SPLDV_SPLTV

Matematika(Peminatan)
Kelas: X - IPA 2
Muhamad Dzaki Albiruni

Matematika (Peminatan)
Muhamad Dzaki Albiruni. | Kelas: X – IPA 2. | SMAN 68 Jakarta | Page 2 of 23
Daftar isi:
Daftar Isi................................................................................2
Materi:
Fungsi Eksponen dan Logaritma...........................................3
Sistem Persamaan Linear Dua/Tiga Variabel.......................8
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.......................13
Persamaan Kuadrat..............................................................15
Pertidaksamaan Kuadrat.......................................................16
Pertidaksamaan Pecahan.....................................................20
Sumber..................................................................................22

Fungsi eksponen dan logaritma
1. Fungsi Eksponen
a. Konsep:
Suatu pemetaan daerah asal ke daerah hasil (fungsi) dengan
domain tidak boleh lebih dari satu, dengan nilai berpangkat tinggi.
b. Bentuk Umum:
y = 𝒂 𝒙
dimana a ≥ 0 dan a ≠ 1.
c. Grafik fungsi konstan dibedakan menjadi 2, yaitu untuk 0 < a < 1,
dan a > 1.
 Grafik y = 𝑎 𝑥
untuk 0 < a < 1.
Sifat - sifat:
- Terdefinisi untuk semua x merupakan bilangan riil.
- Apabila x adalah 0, maka y = 1.
- Jika x bernilai kecil dan bertanda negatif, maka y bernilai besar
dan bertanda positif.
- Jika x bernilai besar dan bertanda positif, maka y mendekati nol
dengan tanda negatif. (Grafik menurun).

 Grafik y = 𝑎 𝑥
untuk a > 1.
Sifat – sifat:
- Terdefinisi untuk semua x merupakan bilangan riil.
- Jika x bernilai kecil dan bertanda negatif, maka y mendekati 0 dan
bertanda positif.
- Jika x bernilai besar dan bertanda positif, maka y bernilai besar
dengan tanda positif. (Grafik naik).
- Untuk x = 0, maka y = 1.
d. Persamaan fungsi eksponen.
- Jika 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑎 𝑔(𝑥)
, maka f(x) = g(x)
- Jika 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑎 𝑝
, maka f(x) = p.
- Jika A {𝑎 𝑓(𝑥)
}2
+ B {𝑎 𝑓(𝑥)
} + 𝐶 = 0, maka dapat diselesaikan
dengan cara persamaan kuadrat.
2. Fungsi Logaritma
a. Konsep:
Suatu pemetaan daerah asal ke daerah hasil (fungsi) dengan domain
tidak boleh lebih dari satu, dengan menggunakan sistem logaritma.

b. Bentuk Umum:
Jika 𝒂 𝒚
= x, dengan a ≥ 0, dan a ≠ 1,
Maka berlaku: y = 𝒂
𝐥𝐨𝐠 𝒙
c. Monoton:
 Turun
Sifat – sifat:
- Berlaku untuk 0 < a < 1.
- Terdefinisi untuk semua x > 0.
- Jika x mendekati nol, y semakin besar dan bertanda positif.
- Untuk x = 1, y = 0.
- Untuk x > 1, y bertanda negatif. Jika x semakin besar, y semakin
kecil. (Monoton Turun).
 Naik
Sifat – sifat:
- Berlaku untuk a > 1.

- Terdefinisi untuk setiap x > 0.
- Jika x mendekati nol, nilai y semakin kecil dan bertanda negatif.
- Untuk x = 1, maka y = 0.
- Untuk x > 1, y bertanda positif. Semakin besar x, maka y juga
semakin besar (Monoton naik).
d. Contoh soal dan Pembahasan:
1. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 2 𝑥
= 𝑎.
𝑎 +
23
𝑎
= 9. 𝑆𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎.
𝑎2
+ 8 = 9𝑎.
𝑎2
− 9𝑎 + 8 = 0.( 𝑆𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡)

