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Capacidad y corriente_2012

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  1. 1. 1 CAPACIDAD y CONDENSADORES Definiciones. Condensador plano. Densidad de carga y campo eléctrico del condensador plano. Asociaciones de condensadores. Dieléctricos. Cargas libres y cargas ligadas. Campo en el interior de un dieléctrico. Carga y descarga de un circuito RC. Energía almacenada en un condensador. CORRIENTE ELÉCTRICA Densidad de corriente. Flujo de cargas. Intensidad de corriente. Ley de Ohm. APLICACIÓN CAPACIDAD Y CORRIENTE ELÉCTRICA
  2. 2. 2 CAPACIDAD y CONDENSADORES CONCEPTO DE CAPACIDAD DE UN CONDUCTOR Capacidad = Carga almacenada / Potencial eléctrico + + + + ++ + + + + + + Carga Q distribuida en la superficie del conductor El conductor es equipotencial: potencial V V Q C = Unidades SI faradio1 voltio1 culombio1 = CONDENSADORES. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR. Ejemplo. Determinar la capacidad de una esfera conductora de radio R.. La capacidad de un conductor depende de sus características geométricas. R R Q R Q kV 04 1 επ == Si esa esfera estuviese cargada con la carga Q, el potencial de la misma sería Capacidad: V Q C = R Q Q 04 1 επ = RC 04 επ= Un condensador (capacitor) es un dispositivo formado por dos elementos conductores entre los cuales se establece una diferencia de potencial con objeto de separar cargas de distinto signo en cada uno de dichos elementos. La carga total de un condensador es nula: cuando decimos que el condensador está cargado a una cierta diferencia de potencial, lo que se quiere expresar en que en cada parte hay una carga de distinto signo, separada de la de signo opuesto y que el condensador se mantendrá cargado mientras dichas cargas no se recombinen. Definición de capacidad del condensador Capacidad = Carga positiva / Diferencia de potencial eléctrico V Q C = pF1nF1F1 F1 µ
  3. 3. 3 CONDENSADOR PLANO Formado por dos placas planas y paralelas, cada una de área A, separadas por una distancia d. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F/m10·85.8 12 0 − =ε Condensador cargado al voltaje V → ddp entre las placas = V Las placas adquieren carga Q y –Q. Entre ellas aparece un campo eléctrico uniforme, al menos en la zona central alejada de los extremos. E  V d V E = Aplicación T. Gauss Las placas adquieren carga Q y –Q. Entre ellas aparece un campo eléctrico uniforme, al menos en la zona central alejada de los extremos. Densidad superficial de carga AQ /=σ Densidad superficial de carga AQ /−=−σ 0ε σ =E (Suma de los campos debidos a las cargas positivas y a las cargas negativas) 0ε σ = d V A Q 0ε =Relación entre la d.d.p. y la carga: A dQ V 0ε = Capacidad del condensador plano: V Q C = A dQ Q 0ε = d A C 0ε = E  bordeslosdeEfectoCaracterísticas geométricas Ejemplo Se construye un condensador plano con dos láminas iguales de cobre de 400 cm2 que se colocan a una distancia de 8.85 mm. Cuando el condensador se carga a 177 V, (a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico? (b) ¿Cuál es la carga? (c) ¿Cuál es la densidad superficial de carga? A d A d A C 0ε = pF40 m10·85.8 m400·10pF·m.858 3 2-4-1 = ⋅ = − (a) Campo eléctrico d V E = V/m20000 m10·85.8 V177 3 == − (b) Carga VCQ = C10·08.7V177·F10·40 1012 −− == (c) Dens. carga A Q =σ 28 24- 10 C/m10·77.1 m400·10 C10·08.7 − − == Permitividad del vacío
