MATEMATICA

1. 1
Matemáticas Financieras
Interés Simple____________________________________________________________ 2
Interés Compuesto ________________________________________________________ 5
Rentas_________________________________________________________________ 12
Tablas De Amortización___________________________________________________ 37
Fondo De Amortización ___________________________________________________ 43
Bonos _________________________________________________________________ 44

2. 2
Interés Simple
1. - Determinar el monto a retirar, si una persona deposita el monto de $ 1.000.000:
a) al 1,67% mensual, durante 3 meses.
VP = 1.000.000
i =1,67%
n = 3 meses
VF = …
VF = 1.000.000 * (1+0,0167 *3)
VF = 1.050.100
b) al 15% anual, durante 2 años.
VP = 1.000.000
i=15%
n = 2 años
VF = …
VF = 1.000.000 * (1+0,15 *2)
VF = 1.300.000
c) al 4% bimestral, durante 1 año.
VP = 1.000.000
i=4%
N = 1 año ( 6 bimestres)
VF = …
VF = 1.000.000 * (1+0,04 *6)
VF = 1.240.000
2.- Encuentre el monto de intereses ganados, para un depósito inicial de $100:
a) Al 2.5%, durante 3 meses
VF = 100 * (1+ 0,025 * 0,25)
VF = $ 100, 625
Interés ganado = $ 0,625
b) Al 10%, durante dos años.
VF = 100 * (1+ 0,1 * 2)
VF = $ 120
Interés ganado = $ 20

3. 3
c) Al 5%, durante dos años
VF = 100 * (1+ 0,05 * 2)
VF = $ 110
Interés ganado = $ 10
d) Al 5%, durante 24 meses
VF = 100 * (1+ 0,05 * 2)
VF = $ 110
Interés ganado = $ 10
e) Al 2% mensual, durante 2.5 años
VF = 100 * (1+ 0,02 * 30)
VF = $ 160
Interés ganado = $ 60
3.- El depósito del Sr.Juan equivalente a $15.000 se transforma en $17.500 al cabo de un año
y el depósito de la Sra.María ascendente a $22.500 se transforma en $23.500 al cumplir 9
meses. ¿Qué tasa de interés simple se pagó en cada caso?
Caso 1(Sr.Juan).-
VP = 15.000
VF = 17.500
n = 1 año
i = ¿
17.500 = 15.000 * (1+ i * 1)
17.500 / 15.000 = 1+i
i = 16,7 % anual.
Caso 2(Sra.María).-
VP = 22.500
VF = 23.500
n = 9 meses
i = ¿
23.500 = 22.500 * (1+ i * 9)
23.500 / 22.500 = 1+i * 9
i = [
23.500
22.500
− 1] / 9  i = 0,49% mensual

4. 4
4. - Si por un préstamo de $ 550.000 por 3 meses se pagaron intereses por $ 27.500,
determine la tasa de interés mensual cobrada.
VF = 577.500
577.500 = 550.000 * (1+ i * 3)
577.500 / 550.000 = 1 + i *3
(577.500 / 550.000) – 1 = i * 3
i = [
577.500
550.000
− 1] / 3
i = 1,67% mensual.
5- Calcule el monto de interés producido por $ 30.000 durante 90 días a una tasa del 5%.
VP = 30.000
n = 90 / 360  0,25 años
i = 5 %
Interés ganado = 30.000 * (0,05 * 0,25)
Interés ganado = $375.
6.- ¿Cuánto debe depositar al 6% para tener $9.500 al cabo de 13 meses?
VF = 9.500
n = 13 meses  13/12  1,083 años
i = 6 %
VP = ¿
VP = [
9.500
(1+0,06∗1,083 )
]  $ 8.920,36
7.- Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de
intereses, 970 pesos. La tasa de interés de la cuenta de ahorro es del 2%. ¿Cuál es el saldo
final?
Interés ganado = $970
i = 2%
X * 0,02 = 970
X = 48.500 (Saldo inicial).
Saldo Final = 48.500 + 970  $49.470.
8.- Se le pide calcular el monto que retiraríamos dentro de 4 años, si hoy invertimos $2.000
a un 8% de interés simple para el primer año, con incrementos de un punto porcentual para
los próximos 3 años.
VP = 2.000
n = 4 años
i 1 = 8% ; i 2 = 9% ; i 3 = 10% ; i 4 = 11%
VF = ?

5. 5
VF = 2.000 + (2.000*0,08) + (2.000*0,09) + (2.000*0,1) + (2.000*0,11)
VF = $2.760
9.- ¿En cuánto tiempo se cuadruplica $150 al 4% de interés simple?
VP = 150
VF = 600
i = 4%
n = ¿
600 = 150 * (1+ 0,04 * n)
600 / 150 = 1 + 0,04 * n
4 = 1+ 0,04*n
3 = 0,04 * n  n = 75 años.
Interés Compuesto
1- Una anciana deposita un capital de $200.000 en el Banco Viejito durante 2 años a una
tasa de interés compuesto de 15%. ¿Cuál será el monto recibido por la anciana al final
del plazo si desea una capitalización anual?
VP = 200.000
n = 2 años
i = 15 % anual
VF = ¿
VF = 200.000 * (1,152)
VF = 264.500
2- Iván quiere obtener al cabo de 6 meses la cantidad de $350.000. ¿Cuánto dinero deberá
depositar si le ofrecen una tasa de 1,8% mensual?
VF = 350.000
n= 6 meses
i = 1,8 % mensual
VP = ¿
VP =
350.000
1,0186  VP = 314.471,56
3-Un ahorrante desea retirar de su banco la suma de $550.000 al cabo de 8 meses. El
ahorrante desea capitalización mensual y el banco le ofrece 1,5% mensual. ¿Cuánto capital
deberá depositar el ahorrante para cumplir con su objetivo?
VF = 550.000

6. 6
n= 8 meses
i = 1,5 % mensual
VP = ¿
VP =
550.000
1,0158  VP = 488.241,12
4-Un individuo desea depositar $120.000 y obtener al cabo de un año la suma de $150.000.
¿Qué tasa de interés compuesto mensual deberá requerir el ahorrante si desea capitalización
mensual?
VP = 120.000
VF = 150.000
i = ¿
n = 12 meses
150.000 = 120.000 * (1+i)12
150 .000
120 .000
= (1+i)12
√
150.000
120.000
− 1 = 𝑖
12
i = 1,87% mensual
5-¿En cuánto tiempo se duplica la tasa de crecimiento de un país si la tasa del PIB es de un
3% anual promedio?
i= 3% anual
n = ¿
VP = X
VF = 2X
2X = X * ( 1,03)n
2= (1,03)n
Log (2) = n Log (1,03)
n =
𝐿𝑜𝑔 (2)
𝐿𝑜𝑔 (1,03)
 n = 23,45 años
6.- Guillermo depositó en un banco $120.000 durante 12 meses en depósitos renovables
que ofrecen 1,8% mensual. ¿Cuál es el monto que recibirá al cabo de un año?
VP = 120.000
n = 12 meses
i = 1,8 % mensual
VF = ¿

7. 7
VF = 120.000 * (1,01812)
VF = 148.646,46
7-El hermano de José Manuel deposita $320.000 a 3 años plazo en el Banco la Ciudad con
capitalización anual. ¿Qué tasa le permitirá conseguir $450.000 al cabo del período?¿Cuál
es la tasa de interés compuesto mensual que deberá exigir una ahorrante para que al cabo de
8 meses de capitalización mensual se obtengan $440.000 de un capital de $380.000?
a) VP = 320.000
n= 3 años
i = ¿
VF = 450.000
450.000 = 320.000 * (1+i)3
√
450.000
320.000
3
− 1 = 𝑖  i = 12,036%
b) VP = 380.000
n=8 meses
i = ¿
VF = 440.000
440.000 = 380.000 * (1+i)8
√
440.000
380.000
8
− 1 = 𝑖  i = 1,85%
8-Ignacio deposita su capital de $270.000 a una tasa de interés compuesto de 9% con
capitalización anual. ¿Cuál debe ser el plazo del depósito para obtener un monto de
$350.000?
VP = 270.000
i = 9 % anual
n = ¿
VF = 350.000
350.000 = 270.000 * (1,09)n
350.000/270.000 = (1,09)n
Log [
350.000
270.000
] = 𝑛 𝐿𝑜𝑔 (1,09)
n =
𝐿𝑜𝑔 [
350.000
270.000
]
𝐿𝑜𝑔 (1,09)
 n = 3,01 años.
9-El banco Ideal ofrece una tasa de 27,3% convertible anualmente. ¿Cuánto tiempo
requerirá un capital de $480.000 para duplicarse?

