4. INTRODUCCIÓN
x y z
= + +
i j k
Operador Vectorial Diferencial ∇
Este operador posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. También se conoce como Nabla
5. GRADIENTE
DEFINICIÓN DE GRADIENTE
Sea una función escalar definida u diferenciable
en cada punto (x, y, z) en cierta región del espacio. Entonces el
gradiente de , que se denota con se define como:
( )
, ,
x y z
x y z x y z
= + + = + +
i j k i j k
6. EJEMPLO 1: HALLAR EL GRADIENTE DE
UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Suponga que . Encuentre el gradiente en el punto ( )
1,1,2
P
( ) 3 2 2
, , 3
x y z xy y z
= −
( )
3 2 2
3xy y z
x y z
= + + −
i j k
( )
3 2 2 2
3 9 2 2
y xy yz y z
= + − −
i j k
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2
1,1,2 3 1 9 1 1 2 1 2 2 1 2
= + − −
i j k
( )
1,1,2 3 4
= + −
i j k
7. MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Deseamos encontrar los puntos xy que son los extremos
(valores máximo o mínimo) de una función f(x, y) sujeta a la
restricción g(x, y) = d.
Esto ocurrirá únicamente cuando los gradientes y
sean ortogonales a la curva dada g(x, y) = d. Entonces esos
gradientes son paralelos y, por tanto, debe haber una
constante tal que
f
g
f g
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
x x y y
f x y g x y f x y g x y g x y d
= = =
8. EJEMPLO 2: MINIMICE LA FUNCIÓN
Minimice sujeta a la restricción ( )
, 2 9
g x y x y
= + =
( ) 2 2
, 2
f x y x y
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
2 2 , 4 2 9
x x y y
f x y g x y f x y g x y g x y d
x y x y
= = =
= = + =
( )
2 2 4
4
x y
x y
=
=
( )
2 4 9
9 9
1
y y
y
y
+ =
=
=
( )
4 1
4
x
x
=
=
( ) ( ) ( )
2 2
4,1 4 2 1 18
f = + =
10. EJEMPLO 3: CALCULE LA DIVERGENCIA
Suponga que Encuentre la divergencia en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 4
1, 1,1 2 1 1 4 1 1 1 1 7
x z y z xy z
x y z
x z y z xy z xz yz xy
x y z
= + + − +
= + − + = − +
− = − − + − =
A i j k i j k
A
A
12. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
x z y z xy z
x y z
x y z
x z y z xy z
xy z y z xy z x z y z x z
y z x z x y
= + + − +
=
−
= − − − − + − −
×A i j k × i j k
i j k
×A
×A i j k
13. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 4 2 0
1, 1,1 2 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 2
xy z y z xy z x z y z x z
y z x z x y
xyz y z y z x z
= − − − − + − −
= + − − +
− = − + − − − − = +
×A i j k
×A i j k
×A i j i j