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Mean and Median Filters Using R.

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Comparison Between the Average Filter and the Median. The techniques for filtering image processing is one pixel, which depends on the gray level of a specific pixel and the value of the gray levels of neighboring pixels in the original image, that is, filtered pixel has a value dependent on the context in he is the original image ...

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Mean and Median Filters Using R.

  1. 1. Compara¸c˜ao Entre o Filtro da M´edia e o da Mediana. Michel A. dos Santos ∗ Setembro de 2010 ∗Bacharelando em Ciˆencia da Computa¸c˜ao, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL), Bolsista do Laborat´orio de Modelagem Geom´etrica e Vis˜ao Computacional do Centro de Pesquisa em Matem´atica Computacio- nal(CPMAT), Brasil - Macei´o/AL, Tel: 8805-0582 E-mail: michel.mas@gmail.com, michelalvessantos@hotmail.com 1
  2. 2. Sum´ario Lista de Figuras 2 1 Introdu¸c˜ao 2 2 Os Filtros Passa-Baixas 3 3 Filtragem Digital 4 4 Filtragem Linear no Dom´ınio do Espa¸co 4 5 O Processo de Filtragem Espacial 4 6 Filtragem N˜ao-Linear no Dom´ınio Espacial 4 7 Ru´ıdo ‘Sal e Pimenta’ 5 8 Resultados 5 Referˆencias Bibliogr´aficas 6 Lista de Figuras 1 Linha Selecionada de uma Imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Gr´afico dos N´ıveis de Cinza de uma Linha da Figura 1. . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Imagem Original e Imagem Ruidosa com Salt-and-Pepper a 10%. . . . . . . . . . . 5 4 Imagem Original Usada nos Testes de Filtragem - Filtro da M´edia e da Mediana. . 6 5 Imagem Filtrada com M´ascara 3x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 Imagem Filtrada com M´ascara 5x5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 Imagem Filtrada com M´ascara 7x7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8 Imagem Filtrada com M´ascara 11x11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Introdu¸c˜ao As t´ecnicas de filtragem s˜ao transforma¸c˜oes da imagem ‘pixel’ a ‘pixel’, que dependem do n´ıvel de cinza de um determinado ‘pixel’ e do valor dos n´ıveis de cinza dos ‘pixels’ vizinhos, na imagem original, ou seja, o pixel ‘filtrado’ tem um valor dependente do contexto em que ele se encontra na imagem original. A opera¸c˜ao de filtragem necessita da defini¸c˜ao de freq¨uˆencia espacial. Assim, seja g uma imagem, os n´ıveis de cinza NC de g variam com a distˆancia, observando-se uma ´unica linha ou coluna de pixels da imagem. Considerando a linha selecionada ter´ıamos a seguinte distribui¸c˜ao dos n´ıveis de cinza em rela¸c˜ao ao primeiro pixel na linha (lado esquerdo da linha, veja a seta na Figura 1). Observa-se (atrav´es do gr´afico sugerido na Figura 2) que a linha da imagem apresenta uma grande varia¸c˜ao nos n´ıveis de cinza a medida que nos afastamos do primeiro pixel. Estas descontinuidades tˆem as seguintes caracter´ısticas: • representam bordas (fei¸c˜oes de alta freq¨uˆencia sens´ıveis `a vis˜ao) • quando muito pr´oximas caracterizam fei¸c˜oes de alta freq¨uˆencia • quando em n´umero baixo caracterizam fei¸c˜oes de baixa freq¨uˆencia (superf´ıcies suaves na imagem) 2
  3. 3. Figura 1: Linha Selecionada de uma Imagem. Figura 2: Gr´afico dos N´ıveis de Cinza de uma Linha da Figura 1. O conceito de freq¨uˆencia espacial alta ou baixa na imagem depende da escala em que a imagem se encontra. Ent˜ao, uma mesma ´area da imagem pode ser de alta freq¨uˆencia ou de baixa freq¨uˆencia dependendo do fator de escala da imagem. Nas imagens podemos encontrar freq¨uˆencias: Alta, M´edia e Baixa. Assim, ´e poss´ıvel reduzir os efeitos de determinadas freq¨uˆencias na imagem, buscando obter um efeito visual de melhor qualidade na imagem. As freq¨uˆencias que devem ser tratadas, dependem do objetivo a ser atingido com o tratamento. A redu¸c˜ao de componentes de freq¨uˆencia ´e conseguida atrav´es de t´ecnicas de filtragem, usando realce seletivo e eliminando a mistura de freq¨uˆencias. 