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Estatica de fluidos opta 2011

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Estatica de fluidos opta 2011

  1. 1. ESTATICA DE FLUIDOS PRESENTADO POR OPTACIANO VÁSQUEZ GARCIADOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS UNASAM- HUARAZ-PERÚ © 2011
  2. 2. I. OBJETIVOS:Al finalizar la unidad el alumno está en las condiciones de • Entender el concepto de distribuciones de presiones hidrostáticas.• Usar la ley fundamental de la hidrostática en la medición de presiones mediante el uso de manómetros• Determinar fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas y los centros de presiones Determinar las fuerzas de flotación y sus correspondientes puntos de aplicación
  3. 3. II. INTRODUCCIÓN Mecanica de fluidos Gases Líquidos Estatica Dinámica Fi 0 Fi 0 ← Flujos Estabilidad Buoyantez Air, He, Ar, Agua, aceites, N2, etc. alcoholes, etc. Presiónre Compressible Incompresible Laminar Surface Turbulento Tension Estable/inestableCompressibility Density Viscosity Vapor Viscoso/ sin viscocidad PressureCAPITULO I Dinámica de Capitulo II. fluidosINTRODUCCIÓN Estatica de fluidos
  4. 4. III. DEFINICIÓN DE FLUIDOUn fluido es la sustancia que cambia su formacontinuamente siempre que este sometido a un esfuerzocortante, sin importar que tan pequeño sea.
  5. 5. Estados de la materiaLa materia puede existir en cuatro estados:SOLIDO, LÍUIDO GAS Y PLASMA Cada uno de estos estados depende de la fuerza de cohesión molecular entre las moleculas del cuerpo
  6. 6. SOLIDOS Tienen volumen y forma definida. Sus moléculas tienen ubicaciones específicas debido a fuerzas eléctricas Vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio.  Pueden ser modeladas como esferas rígidas unidas por resortes
  7. 7. SOLIDOS Cuando se aplica fuerzasexternas al sólido, éste puedeestirarse o comprimirse. En elmodelo de resortes, estos seestiran o comprimen Si se suprime la fuerza elsólido recupera su forma original:esta propiedad se concoce comoelasticidad
  8. 8. SOLIDO CRISTALINO1. Los átomos dentro delcristal tienen unaestrucctura ordenada2. En la figura se presentael cloruro de sodio,Las esferas grises son los ionessodio y las verdes el ion cloro
  9. 9. SOLIDOS AMORFOS1. Los átomos están distribuidos aleatoriamente como se muestra en la figura Entre otros se tiene a los vidrios.
  10. 10. LIQUIDOS1. Tienen volumen definido pero no tienen forma definida2. Existen a temperaturas mayores que los sólidos2. Las moléculas se mueven aleatoriamente dentro del líquidoLas fuerza intermoleculaleres no son suficientespara mantener las moléculas en posiciones fijas
  11. 11. PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS1. Propiedades hidrostáticas: a) Presión b) Tensión superficial c) Boyantez2. Propiedades hidrodinámicas: a) Viscocidad b) Flujo y transporte
  12. 12. GASES1. No tienen volumen ni forma definida2. Las moleculas de un gas se encuentran en continuo movimiento3. Sus moléculas se ejercen mutuamente fuerzas muy débiles4. La distancia promedio entre sus moléculas es mucho mayor que el tamaño de las moleculas
  13. 13. PLASMA1. Materia caliente a muy alta temperatura2. Muchos de los electrones en estas sustancias se encuentran libres de sus átomos3. Esto da como resultado una gran cantidad de iones libres electricamente cargados4. El plasma existe en una gran cantidad de estrellas
  14. 14. PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOSUna propiedad es una carácterística de una sustancia , lacual es invariante cuando está en un estado particularLas propiedades pueden ser: (a) EXTENSIVAS: las cualesdependen de la cantidad de sustancia presente (volumen, energiamomentum, peso,etc. (b) INTENSIVAS: las cuales sonindependientes de la cantidad de sustancia ( volumen específico,densidad, energía especifica, etcLa propiedades intensivas son los valores de las propiedadesque se aplican a los fluidos. Son: Densidad, peso específico,gravedad específica, viscocidad, tensión superficial, presión devapor, compresibilidad
  15. 15. DENSIDADLa densidad , de una sustancia es una medidad de laconcentración de la materia, y se expresa como la masapor unidad de volumen Matemáticamente se expresa x, y , z , t lim * m dm V V V x, y, z, t dV La densidad es función de la presión y de la temperatura y su unidad SI es el kg/m3Para cuerpos homogéneos m V