(a – 8) (a - 1). X1 = 8. X2 = 1.
2 𝑥
= 8. ∝ = 3. 2 𝑥
= 1. 𝛽 = 0.
𝛼 + 𝛽 = 3 + 0 = 3.(𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑎)
2. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 2 𝑥
= 𝑎.
2 𝑥.2 𝑥 − 12.2 𝑥 + 32 = 0.
𝑎2
− 12𝑎 + 32 = 0.
( a – 8 ) ( a – 4 )
A1 = 8. A2 = 4.
2 𝑥
= 8. 𝑥1 = 3.
2 𝑥
= 4. 𝑥2 = 2.
x1.x2 = 3x2 = 6. (jawaban b).
3. Jawab:
4log(2𝑥2
− 3𝑥 + 7) = 4 𝑙𝑜𝑔16
2𝑥2
− 3𝑥 + 7 = 16
2𝑥2
− 3𝑥 − 9 = 0 (selesaikan dengan persamaan kuadrat).
(2x + 3) (x - 3).
X1 = -3/2. X2 = 3.
4 x -3/2 x 3 = -18 (jawaban b).

e. Kesimpulan:
Fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan daerah satu
dengan daerah lain, secara tepat satu. Dari kedua fungsi yang
telah dipelajari (Eksponen dan Logaritma), dapat disimpulkan
bahwa fungsi eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode grafik, dan diselesaikan menurut aturan eksponen
(bilangan berpangkat tinggi). Sedangkan fungsi logaritma,
diselesaikan menggunakan metode grafik dan mengikuti aturan
logaritma (invers nilai).
Sistem persamaan linear dua dan tiga variabel (SPLDV dan
SPLTV)
a. Konsep:
- Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah Sistem
persamaan yang memiliki 2 variabel dan 1 konstanta, dan
diselesaikan secara garis lurus (linear).
- Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah Sistem
persamaan yang memiliki 3 variabel dan 1 konstanta, dan
diselesaikan secara garis lurus (linear).
b. Bentuk Umum:
ax + by + c = 0  2 Variabel.
ax + by + cz = 0  3 Variabel.
c. Metode Penyelesaian:

1. Metode Grafik:
 Yaitu merupakan salah satu teknik dalam penyelesaian sistem
persamaan linear, yang menitik beratkan pada sistem koordinat
atau grafik. (sumbu x, sumbu y).
 Langkah:
 Tuangkan permasalahan linear ke dalam bentuk model
matematika. (“diketahui”).
 Tentukan titik potong x dan y di garis koordinat.
 Buatlah garis koordinat yang sesuai dengan permasalahan.
 Titik potong tersebut, merupakan penyelesaian dari metode grafik,
berbentuk (x,y).
2. Metode Subtitusi:
 Merupakan salahsatu metode penyelesaian, dengan cara men-
subtitusikan (mengganti) suatu variabel, ke dalam variabel lain.
 Langkah:
 Susun suatu pernyataan sistem persamaan linear dua / tiga
variabel secara lurus.
 Nyatakan suatu variabel yang akan diubah kedalam variabel lain.
 Subtitusikan Nilai variabel yang telah ditemukan, ke dalam suatu
persamaan linear lainnya.
3. Metode Eliminasi:
 Merupakan salahsatu metode penyelesaian dengan cara
mengeliminasi salahsatu variabelnya.
 Langkah:
 Susun suatu pernyataan sistem persamaan linear dua / tiga
variabel secara lurus.

 Salahsatu atau kedua persamaan yang dipilih, dikalikan agar
salahsatu koefisien dari variabelnya sama.
 Eliminasi variabel tersebut dengan cara menggunakan operasi
penjumlahan atau pengurangan.
 Lakukan hal tersebut hingga seluruh variabel ditemukan hasilnya.
4. Metode Campuran:
 Menggunakan perpaduan antara metode eliminasi dan subtitusi.
 Langkah:
 Gunakan eliminasi terlebih dahulu.
 Setelah salah satu variabel diketahui, subtitusikan variabel
tersebut ke dalam salahsatu persamaan.
Selain ke-empat metode diatas, kita juga bisa menggunakan
beberapa metode lainnya, yaitu:
 Invers Matriks.
 Determinan Sarrus (untuk 3 Variabel).
 Eliminasi Gaus Jordan.
d. Contoh Soal dan Pembahasan:
Masalah yang berkaitan dengan penerapan SPLDV:
Di dalam sebuah gedung pertunjukkan, terdapat 200 penonton.
Harga karcis untuk anak – anak Rp.2.000,dan dewasa Rp. 3000.
Apabilatotal hasil penjualan karcis tersebut adalah Rp. 510.000,
maka berapabanyak penonton untuk anak – anak dan dewasa?
Jawab:
Misalkan: Anak – anak: x
Orang Dewasa: y

