Intersecção de sólidos geométricos por planos Cortes
<ul><li>Intersecção de poliedros </li></ul><ul><li>Intersecção de sólidos de revolução </li></ul>
<ul><li>Intersecção de cubos </li></ul><ul><li>Intersecção de pirâmides </li></ul><ul><li>Intersecção de prismas </li></ul>
Plano passando por três pontos dados (triângulo) Plano passando por três pontos dados (trapézio) Plano passando por três p...
Intersecção de cubos por planos Planos perpendiculares a uma diagonal espacial
Desta intersecção  resulta  um triângulo equilátero Exemplo 1 Plano perpendicular a uma diagonal espacial 1º - Traçar o se...
Exemplo 2 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção  resulta  um triângulo equilátero
Exemplo 3 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção  resulta  um triângulo equilátero
X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determina...
X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determina...
Exemplo 6 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção  resulta  um triângulo equilátero
Exemplo 7 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção  resulta  um triângulo equilátero
Intersecção de cubos por planos perpendiculares a uma face
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 2
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 3
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 4
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 5
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 6
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 7
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 8
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 9
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 10
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 11
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 12
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 13
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular a uma face (ou base)  (RECTÂNGULO) Exemplo 14
Intersecção do cubo com um plano  perpendicular á base  e paralelo a uma facea uma face  (QUADRADO) Exemplo 15
Intersecção de cubos por planos definidos por três pontos
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por dois vértices (D e G) e o ponto  X  (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar ...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por dois vértices (D e G ) e o ponto  X  (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por dois vértices (D e G ) e o ponto  X  (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por três vértices (D, G e B )  (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento ...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido pelos pontos X, Y e B  (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento [XY]....
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por dois vértices (D e G ) e o ponto  X  (QUADRILÁTERO) X 1º - Tra...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por três vértices (D, G e F)  (RECTÂNGULO) 1º - Traçar o segmento ...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido por dois vértices (D e G ) e o ponto  X  (TRAPÉZIO) X 1º - Traçar ...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido pelos pontos X, Y e B  (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido pelos pontos X, Y e B  (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2...
Determinar a intersecção do cubo com um plano  definido pelos pontos X, Y e B  (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2...
X Y Z 1º - Traçar a recta XZ. 2º - Traçar a recta YZ. 4º - Traçar uma paralela a YZ, passando por  J   e encontrar  K 5º -...
X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Prolongar a aresta CG.  4º - Unir o ponto  Z  com o ponto  I, determinando o ponto  J  ...
Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ  ( HEXÁGONO )   X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralel...
Prismas <ul><li>Prisma triângular </li></ul><ul><li>Prisma pentagonal </li></ul><ul><li>Prisma quadrângular </li></ul><ul>...
Intersecção de prismas por planos  (prisma triangular)
C N B F E D A 1º- Traçar um segmento paralelo a [DF] passando em N, e  determinar  I Determinar a intersecção do prisma co...
C N B F E D A 1º- Traçar um segmento [NA] Determinar a intersecção do prisma com o plano ACN 2º- Traçar um segmento parale...
P C N M B F E D A X Y 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento que  passa por P e é paralelo a [MN] (segmento [XY...
P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NM]. 2º- Traçar o segmento [PM] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecç...
P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento [MP] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecç...
P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] 5º- Traçar o segmento [NI], determinando o ponto ...
P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP  4...
C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FA]. 2º- Traçar o segmento [AB] Determinar a intersecção do prisma com o plano FAB  4º-...
P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP  4...
P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] Determinar a intersecção do prisma com o plano MN...
C B F E D A Intersecção do prisma  com um plano MNP paralelo às bases  (caso geral)
Intersecção de prismas por planos
Determinar a intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P P 1º- Traçar o segmento que passa  por P e...
