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Semana 14: Gradiente, Divergencia y Rotacional
Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020
UNIDAD 3: INTEGRACIÓN
VECTORIAL
TEMA: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.
INTRODUCCIÓN
x y z
  
 = + +
  
i j k
Operador Vectorial Diferencial ∇
Este operador posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. También se conoce como Nabla
GRADIENTE
DEFINICIÓN DE GRADIENTE
Sea una función escalar definida u diferenciable
en cada punto (x, y, z) en cierta región del espacio. Entonces el
gradiente de , que se denota con se define como:
( )
, ,
x y z

 

x y z x y z
  
 
 
     
 = + + = + +
 
     
 
i j k i j k
EJEMPLO 1: HALLAR EL GRADIENTE DE
UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Suponga que . Encuentre el gradiente en el punto ( )
1,1,2
P
( ) 3 2 2
, , 3
x y z xy y z
 = −
( )
3 2 2
3xy y z
x y z

 
  
 = + + −
 
  
 
i j k
( )
3 2 2 2
3 9 2 2
y xy yz y z

 = + − −
i j k
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2
1,1,2 3 1 9 1 1 2 1 2 2 1 2

 = + − −
i j k
( )
1,1,2 3 4

 = + −
i j k
MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Deseamos encontrar los puntos xy que son los extremos
(valores máximo o mínimo) de una función f(x, y) sujeta a la
restricción g(x, y) = d.
Esto ocurrirá únicamente cuando los gradientes y
sean ortogonales a la curva dada g(x, y) = d. Entonces esos
gradientes son paralelos y, por tanto, debe haber una
constante tal que
f
 g

 f g

 = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
x x y y
f x y g x y f x y g x y g x y d
 
= = =
EJEMPLO 2: MINIMICE LA FUNCIÓN
Minimice sujeta a la restricción ( )
, 2 9
g x y x y
= + =
( ) 2 2
, 2
f x y x y
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
2 2 , 4 2 9
x x y y
f x y g x y f x y g x y g x y d
x y x y
 
 
= = =
= = + =
( )
2 2 4
4
x y
x y
=
=
( )
2 4 9
9 9
1
y y
y
y
+ =
=
=
( )
4 1
4
x
x
=
=
( ) ( ) ( )
2 2
4,1 4 2 1 18
f = + =
DIVERGENCIA
DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA
EJEMPLO 3: CALCULE LA DIVERGENCIA
Suponga que Encuentre la divergencia en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 4
1, 1,1 2 1 1 4 1 1 1 1 7
x z y z xy z
x y z
x z y z xy z xz yz xy
x y z
 
  
 = + + − +
 
  
 
  
 = + − + = − +
  
 − = − − + − =
A i j k i j k
A
A
ROTACIONAL
DEFINICIÓN DE ROTACIONAL
EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
x z y z xy z
x y z
x y z
x z y z xy z
xy z y z xy z x z y z x z
y z x z x y
 
  
 = + + − +
 
  
 
  
 =
  
−
   
     
 
 = − − − − + − −
   
 
     
 
   
×A i j k × i j k
i j k
×A
×A i j k
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Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 4 2 0
1, 1,1 2 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 2
xy z y z xy z x z y z x z
y z x z x y
xyz y z y z x z
   
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 = − − − − + − −
   
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Semana 14: Gradiente, Divergencia y Rotacional

  • 2. Cálculo Multivariable Marcelo Fernando Valdiviezo C. Carrera de Telecomunicaciones Octubre - 2020
  • 3. UNIDAD 3: INTEGRACIÓN VECTORIAL TEMA: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.
  • 4. INTRODUCCIÓN x y z     = + +    i j k Operador Vectorial Diferencial ∇ Este operador posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. También se conoce como Nabla
  • 5. GRADIENTE DEFINICIÓN DE GRADIENTE Sea una función escalar definida u diferenciable en cada punto (x, y, z) en cierta región del espacio. Entonces el gradiente de , que se denota con se define como: ( ) , , x y z     x y z x y z               = + + = + +           i j k i j k
  • 6. EJEMPLO 1: HALLAR EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Suponga que . Encuentre el gradiente en el punto ( ) 1,1,2 P ( ) 3 2 2 , , 3 x y z xy y z  = − ( ) 3 2 2 3xy y z x y z        = + + −        i j k ( ) 3 2 2 2 3 9 2 2 y xy yz y z   = + − − i j k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1,1,2 3 1 9 1 1 2 1 2 2 1 2   = + − − i j k ( ) 1,1,2 3 4   = + − i j k
  • 7. MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Deseamos encontrar los puntos xy que son los extremos (valores máximo o mínimo) de una función f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = d. Esto ocurrirá únicamente cuando los gradientes y sean ortogonales a la curva dada g(x, y) = d. Entonces esos gradientes son paralelos y, por tanto, debe haber una constante tal que f  g   f g   =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , x x y y f x y g x y f x y g x y g x y d   = = =
  • 8. EJEMPLO 2: MINIMICE LA FUNCIÓN Minimice sujeta a la restricción ( ) , 2 9 g x y x y = + = ( ) 2 2 , 2 f x y x y = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , 2 2 , 4 2 9 x x y y f x y g x y f x y g x y g x y d x y x y     = = = = = + = ( ) 2 2 4 4 x y x y = = ( ) 2 4 9 9 9 1 y y y y + = = = ( ) 4 1 4 x x = = ( ) ( ) ( ) 2 2 4,1 4 2 1 18 f = + =
  • 10. EJEMPLO 3: CALCULE LA DIVERGENCIA Suponga que Encuentre la divergencia en el punto P(1, -1, 1) 2 2 2 2 2 2 . x z y z xy z = − + A i j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1, 1,1 2 1 1 4 1 1 1 1 7 x z y z xy z x y z x z y z xy z xz yz xy x y z       = + + − +            = + − + = − +     − = − − + − = A i j k i j k A A
  • 12. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL Suponga que Encuentre el rotacional en el punto P(1, -1, 1) 2 2 2 2 2 2 . x z y z xy z = − + A i j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y z xy z x y z x y z x z y z xy z xy z y z xy z x z y z x z y z x z x y       = + + − +            =    −              = − − − − + − −                   ×A i j k × i j k i j k ×A ×A i j k
  • 13. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL Suponga que Encuentre el rotacional en el punto P(1, -1, 1) 2 2 2 2 2 2 . x z y z xy z = − + A i j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 1, 1,1 2 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 2 xy z y z xy z x z y z x z y z x z x y xyz y z y z x z              = − − − − + − −                    = + − − +  − = − + − − − − = + ×A i j k ×A i j k ×A i j i j