8. 8
VP = 480.000
i = 27,3 % anual
n = ¿
VF = 960.000
960.000 = 480.000 * (1,273)n
960.000/480.000 = (1,273)n
Log [
960.000
480.000
] = 𝑛 𝐿𝑜𝑔 (1,273)
n =
𝐿𝑜𝑔 [
960.000
480.000
]
𝐿𝑜𝑔 (1,273)
 n = 2,87 años.
10- La actividad económica de un país, experimentó los siguientes incrementos bimestrales
: 3% el primer bimestre, 2,8% el segundo y tercer bimestre, 2,5% el cuarto bimestre, y
3,5% el quinto y sexto bimestre. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento de la actividad económica
de dicho año? ¿Cuál fue la tasa de crecimiento promedio bimestral que presentó el país?
a) (1,03) * (1,028)2 * (1,025) * (1,035)2
= 19,5 % anual
b) √1,1956
− 1 = 𝟑, 𝟎𝟏% 𝒃𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
11- Hallar el valor futuro de $ 20.000 depositados al 8%, durante 10 años y 4 meses.
n = 4 / 12 + 10 = 10,33 años
VP = 20.000
i = 8 % anual
VF = ¿
VF = 20.000 * ( 1,08)10,33
VF = 44.289,15
12- ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que
acumula el 8% semestral, para que se convierta en $10.000?
VP = 6.000
VF =10.000
i = 8 % sem.
n = ¿
10.000 / 6.000 = (1,08)n
Log (10.000/6.000) = n Log (1,08)
N =
𝐿𝑜𝑔[
10.000
6.000
]
𝐿𝑜𝑔 (1,08)
 n = 6,64 semestres.  3,32 años.

9. 9
13-¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el
capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6%
anual?
Soc. maderera :
VF = 2X
VP = X
n = 10 años
i = ¿
2X = X * (1+i)10
2X / X = (1+i)10
2 = (1+i)10
√2
10
-1 = i
i = 7,17 % anual
Conviene soc. maderera.
14- Calcule el saldo final de un capital de $25.000 colocados durante 5 años al 15% para
los primeros 3 años, y en los restantes al 18%.
VP = 25.000
VF = 25.000 * ( 1,15)3
VF = 38.021,875
VF = 38.021,875 * (1,18)2
VF = 52.941,66
15- Un capital que es colocado durante 20 meses al 2% mensual, produce en intereses $430
más con el régimen compuesto que con el régimen de capitalización simple. ¿Cuál es el
valor del capital? ¿ Qué tasa se debería usar en capitalización simple para que los montos
fuesen iguales?
a) X * (1,02)20 - X * ( 1+ 0,02 *20) = 430
1,48595 X - 1,4 X = 430
0,08595 X = 430
X = 5.002,9

10. 10
b) VF = 5.002,9 * (1,02)20
VF = 7.434,05
Por lo tanto,
7.434,05 = 5.002,9 * (1+ i *20)
7.434,05/5.002,9 = (1+i*20)
1,4859 = (1+i*20)
𝑖 =
1,4859 − 1
20
i = 2,43% mensual.
16- ¿A qué tasa anual de triplica un capital en 10 semestres?
VF = 3X
VP = X
i = ¿
n = 10 sem  5 años
3X = X * (1+i)5
3X / X = (1+i)5
2 = (1+i)5
√3
5
-1 = i
i = 24,57 % anual
17.-La plana ejecutiva de la Cía Deltas S.A se encuentra trabajando en la planificación
estratégica de la organización. Su gerente general ha planteado la conveniencia de abrir
sucursales en regiones con lo cual, según él, los ingresos de explotación podrían triplicarse
dentro de los próximos 10 años.
a)Determine la tasa de crecimiento anual promedio de los ingresos de explotación para
lograr la meta planteada por el Gerente General.
VF = VP * (1 + i)n
3X = X * (1 + i)10
3 = (1 + i)10
i = 10
3 - 1
i = 0,1161
i = 11,61%
b) Si los primeros 5 años crece a una tasa anual del 8%, a qué tasa anual debe crecer los 5
años restantes para alcanzar la meta mencionada previamente.
VF = VP * (1 + i)n

11. 11
3X = X * (1,08)5 * (1 + i)5
3 = 1,47 * (1 + i)5
2,04 = (1 + i)5
i = 5
04,2 - 1
i = 0,1533
i = 15,33%
c) Si los ingresos de explotación crecieran a una tasa anual del 5% ¿En cuántos años,
aproximadamente, se podría duplicar el ingreso por ventas?
VF = VP * (1 + i)n
2X = X * (1,05)n
2= (1,05)n / Log
Log (2) = n Log (1,05)
n =
05,1(
)2(
Log
Log
n = 14,2 Años
18-En un lejano país, el equipo económico de gobierno se ha planteado como meta que la
variación del IPC ( variación de precios del consumidor) del próximo año no supere el
10%.
a) Determine la tasa de crecimiento mensual promedio que deberían experimentar los
precios del consumidor para cumplir con la meta planteada.
VP = X
VF = 1,1X
n = 12
1,1 X = X * (1 + i)12
1,1 = (1 + i)12
i = 12 1,1 - 1
i = 0,79% mensual promedio.
b) Si durante el primer semestre del año, los precios aumentarán un 6%, determine la
tasa mensual a la cual deberían aumentar los precios el segundo semestre para
cumplir con la meta del 10% de variación de precios para el año.
1,1 X = 1,06 X * (1 + i)6
1,037 = (1 + i)6
i = 6
037,1 - 1
i = 0,61%
c) Si los precios experimentaran una variación mensual del 1,1%. ¿A cuánto
ascendería la variación de los precios en el año (inflación)?

12. 12
(1,011)12 -1 = 14,02%
A un 14,02 %.
Rentas
1- Pepe ha completado sus estudios de doctorado en Finanzas y desea conocer los costos
incurridos desde la obtención del título de pre-grado. Pepe se demoró 5 años para
obtener el título de Ingeniero Comercial donde pagó US$8.000 cada año(al final).
Luego usó otros 2 años para obtener su Master en Administración de Empresas donde
debió pagar US$10.000 cada año. Finalmente Pepe obtuvo su doctorado después de 4
años más, a un costo de US$12.000 por año. Si la tasa de interés anual es del 10%
efectivo.
a)¿Cuánto fue el costo de los estudios calculados hoy día cuando Pepe cumple 30 años.
i = 10% ef. Anual.
R1= U$ 8.000 anualas por los primeros 5 años
R2= U$10.000 anuales por los 2 años siguientes.
R3= U$ 12.000 anuales por los últimos 4 años.
VF = ?
VF = 8.000 * 




 
1,0
1)1,1( 5
* (1,1)6 + 10.000 * 




 
1,0
1)1,1( 2
* (1,1)4 + 12.000 




 
1,0
1)1,1( 4
VF = 172.962,56
b) Si Pepe espera trabajar hasta los 65 años para jubilarse. ¿Cuánto debe ser su renta anual
para recuperar lo invertido en sus estudios?
VP = 172.962,56
i = 10% ef. Anual
n = 35 años
R = ?
172.962,56 = R * 




 
35
35
)1,1(*1,0
1)1,1(
172.962,56 = 9,64 R
R = 17.942,17

13. 13
2-Usted acaba de comprar un automóvil en $ 4.790.000. Para adquirirlo, entregó un pie de
$800.000 y el resto lo financió con un crédito de 36 cuotas mensuales al 22% de interés
anual, capitalizable mensual. Se le pide:
a) Calcule el monto de la cuota (vencida) que debe pagar.
4.790.000 – 800.000 = 3.990.000
VP = 3.990.000
n = 36 meses
i = 22% anual cap.mensual  1,83% ef.mensual
3.990.000 = R * 




 
36
36
)0183,1(*0183,0
1)0183,1(
R = 152.297,35
b) Supongaque recibe unaherenciacuandoacaba de pagar la cuota 28. Si usteddesea
liquidarel créditopagandoel saldoenefectivo¿Cuántodeberíacancelar?
36 – 28 = 8
n = 8
VP = 152.297,35 * 




 
8
8
)0183,1(*0183,0
1)0183,1(
VP = 1.123.870,6
c) Suponga que inmediatamente después de la cuota 24, decide repactar el crédito(12
cuotas restantes), pagando el saldo en 18 cuotas anticipadas. ¿cuánto sería el monto
de cada cuota?
36 – 24 = 12
n = 12
VP = 152.297,35 * 




 
12
12
)0183,1(*0183,0
1)0183,1(
VP = 1.627.540,89
n = 18 cuotas anticipadas
1.627.540,89 = R * 




