Limites y funciones

1. Límite de funciones
Magister Lord Barrera:
coordinador del área de
matemática
Escuelas Profesionales
de
Ingeniería Industrial
Ingeniería de Sistemas
Ingeniería Empresarial
II

2. Lord Barrera
1. Límite de Funciones
Nos acercaremos de manera informal al concepto de límite: damos un número
real a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasar
que f no esté definida en a).
Definición 1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x) cuando x
tiende al número a es L y escribimos
l´ım
x→a
f (x) = L
significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f (x) está bien próximo
de L.
La curva en la figura derecha representa
la gráfica de una función f . El número a
está en el eje x y el límite L en el eje y.
Cuando x se aproxima al número a en el
eje x, entonces f (x) se aproxima a L en
el eje y.
x a x
x
y
x ( ( f
L
x ( ( f
f
Ejemplo 1.1. Sea la función f (x) =
x + 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1
se aproxima a 1+1 = 2. Haciendo L = 2
concluímos que
l´ım
x→1
(x + 1) = 2.
x x
x
y
x ( ( f
1
2
-1
x ( ( f
1
Ejemplo 1.2. Sea f (x) =
√
x +3 si x= 1
3 si x = 1
. Cuando x se aproxima a 1,
entonces √
x + 3 se aproxima a
√
1 + 3 = 2.
Concluímos que
l´ım
x→1
√
x + 3 = 2.

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1.1. Propiedades de los Límites
En esta sección estableceremos algunas fórmulas que nos permitirán calcular
de manera simple diversos límites. Nuestro objetivo es manipular estas fórmulas
y familiarizarnos con sus aplicaciones.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE
A continuación enunciaremos nuestro primer resultado para el cálculo de
límites. Este resultado consiste de calcular el límite de una función constante
f (x) = c.
Teorema 1.3. Para cualquier c ∈ R
l´ım
x→a
c = c .
Como vemos en la figura derecha, la grá-fica
de la función constante f (x) = c es
la recta horizontal pasando por el nivel
y = 3. Cuando calculamos el límite l´ım
x→a
c,
no importa a qué número se aproxime la
variable x, el límite que resulta es siempre
la constante.
x
y
a
c
x ( ( f
x x
x ( ( f
Ejemplo 1.4. Algunos límites de funciones constantes son
l´ım
x→1
5 = 5, l´ım
x→2
3 = 3, l´ım
x→5
(−1) = −1 y l´ım
x→0
π = π .
Ejemplo 1.5. Calcular los siguientes límites
l´ım
x→1
10 = , l´ım
x→2
√
2 = , l´ım
x→5
π = , y l´ım
x→0
(−5) = .
Solución. Ejercicio para el lector.
2