2 Os Filtros Passa-Baixas Os filtros Passa-Baixas eliminam altas freq¨uˆencias, sendo usado para eliminar ru´ıdos em imagens. O ru´ıdo ´e uma fonte de alta freq¨uˆencia. O efeito produzido ´e uma desfocaliza¸c˜ao caracterizada por uma imagem borrada. Esta desfocaliza¸c˜ao depende das dimens˜oes do filtro, quanto maior a dimens˜ao do filtro, maior ser´a a desfocaliza¸c˜ao. Exemplos de filtros passa-baixas s˜ao: o filtro da m´edia(Pixel central ´e a m´edia aritm´etica dos pixels dentro da ´area da janela - ´E um Filtro Linear que opera no Dom´ınio Espacial), o filtro da m´edia ponderada(Peso depende de sua distˆancia ao peso central - Neste caso a suaviza¸c˜ao ´e menos intensa pois h´a mais influˆencia do pixel central - Outro exemplo de Filtro Linear que opera no Dom´ınio Espacial), o filtro da moda(O n´ıvel de cinza do pixel central ´e o n´ıvel de cinza mais populoso dentro da janela de dimens˜ao do filtro - Este filtro ´e usado para homogeneizar imagens tem´aticas, ou para reduzir ru´ıdos mantendo o m´aximo de informa¸c˜ao na imagem) e o filtro da mediana(O n´ıvel de cinza do pixel central ´e o n´ıvel de cinza intermedi´ario do conjunto ordenado de n´ıveis de cinza dentro da janela da m´ascara - Este ´e um filtro complexo por envolver ordena¸c˜ao. Mas sua aplica¸c˜ao suaviza a imagem preservando a 3
  4. 4. informa¸c˜ao de bordas na mesma). 3 Filtragem Digital Consiste na aplica¸c˜ao de t´ecnicas de transforma¸c˜ao (operadores - m´ascaras) com o objetivo de corrigir, suavizar ou real¸car determinadas caracter´ısticas de uma imagem dentro de uma aplica¸c˜ao espec´ıfica, entendendo como corre¸c˜ao a remo¸c˜ao de caracter´ısticas indesej´aveis, e como realce ´e a acentua¸c˜ao de caracter´ısticas. A filtragem ´e realizada pixel a pixel, onde o novo n´ıvel de cinza de um ponto P qualquer depende do seu n´ıvel de cinza original e do de outros pontos considerados como vizinhan¸ca de P. Em geral, os pontos mais pr´oximos de P contribuem mais para o novo valor do n´ıvel de cinza do que os pontos mais afastados. Dentro do dom´ınio da filtragem podemos citar: o Dom´ınio Espacial(Procedimentos que operam diretamente sobre os pixels da imagem na sua forma original) e o Dom´ınio da Frequˆencia(Procedimentos que operam sobre a Transformada de Fourier da imagem original). J´a os filtros podem ser classificados como: Lineares(Suavizam, real¸cam detalhes da imagem e minimizam efeitos de ru´ıdo, sem alterar o n´ıvel m´edio de cinza da imagem) e N˜ao-Lineares(Aplicam transforma¸c˜oes sem o compromisso de manterem o n´ıvel m´edio de cinza da imagem original). 4 Filtragem Linear no Dom´ınio do Espa¸co Os m´etodos de filtragem espacial operam diretamente sobre a matriz de pixels (imagem digita- lizada). Normalmente utilizam opera¸c˜oes de convolu¸c˜ao entre a imagem original e uma m´ascara especialmente constru´ıda(As m´ascaras s˜ao chamadas de filtros espaciais). 5 O Processo de Filtragem Espacial Consiste na aplica¸c˜ao sucessiva de m´ascara que desliza sobre toda a imagem original. Ao ser aplicada com centro numa posi¸c˜ao (i,j), sendo i o n´umero de uma dada linha e j o n´umero de uma dada coluna da imagem, consiste na substitui¸c˜ao do valor do pixel na posi¸c˜ao (i,j) por um novo valor o qual depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da m´ascara. `A cada posi¸c˜ao da m´ascara est´a associado um valor num´erico, chamado de peso ou coeficiente. Em cada posi¸c˜ao (i,j), os pesos do filtro s˜ao multiplicados pelos NCs dos pixels correspondentes e somados, resultando em um novo valor de NC, que substitui o antigo NC do pixel central. Na opera¸c˜ao de filtragem deve-se calcular os pontos pertencentes `a borda da imagem de modo diferente dos demais, j´a que estes n˜ao disp˜oem de todos os vizinhos. Por quest˜oes de simetria usam-se, na defini¸c˜ao das m´ascaras dos filtros, janelas N x N, onde N ´e um n´umero ´ımpar. Por quest˜oes de eficiˆencia computacional, s˜ao prefer´ıveis valores pequenos para N (no m´aximo 7). 