Diketahui:
Persamaan 1: x + y = 200.
Persamaan 2: 2000x + 3000y = 510.000
(Disederhanakan): 2x + 3y = 510.
Kali ini, saya akan menggunakan metode campuran.
Pertama, eliminasi terlebih dahulu kedua persamaan tersebut.
x + y = 200  x2 2x + 2y = 400
2x + 3y = 510  x1 2x + 3y = 510
---------------------------------- --
y = 110 orang.
Kemudian, subtitusikan y ke salahsatu persamaan.
x + y = 200.  x + 110 = 200.  x = 200 – 110  x = 90 orang
Jadi,penonton dalam bioskoptersebutterdiri atas 90 orang anak –
anak, dan 110 orang Dewasa.
Masalah yang berkaitan dengan penerapan SPLTV:

e. Kesimpulan:
Setelah mempelajari SPLDV dan SPLTV, dapat disimpulkan
bahwa 2 materi tersebut sangat berguna di kehidupan sehari –
hari. Contohnya untuk menghitung harga barang, jumlah
penonton, penghasilan dan lain – lain. Untuk
menyelesaikannya, dapat menggunakan berbagai metode
seperti Grafik, Eliminasi, Subtitusi, Campuran, Determinan
Sarrus, Matriks dan Eliminasi Gaus Jordan.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel
a. Konsep:
Suatu pertidaksamaan yang terdiri atas 2 variabel dan 1
konstanta, dan diselesaikan secara garis lurus (linear).
b. Bentuk Umum:
ax+by>c ax+by≥c
ax+by<c ax+by≤c
dengan: a koefisien untuk x,
b merupakan koefisien dari y
c merupakan konstanta
dimana a,b,c anggota bilangan riil.
dan a≠0,b≠0 .
c. Metode penyelesaian
Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya
digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam
menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut:
1. Ubah tanda pertidaksamaan linear menjadi persamaan.
2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x
dan sumbu y.
3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.
4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah
penyelesaiannya.
d. Contoh soal dan Pembahasannya:

e. Kesimpulan:
Setelah mempelajari sistem pertidaksamaan linear, dapat kita
simpulkan bahwa materi ini umumnya diselesaikan dengan
metode grafik. Materi ini dapat diterapkan untuk menghitung
keperluan sehari – hari seperti pembayaran pajak, luas tanah,
perkiraan anggaran dan lain lain.

Persamaan kuadrat
a. Konsep:
Suatu persamaan berpolinemial dua dan memiliki pangkat tinggi 2.
b. Bentuk Umum:
y = ax² + bx + c dengan a≠0.
koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x²
koefisien linear b merupakan koefisien dari x
sedangkan c adalah Konstanta.
 Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0
maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika
dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c.
 Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan
kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.
 Menggunakan rumus abc.
d. Contoh Soal dan Pembahasan:
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 5x + 6 = 0
Jawab :
x2
– 5x + 6 = 0 (cara memfaktorkan)
<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
<=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0
<=> x = 2 atau x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x2
+ 4x – 12 = 0
Penyelesaian : (menggunakan rumus abc)
Berdasarkan persamaan diketahui bahwa a =1, b = 4, c = -12
selanjutnya koefisientersebutkita masukkan dalam rumus abc.
x1,2 = (- b ± √b2
– 4ac) /2a
<=> x1,2 =( - 4 ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1
<=> x1,2 = (- 4 ± √16 + 48)/2
<=> x1,2 = (- 4 ± √64)/2
<=> x1,2 = (- 4 ± 8)/2
<=> x1,2 = (- 4 + 8) /2 atau x1,2 = (- 4 - 8 )/2
<=> x1 = 2 atau x2 = -6
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}
e. Kesimpulan:
Dari rumus umum persamaan kuadrat y = ax² + bx + c = 0, jika
kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari
penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar
sehingga kita dapat memperoleh pernyataan:
pertidaksamaan kuadrat
a. Konsep:
x2
– (x1 + x2) x + x1.x2 = 0