  16. 16. Densidad de algunas sustancias Sustancia ρ (kg/m3).103 Sustancia ρ (kg/m3).103 Hielo 0,917 Agua 1,00Aluminio 2,7 Glicerina 1,26 Acero 7,86 Alcohol etílico 0,806 Cobre 8,92 Benceno 0,879 Plata 10,5 Aire 1,29 Plomo 11,3 Oxigeno 1,43 Oro 19,3Platino 21,4
  17. 17. PESO ESPECÍFICOEl peso específico , es la fuerza debido a la gravedadsobre la masa contenida en la unidad de volumen de unasustancia. Esto es, el peso por unidad de volumen. Matematicamente se expresa W VLas unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en elsistema británico. Por otro lado, debido a quew = mg = ρVg, la ecuación del peso específico puedeescribirse mg g V
  18. 18. GRAVEDAD ESPECIFICA Es una cantidad que permite comparar la densidad de unas sustancia con la del agua si el fluido es un líquido y con la del aire si es un gas Matematicamente se expresa sus r wDebido a que la densidad es función de la presión yla temperatura, para los valores precisos de lagravedad específica debe expresarse la presión y latemperatura
  19. 19. PRESIÓN La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una manifestación normal a la superficie.Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentrode una superficie S tal como se ve en la figura. Si se divide a la  superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es A An , en donde n, es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza que ejercerá el fluido sobre ΔA es F . Entonces la presión no es mássino la fuerza por unidad de área, esto es: F F dF p p lim A p A A 0 dA
  20. 20. Módulo de elasticidad volumétrico (Ev)Todos los fluidos se pueden comprimir mediante laaplicación de fuerzas de presión y en el proceso sealmacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidosse expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadasconvirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elásticase define mediante el módulo de elasticidad volumétrico,cuyo valor se determina utilizando un cilindro y un emboloal que se le aplica una fuerza como se muestra en a figura dp EV dV V1
  21. 21. Viscosidad (µ)Cuando se observa el movimiento de fluidos sedistinguen dos tipos básicos de movimiento. El primeroes el flujo laminar aquel movimiento regular en el quelas partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otrasen capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulentoes un movimiento caracterizado por la aleatoriedad delmovimiento de las partículas observándose remolinos devarios tamaños.Para determinar la viscosidad consideremos el flujolaminar de un fluido real que está confinado a moverseentre dos placas de extensión infinita, como se ve en lafigura
  22. 22. Viscosidad (µ)• Por efecto de la fuerza cortante Ft, la placa se mueve hacia la derecha. El esfuerzo cortante será F dF lim A 0 A dA• La rapidez de deformación será d rapidez de deformación lim t 0 t dt
  23. 23. Viscosidad (µ)• Por otro lado de la figura se observa además que la distancia Δl entre los puntos M y M’ es l v t• Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse como l y
  24. 24. Viscosidad (µ)• Igualando estas ecuaciones v v t y t y• Llevando al límite se tiene d dv dt dy
  25. 25. Viscosidad (µ)• Para fluidos newtonianos d dv dt dy• En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le llama “coeficiente de viscosidad dinámica”• En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistema c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada como poise
  26. 26. Viscosidad (µ)• La viscosidad no depende en gran medida de la presión. Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura mientras que en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre moléculas.• Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas tienen una alta movilidad y generalmente están separadas existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras dando lugar a una disminución en la viscosidad.
  27. 27. ESTATICA DE FLUIDOS• Un fluido se considera estático si todas sus partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a una distancia de referencia inercial. En esta sección se analizará la presión y sus variaciones a través del fluido así como se estudiará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.
  28. 28. Presión en un punto• Para determinar la presión en un punto interior a un fluido consideremos un elemento de fluido en forma de cuña como se muestra en la figura. Debido a que la cuña esta en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas que existen son perpendiculares a las superficies.
