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1. ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
INTRODUCCIÓN
Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que
nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano
al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar
determinado punto del objeto en consideración.
A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del
tema:
Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la
plomada.
Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.
Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.
Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del
observador con el objeto a observarse.
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la
línea horizontal. Que parten de la vista del observador.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulos de Elevación
Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por
encima de la línea horizontal.
: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN

2. Ángulos de Depresión
Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por
debajo de la línea horizontal.
: ÁNGULO DE DEPRESIÓN
OBSERVACIÓN:
AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE
OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.
: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
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ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos que se encuentran sobre un mismo plano (plano horizontal). Normalmente
estos ángulos se ven en la navegación y la aviación. Éstos ángulos los constituyen los llamados
puntos cardinales (este, oste, norte y sur).
Dirección
La dirección es la inclinación o ángulo que
forma una línea con respecto a otra tomada
como referencia. Así:
Respecto a “M”
“P” se encuentra en la dirección EºS
“Q” se encuentra en la dirección OºN

3. Debemos tener en cuenta que cuando se toma como referencia la línea norte siguiendo en sentido
horario, a esa dirección se le denomina rumbo.
La Rosa Marina o Rosa Náutica
Es un indicador de las direcciones, funciona a base del campo magnético de la tierra, éste
instrumento lo utilizan los navegantes y aviadores, y está constituido por 32 direcciones
PROBLEMAS
1. Un observador se encuentra a 40m. de la
base de un edificio, se acerca hacia el 9. Calcular la altura de un árbol si el
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edificio en línea recta hasta un punto que se ángulo de elevación de su extremo
encuentra a 10m. del mismo. Si en su superior aumenta desde 30º hasta 60º
posición inicial observó a un punto del cuando el observador avanza 80m.
edificio con un ángulo de elevación de 37º hacia el árbol
y en la segunda observación lo hizo al
 Rpta.
mismo punto con ”” ¿Cuánto vale ctg ?
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10. De un edificio de 24m. de altura se
Rpta. divisa una torre con un ángulo de
elevación de 30º y la base de la
2. Desde un acantilado se observan dos torre con un ángulo de depresión
bolicheras en línea recta con ángulos de de 60º. Encontrar la altura de la
depresiones  y  ( < ) respectivamente, torre.
si ese instante la separación de las
bolicheras es 120m ¿Qué altura a nivel del Rpta.
mar tiene el observador?
 1  11. En un ángulo de elevación de un
tg   ; tg   0 ,2 
 7  edificio de 22º30’, nos acercamos a
una distancia “m” y el nuevo
Rpta. ángulo es 45º. Hallar”m” si la
altura del edificio es 10m.
3. La antena de una radio emisora se encuentra
sobre un morro, si su base es vista desde un Rpta.
punto sobre el plano horizontal con un ángulo

4. de elevación de 37º. Si la altura de la antena es 12. Cierto día Luis ve a Luisa en la
la tercera parte la del morro. ¿Cuánto medirá el parte más alta de un edificio de
ángulo de observación correspondiente a la 16m. de altura con un ángulo de
antena desde el mismo punto de observación? elevación de 53º. Si él se acerca al
edificio y ella baja 10m. para luego
Rpta. ver Luis con un ángulo de
elevación de 37º a Luisa. Calcular
4. Dos edificios de diferentes alturas se encuentran la relación de velocidades de Luis
uno al frente del otro. Desde la parte superior e y Luisa, si todo es al mismo
inferior del edificio de menor altura se observan tiempo.
con ángulos de elevaciones  y  un punto del
extremo superior del otro edificio Rpta.
respectivamente ¿En qué relación se encuentran
sus alturas (menor/mayor)? 13. Emilio desde el suelo apunta hacia
una paloma con un ángulo de
Rpta. elevación de 45º separados por una
distancia de 14,142m. si mientras
5. Un barco navega a 20km/h hacia el Este, en
Emilio se pone de pie, la paloma se
un instante desde el barco es visto un faro
en el rumo N53ºE, al cabo de dos horas, es aleja 14m. por la horizontal.
visto el faro desde el barco en la dirección Calcular la altura de Emilio, si el
O37ºN ¿Cuál es la distancia del faro a la nuevo ángulo con que ve a la
1ra y 2da observación? paloma es de 16º.
Rpta. Rpta.
6. Un navío parte de un puerto en la dirección
NE. Luego de una hora de camino desvía y, 14. Un marciano se encuentra colocado
se dirige en la dirección S15ºE. ¿En qué sobre el edificio de 9u de altura.
dirección respecto al puerto se encontrará Una persona impresionada observa
el navío, de tal manera que desde éste con un ángulo de elevación de 53º a
equidiste al puerto y al punto de desvío? la parte superior del marciano; luego
se aleja 2u, luego observa con un
Rpta. ángulo de elevación de 37º a lo alto
del edificio. Calcular la altura del
7. Una persona sube una cuesta y cuando llega marciano.
al punto máximo, ve que la altura de ésta es Rpta.
la mitad, del camino recorrido, hallar el
ángulo que hace la horizontal con la cuesta 15. Un avión se encuentra a una altura
de 150m de un objetivo y se
Rpta. encuentra descendiendo con un
ángulo de depresión “”. Luego de
8. Desde la base de un edificio Juan ve un recorrer 150m es observado desde
halcón con un ángulo de elevación de 37º a el objetivo con un ángulo de
una distancia de 12 pies y desde la parte elevación de 26º30’, calcular a que
superior del mismo edificio se ve la misma la altura se encuentra el avión en
ave con un ángulo de depresión de 53º. dicha observación.
Calcular la altura del edificio.
Rpta.
Rpta.
“EL QUE NO PIERDE TIEMPO,
TIENE MUCHO TIEMPO”
FONTENELLE