4. Lord Barrera
LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD
A continuación calcularemos el límite de la función identidad f (x) = x.
Teorema 1.6.
l´ım
x→a
x = a .
Ejemplo 1.7. Algunos límites son
l´ım
x→1
x = 1, l´ım
x→2
x = 2, l´ım
x→π
x = π y l´ım
x→0
x = 0 .
Ejemplo 1.8. Calcular los siguientes límites
l´ım
x = , l´ım
x = , l´ım
x→2
x→3
x→
√
2
x = y l´ım
x→1
x = .
Solución. Ejercicio para el lector.
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LÍMITES
A continuación estableceremos algunas propiedades algebraicas que nos ayu-darán
a calcular de manera efectiva límites que involucran expresiones más ex-tensas.
Estas expresiones pueden ser sumas de funciones, diferencias, o también
productos y cocientes.
Teorema 1.9. Se cumplen
(a) l´ım
x→a
f (x) + g(x)
= l´ım
x→a
f (x) + l´ım
x→a
g(x).
(b) l´ım
x→a
f (x) − g(x)
= l´ım
x→a
f (x) − l´ım
x→a
g(x).
(c) l´ım
x→a
c f (x)
= c l´ım
x→a
f (x), para cualquier c ∈ R.
(d) l´ım
x→a
f (x)g(x)
= l´ım
x→a
f (x) l´ım
x→a
g(x).
(e) l´ım
x→a
f (x)
g(x)
=
l´ım
x→a
f (x)
l´ım
x→a
g(x)
, sabiendo que l´ım
x→a
g(x)= 0.
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Ejemplo 1.10. Calcular el siguiente límite
l´ım
x→1
(x + 5)
Solución. Aplicando la propiedad (a) tenemos
l´ım
x→1
(x + 5) = l´ım
x→1
x + l´ım
x→1
5 = 1 + 5 = 6 .
Ejemplo 1.11. Calcular el siguiente límite
l´ım
x→2
(1 − x)
Solución. Aplicando la propiedad (b) tenemos
l´ım
x→2
(1 − x) = l´ım
x→2
1 − l´ım
x→2
x = 1 − 2 = −1 .
Ejemplo 1.12. Calcular el siguiente límite
l´ım
x→0
5(x + 1)
Solución. Aplicando la propiedad (c) tenemos
l´ım
x→0
5(x + 1) = 5 l´ım
x→0
(x + 1)
= 5
l´ım
x→0
x + l´ım
x→0
1
= 5
0 + 1
= 5.
Ejemplo 1.13. Calcular el límite l´ımx→1(x2 + 2x).
Solución. Desde que
x2 + 2x = x(x + 2),
de acuerdo a la propíedad (d) tenemos
l´ım
x→1
(x2 + 2x) = l´ım
x→1
x(x + 2)
=
l´ım
x→1
x
l´ım
x→1
(x + 2)
= 1(1 + 2)
= 3.
4

6. Lord Barrera
LÍMITE DE UNA POTENCIA
Ya vimos en el ítem (d) de las propiedades algebraicas de límites que el límite
de un producto es el producto de límites. Si aplicamos esto al límite
l´ım
x→a
x2
tenemos
l´ım
x→a
x2 =
l´ım
x→a
x
l´ım
x→a
x
= a · a = a2
Generalizando este resultado tenemos:
Teorema 1.14. Dado un entero positivo n, entonces
l´ım
x→a
xn = an .
Ejemplo 1.15. Tenemos por ejemplo los límites
(i) l´ım
x→1
x2 = 12 = 1 (ii) l´ım
x→2
x4 = 24 = 16 (iii) l´ım
x→−2
x3 = (−2)3 = −8
Ejemplo 1.16. Completar los siguientes límites
(i) l´ım
x→3
x5 = (ii) l´ım
x→
√
2
x2 = (iii) l´ım
x→−2
x4 =
Solución. Ejercicio para el lector.
Ejemplo 1.17. Calcular el siguiente límite
l´ım
x→1
(2x2 + 4x + 1)
Solución. Aplicando las propiedades de límites tenemos
l´ım
x→1
(2x2 + 4x + 1) = l´ım
x→1
(2x2) + l´ım
x→1
(4x) + l´ım
x→1
(1)
= 2 l´ım
x→1
(x2) + 4 l´ım
x→1
(x) + l´ım
x→1
(1)
= 2(12) + 4(1) + 1
= 7.
5

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Ejemplo 1.18. Calcular el siguiente límite
l´ım
x→2
x2 − 5x
x − 3
Solución. Desde que l´ım
x→2
(x − 3) = −1= 0, podemos aplicar la regla del
cociente
l´ım
x→2
x2 − 5x
x − 3
=
(x2 − 5x)
l´ım
x→2
l´ım
x→2
(x − 3)
=
l´ım
x→2
(x2) − 5 l´ım
x→2
(x)
l´ım
x→2
(x) − l´ım
x→2
(3)
=
22 − 5(2)
2 − 3
=
−6
−1
= 6.
Podemos generalizar el resultado anterior en la siguiente propiedad
Proposición 1.19. Si n es un entero positivo y l´ım
x→a
f (x) = L, entonces
l´ım
x→a
[ f (x)]n = Ln .
Ejemplo 1.20. Evaluemos el límite
l´ım
x→1
(x2 + 4x + 4)
Solución. Sabemos que x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 y que
l´ım
x→1
(x + 2) = 3
Luego
l´ım
x→1
(x2 + 4x + 4) = l´ım
x→1
(x + 2)2 = 32 = 9 .
6