 
17
18
)0183,1(*0183,0
1)0183,1(
R = 105.022,6

14. 14
3-El señor Pérez ahorró durante 5 años a una tasa del 3% mensual, $20.000 mensuales
durante los primeros 3 años y $30.000 mensuales durante los años siguientes. En los meses,
30, 35 y 40 no realizó los depósitos correspondientes.
Determine el fondo acumulado por el Sr. Pérez hoy, en el momento de realizar el último
depósito (mes 60).
VF = ?
n = 5 años  60 meses.
R1 = $20.000 mensuales los primeros 36 meses.
R2 = $30.000 mensuales los últimos 24 meses.
i = 3% ef. Mensual
VF = 20.000 * 




 
03,0
1)03,1( 36
* (1,03)24 + 30.000 * 




 
03,0
1)03,1( 24
VF = 3.605.333,44
 Depósito 30
20.000 * (1,03)30 = 48.545,25
 Depósito 35
20.000 * (1,03)25 = 41.875,56
 Depósito 40
30.000 * (1,03)20 = 54.183,34
VF – Depósitos no realizados
3.605.333,44 – 48.545,25 – 41.875,56 – 54.183,34
= 3.460.729,29
4.-El Sr. Salvatierra prometió a su hijo Bernardo Patricio que cuando cumpliera 21 años, le
regalaría $ 6 millones. Hoy día, su hijo se encuentra celebrando su cumpleaños número 14.
Para cumplir su promesa el Sr. Salvatierra ha decidido efectuar depósitos bimestrales
vencidos a partir de hoy día.
Nota: Asuma que la tasa de interés permanece constante y equivale al 26,82% efectiva
anual.
a) Determine el monto del depósito que debe efectuar el Sr. Salvatierra.

15. 15
VF = 6.000.000
n = (21-14)*6 = 42 bimestres.
i = (1,2682)1/6 – 1 = 4,04% efectivo bimestral
R = …
Aplicando fórmula de renta en valor futuro:
R = 56.670,8
b) ¿A cuánto ascienden los ahorros del Sr. Salvatierra para el cumpleaños número 18 de su
hijo?
R = 56.670,8
n = (18 – 14)*6 = 24 bimestres.
i = 4,04% bimestral.
VF = …
Aplicando fórmula de renta en valor futuro:
VF = 2.226.251,2
5.-Un ingeniero comercial planifica iniciar un programa MBA en 3 años más y para ello
necesita contar con un monto de $10.000.000. Analizando sus posibilidades de ahorro
estima que puede ahorrar $600.000 cada trimestre en un fondo de amortización que ofrece
una tasa del 8% capitalizable trimestralmente.
a) A este ritmo de ahorro es posible que no alcance a reunir lo necesario, ¿ Cuánto deberá
agregar a cada cuota trimestral del fondo de amortización para reunir los 10 millones en
los 3 años?
VF= 10.000.000
i = 8 % cap. Trimestralmente.
n = 3*4 = 12 trimestres
R = …
Primerodebemosconvertirlatasaa efectivatrimestral:
8% / 4 = 2% efectivatrimestral.
Por lotanto,aplicamos fórmulade rentaenvalorfuturo,para saberel valor de lasrentas a
depositarparalograr juntarlos10 millonesen3años:
VF= R*[
(1+𝑖) 𝑛− 1
𝑖
]
10.000.000 = R*[
(1+0,02)12− 1
0,02
]
R = 745.596
Por lotanto,de estose deduce que cada trimestre deberáagregar:
745.596 – 600.000 = 145.596

16. 16
b) ¿Cuánto debiera depositar al final en el fondo de amortización (además de la última
cuota) si decide hacer aportes mensuales de $ 220.000 en lugar de los $600.000
trimestrales?
Como ahora las rentas son mensuales, debemos convertir la tasa efectiva trimestral
en una tasa efectiva mensual, por lo tanto:
√1,023
- 1 = 0,66% efectiva mensual.
R = 220.000 mensual.
n = 3*12 = 36 meses.
VF = …
VF = R*[
(1+𝑖) 𝑛
− 1
𝑖
]
VF = 220.000*[
(1+0,0066 )36
− 1
0,0066
]
VF = 8.907.073
De esto se deduce que a la última cuota se le debe agregar :
10.000.000 – 8.907.073 = 1.092.927
c) ¿Cuál sería el valor de cada aporte mensual al fondo si el Ingeniero Comercial logra
agregar un aporte único inicial adicional de $1.000.000?
Pie = 1.000.000
VF = 1.000.000*(1,0066)36
VF = 1.267.212
VF = 10.000.000 – 1.267.212 = 8.732.788
i = 0,66% efectiva mensual
n = 36 meses.
VF = R*[
(1+𝑖) 𝑛
− 1
𝑖
]
8.732.788 = R*[
(1+0,0066)36
− 1
0,0066
]
R = 215.695
6.-La familia Torrealba, pensando en el costo de los estudios de sus hijos, desea contar con
un ahorro de $60.000.000 dentro de 10 años. Para lograr este objetivo, su intención es
efectuar depósitos mensuales en una institución financiera que le otorgaría una tasa del
3,6% con capitalización mensual por los primeros 4 años y posteriormente le aplicaría una
tasa efectiva anual del 6%.

17. 17
Determine el monto del depósito mensual.
VF = 60.000.000
n = 10 años 120 meses
i = 3,6% cap. Mensual primeros 48 meses  0,3% ef. Mensual
i = 6% ef. Anual últimos 72 meses  0,49% ef.mensual
60.000.000 = R* 




 
003,0
1)003,1( 48
*(1,0049)72 + R* 




 
0049,0
1)0049,1( 72
R = 376.458,78
7.-Con el objeto de adquirir un departamento, Petunia, ha negociado un préstamo por
UF4.000 a 12 años plazo con el banco, el cual le ha aplicado una tasa de 6% anual efectivo
para los primeros 5 años y un 7% efectivo anual para los años restantes. Se pide:
a) ¿A cuánto asciende el dividendo mensual que debe pagar Petunia?
VP = 4.000
n = 12 años  144 meses
i = 6% ef.anual primeros 60 meses  0,49% ef.mensual
i = 7% ef.anual últimos 84 meses  0,57% ef.mensual
4.000 = R * 




 
60
60
)0049,1(*0049,0
1)0049,1(
+ R * 60
84
84
)0049,1(
)0057,1(*0057,0
1)0057,1(





 
R = 39,39
b)Una vez pagado el dividendo Nº105. ¿Cuánto es el monto de la deuda pendiente de
Petunia?
144 – 105 = 39
n = 39
VP = 39,39 * 




 
39
39
)0057,1(*0057,0
1)0057,1(
VP = 1.373,95
c) Determine el monto amortizado (amortización acumulada) una vez cancelado el
dividendo Nº59.
Monto amortizado = Préstamo – deuda
144-59 = 85

18. 18
n = 85
VP = 39,39* 




 
1
1
)0049,1(*0049,0
1)0049,1(
+ 39,39*
[
1,005784 −1
1,005784 ∗0,0057
]
1 ,0049
VP = 2.662,637  deuda pendiente una vez cancelado el dividendo número 59.
Monto amortizado = 4.000 – 2.662,637
Monto amortizado = 1.337,363
8.- Martín recibe una herencia de su padre. Un banco le ofrece una renta de $45.000
mensuales durante 20 años si deposita la herencia al 12% capitalizable mensualmente.
Encuentre el monto de la herencia recibida por Martín.
Tasa de interés nominal llevada a tasa de interés mensual efectiva: %0,1
12
12,0

20 años = 240 meses
 
 
73,873.086.4
01,0101,0
101,01000.45
240
240



VP
9.-Hace 5 años, Ripsy está depositando US$1.000 al final de cada trimestre obteniendo un
4% trimestral. ¿Cuánto tiene en la cuenta hoy día si no ha efectuado retiros? ¿Cuánto
tiene Ripsy, si hace 5 trimestres suspendió los depósitos?
  778.29
04,0
104,01
000.1
20










VF
Luego que la renta se deposita durante los 15 trimestres, debe seguir aplicándose el interés
compuesto durante los 5 trimestres restantes.
10.-Dado que el primer sueldo de nuestro estudiante es de 1 millón de pesos, decide que en
vez de aportar 200 mil pesos mensuales hasta la jubilación, aportará 120 mil pesos,
incrementando dicha aportación en 150 mil pesos en los últimos cinco años. ¿ Qué cuantía
tendrá ahorrada en el momento de la jubilación? Supongamos que nuestro estudiante tiene
       74,361.2416,338.458,023.20104,01
04,0
104,01
000.1
04,0
104,01
000.1
5
1515





























VF

19. 19
25 años y se jubilará a los 65 años. ( la tasa de interés es de un 18 % capitalizable
mensualmente)
n = 65- 25 = 40 años ( 480 meses)
R1= 120 n1= 420 meses
R2= 270 n2 = 60 meses
i = 18 % / 12
i = 1,5 % ef. Mensual
VF = 120*