  29. 29. Presión en un punto • Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas y teniendo en cuenta que F = pA, resulta Fy 0 Fx 0 1 1 p1 dxdz p3 dxds sen 0 p4 2 dydz p5 2 dydz 0 p5 p4 p1 p3 Fz 0p2 dxdy p3 dx ds cos dW 0 1 p2 p3 2 dz
  30. 30. Presión en un punto• Las dos primeras ecuaciones indican que no hay variación de presión en dirección horizontal, mientras que la úlitma ecuación indica en dirección vertical. Si hay variación de la presión dicha variación depende de la densidad del fluido, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. Sin embargo en el límite cuando dz, tiende a cero, la ecuación se escribe p2 p3• Por tanto p1 p2 p3
  31. 31. Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática• Las variaciones de presión en una determinada dirección se obtienen estudiando las variaciones que la presión experimenta a lo largo de una dirección horizontal y vertical.
  32. 32. Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática• Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se cumple. Fx 0 px px dydz px px dx dydz 0 0 x x Fy 0 py p y dxdz py py dy dxdz 0 0 y y Fz 0 pzpz dxdy pz pz dz dxdy dW 0 g z z
  33. 33. Variación de la presión en un fluido incomprensible• Se ha demostrado anteriormente que la presión experimenta variaciones en la dirección vertical, además se ha mostrado que la presión depende de la densidad así como de la aceleración de la gravedad varía con la altura entonces afectará a la presión. Sin embargo, para propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la gravedad como una constante, de otro lado como se trata de un fluido incompresible la densidad es constante entonces la ecuación se escribe. pz dpz g g constante z dz
  34. 34. Variación de la presión en un fluido incomprensible• Para el sistema de referencia mostrado la variación de presión de un fluido incompresibles es
  35. 35. Variación de la presión en un fluido incomprensible• A partir de este resultado, se observa que un incremento en la elevación (dz, positivo) corresponde a una disminución en la presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2 las presiones en los puntos z1 y z2, respectivamente, la ecuación puede integrarse obteniendo p2 z2 dpz g dz p2 p1 g z2 z1 p1 z1• Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte superior como se ve en la Figura , la presión a cualquier profundidad h = z1 – z2 es p p0 gh
  36. 36. Variación de la presión en un fluido incomprensible• La presión ejercida por el aire es constante• La presión ejercida por el líquido varía con la profundidad
  37. 37. Variación de la presión con la profundidad• La presión en un fluido en reposo es independiente de la forma del recipiente que lo contiene.• La presión es la misma en todos los puntos de un plano horizontal en un fluido dado
  38. 38. Principio de Pascal.• Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad, cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece: “Un cambio en la presión aplicada a un fluido encerrado en un depósito se transmite íntegramente a cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente que l contiene”
  39. 39. Principio de Pascal. Prensa hidraulica• Una de las aplicaciones más importantes del principio de Pascal es la prensa hidráulica F1 F2 F2 A2P1 P2 A1 A2 F1 A1
  40. 40. Variación de la presión para fluidos compresibles Gases como el aire, oxigeno y nitrogeno son compresibles de tal forma que debe considerarse la variación de la densidad dp Note: γ = ρg , no es constante y g dz p R Constante universal deLey de gases ideales Asi RT gases T es la temperatura ρ es la densidad Entonces, Para condiciones isotérmicas, T es constante, T : o
  41. 41. Presión absoluta y manométrica
  42. 42. El Barómetro• Fue inventado por Torricelli• Permite medir la presión atmosférica local.• Consta de un tubo largo de vidrio cerrado por un extremo y abierto por el otro y una cubeta con mercuriopatm pvapor , Hg Hg h 0 Hg hpatm Hg h
  43. 43. El Barómetro
  44. 44. El manómetro Los manómetros son dispositivos que sirven para medir la diferencia de presión. Uno de ellos es el manómetro en U p2 p3pA 1 1h p0 h 1 1pA p0 h 1 1 h 1 1 p A,man h 2 2 h 1 1
  45. 45. El manómetro diferencial• Ambos extremos del tubo contienen depósitos.La presión diferencial será
  46. 46. EJEMPLO 01• Una Tanque de gasolina está conectado a un manómetro de presión a través de un manómetro doble-U, como se muestra en la figura. Si la lectura del manómetro es de 370 kPa, determine la presión en el manómetro de la línea de la gasolina.
  47. 47. EJEMPLO 02• Calcule la diferencia de presiones entre los centros de los tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededor del eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los tanques serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de los fluidos?
  48. 48. EJEMPLO 03• ¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A y B de los tanques?
