13 = By (x, t), F23 = −Bx (x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30
  39. 39. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30
  40. 40. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 ˜ As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos ı E(x, t) e B(x, t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30
  41. 41. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 ˜ As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos ı E(x, t) e B(x, t)⇒ O tensor Fµν e invariante sob as transformacoes ´ ¸˜de calibre.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30
  42. 42. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30
  43. 43. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30
  44. 44. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t). ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30
  45. 45. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t). ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα ) ´Usando a metrica gµν temos: jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ δαβM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30
  46. 46. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t). ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα ) ´Usando a metrica gµν temos: jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ ⇒ jµ Aµ = jα Aα . δαβ ¸˜ ˜ ˜A troca de posicao dos ´ndices que estao contra´dos nao altera ı ıo resultado.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30
  47. 47. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  48. 48. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  49. 49. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂AαM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  50. 50. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂AαComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν AµM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  51. 51. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα ∂Fµν ∂FµνComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  52. 52. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα ∂Fµν ∂FµνComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0. ´Alem disso: 1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1 − jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα c ∂Aα c ∂Aα c cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  53. 53. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα ∂Fµν ∂FµνComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0. ´Alem disso: 1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1 − jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα c ∂Aα c ∂Aα c cPortanto: ∂L 1 = − jα . ∂Aα cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30
  54. 54. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4πM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30
  55. 55. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4π ¸˜ ˜ ¸˜As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento ´para os campos eletromagneticos: 4π α ∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3. cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30
  56. 56. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4π ¸˜ ˜ ¸˜As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento ´para os campos eletromagneticos: 4π α ∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3. cAssim: Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes ¸˜ ¸˜ Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes ¸˜ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30
  57. 57. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4π ¸˜ ˜ ¸˜As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento ´para os campos eletromagneticos: 4π α ∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3. cAssim: Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes ¸˜ ¸˜ Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes ¸˜ ¸˜ ¸˜ ˜Quais as equacoes de Maxwell estao representadas ¸˜nas equacoes de Euler-Lagrange?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30
  58. 58. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30
  59. 59. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30
  60. 60. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂t 4π 1 ∂Ey (x,t)iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30
  61. 61. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂t 4π 1 ∂Ey (x,t)iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t . 4π 1 ∂Ez (x,t)iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30
  62. 62. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂t 4π 1 ∂Ey (x,t)iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t . 4π 1 ∂Ez (x,t)iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t . ¸˜ ¸˜ ˆAs equacoes de Euler-Lagrange reproduzem as equacoes inomogeneasde Maxwell.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30
  63. 63. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30
  64. 64. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a definicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30
  65. 65. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a definicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν AµM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30
  66. 66. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a definicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ ∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α AνM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30
  67. 67. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a definicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ ∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν ∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30
  68. 68. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a definicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ ∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν ∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,e verificamos a identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30
  69. 69. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30
  70. 70. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3. ¸˜Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν) 1 ∂B(x, t) ∇ × E(x, t) = − . c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30
  71. 71. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3. ¸˜Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν) 1 ∂B(x, t) ∇ × E(x, t) = − . c ∂tiv. α = 1, µ = 2, ν = 3 ∇ · B(x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30
  72. 72. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell 1Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ , c ¸˜se comporta sob uma transformacao de calibre:A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30
  73. 73. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell 1Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ , c ¸˜se comporta sob uma transformacao de calibre:A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?Lembrando que:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30
  74. 74. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell 1Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ , c ¸˜se comporta sob uma transformacao de calibre:A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?Lembrando que:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 ¸˜Sob uma transformacao de calibre: 1 ′ ′ µν 1 µ L(A′ , ∂ν A′ ) = − µ µ F F − jµ A′ 16π µν c 1 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ + jµ ∂ µ G. 16π c cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30
  75. 75. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30
  76. 76. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30
  77. 77. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂t ⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30
  78. 78. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂t ⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.Finalmente 1 L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ]. µ µ cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30
  79. 79. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂t ⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.Finalmente 1 L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ]. µ µ cAs densidades de lagrangeanas L(Aµ , ∂ν Aµ ) e L(A′ , ∂ν A′ ) dao as µ µ ˜ ¸˜mesmas equacoes de movimento?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30
  80. 80. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellAcao associada ao 4-potencial Aµ (x, t): ¸˜ tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30
  81. 81. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellAcao associada ao 4-potencial Aµ (x, t): ¸˜ tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). t0 V∞Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t): ¸˜ µ tf S′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t), µ µ t0 V∞onde A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30
  82. 82. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellAcao associada ao 4-potencial Aµ (x, t): ¸˜ tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). t0 V∞Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t): ¸˜ µ tf S′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t), µ µ t0 V∞onde A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒ 1 L(Aµ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [jµ (x, t)G(x, t) ]. ′ µ cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30
  83. 83. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores: tf S ′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) + t0 V∞ tf 1 + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) c t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30
  84. 84. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores: tf S ′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) + t0 V∞ tf 1 + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) c t0 V∞ tf 1 = S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). c t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30
  85. 85. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores: tf S ′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) + t0 V∞ tf 1 + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) c t0 V∞ tf 1 = S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). c t0 V∞ ¸˜Fazendo a integracao por partes: tf 1 dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) = c t0 V∞ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )] V∞ tf + dt d3 x ∇ · [j(x, t)G(x, t)]. t0 V∞ S∞ ˆ ds n·[j(x,t)G(x,t)] = 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30
  86. 86. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ˜Entao: S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] = µ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]. V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 30
  87. 87. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ˜Entao: S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] = µ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]. V∞Como a diferenca das acoes S ′ [A′ ; t0 , tf ] e S[Aµ ; t0 , tf ] e um termo que ¸ ¸˜ µ ´e o mesmo para todas as configuracoes Aµ (x, t), entao se o 4-potencial´ ¸˜ ˜Aµ (x, t) extremiza a acao S[Aµ ; t0 , tf ] ⇒ 4-potencial A′ (x, t) ¸˜ µ ¸˜ ′ [A′ ; t , t ]. Como esses 4-potenciais estao liga-extremiza a acao S µ 0 f ˜ ¸˜ ˜dos por uma transformacao de calibre, entao ambas representam osmesmo campos f´sicos. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 30
  88. 88. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30
  89. 89. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30
  90. 90. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂t ´Campo eletrico livre: 1∂ ∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒ c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30
  91. 91. ´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂t ´Campo eletrico livre: 1∂ ∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒ c ∂t 1 ∂2 ⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0. c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

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