 
015,0
1015,1
420
*(1,015)60 + 270







 
015,0
1015,1
60
VF = 10.138.034,6 + 25.977,96
VF = 10.164.012,56
11.-Una compañía que desea vender un terreno ha recibido las siguientes ofertas:
a) Un pago inicial de 200 millones de pesos y una trimestralidad de 50 millones durante los
10 años siguientes.
b) Un pago inicial de 120 millones de pesos y una semestralidad de 180 millones durante
los 5 años siguientes.
c) Una mensualidad de 27 millones durante 7 años.
Determine cuál es la mejor oferta si la valoramos al 4% anual efectiva.
Alt a) n = 10 años ( 40 trimestres)
R = 50
i = 4
04,1 - 1
i = 0,99 % ef. Trim.
Por lo tanto:
VP = 50 *







 
0099,1
0099,1
40
40
*0099,0
1
VP = 1.644,86
Por lo tanto, sumando el pago inicial, 1.644,86 + 200 = 1844,86 millones.
Alt b) n = 5 años ( 10 Semestres)
R = 180
i = 2
04,1 - 1
i = 1,98 % ef. Semestral
Por lo tanto:

20. 20
VP = 180*







 
0198,1
0198,1
10
10
*0198,0
1
VP = 1.618,56
Por lo tanto, sumando el pago inicial, 1.618,56 + 120 = 1.738,55
Alt c) n = 7 años ( 84 meses)
R = 27
i = 12 04,1 - 1
i = 0,33 % ef. Mensual
VP = 27*







 
0033,1
0033,1
84
84
*0033,0
1
VP = 1.977,96
A la compañía le conviene la alternativa c, debido a que es la que presenta un mayor
monto de ingresos.
12.- Dos compañeros de universidad dejan de verse durante muchos años. Cuando tenían 21
años acostumbraban fumarse una cajetilla de cigarrillos al día. El valor de la cajetilla
alcanzaba la suma de $560 actuales.
Después de 25 años, se encuentran en una calle céntrica y, luego de saludarse, uno de ellos
le dice al otro:”Hoy es un día muy especial para mí, puesto que acabo de firmar en la notaría
la escritura de propiedad de un lindo departamento en el sector céntrico de la ciudad”.
“¿Cuánto te costó?”, pregunta el otro. La respuesta fue: “Dejé de fumar a los 21 años, y
durante este tiempo decidí ahorrar el equivalente al valor diario de la cajetilla. Así, todos los
meses deposité en el banco la suma de $16.800. El banco me pagó 1% mensual de interés
real y con el producto total, pude comprar el departamento”.
¿Cuál fue el precio de la propiedad?
VF = ¿
n = 25 años  300 meses
i = 1 % mensual efectiva
R = 16.800
VF = 16.800 * [
1,01300
−1
0,01
]
VF = $31.564.623
13.- Hoy es 18 de octubre y dentro de 3 años el primogénito de Rodrigo Fuentes cumplirá la
mayoría de edad. Su padre desea regalarle una motocicleta que costaría $1.800.000 en 3 años
más.

21. 21
Para adquirirla decide ahorrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde
2% mensual. Si la tasa de rendimiento no cambia en ese tiempo, ¿Cuánto tendría que ahorrar
Rodrigo cada mes para poder adquirir la motocicleta?
VF = $1.800.000
n = 3 años  36 meses
i = 2% efectiva mensual.
R = ¿
1.800.000 = R * [
1,0236
−1
0,02
]
R = $34.619
14.- Al ver las noticias acerca del premio obtenido en la lotería, Ignacio quedó pensativo:
“Llevo 15 años apostando en este juego y nunca he ganado un sorteo”. “Si en ese entonces
le hubiese hecho caso a mi tío, que me recomendó que jamás jugara y depositara todas las
semanas el valor del cartón, tendría mis buenos ahorros”.
Si el costo del cartón es $200 y la tasa de interés efectiva es 12% anual, ¿Cuánto tendría
ahorrado?
R = $200 semanales
i = 12% anual  √1,1252
- 1 = 0,2182% efectiva semanal.
n = 15 años  780 semanas.
VF = 200*[
1,002182780
−1
0,002182
]
VF = $410.130
15.-Un empresario no sabe si firmar un contrato con la Metro Goldwyn Meyer (MGM) por
7 temporadas, por el que recibirá la suma de US$400.000 por período. Por otro lado,
Universal Studios le ofrece un contrato por 7 temporadas por US$1.900.000 pagaderos hoy.
¿Podría usted asesorarlo si sabe que el costo alternativo de este empresario es 10%?
R = $400.000
i = 10%
VP = ¿
n = 7
VP = 400.000 * [
1,17
−1
0,1∗1,17 ]
VP = $1.947.368
Le conviene firmar con MGM.
16.- Un consumidor decide comprar un equipo usado, cuyo precio es $800.000, para reparar
su vehículo, pero sólo cuenta con $500.000 para pagar de contado.

22. 22
a) Si le prestan la diferencia al 10% anual y sus ingresos le permiten pagar cuotas de
$94.641 al año (al final de cada año), ¿Cuánto demorará en pagar el equipo?
VP = $300.000
i = 10% anual.
R = $94.641
n = ¿
300.000 = 94.641* [
1,1 𝑛
−1
0,1∗1,1 𝑛]
n = 4 años
b) Si le prestan la diferencia al 10% anual a 6 años plazo, ¿De qué monto serían las
cuotas?
VP = $300.000
i = 10 % anual.
n = 6 años.
R = ¿
300.000 = R * [
1,16
−1
0,1∗1,16 ]
R = $68.882
c) Si le prestan la diferencia y debe pagar cuotas de $118.698 al año durante 5 años,
¿Qué tasa de interés le están aplicando?
R = $118.698
n = 5 años
VP = $300.000
i = ¿
300.000 = 118.698*[
(1+𝑖)5
−1
𝑖∗(1+𝑖)5 ]
i = 28,09 % efectiva anual.
17.- Usted desea comprar una casa para instalar un consultorio cuyo precio es $100.000.000,
por lo cual puede pagar $20.000.000 al contado y el resto lo cancela en 15 cuotas anuales
iguales. ¿Cuál es el valor de estas cuotas si la deuda devenga un interés anual de 8%?
VP = $80.000.000
n = 15 años
i = 8 % anual.
R = ¿
80.000.000 = R*[
1,0815
−1
0,08 ∗1,0815 ]
R = $9.346.360

23. 23
18.-Se estima que el costo de mantenimiento anual de un vehículo nuevo será de US$400 el
primer año y que aumenta en US$100 cada año durante los 7 años que se piensa mantener.
El vehículo tiene un valor hoy de US$22.000. Si el banco le da un 5% de interés anual sobre
los depósitos que ha estado realizando y si usted no tiene la posibilidad de disponer de dinero
para el mantenimiento a futuro, ¿Cuánto debería tener hoy en el banco ahorrado para estar
seguro de que con ese monto más los intereses que le paga al banco podría adquirir el
automóvil y costear su mantenimiento futuro?
VP = 22.000 +
400
1,051 +
500
1,052 +
600
1,053 +
700
1,054 +
800
1,055 +
900
1,056 +
1000
1,057
VP = 25.937,76
19.- El testamento de Diego Bello estipula que su albacea deberá vender todo el activo de su
herencia e invertir el producto líquido en un bono a 10 años plazo que pagará cupones anuales
a su sobrino Luciano Andrés.
El albacea encuentra que el único activo que existe en la herencia consiste en US$500.000
en pagarés oro de la compañía Maracaibo Petroleum Oil, que vencen a los 8 años y devengan
6% de interés pagadero semestralmente. Poco antes de morir Diego bello, la compañía
Maracaibo Petroleum Oil tuvo dificultades financieras y convino con los tenedores de sus
pagarés suspender el pago regular de los cupones, que quedarían como un pasivo diferido.
Al momento de vencer los pagarés se cancelarían a los tenedores de bonos, de una vez, el
capital más los cupones con el interés sobre los mismos, que capitalizarían semestralmente a
6% anual. Estos valores no pueden ser negociados en el mercado, pero una AFP
(Administración de Fondos de Pensionados) ofrece comprarlos a un precio que se
determinaría al calcular su valor actual tomando una tasa del 7,5% anual. El capital que se
obtenga se usa para adquirir un bono pagadero de cupones anuales a 10 años, afecto o sujeto
a una tasa de 5,5% anual. ¿Cuál es el monto de estos cupones?
 Cálculo del monto de los pagarés de MPO
√1,062
- 1 = 2,956 % efectiva semestral.
n = 8 años  16 semestres.
VF pagarés = 500.000 * (1,02956)16
VF pagarés = US $ 796.924
 Valorización presente de los pagarés por la AFP
i = 7,5 % anual
VP =
796 .924
1,0758
VP = US$ 446.837
 Monto de lo cupones
VP = US$ 446.837
i = 5,5% ef. Anual.
R = ¿
n = 10 años