  49. 49. EJEMPLO 04• Determine la presión del aire en el recipiente de la izquierda, si la cota del líquido manométrico en el tubo en A es 32,5 m
  50. 50. EJEMPLO 05• Los fluidos del manómetro invertido de la figura se encuentran a 20 °C. Si pA –pB = 97 kPa. ¿Cuál es la altura H en centímetros
  51. 51. EJEMPLO 06• La presión del punto A de la figura es de 25 lb/in2. Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿Cuál es la presión del aire a la cual se encuentra la cámara cerrada B?. La DR para el aceite SAE 30 es 0,891
  52. 52. EJEMPLO 07• Para el sistema de manómetros mostrados en la figura, determine la lectura h del manómetro en U
  53. 53. EJEMPLO 08• Los dos tanques de agua son conectados a través de un manómetro de mercurio mediante tubos inclinados, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presiones entre los dos tanques es 20 kPa. Determine las cantidades a y
  54. 54. Fuerza hidrostáticaUna válvula de una compuesta de una presa se encuentrasometida a presiones distribuidas como se muestra en lafigura
  55. 55. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergidaConsideremos lasuperficie sumergidamostrada en la figuraLa fuerza hidrostáticasobre dA será   dF pdAkLa fuerza hidrostáticaresultante será FR pdAk A
  56. 56. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergidaTeniendo en cuenta lavariación de la presióncon la profundidad FR p0 gh dAk ADebido a que todos lospuntos de la superficieestá, a la mismaprofundidad FR p0 gh dAk A FR p0 gh Ak
  57. 57. Fuerza hidrostática: CENTRO DE PRESIONESEl centro de presiones se determina aplicando el teoremade momentosEl momento de la fuerzaresultante con respecto a los ejesx ó y es igual al momento delconjunto de fuerzas distribuidasrespecto al mismo eje x ó y. Esdecir xC FR xpdA A yC FR ypdA A
  58. 58. Fuerza hidrostática: CENTRO DE PRESIONESReemplazando la magnitud de FR y el valor de la presióna una profundidad h en la ecuación (), tenemosxC p0 gh A x p0 gh dA A 1xC xdA xC x AAyC p0 gh y p0 gh dA A 1yC ydA yC y AAEsta ecuaciones indican que lafuerza hidrostática esta dirigidahacia abajo y esta aplicada en elcentroide de la región
  59. 59. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergidaConsidere la superficieinclinada un ánguloPara encontrar la fuerzaresultante se divide a lasuperficie en elementosde área dA.Debido a que el fluidoesta en reposo no existeesfuerzos cortantes,entonces la fuerza FRactuaráperpendicularmente adA. Esto es
  60. 60. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergidaLa fuerza hidrostática será   dF pdAkTeniendo en cuenta que lapresión a una profundidadh es p = po + ρgh  dF p0 0 gh dAkDe la figura se tiene ademásque h = y senθ, entonces  dF p0 0 gysen dAk
  61. 61. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida La fuerza resultante será  FR p0 ρgysen dAk ˆ A  FR ˆ p0 Ak gsen ydAkˆ A Teniendo en cuenta la definición de centroide ydA yCG A A  FR ( p0 A ˆ gsen yCG A)kDe la figura se observa hCG yCG sen  FR ( p0 ˆ ghCG ) AkLa magnitud de lafuerza hidrostática será FR pCG A
  62. 62. Centro de presionesEl punro de aaplicación de lafuerza resultante se determinaaplicando el principio demomentosMomento respecto al eje xyCP FR ydF y ( p0 h)dA y ( p0 y sen )dA p0 ydA sen y 2 dAyCP FR p0 yCG A sen I xxDonde I xx y 2 dA es el momento de inercia respecto al eje x A
  63. 63. Centro de presiones Utilizando el teorema de los ejes paralelos 2 I xx IG, x y ACGEntonces se tiene 2yCP pCG A p0 yCG A sen ( I G , x yCG A) ( p0 sen yCG ) yCG A sen I G , x ( p0 hCG ) yCG A sen I G , xyCP pCG A pCG yCG A sen I G , x sen I G , x yCP yCG pCG A
  64. 64. Centro de presionesMomento respecto al eje xxCP FR xdF x( p0 h)dA x( p0 y sen )dA p0 xdA sen xydAxCP FR p0 yCG A sen I xyDonde I xy xydA es el producto Ade inercia del área. Utilizando elteorema de steiner se tiene I xy I G , xy xCG yCG A
  65. 65. Centro de presiones Entonces se tienexCP pCG A p0 xCG A sen ( I G , xy xCPG yCG A) ( p0 sen yCG ) xCG A sen I G , xy ( p0 hCG ) xCG A sen I G , xxCP pCG A pCG xCG A sen I G , xy sen IG , xy xCP xCG pCG A
  66. 66. FUERZA RESULTANTELa magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre unasuperficie plana de una placa completamente sumergida enun fluido homogéneo es igual al producto de la presión en elcentro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dichaplaca y está actuando en el centro de presiones
  67. 67. Propiedades geométricas de regiones conocidas
  68. 68. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