Intersecção do prisma com um plano  paralelo à base, que passa em P Outros exemplos F E D C B A H G
Exemplo 1 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 2 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 3 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 4 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 5 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 6 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano  perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em dois vértices (E e H) 1º- Traçar o segmento EH 2º- T...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano AMH 1º- Traçar o segmento [AM] 2º- Traçar o segmento [MH] , M 3º- Traçar o...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN] , M N 3º- Traç...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN] , M N 3º- Traç...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PN]  M N 3º- Traça...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano MPG P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PG]  M 3º- Traçar ...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG]  3º- Traçar o ...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG]  3º- Traçar o ...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano AFG 1º- Traçar o segmento [AF] 2º- Traçar o segmento [AG]  3º- Traçar o se...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano PFG 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [FG]  3º- Traçar um s...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano MPH 1º- Traçar a recta MP 2º- Prolongar a aresta CB, e  encontrar  I 3º- T...
Determinar a intersecção do prisma com  o plano MPF 1º- Traçar a recta MP 2º- Desenhar a recta paralela a MP,  passando em...
Alguns exemplos  de intersecção de planos com um prisma pentagonal
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
A B C G F N J I E D H Y Z X Determinar a intersecção do prisma com  o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das...
Alguns exemplos  de intersecção de planos com um prisma hexagonal
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Z X Determinar a intersecção do prisma com  o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABHG] 2º- Desenh...
<ul><li>Pirâmides </li></ul><ul><li>Triângulares </li></ul><ul><li>Quadrangulares </li></ul>
Alguns exemplos  de intersecção de um plano com uma pirâmide triangular
Intersecção da pirâmide com o plano ABZ (Triângulo) 1º-Desenhar o segmento AB 2º-Desenhar o segmento BZ 3º-Desenhar o segm...
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) 1º-Desenhar o segmento XY 2º-Desenhar o segmento YZ 3º-Desenhar o segm...
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Z Y X Exemplo 3 V C B A
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Z Y X Exemplo 4 V C B A
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Z Y X Exemplo 5  V C B A
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Z Y X Exemplo 1  1º-Desenhar o segmento [YZ] 2º-Desenhar o segmento...
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Z Y X Exemplo 2  1º-Desenhar o segmento [ZY] 2º-Desenhar o segmento...
Alguns exemplos  de intersecção de um plano com uma pirâmide quadrangular
V C B A D Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Exemplo1  1º-Desenhar o segmento ...
Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e deter...
Exemplo 3  1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e dete...
Exemplo 4  1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e dete...
Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Exemplo 5 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3...
<ul><li>Intersecção de sólidos de revolução </li></ul><ul><li>Cilindros </li></ul><ul><li>Cones </li></ul>
Exemplos da intersecção do cilindro com um plano
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano perpendicular à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com plano paralelo à base
Intersecção com um plano oblíquo
Intersecção com um plano oblíquo
Intersecção com um plano oblíquo
Intersecção com um plano oblíquo
Intersecção com um plano oblíquo
Exemplos da intersecção do cone com um plano
Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano oblíquo em relação à base Intersecção de um cone  com um plano Elipse
Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( parte de uma elipse ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo à geratriz ( parábola ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone ( hipérbole ) Intersecção de um cone  com um plano
Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone Intersecção de um cone  com um plano Hipérbole
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Secções resultantes de cortes nos sólidos.

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  1. 1. Intersecção de sólidos geométricos por planos Cortes
  2. 2. <ul><li>Intersecção de poliedros </li></ul><ul><li>Intersecção de sólidos de revolução </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Intersecção de cubos </li></ul><ul><li>Intersecção de pirâmides </li></ul><ul><li>Intersecção de prismas </li></ul>
  4. 4. Plano passando por três pontos dados (triângulo) Plano passando por três pontos dados (trapézio) Plano passando por três pontos dados (pentágono) Plano passando por três pontos dados (hexágono) Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo) Cubos
  5. 5. Intersecção de cubos por planos Planos perpendiculares a uma diagonal espacial
  6. 6. Desta intersecção resulta um triângulo equilátero Exemplo 1 Plano perpendicular a uma diagonal espacial 1º - Traçar o segmento de recta M 1 M 3 . 2º - Traçar o segmento de recta M 3 M 2 . 5º - Desenhar a secção M 2 M 1 M 3 3º - Traçar o segmento de recta M 2 M 1 .