  4. 4. 4 DIELÉCTRICOS Un dieléctrico es un material aislante que puede ser polarizado por aplicación de un campo eléctrico. Cuando un dieléctrico se coloca dentro de un campo eléctrico las cargas eléctricas no pueden fluir a través del material (a diferencia de lo que sucede en un conductor), sino que sufren un ligero desplazamiento respecto a sus posiciones de equilibrio en ausencia de dicho campo. Esto da lugar a una polarización dieléctrica, fenómeno que implica que las cargas positivas sufren ese desplazamiento a favor de las líneas del campo eléctrico y las negativas en sentido contrario. El resultado es la creación de un campo eléctrico interno, orientado contrariamente al campo exterior, que reduce el campo dentro del dieléctrico mismo. Encaso de que un dieléctrico esté formado por moléculas débilmente ligadas, las moléculas no sólo se polarizan, sino que se reorientan de modo que su eje de simetría se alinea con el campo externo.. Condensador sin dieléctrico + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ E  V A d A _______________ + + + + + + + + + + + + + + + E′  Condensador con dieléctrico Campo interno EEEi ′−=  Cargas libres fσ fσ−Cargas libres bσ bσ− Cargas ligadas Constante dieléctrica o permitividad relativa εr (adimensional): es el factor en que, debido a la aparición de cargas ligadas, se reduce el campo eléctrico dentro del dieléctrico con respecto a su valor en ausencia de dieléctrico. Permitividad Dieléctrico relativa εr Vacío 1,0000 Aire 1,0005 Gasolina 2,35 Aceite 2,8 Vidrio 4,7 Mica 5,6 Glicerina 45 Agua 80,5 Efecto de un dieléctrico en la capacidad de un condensador Permitividad de un dieléctrico r i E E ε = 0ε σ =E 0εε σ ε rr i E E == El campo se reduce La d.d.p. se reduce La capacidad aumenta 0εεε r=
  5. 5. 5 1C 2C 3C 0V 1V Q+ Q+ Q+Q− Q− Q− 2V 3V Igual carga en todos los condensadores La d.d.p. total es la suma de los voltajes 3210 VVVV ++= Capacidad equivalente: ... 1111 321 +++= CCCCS ASOCIACIONES DE CONDENSADORES ASOCIACIÓN EN PARALELO 1C 2C 3C 1Q+ 1Q− 2Q+ 2Q− 3Q+ 3Q− 0V + + Igual d.d.p. en todos los condensadores = La carga total es la suma de las cargas 3210 QQQQ ++= 0V Capacidad equivalente: ...321 +++= CCCCS ASOCIACIÓN EN SERIE 0 1 1 V Q C = 0 2 2 V Q C = 0 3 3 V Q C = 1 1 V Q C = 2 2 V Q C = 3 3 V Q C =
  6. 6. 6 ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR La energía que almacena el campo eléctrico de un condensador es igual al trabajo necesario para cargarlo. dQ C Q dQVdU ⋅=⋅= QVCV C Q dQ C Q U Q 2 1 2 1 2 1 2 2 0 ===⋅= ∫ Q+ Q− C + 0V
  7. 7. 7 1. Se tienen dos condensadores planos, cuyas características se dan en la tabla. C1 C2 Área (cm 2 ) 400 800 Distancia (mm) 2 1 Cte. Diel. εr 8 1 a) Calcular la capacidad de cada condensador. b) Si se conectan en paralelo y se cargan a 40 V, determinar la densidad superficial de carga de cada uno en µC/cm2 . c) Si se conectan en serie y la d.d.p. entre las armaduras del primer condensador es 30 V, determinar el campo eléctrico en el segundo y su densidad superficial de carga en C/m2 . 2. Las armaduras de un condensador plano de área 500 cm2 cuyo dieléctrico es aire están separadas 0.5 mm. Cargamos el condensador a 10 V, a continuación lo aislamos e introducimos una fina lámina de un dieléctrico cuya constante es 4, de forma que ocupa la mitad izquierda del volumen entre las armaduras. Se pide: PROBLEMAS CONDENSADORES a) Determinar en cuanto se incrementa la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico. b) Calcular el valor de la diferencia de potencial entre las armaduras después de introducir el dieléctrico. c) Comparar la densidad superficial de carga libre antes y después de introducir el dieléctrico. Dato. Permitividad del vacío ε0 = 8.85·10-12 pF/m 3. Las armaduras de un condensador plano de área 500 cm2 cuyo dieléctrico es aire están separadas 0.5 mm. Cargamos el condensador a 10 V, y sin aislarlo, introducimos una fina lámina de un dieléctrico cuya constante es 4, de forma que ocupa la mitad izquierda del volumen entre las armaduras. Se pide: a) Determinar en cuanto se incrementa la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico. b) Calcular el valor de la diferencia de potencial entre las armaduras después de introducir el dieléctrico. c) Comparar la densidad superficial de carga libre antes y después de introducir el dieléctrico. d) Calcular el campo eléctrico después de introducir el dieléctrico. d) Calcular el campo eléctrico después de introducir el dieléctrico.