  69. 69. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical: Prisma de presiones Consideremos una superficie vertical de altura h y ancho b como se muestra en la figura. La fuerza hidrostática resultante es h FR pCG A hCG A ( )(bh) 2
  70. 70. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prisma de presiones
  71. 71. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Su punto de aplicación será sen90 (bh3 /12) h h yCP yCG (h / 2)(bh) 2 6 2 yCP h 3
  72. 72. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre (compuerta) como se muestra en la figura
  73. 73. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana verticalLa fuerza resultante se obtienesumando el paralelepípedo depresiones más la cuña de presiones
  74. 74. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana verticalLa fuerza resultante se obtienesumando el paralelepípedo depresiones más la cuña de presionesFR V paralelipipedo V prismaFR F1,( ABDE ) F2,( BCD )FR ( h1 ) A (h2 h1 ) ALa localización de la fuerzaresultante se obtiene tomandomomentos. Es decirDonde
  75. 75. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS• El momento de inercia del área alrededor del eje x, es• El momento de inercia del área alrededor del eje y, es• El productor de inercia
  76. 76. Teorema de los ejes paralelos• El momento del area con respecto a ejes paralelos se expresa en la forma
  77. 77. EJEMPLO 01• La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire es basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va a llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3. Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en la bisagra A cuando el depósito se llena hasta una profundidad d = 2,9 m.
  78. 78. EJEMPLO 02• La compuerta de 6 m de ancho mostrada en la figura se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante un momento M aplicado en sentido antihorario. Halle el valor de dicho momento para mantener cerrada la compuerta
  79. 79. EJEMPLO 03• Una placa rectangular AB, mostrada en sección vertical tiene 4 m de altura por 6 m de anchura(normal al plano de la figura) y bloque el extremo de un depósito de agua de 3 m de profundidad. La placa se encuentra articulada en A y en el extremo inferior es sostenida por una pared horizontal. Encuentre la fuerza en B ejercida por el muro de contención
  80. 80. EJEMPLO 04• La compuerta vertical accionada por el resorte está engoznada por su borde superior A según un eje horizontal y cierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de 1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la fuerza F que debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a h =1,8 m.
  81. 81. EJEMPLO 05• El eje de la compuerta de 2 m de ancho normal plano del papel fallará con un momento de 160 kN.m. Determine el máximo valor de la profundidad del líquido h. El peso específico del líquido es 10 kN/m3.
  82. 82. EJEMPLO 06• La presa de concreto está diseñada para que su cara AB tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra. Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de 60 pies. w =62.4 lb/pies3.
  83. 83. EJEMPLO 07• El aire del espacio superior del tanque cerrado es mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre la atmosférica- Determine la fuerza resultante ejercida por el aire y el agua sobre uno de los extremos del tanque
  84. 84. EJEMPLO 08• Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada que cierra la compuerta vertical venciendo la presión del agua dulce represada al otro lado. La compuerta es rectangular con una anchura de 2 m perpendicular al plano del dibujo. Para una altura de agua h = 3 m, calcular la presión p del aceite actuante sobre el pistón de 150 mm del cilindro hidráulico
  85. 85. EJEMPLO 09• Una placa rectangular uniforme AB, representada en sección, tiene una masa de 1600 kg y separa los dos cuerpos de agua dulce en un depósito que tiene una anchura de 3 m (normal al plano de la figura). Determine la tensión T del cable soportante.
  86. 86. EJEMPLO 10• En la figura se representa la sección normal de una compuerta rectangular AB de dimensiones 4m por 6m que cierra el paso de un canal de agua dulce (ρ = 1000 kg/m3). La masa de la compuerta es de 8500 kg y está engoznada en un eje horizontal que pasa por C. Determine: (a) La fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) el punto de aplicación de dicha fuerza y (c) la fuerza vertical P ejercida por la cimentación sobre el borde inferior A de la compuerta.