6 Filtragem N˜ao-Linear no Dom´ınio Espacial Um exemplo t´ıpico de filtro passa-baixas n˜ao-linear ´e o filtro da mediana, que suaviza a imagem sem contudo diminuir sua resolu¸c˜ao. No filtro da mediana, os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela na imagem, s˜ao ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordena¸c˜ao. ´E poss´ıvel, tamb´em, em vez de tomar a mediana da vizinhan¸ca, escolher o valor m´aximo ou o valor de ordem qualquer. Esta categoria de filtros ´e conhecida por filtros de ordem. Uma alternativa que produz resultados interessantes ´e tomar o valor mais freq¨uente de uma vizinhan¸ca - a ‘moda’, que elimina ru´ıdos pontuais sem alterar muito as informa¸c˜oes da imagem. Abaixo s˜ao especificados os filtros da mediana, ordem e moda. Filtro da Mediana Os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, s˜ao ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordena¸c˜ao. 4
  5. 5. Filtro de Ordem Os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, s˜ao or- denados e tomado como novo valor para (x,y) o valor m´aximo ou o valor de uma ordem qualquer desta ordena¸c˜ao. Filtro da Moda Os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, s˜ao orde- nados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mais freq¨uente da vizinhan¸ca 7 Ru´ıdo ‘Sal e Pimenta’ Esse ru´ıdo ´e causado por erros na transmiss˜ao de dados. Os pixels corrompidos ou s˜ao alterados para o valor m´aximo, ou tem alguns bits alterados, causando uma diferen¸ca brusca de tons entre este pixel e seus vizinhos. Quando os pixels s˜ao alternadamente modificados para 0 ou o m´aximo, este ru´ıdo ´e chamado de Salt and Pepper, devido a sua aparˆencia. Para este tipo de ru´ıdo, as me- lhores t´ecnicas s˜ao de filtragem em passa-baixa. Filtros de suaviza¸c˜ao como o de m´edia e guassiano s˜ao relativamente mal sucedidos porque o pixel que foi alterado pode variar significativamente do valor original, e assim a m´edia pode dar um valor diferente do valor original. Um filtro mais eficiente nesse caso seria o filtro de mediana, que remove este tipo de ru´ıdo mais eficientemente e preserva o contorno e pequenos detalhes da imagem. Figura 3: Imagem Original e Imagem Ruidosa com Salt-and-Pepper a 10%. 8 Resultados A seguir ser˜ao apresentados alguns resultados adquiridos atrav´es da plataforma R. 5
  6. 6. Figura 4: Imagem Original Usada nos Testes de Filtragem - Filtro da M´edia e da Mediana. Referˆencias Camara G., Souza R., F. U. G. J. (1996), ‘Spring: Integrating remote sensing and gis by object- oriented data modelling’, Computers & Graphics 20(3), 395–403. Gonzalez, R. & Woods, R. (1992), Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company. Jain, A. (1986), Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice-Hall. Marion, A. (1991), An Introduction to Image Processing, Chapman and Hall. Ogˆe Marques Filho, H. V. N. (1999), Processamento Digital de Imagens, number 85-7452-009-8, Brasport. R Development Core Team (2009), R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL http://www.R-project.org, ISBN 3-900051-07-0. SILVA, A. M. e. (2001), Curso Processamento digital de imagens de sat´elite, Centro de Eventos da PUCRS - de 07 a 12 de outubro de 2001, Porto Alegre - RS. URL www.cartografia.org.br. Woods, R. C. G. . R. E. (1992), Digital Image Processing, number 0-201-50803-6, Addison Wesley. 6
  7. 7. Imagem Original Imagem Ruidosa Filtro da Mediana − mask 3 x 3 Filtro da Média − mask 3 x 3 Figura 5: Imagem Filtrada com M´ascara 3x3. 7
  8. 8. Imagem Original Imagem Ruidosa Filtro da Mediana − mask 5 x 5 Filtro da Média − mask 5 x 5 Figura 6: Imagem Filtrada com M´ascara 5x5. 8
  9. 9. Imagem Original Imagem Ruidosa Filtro da Mediana − mask 7 x 7 Filtro da Média − mask 7 x 7 Figura 7: Imagem Filtrada com M´ascara 7x7. 9
  10. 10. Imagem Original Imagem Ruidosa Filtro da Mediana − mask 11 x 11 Filtro da Média − mask 11 x 11 Figura 8: Imagem Filtrada com M´ascara 11x11. 10

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