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki
variabel paling tinggi berpangkat dua.
b. Bentuk Umum:
(i) ax² + bx + c > 0
(ii) ax² + bx + c ≥ 0
(iii) ax² + bx + c < 0
(iv) ax² + bx + c ≤ 0
dimana a, b, c dan x elemen bilangan riil dan a ≠ 0
Sebelum kita bahas tentang metode penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat, kita akan ulas kembali tentang interval/selang serta grafik
fungsi kuadrat yang akan membantu kita dalam menentukan
himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya.
1. Interval / Selang
Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval
dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis
(segmen) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.
2. Grafik Fungsi Kuadrat

Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan:
y = ax²+bx+c dengan a, b, c elemen bilangan riil dan a ≠ 0. Grafik
fungsi kuadrat ini memiliki sifat:
 Jika a > 0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a<0
grafik fungsi terbuka kebawah.
 Memotong sumbu y jika x = 0 dan memotong sumbu x jika y = 0.
 Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai.
Diskriminan (D=b²-4ac)berlaku ketentuan :
1. D>0 maka parabola memotong sumbux di dua titik.
2. D=0 maka parabola menyinggung sumbu x.
3. D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x.
Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan:
a > 0 dan D < 0 maka termasuk definit positif, dan jika a < 0 dan D <
0 disebut definit negatif.
Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat :
1. Ubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat
2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.
3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan.

4. Tentukan mana yang termasuk daerah positif, dan mana yang
termasuk daerah negatif.
5. Tuliskan Himpunan Penyelesaian sesuai soal yang diminta.
d. Contoh soal dan pembahasan:
 Tentukan himpunanpenyelesaian dari 𝑥2
– 2x – 24 < 0
Jawab:
𝑥2
– 2x – 24 < 0
( x - 6 ) ( x + 4 ) < 0
x1 = 6 x2 = -4
Apabila diletakkan ke garis bilangan,daerah yang berharga negatif
adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah
penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑥2
– 2x – 24 < 0.
 Tentukan himpunan penyelesaian x2
– 2x – 3 ≤ 0
Jawab :
 Bentuk menjadi persamaan x2
– 2x – 3 = 0
 Difaktorkan (x – 3) (x + 1) = 0, maka x = 3 atau x=-1
Berdasarkan soal daerah yang diminta ≤ 0 berarti yang bertanda -,
sehingga berdasarkan gambar: HP { x │ -1 ≤ x ≤ 3 }.
e. Kesimpulan:

Setelah mempelajari Pertidaksamaan kuadrat, maka dapat
disimpulkan bahwa persoalan di materi ini dapat diselesaikan dengan
difaktorkan (cara persamaan kuadrat) atau menggunakan rumus abc.
Kemudian, ditentukan daerah penyelesaiannya melalui Interval (garis
bilangan) dan dibuat Himpunan Penyelesaiannya.
Pertidaksamaan pecahan
a. Konsep:
Pertidaksamaan yang memiliki pembilang dan penyebut.
b. Bentuk Umum:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
< 0.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥ 0.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≤ 0.
c. Metode penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan adalah:
1. Ruas kanan dijadikan nol.
2. Samakan penyebut di ruas kiri.
3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa).
4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan
penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan
penyebut).
5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan
pada langkah 4.
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut
selalu digambardengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak
boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).
6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval.
d. Contoh soaldan pembahasan :

1.
Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol
untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}.
2.

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat
difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2
– 4.a.c
=> 12
– 4.1.1
=> 1 – 4 = –3
Nilai Diskriminannya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak
mempunyai akar real.
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk
mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}
e. Kesimpulan
Pertidaksamaan pecahan adalah suatu pertidaksamaan yang
memiliki pembilang dan penyebut. Metode penyelesaiannya
adalah dengan menjadikan 0 ruas kanan, menyamakan penyebut
ruas kiri, memfaktorkan pembilang dan penyebut jika bisa, lalu
mencari nilai x. Setelah itu, masukkan nilai x dari pembilang dan
penyebut ke dalam garis bilangan, dan tentukan intervalnya.
Sumber:

rumus-matematika.com
LKS Matematika Peminatan
Bank Soal Matematika.

SPLDV_SPLTV

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a SPLDV_SPLTV

Semelhante a SPLDV_SPLTV (20)

Mais de Muhamad Dzaki Albiruni

Mais de Muhamad Dzaki Albiruni (20)

Último

Último (20)

SPLDV_SPLTV