  87. 87. EJEMPLO 11• Calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el extremo del tanque cilíndrico de la figura.
  88. 88. EJEMPLO 12• Una placa rectangular, mostrada de perfil en la figura, tiene una altura de 274 cm y una anchura de 244 cm (normal al papel) y separa depósitos de agua dulce y petróleo. El petróleo tiene una densidad relativa de 0,85. determine la altura h que ha de alcanzar el agua para que sea nula le reacción en B.
  89. 89. EJEMPLO 13• Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida para mantener cerrada la cubierta de esta caja. La cubierta tiene una anchura de 3m de perpendicular a plano del dibujo.
  90. 90. EJEMPLO 14• En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por la presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El ancho de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1 g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.
  91. 91. EJEMPLO 15• La compuerta rígida OBC, tiene 5 m de ancho normal al plano del dibujo. Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que el peso de la bisagra es despreciable. Determine la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada la compuerta.
  92. 92. EJEMPLO 16• En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construye un dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la dirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.
  93. 93. EJEMPLO 17• La compuerta AB está situada al final del canal de agua de 6 ft de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción, determine las reacciones en A y B.
  94. 94. EJEMPLO 18• Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reacciones en A y D.
  95. 95. EJEMPLO 19• Al final de un canal de agua dulce se encuentra una compuerta en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localiza a una distancia de h 4 in. por abajo del centro de gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del agua d para la cual se abrirá la compuerta.
  96. 96. EJEMPLO 20• Un tanque abierto tiene una partición vertical y en un lado contiene la gasolina con una densidad de ρ = 700 kg/m3 a una profundidad de 4 m, como se muestra en la Figura. Una puerta rectangular que es de 4 m de altura y 2 m de ancho y con bisagras en un extremo se encuentra en la partición. El agua se va añadiendo lentamente hacia el lado vacío del tanque. ¿A qué profundidad, h, será el inicio para abrir la puerta?
  97. 97. EJEMPLO 21• Una puerta rectangular que es de 2 m de ancho se encuentra en la pared vertical de un tanque que contiene agua como se muestra en la Figura. Se desea que la puerta se abra automáticamente cuando la profundidad del agua en la parte superior de la puerta llegue a los 10m.(a) ¿A qué distancia, d, si el eje horizontal sin rozamiento se encuentra? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en la puerta cuando se abra?
  98. 98. EJEMPLO 22• Una puerta rectangular con una anchura de 5 m se encuentra en el lado en declive de un tanque como se muestra en la Figura. La puerta está articulada a lo largo de su borde superior y se mantiene en posición por la fuerza P. Despreciando la fricción de la bisagra y el peso de la puerta. Determinar el valor requerido de P.
  99. 99. EJEMPLO 23• Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de largo con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar mediante un cable flexible horizontal como se muestra en la Figura. El agua actúa contra la puerta que está articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es insignificante. Determine la tensión en el cable
  100. 100. EJEMPLO 24• Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene su centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y descansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre la compuerta debido al agua.
  101. 101. EJEMPLO 25• Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de altura tiene su base horizontal y yace en un plano inclinado 45º, con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de la superficie libre del agua. Determine la magnitud, dirección y la localización de la fuerza resultante del agua sobre el área triangular.
  102. 102. EJEMPLO 26• Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg. Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta.
  103. 103. EJEMPLO 27• La compuerta AB es una placa rectangular de 280 Kgf que tiene 1,5 m de altura y 1,1 m de anchura y se utiliza para cerrar el canal de desagüe en la parte inferior de un depósito de petróleo. A consecuencia de la condensación en el depósito, se recoge agua dulce en la parte inferior del canal. Calcular el momento M respecto del eje del pasador en B necesario para cerrar la compuerta contra la acción de las fuerzas hidrostáticas del agua y del petróleo, la densidad relativa del petróleo es 0,85.
  104. 104. Ejemplo 28• La compuerta rectangular mostrada en la figura tiene 1, 2 m de ancho y un resorte se encarga de mantenerla cerrada. Cuando la compuerta está cerrada la fuerza de compresión sobre el resorte vale 15000 N. Determine el valor de H para que la compuerta empiece a abrirse.
  105. 105. Ejemplo 29• En la figura: (a) determine la fuerza resultante que actúa sobre la compuerta ABC debido a la presión hidrostática; (b) ¿Cuáles son las reacciones en el piso A y en el perno C?. Considere que b = 1,5 m; c = 1,25 m; d = 2 m y el ancho de la compuerta es 1,5 m.