24. 24
446.837 = R * [
1,05510
−1
0,055∗1,05510 ]
R = US$ 59.281
20.- Una persona desea hacer hoy un depósito de $50.000 en un banco, con el propósito de
continuar efectuando 10 depósitos adicionales semestrales por el mismo monto, el primero
de ellos dentro de 6 meses.
Si el banco le paga 10% semestral, ¿Cuánto retirará 6 meses después del último depósito?
VF = 50.000 * [
1,111
−1
0,1
]
VF = $926.558
VF = $926.558 * (1,1)1
VF = $1.019.214
21.-Bank of América les ofrece un crédito de 4.761 UF en 240 cuotas mensuales. La cuota
asciende a 29.64 UF.
a)¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual del préstamo?
VP = 4.761
n = 240 meses.
R = 29,64
i = ¿
4.761 = 29,64* [
(1+𝑖)240
−1
𝑖∗(1+𝑖)240 ]  i = 0,36% efectiva mensual.
(1,0036)12 -1 = 4,4% efectiva anual.
b) Usted le pide dos propuestas al Banco, una que incluya pagar dicho crédito en 15 y la otra
en 10 años. La respuesta del Banco es que la cuota mensual aumentaría a 36.90 UF y a
49.35 UF, respectivamente. ¿Cuál es la nueva tasa de interés efectiva anual en ambos
casos?
 Propuesta 1
VP = 4.761
n = 15 años  180 meses
R = 36,9
i = ?
4.761 = 36,9* [
(1+𝑖)180
−1
𝑖∗(1+𝑖)180 ]  i = 0,39% efectiva mensual.
(1,0039)12 -1 = 4,8% efectiva anual.

25. 25
 Propuesta 2
R = 49,35
n = 10 años  120 meses
4.761 = 49,35* [
(1+𝑖)120
−1
𝑖∗(1+𝑖)120 ]  i = 0,375% ef. Mensual
(1,00375)12 -1 = 4,6% efectiva anual.
c) Además, Bank of América le ofrece pagar el crédito en 12 años con una tasa de interés
efectiva anual de 4.60%. ¿Cuál sería la cuota a pagar con esta nueva oferta?
n = 12 años  144 meses
i = 4,6% ef. Anual.
VP = 4.761
R = ¿
√1,04612
-1 = 0,375% ef. Mensual.
4.761 = R * [
(1,00375)144
−1
0,00375∗(1,00375 )144 ]  R = 42,85 UF.
d) Si tuviera que elegir entre pagar el crédito en 10 años o en 12 años. ¿Cuál elegiría?
Explique su respuesta.
Depende de la capacidad de pago de la persona en cuestión.
22.-A fines del mes de Septiembre del año 2009, la Cía. Domus adquirió una máquina de
alta tecnología por un monto de US$ 150.000 a un proveedor europeo. Para efectos de
materializar la compra, el proveedor exigió un pie de un 10% y contactó al Gerente de
Finanzas con una institución financiera internacional, la cual le otorgó un préstamo a una
tasa del 5,94 % capitalizable semestralmente y por un plazo de 10 años, incluyendo un
período de gracia total de un semestre. La Cía. se comprometió a devolver el préstamo a la
institución financiera, mediante el pago de cuotas trimestrales iguales.
Asumiendo que la Cía. pague oportunamente sus cuotas:
a) Determine el monto adeudado por la empresa al 1 de Octubre (fines de Septiembre)
2010.
VP = 150.000*0,9 = 135.000
i = 5,94% cap. Sem.
n = 10 años  40 trimestres  38 trimestres (2 de gracia).
5,94%
2
= 2,97% efectiva semestral.  √1,02972
-1 = 1,47% efectiva trimestral.
VF = 135.000*(1,0147)2 = 138.998
Ahora podemos calcular el monto de las rentas vencidas a cancelar:
138.998 = R*[
(1,0147 )38
−1
0,0147 ∗1,014738 ]  R = $4.800,24

26. 26
Ahora debemos calcular el saldo adeudado al 1 de Octubre de 2010:
n = 38- 2 = 36
VP = 4.800,24*[
(1,0147)36
−1
0,0147∗1,0147 36 ]  VP = $133.443,57
b) Determine el monto total amortizado por la empresa una vez pagada la cuota N°20
n= 38-20 = 18
VP = 4.800,24*[
(1,0147)18
−1
0,0147∗1,0147 18 ]  VP = 75.434,79
Por lo tanto:
Amortización acumulada = 138.998 – 75.434,79
Amort. Acum = 63.563,21
c) Elabore la tabla de amortización del período Septiembre 2009 al 30 Septiembre
2010.
Período Cuota Interés Amortización Saldo
0 - - - 135.000
1 - - - 136.984,50
2 - - - 138.998
3 4.800,24 2.043 2.757,24 136.240,76
4 4.800,24 2.002,73 2.797,51 133.443,25
d) Determine el monto de amortización incluído en la cuota N°31.
n = 38-30 = 8
VP = 4.800,24*[
(1,0147)8
−1
0,0147∗1,0147 8]  VP = 35.981,25
Interés = 35.981,25 *0,0147 = 528,92
Amortización = 4.800,24 – 528,92
Amortización = 4.271,32
23.-El señor Ramírez debe al Banco “BTC” un préstamo por $ 4.500.000, obtenido el 1 de
febrero del 2010, el cual devolverá en tres cuotas iguales con vencimiento a 3, 6 y 9 meses
y con una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente.
Hoy (01 de mayo de 2010) el señor Ramírez propuso al Banco renegociar las cuotas que aún
no vencen, reemplazándolos por dos pagos iguales con vencimiento el 01 de octubre y el 1
de diciembre del 2010 Determine el valor de estos pagos si la tasa de reprogramación es del
12% semestral capitalizable mensualmente.

27. 27
VP = 4.500.000
n = 3 trimestres
i = 18% capitalizable mensualmente.
R = ¿
18%
12
= 1,5 % efectiva mensual.  (1,015)3 = 4,57% efectiva trimestral.
Ahora calculamos las cuotas originales a cancelar por el señor Ramírez:
4.500.000 = R*[
(1,0457 )3
−1
0,0457 ∗1,04573 ]  R = 1.639.141,5
Ahora debemos calcular el saldo insoluto al 1 de Mayo:
n = 3-1 = 2
i= 12% sem. Cap.Mensual
12%/6 = 2% efectiva mensual.  (1,02)3 -1 = 6,12% efectiva trimestral.
VP = 1.639.141,5 * [
(1,0612)2
−1
0,0612∗1,06122 ]  VP = 3.000.144
Ahora, debemos repactar la deuda, a la tasa actual otorgada por el banco:
3.000.144 =
𝑋
1,025 +
𝑋
1,027
X = $ 1.689.045,9
24.-Mr Jones desea repartir US$ 40.000 entre sus hijos, efectuando un depósito para cada
uno de ellos de forma tal que al llegar a la edad de 21 años cada uno reciba exactamente la
misma cantidad.
Actualmente, sus hijos: Juan Carlos, Andrea Paz y Macarena tienen 5, 8 y 15 años
respectivamente.
Determine el monto de dinero que debe depositar en cada cuenta a una tasa del 6% efectiva
anual.
40.000 =
𝑋
1,066 +
𝑋
1,0613 +
𝑋
1,0616
X = 25.519,22
Por lo tanto:
Cuenta Juan Carlos  10.045,55
Cuenta Andrea Paz  11.964,41
Cuenta macarena  17.990,04
25.- El ejecutivo de cuentas del banco SUZIE ha contactado al Sr.Valdés para ofrecerle la
reprogramación de su crédito hipotecario, aprovechando que las tasas de interés han bajado.

28. 28
Este crédito hipotecario de UF6.000 fue pactado hace 3 años. Las condiciones del crédito
son:
Plazo : 12 años.
Tasa de interés del 9,6% anual capitalizable mensualmente.
Pagos de dividendos mensuales (cuotas iguales vencidas) durante los 12 años de
vigencia del crédito.
El Sr.Valdés ha pagado puntualmente sus dividendos.
Actualmente, la tasa ofrecida por el banco es 6% efectiva anual.
a)Determinar el valor de los dividendos mensuales(cuotas iguales vencidas), si
reprograma la deuda insoluta a 10 años plazo, incluyendo 4 meses de gracia para la
amortización del crédito.
VP = 6.000
n = 12 años ( 144 meses)
i = 9,6% cap. Mensual
i = 9,6 % / 12
i = 0,8% efectiva Mensual.
Por lo tanto,
6.000 = R *







 
008,1
008,1
144
144
*008,0
1
R = 70,33 ( monto de las cuotas iguales vencidas acordadas a 12 años)
Ahora, vemos cuanto es el saldo adeudado el día de hoy. Obviamente aplicando tasa
actual, la cual es de un 6 % ef. Anual.
n = 9 años ( 108 meses)
R = 70,33
i = 6% ef. Anual
i = 12 06,1 - 1
i = 0,49% ef. Mensual.
Por lo tanto:
VP = 70,33 *







 
0049,1
0049,1
108
108
*0049,0
1
VP = 5.887,1 (Saldo adeudado de hoy)
Recién ahora podemos reprogramar la deuda ( lo pedido en el ejercicio a) ).
Por lo tanto.