  8. 8. 8 7. Calcular la capacidad por unidad de longitud de un condensador cilíndrico (esquematizado en la figura) http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capcyl.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capsph.html#c1 8. Calcular la capacidad de un condensador esférico (radios a y b, esquematizado en la figura) A F33 µ=C F33 µ=C F33 µ=C F11 µ=C F11 µ=C F11 µ=C B 4. Determinar la capacidad equivalente entre los terminales A, B para la siguiente asociación de condensadores: 5. Suponiendo que entre los terminales A, B del ejercicio anterior se conecta una fuente de 10 V, calcular: a) La carga almacenada en el sistema completo. b) La carga almacenada y la diferencia de potencial en cada uno de los condensadores C3. c) ¿Son equivalentes entre si los tres condensadores C1? Determinar su carga y su diferencia de potencial. d) Calcular la energía almacenada en el sistema. e) Si retiramos el condensador C1 situado en medio, ¿cuál es la nueva capacidad del sistema? f) Si después de retirar el condensador C1 situado en medio conectamos de nuevo la fuente de 10 V, ¿cuál será la energía almacenada? 6. Se tienen tres condensadores iguales. ¿De cuántas formas pueden asociarse para que la capacidad equivalente sea menor que la de uno de ellos? PROBLEMAS CONDENSADORES
  9. 9. 9 CORRIENTE ELÉCTRICA: CONCEPTOS FUNDAMENTALES Conductor en equilibrio Portadores de carga Movimientos aleatorios Sometido a un campo E  V A  Velocidad promedio de arrastre v  Densidad portadores de carga: V N n = 3 m portadoresnº =n Vector densidad de corriente vqnj  = Significado físico: [ ] s m C m portadoresnº 3 ××=j Sea q la carga de cada portador tiempoArea Carga × → La densidad de corriente es la carga que atraviesa por unidad de tiempo un área perpendicular a la dirección en la que son arrastrados los portadores de carga. Intensidad de corriente Es el flujo del vector densidad de corriente a través de una superficie A  j  ∫= A AdjI  · Caso más simple: densidad de corriente uniforme, superficie plana θ θ·cos·· AjAjI ==  Significado físico: carga que atraviesa una superficie por unidad de tiempo Unidades: [ ] amperio1 segundo1 culombio1 tiempo Carga =→→I [ ] 22 m amperio s1m1 culombio1 tiempoArea Carga = × → × →j
  10. 10. 10 CORRIENTE ELÉCTRICA: CAMPO Y DENSIDAD DE CORRIENTE Sometido a un campo E  V A  Velocidad promedio de arrastre v  El campo aplicado determina el valor de la densidad de corriente. La forma de la función f depende del tipo de material. ( )Efj  = Caso más sencillo: materiales óhmicos → dependencia lineal Ej  σ=Ley de Ohm σ es la conductividad. A mayor valor de conductividad corresponde una mayor densidad de corriente cuando se aplica un campo dado. Definición: la inversa de la conductividad σ es la resistividad ρ σρ /1= j E j E Material óhmico Material no óhmico
  11. 11. 11 I R V RIV ⋅=Materiales óhmicos: son aquellos en los que la diferencia de potencial es proporcional a la corriente circulante La constante de proporcionalidad es la resistencia eléctrica, que depende de la naturaleza y la geometría del material. Unidades S.I.: Ohmios (Ω). 1 Ω = 1 V / 1 A Para un conductor en forma cilíndrica (caso de los cables conductores de uso general) la relación entre la resistencia y la geometría es la siguiente: S L R ρ= S L ρ ρ es la resistividad, que tiene un valor bajo en los buenos conductores como el cobre. Unidades S.I. de la resistividad: Ω⋅m LEY DE OHM APLICADA A CIRCUITOS SENTIDO CONVENCIONAL DE LA CORRIENTE: cargas positivas que se mueven a favor del campo Unidades S.I. de la conductividad: Ω-1 ⋅m-1 1 Ω-1 = 1 siemen 1 Ω-1 m-1 = 1 S· m-1
