LO MARAVILLO AL INICIAR RAZONES Y PROPORCIONES

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TUTOR
Medgar Nelson Montero Ticse

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RAZÓN O RELACIÓN es el resultado de
comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos
maneras:
Hallando en cuánto excede una a la otra,
es decir, restándolas, o hallando cuántas
veces contiene una a la otra, es decir,
dividiéndolas. De aquí que haya dos clases
de razones: razón aritmética o diferencia y
razón geométrica o por cociente.

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En la vida de cada día vemos que muchas cosas
son proporcionales:
Velocidad de un automóvil con el
consumo de gasolina (a más
velocidad, mayor consumo de
combustible).
Valor de un saco de patatas con
los kilos que pesa (a más kilos
mayor importe a pagar).
Precio de pasaje en tren con la
distancia a recorrer (cuanto más
lejos vaya, más dinero pagaré por
el pasaje).

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Es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos
modos: separando las dos cantidades con el signo
– o con un punto (.).
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó
6. 4 y se lee seis es a cuatro.

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La edad de Juan es 16 años y la edad
de Pedro es 48 años.
Podemos observar que:
• Pedro es mayor que Juan en 32 años:
48 años – 16 años = 32 años

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EJEMPLO
La suma de dos números es 27, si su razón
aritmética es 11. Halle el menor.

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Como la razón aritmética o por diferencia de
dos cantidades no es más que la diferencia
indicada de dichas cantidades, las
propiedades de las razones aritméticas serán
las propiedades de toda resta o diferencia:
Si al antecedente de
una razón aritmética
se suma o resta un
número, la razón
queda aumentada o
disminuida en ese
número.
1

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2
3
Si al consecuente de una
razón aritmética se suma o
resta un número, la razón
queda disminuida en el
primer caso y aumentada
en el segundo en el mismo
número.
Si al antecedente y
consecuente de una
razón aritmética se suma
o resta un mismo
número, la razón no varia.

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Consiste en determinar cuantas veces una
de las cantidades contiene a la otra.
Las razones geométricas se pueden escribir
de dos modos: en forma de quebrados,
separados numerador y denominador por
una raya horizontal o separadas las
cantidades por el signo de división ( ).
..
Razón geométrica:
a/b se lee «a es a b»

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Como la razón geométrica o por cociente de
dos cantidades no es más que una división
indicada o un quebrado, las propiedades de
las razones geométricas serán las
propiedades de los quebrados:
Si el antecedente de
una razón geométrica
se multiplica o divide
por un número, la
razón queda
multiplicada o dividida
por ese número
1

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Si el consecuente de una
razón geométrica se
multiplica o divide por un
número, la razón queda
dividida en el primer caso y
multiplicada en el segundo
por ese mismo número.
Si el antecedente y el
consecuente de una
razón geométrica se
multiplican o dividen
por un mismo
número, la razón no
varía.
2
3

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La edad de Juan es 16 años y la edad
de Pedro es 48 años.
Podemos observar que:
• La edad de Pedro es el triple de la de
Juan.

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EJEMPLO
Las edades de dos personas están en la
relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84.
Hallar las edades.
Sean las edades: a y b

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Es la comparación de dos razones iguales
ya sean aritméticas o geométricas.

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Definición: Una "proporción aritmética" es
una expresión de la relación de igualdad
entre 2 razones aritméticas.
Donde:
a y d son los términos extremos.
b y c son los términos medios.
d es la cuarta diferencial

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EJEMPLOS
Se tiene 4 chompas cuyos precios son S/.15, S/.13,
S/.9 y S/. 7 los cuales se comparan mediante la
sustracción del siguiente modo :
S/.15 - S/.13 = S/. 2
S/. 9 - S/.7 = S/. 2
S/. 15 - S/.13 = S/.9 - S/.7.. Es una proporción aritmética (Sustracción)
La razón es 2.
Interpretando:
El precio de S/.15 excede al precio de S/.13 tanto
como el de S/. 9 excede al de siete.

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Cuando los cuatro términos son diferentes y
al último termino se le llama cuarta
diferencial.
a - b = c - d
a = b = c = d

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EJEMPLO
a - b = c – d
En toda proporción
aritmética se debe
cumplir que la suma de
los términos extremos
es igual a la suma de
los términos medios.

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Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artículos
que son S/.50, S/.34 y S/.29.
EJEMPLO
a – b = c – d
50 – 34 = 29 – d
16 – 29 = - d
- 13 = - d
d = 13

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ES aquella cuyos términos medios son
iguales; llamándose a cada uno de estos
términos medios Media diferencial o Media
aritmética.

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En la proporción aritmética continua, se cumple que
la media diferencia es igual a la semisuma de los
extremos.

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EJEMPLO
Hallar la media diferencial de 8 y 2

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EJEMPLO
Hallar la tercera diferencial de 2 y 8
Rpta: La tercera diferencial de 2 y 8 es: 14 y -4

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EJEMPLO
Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de
sus 4 términos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28.
Indicar el mayor de los extremos.

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EJEMPLO
Hallar la media proporcional de 12 y 3

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EJEMPLO
Hallar la tercera proporcional de 2 y 8
La tercera proporcionalidad de 2 y 8 es 32 y 0,5 respectivamente

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EJEMPLO
Hallar la cuarta proporcional de 10, 5 y 18
La cuarta proporcional de 10, 5 y 18 es 9

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Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando, al multiplicar o dividir
una de ellas por un número cualquiera, la otra
queda multiplicada o dividida por el mismo
número.
Se establece una relación de proporcionalidad
directa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde más.
A menos corresponde menos.
Magnitudes Directamente Proporcionales

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Magnitudes Directamente Proporcionales

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Ejemplo

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Magnitudes Inversamente proporcionales
Un vehículo recorre cierta distancia en 8 horas a
120 km/h ¿En cuánto tiempo ese mismo
vehículo recorrerá el trayecto anterior a 80 kh/h?
Del análisis de las magnitudes se desprende que ambos
son inversamente proporcionales.

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Es una forma de solución de problemas para
cuando tenemos tres valores conocidos y uno
que desconocemos y queremos saber (llamado
incógnita).

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La regla de tres directa la aplicaremos cuando
entre las magnitudes se establecen las
relaciones:

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Un automóvil recorre 120 km. Con 32 lts. de
gasolina ¿Cuantos litros necesita para
recorrrer 213 kms. ?
Solución:

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Un automóvil recorre 213 Km con 18 galones
de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para
recorrer 500 Km?
Solución:

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Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a
magnitudes inversamente proporcionales, calcular la
cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las
magnitudes se establecen las relaciones:

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Un grifo que emana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas
en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera
de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a
menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

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3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto
tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más
obreros tardarán menos horas.

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