  7. 7. Exemplo 2 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
  8. 8. Exemplo 3 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
  9. 9. X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J , da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y , passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XY KJ Z L ] Plano perpendicular a uma diagonal espacial Passando pelo centro Exemplo 4 Desta intersecção resulta um hexagono regular
  10. 10. X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J , da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y , passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XY KJ Z L ] Plano perpendicular a uma diagonal espacial Exemplo 5 Desta intersecção resulta um hexágono
  11. 11. Exemplo 6 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
  12. 12. Exemplo 7 Plano perpendicular a uma diagonal espacial Desta intersecção resulta um triângulo equilátero
  13. 13. Intersecção de cubos por planos perpendiculares a uma face
  14. 14. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 2
  15. 15. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 3
  16. 16. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 4
  17. 17. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 5
  18. 18. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 6
  19. 19. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 7
  20. 20. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 8
  21. 21. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 9
  22. 22. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 10
  23. 23. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 11
  24. 24. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 12
  25. 25. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 13
  26. 26. Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO) Exemplo 14
  27. 27. Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO) Exemplo 15
  28. 28. Intersecção de cubos por planos definidos por três pontos
  29. 29. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 1
  30. 30. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 2
  31. 31. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 3º -Traçar o segmento [XD] 4º - Desenhar a secção DGX Exemplo 3 X
  32. 32. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GB] 3º -Traçar o segmento [BD] 4º - Desenhar a secção DGB Exemplo 4
  33. 33. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento [XY]. 2º -Traçar o segmento paralelo a [XY] passando em Z, determinando os pontos I e J 3º -Traçar o segmento [X I ] 5º - Desenhar a secção XY IJ Z J I 4º -Traçar o segmento [Y J ] Exemplo 12
  34. 34. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GX] 4º -Traçar o segmento [ I D] 5º - Desenhar a secção DGX I 3º -Traçar o segmento paralela a [DG], passando em X, determinando o ponto I I Exemplo 5
  35. 35. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO) 1º - Traçar o segmento [DG]. 2º -Traçar o segmento [GF] 4º -Traçar a aresta [AD] 5º - Desenhar a secção DGFA 3º -Traçar o segmento paralelo a[DG], passando em F Exemplo 6
  36. 36. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO) X 1º - Traçar o segmento [DG]. 3º -Traçar o segmento [DX] 4º -Traçar o segmento [ I G] 5º - Desenhar a secção DG I X 2º -Traçar o segmento paralelo a [DG], passando em X, determinando o ponto I I Exemplo 7
  37. 37. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar a o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e F 3º -Traçar o segmento I X 5º - Desenhar a secção XYF I Z I 4º -Traçar o segmento YF Exemplo 13
  38. 38. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e J 4º -Traçar o segmento Y J 5º - Desenhar a secção XY JI Z I J 3º -Traçar o segmento I X Exemplo 14
  39. 39. Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO) X Y 1º - Traçar o segmento XY. 2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e J 3º -Traçar o segmento XI 5º - Desenhar a secção XY JI Z I 4º -Traçar o segmento Y J J Exemplo 15
  40. 40. X Y Z 1º - Traçar a recta XZ. 2º - Traçar a recta YZ. 4º - Traçar uma paralela a YZ, passando por J e encontrar K 5º - Unir o ponto K com o ponto X, 3º - Traçar uma paralela a XZ, passando por Y e encontrar J J 6º - Está determinada a secção [XY J Z K ] K Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ ( PENTÁGONO ) Exemplo 16
  41. 41. X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Prolongar a aresta CG. 4º - Unir o ponto Z com o ponto I, determinando o ponto J na aresta GF 5º - Unir o ponto J com o ponto Y, I 6º - Traçar uma recta paralela a J Y , passando em Z definindo o ponto K na aresta AD 3º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG J 7º - Unir os pontos K e X 8º - Está determinada a secção [XYJZK] K Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ ( PENTÁGONO ) Exemplo 17
  42. 42. Determinar a intersecção do cubo com o plano XYZ ( HEXÁGONO ) X Y z 1º - Traçar a recta XY. 2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z. 4º - Prolongar a aresta CG. 5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG I 6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K 3º - Determinar o ponto J , da aresta BF J 7º - Unir os pontos K e Y K 8º - Traçar uma recta paralela a K Y , passando em Z definindo o ponto L 9º - Unir os pontos L e X L 10º -Está determinada a secção [XY KJ Z L ] Exemplo 18
  43. 43. Prismas <ul><li>Prisma triângular </li></ul><ul><li>Prisma pentagonal </li></ul><ul><li>Prisma quadrângular </li></ul><ul><li>Prisma hexagonal </li></ul>
  44. 44. Intersecção de prismas por planos (prisma triangular)
  45. 45. C N B F E D A 1º- Traçar um segmento paralelo a [DF] passando em N, e determinar I Determinar a intersecção do prisma com o plano paralelo à face [ACFD], passando em N 2º- Traçar um segmento paralelo a [DA] passando em N e determinar J I J 3º- Traçar um segmento paralelo a [FC] passando em I 4º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em J 5º- Eis a secção
  46. 46. C N B F E D A 1º- Traçar um segmento [NA] Determinar a intersecção do prisma com o plano ACN 2º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em N e determinar I I 3º- Traçar um segmento I C 4º- Traçar um segmento [CA] 5º- Eis a secção [ACIN]
  47. 47. P C N M B F E D A X Y 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] (segmento [XY]). 3º- Traçar o segmento [XN], (unindo X a N) 4º- Traçar o segmento [YM], (unindo Y a M) Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 5º- O polígono [YXNM], é a intersecção pedida.