  12. 12. 12 I R V RIV ⋅= POTENCIA DISIPADA EN UNA RESISTENCIA La corriente que circula por una resistencia disipa energía. Cálculo de la potencia disipada en una resistencia: RIIVP ·· 2 ==
  13. 13. 13 R + - V0 Circuito abierto para t < t0 CIRCUITO RESISTIVO SIMPLE (RESISTENCIA + FUENTE VOLTAJE) Diferencia de potencial en la resistencia e intensidad en el circuito Circuito cerrado para t ≥ t0 R + - V0 I=V0/R V0 V0 V0/R t (s) 0 t0 V (V) 0 0 I (A) t (s) 0 t0 Ley de Ohm
  14. 14. 14 CIRCUITO CAPACITIVO SIMPLE (CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE) + - V0 Circuito abierto para t < t0 Diferencia de potencial y carga en el condensador e intensidad en el circuito Circuito cerrado para t ≥ t0 C V0 C V0 t (s) 0 t0 V (V) 0 0 Q (C) t (s) 0 t0 0 I (A) t (s) 0 t0 V0/R + - V0 C V0 I Q = C V0 t = t0 → I = V0/R t > t0 → I = 0 Definición de capacidad +
  15. 15. 15 Ahora ni d.d.p., ni la carga, ni la intensidad varían abruptamente, porque la resistencia se opone al paso de las cargas CIRCUITO RC SERIE (RESISTENCIA + CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE) + - V0 Circuito abierto para t < t0 C R Circuito cerrado para t ≥ t0 + - V0 C R V(t) I(t) Q(t) = C V(t) t (s) 0 t0 V (V) 0 0 Q (C) t (s) 0 t0 0 I (A) t (s) 0 t0 V0/R t = t0 → I = V0/R C V0 V0 Diferencia de potencial y carga en el condensador e intensidad en el circuito
  16. 16. 16 CIRCUITO RC SERIE (RESISTENCIA + CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE) Circuito cerrado para t ≥ t0 + - V0 C R V(t) I(t) Cálculos detallados ( ) ( ) 0· VtIRtV =+ ( ) ( ) dt tdQ tI = ( ) ( ) C tQ tV = ( ) ( ) 0V dt tdQ R C tQ =+ ( ) ( ) R V tQ RCdt tdQ 01 =+ ( ) 000 =→= tQtt ( )     −+= RC t AVCtQ exp0     − −= RC t VC A 0 0 exp ( )     −     − −= RC t RC t VCVCtQ 0 00 exp exp ( ) ( )             − −−= RC tt VCtQ 0 0 exp1 Constante a determinar Condición inicial: en t = t0 condensador sin carga 0 Q (C) t (s) 0 t0 C V0 Cuando t → ∞, Q(t) → C V0 t (s) 0 t0 V (V) 0 V0 ( ) ( )             − −−= RC tt VtV 0 0 exp1 Cuando t → ∞, V(t) → V0 0 I (A) t (s) 0 t0 V0/R t = t0 → I = V0/R ¿Podría justificar esta gráfica? Conservación de la energía en el circuito Ecuación del circuito a resolver Su solución nos da la carga del condensador en función del tiempo Solución:
  17. 17. 17 DESCARGA CIRCUITO RC R OFF C + - ON 0V 1. Un condensador conectado a una fuente de tensión 2. Una resistencia con un interruptor abierto C + - R OFFOFF 3. Se desconecta la fuente de tensión El condensador queda aislado y cargado a V0 voltios 0V )(tV )(ti C R + - ON Rti C tQ tV )( )( )( =−=− dt tdQ ti )( )( = 0=+ RC Q dt dQ RC dt Q dQ −= 00 = = t QQ ( )RCtQtQ /exp)( 0 −= ( )RCtVtV /exp)( 0 −= Carga y voltaje son proporcionales Voltaje inicial Conservación energía ¿Qué significado físico tiene el producto RC? 4. Cerramos el interruptor que conecta el condensador con la resistencia

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