8. Lord Barrera
Teorema 1.21. Si n es un entero positivo y l´ım
x→a
f (x) = L, entonces
l´ım
x→a
n
n
f (x) = L , donde L 0 si n es par √
.
Ejemplo 1.22. Evaluemos el límite
l´ım
x→1
√
x + 8
Solución. Sabemos que
l´ım
x→1
(x + 8) = 9
Luego
l´ım
x→1
√
x + 8 =
√
9 = 3 .
Ejemplo 1.23. Evaluar el siguiente límite
l´ım
x→−1
√
x + 5
Solución. Sabemos que
l´ım
x→−1
(x + 5) = 4
Luego
l´ım
x→−1
√
x + 5 =
√
4 = 2 .
Ejemplo 1.24. Suponga que se cumple
l´ım
x→3

9. ax2 + 2ax = 3
√
10
Calcular el valor de a.
Solución. Aplicando límite a la expresión dentro de la raiz
l´ım
x→3
(ax2 + 2ax) = a(3)2 + 2a(3) = 15a
o sea que
l´ım
x→3

10. ax2 + 2ax =
√
15a = 3
√
10
Esto significa que
√
15a = 3
√
10, que implica 15a = 90. Por tanto, a = 6.
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
De las propiedades algebraicas de límites sigue el resultado
Proposición 1.25. Si p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0 es una función polinómica,
entonces
l´ım
x→a
p(x) = p(a) .
Ejemplo 1.26. Evaluemos el límite
l´ım
x→−1
(x5 − 3x3 + 2x)
Solución. Si consideramos el polinomio
p(x) = x5 − 3x3 + 2x,
entonces p(−1) = (−1)5 − 3(−1)3 + 2(−1) = 0 y
l´ım
x→−1
(x5 − 3x3 + 2x) = p(−1) = 0 .
Ejemplo 1.27. Evaluar el límite
l´ım
x→−1
(x7 − 2x3 + 3x − 1)
Solución. Evaluando directamente se tiene
l´ım
x→−1
(x7 − 2x3 + 3x − 1) = (−1)7 − 2(−1)3 + 3(−1) − 1 = −3
Ejemplo 1.28. Si
l´ım
x→2
(ax3 − 2ax2 + 3x) = 21
Calcular el valor de a.
Solución. Evaluando conseguimos
21 = l´ım
x→2
(ax3 + 2ax2 + 3x) = a(2)3 + 2a(2)2 + 3(2) = 8a + 8a + 6 = 16a + 16
o sea que a = 5/16.
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12. Lord Barrera
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
Continuamos con la siguiente propiedad de límite para funciones racionales
Proposición 1.29. Si p(x) y q(x) son polinomios con q(a)= 0, entonces
l´ım
x→a
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
.
Ejemplo 1.30. Evaluemos el límite
l´ım
x→3
x3 − 3x2 + 1
x2 − 1
Solución. Desde que (3)2 − 1 = 8= 0, entonces
l´ım
x→3
x3 − 2x2 + 1
x2 − 1
=
(3)3 − 2(3)2 + 1
(3)2 − 1
=
10
8
=
5
4
.
Ejemplo 1.31. Evaluar el límite
l´ım
x→2
x4 + x2 + 5
x2 + 1
Solución. Evaluando directamente tenemos
l´ım
x→2
x4 + x2 + 5
x2 + 1
=
(2)4 + (2)2 + 5
(2)2 + 1
=
25
5
= 5 .
Ejemplo 1.32. Evaluar los siguientes límites
(i) l´ım
x→2
x4 + x2 + 5
x2 + 1
(ii) l´ım
x→−1
5x4 − x3
2x2 + 3
(iii) l´ım
x→0
x2 + x + 1
x + 1
(iv) l´ım
x→4
2x + 1
x
(v) l´ım
x→2
−(x + 1)2
x + 1
(vi) l´ım
x→
√
2
x4 + x2
x2 (vii) l´ım
x→0
−x2 + x − 1
x − 1
(viii) l´ım
x→3
x + 1
x − 1
Solución. Ejercicio para el lector.
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1.2. Límite de Funciones Trigonométricas
Ya sabemos calcular límite de funciones algebraicas. El siguiente teorema dice
que si a es un número que está en el dominio de una función trigonométrica,
entonces el límite de la función cuando x se aproxima al punto a, se calcula por
sustitución.
Teorema 1.33. (Límite de funciones trigonométricas). Sea a un número en el domi-nio
de una función trigonométrica. Entonces
(a) l´ım
x→a
sen x = sen a (b) l´ım
x→a
cos x = cos a
(c) l´ım
x→a
tg x = tg a (d) l´ım
x→a
cot x = cot a
(e) l´ım
x→a
sec x = sec a (f) l´ım
x→a
csc x = csc a
Ejemplo 1.34. Calcular los límites
(i) l´ım
x→π/4
x cos x (ii) l´ım
x→π/2
(x2 + sen x) (iii) l´ım
x→π/3
sen x cos x
Solución.
(i) l´ım
x→π/4
x cos x =
l´ım
x→π/4
x
l´ım
x→π/4
cos x
=
π
4
cos π
4
=
π
4
√
2
2
=
π
√
2
8
(ii) l´ım
x→π/2
(x2 + sen x) = l´ım
x→π/2
x2 + l´ım
x→π/2
sen x
=
π
2
2
+ sen π
2
=
π2
4
+ 1 =
π2 + 4
4
(iii)
l´ım
x→π/3
sen x cos x = sen(π/3) cos(π/3) =
√
3
2
1
2
=
√
3
4
.
10