  48. 48. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NM]. 2º- Traçar o segmento [PM] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.
  49. 49. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [MN]. 2º- Traçar o segmento [MP] 3º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.
  50. 50. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] 5º- Traçar o segmento [NI], determinando o ponto K Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP 8º- O trapézio [NPMK], é a intersecção pedida. 3º- Prolongar o segmento [PM] 4º- Prolongar a aresta [CF], determinando o ponto I I K 6º- Traçar o segmento [NK] 7º- Traçar o segmento [KM]
  51. 51. P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP 4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [PF] N
  52. 52. C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FA]. 2º- Traçar o segmento [AB] Determinar a intersecção do prisma com o plano FAB 4º- O triângulo [ABF], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [BF]
  53. 53. P C B F E D A 1º- Traçar o segmento [FN]. 2º- Traçar o segmento [NP] Determinar a intersecção do prisma com o plano FNP 4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [PF] N
  54. 54. P C N M B F E D A 1º- Traçar o segmento [NP]. 2º- Traçar o segmento [PM] Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP paralelo à base 4º- O triângulo [NPM], é a secção pedida. 3º- Traçar o segmento [MN]
  55. 55. C B F E D A Intersecção do prisma com um plano MNP paralelo às bases (caso geral)
  56. 56. Intersecção de prismas por planos
  57. 57. Determinar a intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P P 1º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AB], determinando M 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AD] , determinando N M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [DC] , 4º- Traçar o segmento que passa por M e é paralelo a [BC] , 5º- Eis a secção definida pelo plano M P N F E D C B A H G
  58. 58. Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P Outros exemplos F E D C B A H G
  59. 59. Exemplo 1 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  60. 60. Exemplo 2 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  61. 61. Exemplo 3 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  62. 62. Exemplo 4 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  63. 63. Exemplo 5 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  64. 64. Exemplo 6 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  65. 65. Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  66. 66. Exemplo 7 Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P P F E D C B A H G
  67. 67. Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em dois vértices (E e H) 1º- Traçar o segmento EH 2º- Traçar a aresta HC 5º- Eis a secção ACHE 3º- Traçar o segmento CA 4º- Traçar a aresta AE F E D C B A H G
  68. 68. Determinar a intersecção do prisma com o plano AMH 1º- Traçar o segmento [AM] 2º- Traçar o segmento [MH] , M 3º- Traçar o segmento que passa por A e é paralelo a [MH] , 4º- Traçar o segmento que passa por H e é paralelo a [AM] , 5º- Eis a secção definida pelo plano AMH F E D C B A H G
  69. 69. Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN] , M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP] , 4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] , 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN F E D C B A H G
  70. 70. Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [MN] , M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP] , 4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] , 5º-Unir as intercecções destes com as arestas 6º- Eis a secção definida pelo plano MPN F E D C B A H G
  71. 71. Determinar a intersecção do prisma com o plano MNP P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PN] M N 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP], determinando I 4º- Traçar o segmento [M I ] , 5º- Eis a secção definida pelo plano MPN I F E D C B A H G
  72. 72. Determinar a intersecção do prisma com o plano MPG P 1º- Traçar o segmento [MP] 2º- Traçar o segmento [PG] M 3º- Traçar o segmento [MG] 4º- Eis a secção definida pelo plano MPG F E D C B A H G
