Este documento presenta los conceptos básicos de los números complejos. Define un número complejo como una suma de una parte real y una parte imaginaria. Introduce las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con números complejos. Explica cómo simplificar potencias de i y calcular conjugados de números complejos.
2. 2
Objetivos:
1. Definir el conjunto de los números complejos.
2. Simplificar potencias de i.
3. Difinir y usar las operaciones con números
complejos.
3. 3
Definición
Un número de la forma a + bi donde a y b son
números reales, se conoce como un
número complejo .
La a se conoce como la parte real y la b se conoce
como la parte imaginaria del número complejo.
se conoce como la raíz imaginaria.
1
i
1
i
4. 4
Definición
Al conjunto de números
1
;
,
/ 2
i
R
b
R
a
bi
a
C
se le conoce como el conjunto de números complejos.
8. 8
Definición
Dos números complejos son iguales si las partes reales
son iguales y las partes imaginarias también son
iguales .
Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.
10. 10
Potencias de i
, ,1, 1.
i i
1
2
i
3 2
1
i i i i i
4 2 2
1 1 1
i i i
Este último resultado hace que las potencias de i solo
tengan como resultados a:
1
i
11. 11
Procedimiento para simplificar potencias de i
1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i
elevado al residuo de la división.
2. Para simplificar use;
a.
b.
c.
d. i
i
3
1
i i
1
0
i
2
1
i
12. 12
Simplifica las potencias de i
8
1) i 1
10
2) i 2
1
i
540
3) i
0
1
i
0
20
20
12
14
135
4
540
4
13. 13
13
4) i i
227
5) i i
285
6) i
1
i
1127
7) i i
1
71
4
285
i
1127 4 281 3
3
i
3
i
14. 14
Definiciones de las Operaciones con
Números Complejos
1. :
Suma a bi c di
i
d
b
c
a
Ej 5
em 1: 6
plo 2
i i
5 6 1 2
i
i
11
15. 15
2. Resta : a bi c di
i
d
b
c
a
3
Ejemplo 1: 2 6 3
i i
3 2 6 3
i i
9 5i
a bi c di
La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.
17. 17
3. Multiplicación : .
a bi c di
ac bd ad bc i
Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo
como si fuera una multiplicación de polinomios.
a bi c di
ac ad i
bc i
2
bd i
1
ac ad bc i bd
ac bd ad bc i
18. 18
Ejemplo 1: 4 2 3 5
i i
2
10
6
20
12 i
i
i
12 14 10
i
i
14
22
12 20 6 10 1
i i
19. 19
2
Ejemplo 2: 4 5
i
25
40
16
i
i
40
9
4 5 4 5
i i
2
16 20 20 25
i i i
16 40 25 1
i
20. 20
3
Ejemplo 3: 2 3
i
46 9i
2
2 3 2 3
i i
2
4 12 9 2 3
i i i
4 12 9 1 2 3
i i
4 12 9 2 3
i i
5 12 2 3
i i
2
10 15 24 36
i i i
10 15 24 36
i i
21. 21
El conjugado de se define por .
Definición
z a bi z a bi a bi
Encuentra el conjugado de cada
Ejemplo
núm
s:
ero.
1. 2 4
2. 2 4
3. 64
4. 12 24
5. 13
i
i
i
i
i
4
2
2 4i
64i
12 24i
13
22. 22
8 7
Ejemplo 1:
1 3
i
i
1 3
8 7
•
1 3 1 3
i
i
i
i
2
2
9
1
21
7
24
8
i
i
i
i
La división se hace multiplicando por el conjugado
del denominador.
4. División:
a bi
c di
.
a bi c di
c di c di
26. 26
Ejercicios:
Lleva a cabo la operación indicada.
1) 5 7 2
i i
2) 3 12 6 3
i i
3) 12 23 16 13
i i
4) 13 32 36 53
i i
5) 3 2 6 3
i i
27. 27
6) 5 7 2
i i
7) 3 12 6 3
i i
1 2
8)
6 3
i
i
3 2
9)
6 3
i
i
28. 28
1) 5 7 2
i i
12 i
2) 3 12 6 3
i i
3 12 6 3
i i 3 15
i
3) 12 23 16 13
i i
12 23 16 13
i i 28 36
i
29. 29
4) 13 32 36 53
i i
49 21
i
5) 3 2 6 3
i i
2
18 9 12 6
i i i
18 21 6 1
i
12 21
i
6) 5 7 2
i i
2
35 10 7 2
i i i
35 3 2
i
37 3
i
30. 30
7) 3 12 6 3
i i
2
18 9 72 36
i i i
18 63 36
i
54 63
i
1 2
8)
6 3
i
i
1 2 6 3
6 3 6 3
i i
i i
2
2
6 3 12 6
36 9
i i i
i
6 9 6
36 9
i 12 9
45
i 4 3
15
i
31. 31
3 2
9)
6 3
i
i
3 2 6 3
=
6 3 6 3
i i
i i
2
18 9 12 6
=
36 9
i i i
18 3 6
=
36 9
i
24 3
=
45
i 8
=
15
i
32. Representación gráfica
• Para representar un número complejo o de
la forma a + bi, se utiliza un sistema de
coordenadas rectangulares, en el cual la
parte real se representa en el eje horizontal
y la imaginaria en el eje vertical.
35. Valor Absoluto
• Es la distancia entre el origen y el punto que
representa al número complejo.
• El valor absoluto o módulo de un número
complejo a + bi está definido como:
» |a + bi| = √(a² + b²)
• Ejemplo:
– |-4+2i| =
√(-4)²+(2)² = √20 = 2√5