14. Lord Barrera
Teorema 1.35. (Límites trigonométricos importantes). Se cumplen:
l´ım
x→0
sen x
x
= 1 y l´ım
x→0
1 − cos x
x
= 0
Ejemplo 1.36. Evaluar el siguiente límite
l´ım
h→0
sen 4h
h
Solución. Haciendo x = 4h, entonces tenemos
sen 4h
h
=
4 sen 4h
4h
= 4
sen x
x
La nueva variable x tiende a cero cuando h → 0, pues, x es múltiplo de h. Por
tanto, cambiamos el límite h → 0 por x → 0 y obtenemos
l´ım
h→0
sen 4h
h
= l´ım
x→0
4
sen x
x
= 4
l´ım
x→0
sen x
x
= 4(1) = 4 .
Ejemplo 1.37. Evaluar el siguiente límite
l´ım
x→0
tg x
x
Solución.
l´ım
x→0
tg x
x
= l´ım
x→0
sen x
x
· 1
cos x
=
l´ım
x→0
sen x
x
·
l´ım
x→0
1
cos x
= (1)(1)
= 1 .
Ejemplo 1.38. Evaluar el siguiente límite
l´ım
h→0
sen 3h
2h
Solución. Ejercicio para el lector.
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TÉCNICA DEL SANDWICH
Las técnicas anteriores son muy buenas pero no resuelven todas las situacio-nes,
como vemos a continuación.
Por ejemplo, si queremos calcular l´ımx→0 x2 sen
1
x
entonces una herramienta útil es el siguiente teorema
Teorema 1.39. (El sandwich). Supongamos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en
un intervalo centrado en a (es posible que no lo contenga). Si
l´ım
x→a
f (x) = L = l´ım
x→a
h(x)
entonces
l´ım
x→a
g(x) = L
Ejemplo 1.40. Calcular el límite
l´ım
x→0
x2 sen
1
x
Solución. Desde que −1 ≤ sen t ≤ 1 para todo número real t, entonces
−1 ≤ sen
1
x
≤ 1 para todo x= 0
Por tanto,
−x2 ≤ x2 sen
1
x
≤ x2, x= 0
Sean
f (x) = −x2, g(x) = x2 sen
1
x
y h(x) = x2
Entonces
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
Desde que
l´ım
x→0
f (x) = l´ım
x→0
(−x2) =0 y l´ım
x→0
h(x) = l´ım
x→0
(x2) = 0
El teorema del sandwich implica que
l´ım
x→0
g(x) = l´ım
x→0
x2 sen
1
x
= 0 .
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