  73. 73. Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano PFG F E D C B A H G
  74. 74. Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG P 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [PG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano PFG F E D C B A H G
  75. 75. Determinar a intersecção do prisma com o plano AFG 1º- Traçar o segmento [AF] 2º- Traçar o segmento [AG] 3º- Traçar o segmento [FG] 4º- Eis a secção definida pelo plano AFG F E D C B A H G
  76. 76. Determinar a intersecção do prisma com o plano PFG 1º- Traçar o segmento [PF] 2º- Traçar o segmento [FG] 3º- Traçar um segmento paralelo a [GF] passando por P, deter- minando o ponto I 5º- Eis a secção definida pelo plano PFG P I 4º- Traçar o segmento [IG] F E D C B A H G
  77. 77. Determinar a intersecção do prisma com o plano MPH 1º- Traçar a recta MP 2º- Prolongar a aresta CB, e encontrar I 3º- Traçar o segmento [H I ], e encontrar J 5º-Traçar um segmento paralelo a H J , passando em M, e encontrar K P M 4º- Traçar o segmento [ J P] I J 7º-Eis a secçãoP J H K M K 6º-Traçar o segmento K H F E D C B A H G
  78. 78. Determinar a intersecção do prisma com o plano MPF 1º- Traçar a recta MP 2º- Desenhar a recta paralela a MP, passando em F e encontrar I 3º- Prolongar [F I ] e a aresta EG encontrar L 5º-Traçar um segmento paralelo a D K , passando em F, e encontrar J P M 4º- Traçar o segmento [M L ] e encontrar K I J 8º -Eis a secção P J F IK M K 6º-Traçar o segmento P J L 7º-Traçar o segmento KI F E D C B A H G
  79. 79. Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma pentagonal
  80. 80. Intersecção com plano perpendicular à base
  81. 81. Intersecção com plano perpendicular à base
  82. 82. Intersecção com plano perpendicular à base
  83. 83. Intersecção com plano perpendicular à base
  84. 84. Intersecção com plano perpendicular à base
  85. 85. Intersecção com plano paralelo à base
  86. 86. Intersecção com plano paralelo à base
  87. 87. Intersecção com plano paralelo à base
  88. 88. A B C G F N J I E D H Y Z X Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABGF] e [CDHI] 2º-Determinar a intersecção dos planos das faces [BCHG] e [EDIJ] 3º-Desenhar a recta XY e encontrar K K 4º-Desenhar a recta YZ e encontrar L L 5º-Desenhar a recta KZ e encontrar M M 6º-Desenhar a recta LM e encontrar N 7º-Desenhar o segmento X N 8º- Está encontrada a secção XYZ MN
  89. 89. Alguns exemplos de intersecção de planos com um prisma hexagonal
  90. 90. Intersecção com plano paralelo à base
  91. 91. Intersecção com plano paralelo à base
  92. 92. Intersecção com plano paralelo à base
  93. 93. Intersecção com plano paralelo à base
  94. 94. Intersecção com plano perpendicular à base
  95. 95. Intersecção com plano perpendicular à base
  96. 96. Intersecção com plano perpendicular à base
  97. 97. Intersecção com plano perpendicular à base
  98. 98. Intersecção com plano perpendicular à base
  99. 99. Z X Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZ 1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABHG] 2º- Desenhar a recta XY e encontrar M 3º-Desenhar a recta M Z e encontrar N 4º-Desenhar o segmento YN 5º-Desenhar a recta paralela a XY passando em Z e encontrar O 7º- Desenhar o segmento PO 8º- Está encontrada a secção XY N Z OP M Y N O P 6º-Desenhar a recta paralela a N Z passando em X e encontrar P L K J I H G F E D C B A
  100. 100. <ul><li>Pirâmides </li></ul><ul><li>Triângulares </li></ul><ul><li>Quadrangulares </li></ul>
  101. 101. Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide triangular
  102. 102. Intersecção da pirâmide com o plano ABZ (Triângulo) 1º-Desenhar o segmento AB 2º-Desenhar o segmento BZ 3º-Desenhar o segmento ZA 4º- Eis a secção ABZ Z Exemplo 1 V C B A
  103. 103. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) 1º-Desenhar o segmento XY 2º-Desenhar o segmento YZ 3º-Desenhar o segmento ZX 4º- Eis a secção XYZ Exemplo 2 V C B A Z Y X
  104. 104. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Z Y X Exemplo 3 V C B A
  105. 105. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Z Y X Exemplo 4 V C B A
