4. INTRODUCCIÓN
,
x
f x y
,
y
f x y
DERIVADA DIRECCIONAL
Derivada utilizada para
calcular la pendiente en un
punto de una superficie
5. INTRODUCCIÓN
Cos Sin
u i j
0
0
Cos
Sin
x x t
y y t
Ecuaciones
paramétricas de la recta
L
Pendiente de la recta secante que une los puntos
sobre P y Q
8. EJEMPLO 1: HALLAR UNA DERIVADA
DIRECCIONAL
Hallar las derivadas direccional de en (1, 2) en la
dirección de
2 2
1
, 4
4
f x y x y
, , Cos , Sin
x y
D f x y f x y f x y
u
Cos Sin
3 3
u i j
2 Cos Sin
2
y
x
, 1, 2
3
x y
2
1,2 2 1 Cos Sin
3 2 3
D f
u
1 3 3
1,2 2 1 1 1.866
2 2 2
D f
u
9. EJEMPLO 2: HALLAR UNA DERIVADA
DIRECCIONAL
Hallar las derivadas direccional de en en la
dirección de
2
, Sin 2
f x y x y
, , Cos , Sin
x y
D f x y f x y f x y
u
3 4
v i j
2
2 Sin 2 Cos 2 Cos2 Sin
x y x y
3 4
1, 2Sin 2Cos
2 5 5
D f
u
1,
2
3 4
Cos Sin
5 5
v
u i j i j
v
3 4 8
1, 0 2
2 5 5 5
D f
u
10. GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS
VARIABLES
DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
11. EJEMPLO 3: HALLAR EL GRADIENTE DE
LA FUNCIÓN
Hallar el gradiente de en el punto (1, 2)
2
, ln
f x y y x xy
2
,
, ln 2
x
y
y
f x y y
x
f x y x xy
2
, ln 2
y
f x y y x xy
x
i j
2
2
1,2 2 ln1 2 1 2
1
f
i j
1,2 6 4
f
i j
12. GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS
VARIABLES
FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
13. EJEMPLO 4: HALLAR UNA DERIVADA
DIRECCIONAL USANDO EL GRADIENTE
Hallar la derivada direccional de en en la
dirección de
2 2
, 3 2
f x y x y
3
,0
4
3
,0 0,1
4
P a Q
3 3
0 1 0
4 4
PQ
v i j i j
3 4
5 5
v
u i j
v
, , ,
, 6 4
x y
f x y f x y f x y
f x y x y
i j
i j
3 3
,0 6 4 0
4 4
f
i j
3 9
,0 0
4 4
f
i j
3 3
,0 ,0
4 4
D f f
u u
3 9 3 4 27
,0 0
4 2 5 5 10
D f
u i j i j
15. FUNCIONES DE TRES VARIABLES
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES
16. FUNCIONES DE TRES VARIABLES
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES
17. EJEMPLO 5: HALLAR EL GRADIENTE PARA
UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES
Hallar para la función dada por y hallar
la dirección de máximo incremento de f en el punto (2, -1, 1)
, ,
f x y z
2 2
, , 4
f x y z x y z
, , , , , , , ,
x y z
f x y z f x y z f x y z f x y z
i j k
, , 2 2 4
f x y z x y
i j k
2, 1,1 4 2 4
f
i j k