29. 29
VP = 5.887,1
i = 0,49% ef. Mensual
n = 10 años (120 meses) , pero debemos recordar que hay 4 meses de gracia, por lo
tanto el n es 116.
5.887,1 = R *







 
0049,1
0049,1
116
116
*0049,0
1
R = 66,65
b)Determinar saldo insoluto, una vez que se hayan pagado 50 cuotas del nuevo crédito.
R = 66,65
n = 116 – 50 = 66
i = 0,49%
VP = 66,65 *







 
0049,1
0049,1
66
66
*0049,0
1
VP = 3.750,68
c)Determinar el monto de la amortización incluida en la cuota número 75.
Amortización = Cuota – Interés
n = 116 – 74 = 42
R = 66,65
VP = 66,65 *







 
0049,1
0049,1
42
42
*0049,0
1
VP = 2.524,47
i = 2.524,47 * 0,0049
i = 12,37
26.- Un fundo se vende en las siguientes condiciones: UF 5.000 de pie y 20 cuotas
mensuales de UF 800 cada una. Se cobra un interés de 12,68% efectivo anual. Determine el
valor contado del fundo.
Pie = 5.000 UF
R = 800 UF
i = 12,68% ef. Anual
n = 20 meses
VP = ¿

30. 30
√1,126812
- 1 = 0,99% efectiva mensual.
VP = 800*[
(1,0099)20
−1
0,0099∗1,009920 ]  VP = 14.450,98
VP = 14.450,98 + 5.000
VP = 19.450,98 UF
27.- Hace 5 años, Rimsy está depositando US$ 1.000 al final de cada semestre obteniendo
un 10% anual capitalizable semestralmente.
a) ¿Cuánto tendría, Rimsy, en la cuenta hoy día si no hubiese efectuado retiros?
VF = ¿
R = 1.000
i = 10% cap. Semestral
n = 10 semestres
10%/2 = 5 % efectiva semestral.
VF = 1.000*[
(1,05)10
−1
0,05
]  VF = 12.577,8
b) ¿Cuánto tendría si hace 3 semestres hubieses suspendido los depósitos?
n = 7 semestres
VF = 1.000*[
(1,05)7
−1
0,05
]  VF = 8.142
VF = 8.142*(1,05)3  VF = 9.425,3
28.- Un vehículo de transporte se vende al crédito bajo las siguientes condiciones: US$
5.000 de pie y 15 cuotas mensuales. Si la tasa de interés cargada es del 15% capitalizable
mensualmente, determine el valor de cada cuota si el valor contado del vehículo es de US$
22.000.
VP = 22.000 – 5.000 = 17.000
n = 15 meses
i = 15% cap. Mensual
R = ¿
15% / 12 = 1,25% efectiva mensual.
17.000 = R *[
(1,0125 )15
−1
0,0125 ∗1,012515 ]  R = 1.249,95
29.- Para financiar sus estudios universitarios usted deposita US$8.000 trimestrales durante
3 años antes de ingresar a la universidad. El último depósito lo efectúa al momento de
entrar. Estos depósitos ganan un 12% capitalizable trimestralmente. ¿ Cuántos retiros

31. 31
trimestrales de US$5.000 puede realizar durante los 7 años que duran los estudios,
iniciando los retiros al cumplir un trimestre en la universidad?
Tasa de interés anual nominal llevada a tasa de interés trimestral efectiva: %0,3
4
12,0

N= 12, debido a que 4 trimestres anuales en 3 años resultan ser en total 12 trimestres.
Para iniciar el cálculo debemos conocer el valor futuro de los depósitos de 8.000
  23,536.113
03,0
103,01
000.8
12










VF
113.536,23 = 5.000 *[
(1,03) 𝑛
−1
0,03∗1,03 𝑛 ]  n = 38,67 retiros.
30.- Se otorga un préstamo de $250.000 al 4% trimestral durante 7 años, incluído 2 años de
gracia (capital e intereses). El primer pago se efectúa al final del primer trimestre del tercer
año.
a) determine el valor de la cuota.
VP = 250.000
i = 4% trimestral.
n = 7 años  28 trimestres  20 trimestres (8 de gracia)
R = ¿
VF = 250.000 *(1,04)8 = 342.142.
342.142 = R *[
(1,04)20
−1
0,04 ∗1,0420 ]  R = 25.175,4
31.- Cuando usted llegue a disponer de un ahorro ascendente a 2 millones de pesos, se
iniciará como empresario. De sus ingresos de $200.000 puede ahorrar el 20% e invertirlos
al 12% capitalizable mensualmente. Determine el número de depósitos que debe efectuar.
VF = $2.000.000
R = $40.000
i = 12% cap. Mensual  12% / 12  1% ef. Mensual.
n =
2.000.000 = 40.000*[
(1,01) 𝑛
−1
0,01
]  n = 41 depósitos aprox.
32.- Suponer que hoy cumplió 25 años de edad y al cumplir 40 años desea hacer un viaje
con su familia a Europa, momento en el cual desea tener el dinero suficiente para dicho
viaje. Por lo anterior decide hacer depósitos trimestrales en el banco que le ofrece un 15%
capitalizable semestralmente durante los próximos 5 años y depósitos anuales a un 9%
semestral para los restantes.
Si la tasa de interés se mantiene en 9% semestral. ¿Cuál es el monto de los depósitos si los
pasajes puede cancelarlos en cuatro cuotas trimestrales de $1.500.000 cada una?
R = 1.500.000 Trimestral.

32. 32
i = 9% ef. Sem.
n = 4 trimestres.
Vp = ?
√1,092
- 1 = 4,4% ef. Trim.
Vp = 1.500.000 *[
(1,044 )4
−1
0,044∗1,0444 ]
Vp = 5.393.903 (Monto total q debo tener ahorrado para realizar mi viaje).
VF = 5.393.903
15% / 2 = 7,5 % ef. Sem.
√1,075
2
-1 = 3,68% ef. Trim.
n1 = 5 años  20 sem.
(1,09)2 -1= 18,8% ef. Anual.
n2 = 10 años
5.393.903 = R*[
(1,0368)20
−1
0,0368
] *(1,188)10 + R*[
(1,188)10
−1
0,188
]
5.393.903 = 161,3195*R + 24,46647*R
R = 29.032,96
33.- Su hijo tiene hoy 10 años y es un niño muy estudioso, por lo que hace planes para su
futuro ingreso a la Universidad, cuando tenga 18 años. Usted desea comenzar a ahorrar
dinero para ese propósito. Se estima que se necesitarán $3.000.000 (anuales) para los tres
primeros años y de $4.000.000 (anuales) para los dos últimos años de Universidad (se
pretende que usted disponga de esos dineros a principios de cada año).
Si la tasa es de un 6% semestral, y los ahorros los efectúa mensualmente, ¿Cuánto deberá
ser el monto de los depósitos para lograr pagarle los estudios a su hijo?
(1.06)2 – 1 = 12,36% ef. Anual.
Vp = 3.000.000 +
3.000.000
1,12361 +
3.000 .000
1,12362 +
4.000.000
1,12363 +
4.000 .000
1,12364

33. 33
Vp = 13.375.762
VF = 13.375.762
√1,066
- 1 = 0,976% ef. Mensual
n = 8 años  96 meses
13.375.762 = R*[
(1,00976 )96
−1
0,00976
]
R = 84.735,69
34.- Usted debe liquidar una cierta deuda que le cobra un interés del 15% efectivo anual.
Usted se consigue 3 meses de gracia y acuerda hacer pagos de $6.000 al final de cada mes
por 15 meses y un pago final de $20.000 3 meses después.
a) ¿Cuál es el valor de la deuda?
b) Confeccione la tabla de amortización para los primeros 6 períodos.
c) ¿Cuál es el saldo insoluto en el período número 13?
a)
i = 15% ef. Anual
3 meses de gracia total
R1 = 6.000 mensuales
n = 15
R2 = 20.000 3 meses después de terminar con R1.
√1,15
12
- 1 = 1,17% ef. Mensual
Vp * (1,0117)3 = 6.000 *[
(1,0117)15
−1
0,0117 ∗1,011715 ] +
20.000
1,0117 18
Vp * (1,0117)3 = 82.106,36 + 16.221,78
Vp * (1,0117)3 = 98.328,14
Vp = 94.956 (Valor Deuda).
b)
Período Cuota Interés Amortización Saldo
0 - - - 94.956
1 - - - 96.067
2 - - - 97.191
3 - - - 98.328
4 6.000 1.150 4.850 93.478
5 6.000 1.094 4.906 88.572