  106. 106. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (triângulo) Z Y X Exemplo 5 V C B A
  107. 107. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Z Y X Exemplo 1 1º-Desenhar o segmento [YZ] 2º-Desenhar o segmento [ZX] e prolongá-lo 3º-Prolongar a aresta VA, e determinar k K 4º-Desenhar a recta Y K, e determinar L L 5º-Eis a secção L YZX 5º-Desenhar o segmento [X L ] V C B A
  108. 108. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Z Y X Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [ZY] 2º-Desenhar o segmento [ZX] 3º-Prolongar a aresta ZY K 5º-Desenhar a recta X K, e determinar L L 7º-Eis a secção X L YZ 6º-Desenhar o segmento [ L Y] 4º-Prolongar a aresta CB, e determinar k V C B A
  109. 109. Alguns exemplos de intersecção de um plano com uma pirâmide quadrangular
  110. 110. V C B A D Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) Exemplo1 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K K Z Y X
  111. 111. Exemplo 2 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) V C B A D Z Y X
  112. 112. Exemplo 3 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K Z Y X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) V C B A D
  113. 113. Exemplo 4 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K 4º-Desenhar a recta X K 5º-Eis a secção XYZ K Z Y X K Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) ( com XY paralelo a AB) V C B A D
  114. 114. Intersecção da pirâmide com o plano XYZ (Quadrilátero) Exemplo 5 1º-Desenhar o segmento [XY] 2º-Desenhar o segmento [YZ] 3º-Prolongar o segmento ZY e a aresta CB, determinando J 4º- Prolongar o segmento YX e a aresta BA determinando L 9º-Eis a secção XYZ K Z Y X K L J 6º- Prolongar a aresta CD determinando M M 7º- Unir Z a M , determinando K 8º- Unir X a K 5º- Desenhar a recta J L V C B A D
  115. 115. <ul><li>Intersecção de sólidos de revolução </li></ul><ul><li>Cilindros </li></ul><ul><li>Cones </li></ul>
  116. 116. Exemplos da intersecção do cilindro com um plano
  117. 117. Intersecção com plano perpendicular à base
  118. 118. Intersecção com plano perpendicular à base
  119. 119. Intersecção com plano perpendicular à base
  120. 120. Intersecção com plano perpendicular à base
  121. 121. Intersecção com plano perpendicular à base
  122. 122. Intersecção com plano perpendicular à base
  123. 123. Intersecção com plano perpendicular à base
  124. 124. Intersecção com plano paralelo à base
  125. 125. Intersecção com plano paralelo à base
  126. 126. Intersecção com plano paralelo à base
  127. 127. Intersecção com um plano oblíquo
  128. 128. Intersecção com um plano oblíquo
  129. 129. Intersecção com um plano oblíquo
  130. 130. Intersecção com um plano oblíquo
  131. 131. Intersecção com um plano oblíquo
  132. 132. Exemplos da intersecção do cone com um plano
  133. 133. Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone com um plano
  134. 134. Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone com um plano
  135. 135. Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone com um plano
  136. 136. Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone com um plano
  137. 137. Intersecção com plano paralelo à base ( círculo ) Intersecção de um cone com um plano
  138. 138. Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone com um plano
  139. 139. Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone com um plano
  140. 140. Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone com um plano
  141. 141. Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( elipse ) Intersecção de um cone com um plano
  142. 142. Intersecção com plano oblíquo em relação à base Intersecção de um cone com um plano Elipse
  143. 143. Intersecção com plano oblíquo em relação à base ( parte de uma elipse ) Intersecção de um cone com um plano
  144. 144. Intersecção com plano paralelo à geratriz ( parábola ) Intersecção de um cone com um plano
  145. 145. Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone ( hipérbole ) Intersecção de um cone com um plano
  146. 146. Intersecção com plano paralelo ao eixo do duplo cone Intersecção de um cone com um plano Hipérbole

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