34. 34
6 6.000 1.036 4.964 83.608
c) R = 6.000  n = 5 meses
Vp = 6.000 *[
(1,0117)5
−1
0,0117 ∗1,01175 ] +
20.000
1,01178
Vp = 28.975,1 + 18.222,84
Vp = 47.197,94
35.- Para cancelar un crédito solicitado hace 2 años se determinó cancelar semestralmente
$350.000 los primeros 4 años y $450.000 los 3 años siguientes. ¿Cuál es el valor del crédito
solicitado considerando que el banco cobra un 18% capitalizable mensualmente?
R1 = 350.000; n1 = 8 semestres
R2 = 450.000; n2 = 6 semestres
i = 18% cap. Mensual.
VP = ?
18% / 12 = 1,5% efectiva mensual.
(1,015)6 – 1 = 9,34% ef. Semestral.
VP = 350.000*
(1,0934)8
−1
0,0934∗1,09348 + 450.000*
[
1,09346 − 1
1,09346 ∗0,0934
]
1,09348
VP = 1.912.946 + 978.247
VP = 2.891.193
36.- Un señor acumuló en su cuenta de ahorro al 31.12.98 la cantidad de 16 millones de
pesos a fin de poder efectuar a partir del año 1999 retiros mensuales programados
anticipados durante 6 años hasta dejar en cero su capital. La tasa de interés a la que estarían
afectos sus fondos sería de un 24% capitalizable semestralmente.
Transcurridos 3 años, el señor observa que no efectuó los retiros número 20, 25 y 33.
a) ¿Cuánto debe retirar en el mes 45 para normalizar su plan original?
b) ¿Qué saldo de capital le queda antes de efectuar elretiro 58, suponiendo que cumplió lo
indicado en a)?
c) Si luego del mes 70 decide extender su plan de retiro, en 2 años más de lo originalmente
programado. ¿Cuál sería el monto de los nuevos retiros?
a) VP = 16.000.000
n = 6 años  72 meses
i = 24% capitalizable semestralmente
24% / 2 = 12% ef. Semestral.

35. 35
√1,126
- 1 = 1,91% ef. Mensual
16.000.000 = R *[
(1,0191 )72
−1
0,0191 ∗1,019172 ]*(1,0191)
R = 403.102,37
Para normalizar su plan original en el mes 45 debe retirar:
= 403.102,37*(1,0191)25 + 403.102,37*(1,0191)20 + 403.102,37*(1,0191)12 +
403.102,37
= 2.144.351
b) n = 72 – 57
n = 15
VP = 403.102,37 *[
(1,0191 )15
−1
0,0191∗1,019115 ]*(1,0191)
VP = 5.314.213
c) n = 72 – 70
n = 2
VP = 403.102,37 *[
(1,0191 )2
−1
0,0191∗1,01912 ]*(1,0191)
VP = 798.649
n = 2 + 2*12 = 26 meses
798.649 = R *[
(1,0191 )26
−1
0,0191∗1,019126 ]*(1,0191)
R = 38.523,79
37.- Hace 6 años usted inició un programa de ahorro, depositando a fines de cada mes 20
UF el primer año para aumentar 2 UF anuales, en un banco que le abona el 16%
capitalizable semestralmente.
Cabe hacer notar que no efectuó los ahorros correspondientes a los meses 18, 20, 40 y 42.
Del monto total acumulado decide retirar un 20% y del saldo restante destinarlo a retiros
vencidos con períodos intermedios (es decir, retira al final del primer trimestre, no retira el
segundo trimestre, si lo hace el tercero, etc…) hasta agotar el monto en un plazo de 8 años.

36. 36
a) Determine el monto acumulado de ahorro a la fecha de hoy.
b) ¿Cuál debe ser el monto de los retiros considerando que a partir de hoy se aplica una
tasa de interés del 2% mensual y dentro de cuatro años se aplicará un 3% mensual?
a) n = 6 años  72 meses
i = 16% cap. Sem.
R = 20UF mensuales, incrementales en 2UF anuales.
VF = ?
16 % / 2 = 8% ef.Sem.
√1,086
- 1 = 1,29% ef. Mensual.
VF = 20*[
1,012912
−1
0,0129
]*(1,0129)60 + 22*[
1,012912
−1
0,0129
]*(1,0129)48 + 24*[
1,012912
−1
0,0129
]*(1,0129)36
+ 26*[
1,012912
−1
0,0129
]*(1,0129)24 + 28*[
1,012912
−1
0,0129
]*(1,0129)12 + 30*[
1,012912
−1
0,0129
]
VF = 556,22 + 524,61 + 490,72 + 455,82 + 420,9 + 386,67
VF = 2.834,94
Depósitos no realizados
Depósito 18 = 22*(1,0129)54 = 43,96
Depósito 20 = 22*(1,0129)52 = 42,84
Depósito 40 = 26*(1,0129)32 = 39,18
Depósito 42 = 26*(1,0129)30 = 38,19
VF = 2.834,94 – 43,96 – 42,84 – 39,18 – 38,19
VF = 2.670,77
b) VP = 2.670,77*0,8
VP = 2.136,62
i1 = 2% mensual ; i2 = 3% mensual
i1
(1,02)3 – 1 = 6,12% ef.Trim.
(1,0612)2 – 1 = 12,62% ef. Sem.
i2
(1,03)3 – 1 = 9,27% ef.Trim.
(1,0927)2 – 1 = 19,4% ef. Sem.

37. 37
2.136,62 = R *[
(1,1262 )8
−1
0,1262 ∗1,12628 ]* (1,0612)1 +
𝑅∗[
1,1948 −1
0,194 ∗1,1948 ]∗(1,0927 )1
(1,0612 )16
2.136,62 = 5,1594R + 1,65R
R = 313,78
Tablas De Amortización
1-Usted solicita un crédito a 20 años por un monto de $2.000.000 y acuerda cancelarlo en
cuotas iguales al final de cada semestre. Si la tasa de interés acordada es de 7,5 % efectiva
semestral. Determine:
a) Cuota a cancelar
VP = $2.000.000
i = 7,5% ef. Semestral
n = 20 años  40 semestres
R = ?
VP = R * 







n
n
ii
i
)1(*
1)1(
2.000.000 = R * 




 
40
40
)075,1(*075,0
1)075,1(
R = 158.800,6
b) Tabla de amortización para los primeros 4 años.
Período Cuota Interés Amortización Saldo Insoluto
0 - - - 2.000.000
1 158.800 150.000 8.800 1.991.200
2 158.800 149.340 9.460 1.981.740
3 158.800 148.630,5 10.169,5 1.971.570,5
4 158.800 147.867,78 10.932,22 1.960.638,28
5 158.800 147.047,87 11.752,13 1.948.886,15
6 158.800 146.166,46 12.633,54 1.936.252,61
7 158.800 145.218,94 13.581,06 1.922.671,55
8 158.800 144.200,36 14.599,64 1.908.071,91

38. 38
c) El interés incluido en la cuota 25.
40 – 24 = 16
n = 16
VP = 158.800 * 




 
16
16
)075,1(*075,0
1)075,1(
VP = 1.451.671
i = 1.451.671 * 0,075
i = 108.875
2-Producto de la crisis inmobiliaria en Estados Unidos, una empresa para seguir operando
debe solicitar un crédito de US$ 2.000.000 a 10 años, con los primeros 2 años de gracia
(tanto para intereses como para capital). Si se acuerda cancelar el crédito en cuotas iguales
semestrales al final de cada período y el banco cobra un interés del 7,5% efectivo
semestral:
a)Determine el monto de la cuota a cancelar.
2 años de gracia  2 semestres
2.000.000 * (1,075)4 = 2.670.939
VP = 2.670.939
n = 8 años  16 semestres
i = 7,5 % ef. Semestral
R = ?
2.670.939 = R * 




 
16
16
)075,1(*075,0
1)075,1(
R = 292.177,1078

39. 39
b) Desarrolle la tabla de amortizaciones para los primeros 2 años.
Período Cuota Interés Amortización Saldo
0 - - - 2.000.000
1 - - - 2.150.000
2 - - - 2.311.250
3 - - - 2.484.594
4 - - - 2.670.939
c) ¿Cuál es el interés incluido en la cuota número 8?
16 – 7 = 9
n = 9
VP = 292.177 * 




 
9
9
)075,1(*075,0
1)075,1(
VP = 1.863.764,075 (saldo insoluto período 11)
i = 1.863.764,075 * 0,075
i = 139.782,3056
d) ¿Cuánto se amortiza al realizar la cuota número 12?
Amort = Cuota – Interés
16 - 11 = 5
n=5
VP = 292.177 * 




 
5
5
)075,1(*075,0
1)075,1(
VP = 1.182.114,5 (saldo período 15)
i(12) = 1.182.114,5 * 0,075 = 88.658,59
Amort. cuota 12 = 292.177 – 88.658,59 = 203.518,41
3.-Una prestigiosa empresa del sector Forestal de la Octava Región, obtuvo un préstamo en
el Barclay´s Bank de Londres por un monto de 900.000 Euros a una tasa efectiva anual de
6% por un plazo de 10 años.
Para efectos de la devolución del crédito, la empresa ha negociado un período de gracia de
15 meses, período durante el cual la Cía solo debe pagar los intereses y a partir del mes 16
en adelante hasta el final del plazo, debe pagar cuotas vencidas iguales.
Al respecto, se le solicita:

40. 40
a) Determine el monto de la cuota vencida.
VP = 900.000
i = 6% ef. Anual
n = 10 años ( 120 meses)
15 primeros meses de gracia (solo de capital)
n = 120- 15
n = 105
i = √1,0612
- 1
i = 0,49% ef. Mensual
900.000 = R * [
1,0049105
−1
0,0049∗1,0049105 ]
R = 10.985,21
b) Elabore la tabla de amortización del préstamo para los meses 16, 17 y 18.
Período Cuota Interés Amortización Saldo
15 - - - 900.000
16 10.985,21 4.410 6.575,21 893.424,79
17 10.985,21 4.377,78 6.607,43 886.817,36
18 10.985,21 4.345,41 6.639,8 880.177,56
c) Determine el saldo por amortizar, esto es, deuda pendiente de la Cía una vez que
ella haya pagado 4 cuotas.
La cuota número 4 se encuentra en el período número 19.
n = 105 – 4
n = 101
VP = 10.985,21 * [
1,0049101
−1
0,0049∗1,0049101 ]
VP = 873.505,6
4.-Producto de la crisis económica, una empresa evalúa el solicitar un crédito de US$
200.000 a 15 años, con lo primeros 2 años de gracia ( tanto para intereses como para
capital). Si se acuerda cancelar el crédito en cuotas semestrales iguales al final de cada
período y el banco cobra un interés del 15% nominal capitalizable trimestralmente.
a)Determine el monto de la cuota a cancelar.
VP = 200.000
n = 15 años (30 Semestres)

41. 41
2 años de gracia intereses y capital (4 Semestres)
i = 15% Nominal Capitalizable Trimestralmente
i = 15% / 4
i = 3,75% Ef. Trim.
i = 1,03752
- 1
i = 7,64% Ef. Sem.
200.000 * 1,07644
= 268.487,92
VP = 268.487,92
n = 30 – 4
n = 26
268.487,92 = R * [
1,076426
−1
0,0764 ∗1,076426 ]
R = 24.060,52
b)Desarrolle la tabla de amortizaciones para los primeros 5 años.
Período Cuota Interés Amortización Saldo
0 - - - 200.000
1 - 15.280 - 215.280
2 - 16.447 - 231.727
3 - 17.704 - 249.431
4 - 19.057 - 268.487,92
5 24.060,52 20.512 3.548,52 264.939,4
6 24.060,52 20.241 3.819,52 261.119,88
7 24.060,52 19.950 4.110,42 257.009,36
8 24.060,52 19.636 4.424,52 252.584,84
9 24.060,52 19.297 4.736,52 247.821,32
10 24.060,52 18.934 5.126,52 242.694,8
c) Cuál es el interés incluido en la cuota número 16.
La cuota número 16 se encuentra en el período número 20.
n = 26-15
n = 11
VP = 24.060,52 * [
1,076411
−1
0,0764∗1,076411 ]
VP = 174.807,97
i = 174.807,97 * 0,0764
i = 13.355,33

42. 42
5.-Una empresa consiguió un crédito por UF10.000 a 10 años plazo con 2 años de gracia
(capital e intereses), pagadero en cuotas trimestrales iguales en un banco que le cobra un
10% de interés efectivo anual durante los 5 primeros años y un 12 % anual efectivo durante
los 5 años restantes.
a)Determine valor de las cuotas.
VP = 10.000
n = 10 años (40 trimestres)
2 años de gracia capital e intereses ( 8 Trimestres)
i 1 = 10% Ef. Anual primeros 5 años ( 20 Trimestres)
i 2 = 12% Ef. Anual últimos 5 años (20 Trimestres)
i 1 = √1,14
-1
i 1 = 2,41% Ef. Trim
i 2 = √1,124
- 1
i 2 = 2,87% Ef. Trim
10.000*1,02418
= 12.098,71
VP = 12.098,71
n = 40 – 8
n = 32
12.098,71 = R*[
1,024112
−1
0,0241 ∗1,024112 ] + R*[
1,028720 −1
0,0287∗1,028720
1,024112 ]
R = 560,1
b)Determine el interés incluido de la cuota número 7.
n = 32-6
n = 26
VP = 560,1*[
1,02416
−1
0,0241∗1,02416 ] + 560,1*[
1,028720 −1
0,0287 ∗1,028720
1,02416 ]
VP = 10.405,3
i = 10.405,3 * 0,0241
i = 250,7
c)Determine cuánto se ha amortizado (amortización acumulada) al momento de
cancelar la cuota número 25.
Amort. Acumulada = Préstamo – Deuda
Préstamo = 12.098,71
n = 32 – 25
n = 7

43. 43
VP = 560,1 * [
1,02877
−1
0,0287∗1,0287 7]
VP = 3.506,7
Amort. Acum = 12.098,71 – 3.506,7 = 8.592,01
d)Confeccione la tabla de amortización para los primeros 7 períodos de pago.
Período Cuota Interés Amortización Saldo
8 - - - 12.098,71
9 560,1 291,6 268,5 11.830,2
10 560,1 285,1 275 11.555,2
11 560,1 278,5 281,6 11.273,6
12 560,1 271,7 289,4 10.984,2
13 560,1 264,7 295,4 10.688,8
14 560,1 257,6 302,5 10.386,3
15 560,1 250,3 309,8 10.076,5
Fondo De Amortización
1-Una empresa consiguió un préstamo internacional del cual debe devolver US$5.000.000
en 5 años mas. La empresa decide establecer un fondo de amortización, mediante depósitos
trimestrales vencidos en una financiera que le ofreció una tasa de interés del 16%
capitalizable trimestralmente. Determine:
a)Valor de los depósitos que serán efectuados.
VF = 5.000.000
n = 5 años  20 trimestres
i = 16 % cap. Trimestralmente  4% ef. Trimestral
5.000.000 = R* 




 
04,0
1)04,1( 20
R = 167.908,75
b)Desarrollo del fondo de amortización para los 4 primeros trimestres.
Período Cuota Int. Ganado
(4%)
Int.
Acumulado
Agregar al
fondo
Fondo
acumulado
1 167.908,75 - - 167.908,75 167.908,75
2 167.908,75 6.716,35 6.716,35 174.625,10 342.533,88
3 167.908,75 6.985,00 13.701,35 181.610,10 524.143,95

44. 44
4 167.908,75 7.264,40 20.965,76 188.874,51 713.018,46
Bonos
1- Se emite un bono a 6 años plazo, cuyo valor nominal es de $1.000 , si la tasa cupón es
de un 5% anual, y la tasa de rendimiento requerido (tasa de mercado) es de un 7%
efectiva anual.
a) ¿Cuál es el precio del bono?
Valor cupón = 1.000*0,05
Valor cupón = $50
P = 50/(1,07) + 50/(1,07)2 + 50/(1,07)3 + 50/(1,07)4 + 50/(1,07)5 +
(1.000+50)/(1,07)6
P = $904,67
El bono se cotiza con descuento, ya que la tasa cupón es menor a la tasa de
rendimiento.
b) Si la tasa de rendimiento o de mercado ahora es de un 4% efectiva anual, ¿Qué ocurre
con el precio del bono?
P = 50/(1,04) + 50/(1,04)2 + 50/(1,04)3 + 50/(1,04)4 + 50/(1,04)5 +
(1.000+50)/(1,04)6
P = $1.052,42
El bono se cotiza con premio, ya que la tasa cupón es mayor a la tasa de
rendimiento.
c) Si ahora la tasa de rendimiento fuese de un 5% efectiva anual, ¿Cuál sería el precio del
bono?
P = 50/(1,05) + 50/(1,05)2 + 50/(1,05)3 + 50/(1,05)4 + 50/(1,05)5 +
(1.000+50)/(1,05)6
P = $1.000
2- ¿Cuál es el precio de un bono cupón cero emitido a 10 años, con un valor nominal de
$100, y una tasa de rendimiento del 9% efectiva anual?
P = 100 / (1,09)10
P = $42,24