  106. 106. Ejemplo 30• Una placa plana cierra una abertura triangular existente en la pared vertical del depósito que contiene un líquido de densidad ρ . La placa está articulada en el borde superior O del triángulo. Determine la fuerza P requerida para cerrar la compuerta venciendo la presión del líquido.
  107. 107. Ejemplo 31• La tapa de la abertura de 20 por 30 cm del depósito está roblonada, siendo despreciables las tensiones iniciales en los roblones. Si el depósito se llena con mercurio (DR = 13,6) hasta el nivel que se indica. Determine: (a) La fuerza ejercida por el mercurio sobre la tapa de la abertura y (b) la tensión inducida en cada uno de los roblones A y B.
  108. 108. Ejemplo 31• Las caras de un canjilón en forma de V para agua dulce, representado en sección, están articuladas por su intersección común que pasa por O y unidas por un cable y un torniquete colocados cada 183 cm a lo largo del canjilón. Determine la tensión T que soporta cada torniquete.
  109. 109. Ejemplo 31• En la figura puede verse la sección de una compuerta ABD que cierra una abertura de 1,5 m de anchura en un calla de agua salada. Para el nivel del agua indicado. Determine la fuerza de compresión F del vástago del cilindro hidráulico que mantenga una fuerza de contacto de 3 kN por metro de anchura de compuerta a lo largo de la línea de contacto que pasa por A. La compuerta pesa 17 kN y su centro de gravedad está en G.
  110. 110. Ejemplo 31• Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta.
  111. 111. Ejemplo 31• Una compuerta rectangular uniforme de peso W, altura r y longitud b es sostenida por goznes en A. Si e peso específico del fluido es γ , determine el ángulo θ requerido si la compuerta debe permitir flujo cuando d = r
  112. 112. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa perpendicularmente, cambia de dirección continuamente. por tanto la magnitud y punto de aplicación de FR se determina determinando sus componentes horizontal y vertical.
  113. 113. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura, permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultante ejercida por la superficie AB, F’H y F’V , sobre el fluido, y posteriormente las respetivas e iguales y opuestas FH y FV . Es decir Fx FBC FH 0 FH FBC Fy FV FAC WABC 0 FV FAC WABCFH debe ser colineal con FBCy FV colineal con laresultante de FAC y WABC
  114. 114. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen las componentes de las fuerzas resultantes producidas por distribuciones de presión sobre superficies curvas
  115. 115. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• La componente horizontal • Es decir actuando sobre dA será zCP FH zdAyz dFH dF sen p sen dA• La fuerza resultante 1 horizontal será zCP zdAyz FH FH p sen dA• Teniendo en cuenta la geometria de la figuraFH zdAyz zCG Ayz , proy A• El punto de aplicación de FH se obtiene aplicando el teorema de momentos
  116. 116. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Esto es:• La componente horizontal FH de la fuerza debida a las presiones sobre una superficie curva es igual a la fuerza debía a las presiones que se ejercería sobre la proyección de la superficie curva. El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente. FH zCG Ayz , proy• El punto de aplicación de la fuerza horizontal se encuentra en el centro de presiones del área proyectada 1 zCP zdAyz FH
  117. 117. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVASLa componente vertical de la fuerza FV, paralela al eje z, es
  118. 118. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La componente vertical La componente vertical actuando sobre dA será debida a las presiones sobre una superficiedFV dF cos p cos dA curva es igual al peso • La fuerza resultante del fluido situado horizontal será verticalmente por encima de la superficie FV p cos dA curva y extendida hasta la superficie libre. A • Teniendo en cuenta la geometria de la figura FH pdAxy hdAxy A A • Pero hdAyx =dV, entonces FV V
  119. 119. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• La línea de acción de la componente vertical se determina igualando los momentos de las componentes diferenciales verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con el momento de la fuerza resultante respecto al mismo eje, esto esxCP FV xdVxCP xdV V 1xCP xdV V
  120. 120. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS• Es decir la fuerza vertical pasa por el centroide del volumen de fluido real imaginario que se extiende por encima de la superficie curva hasta la superficie libre real o imaginaria.
  121. 121. Ejemplo 01• Determine completamente la fuerza hidrostática ejercida por el agua ( =1000 kg/m3) sobre la compuerta cuarto circular de 4 m de radio y ancho b = 30 m
  122. 122. Ejemplo 02• La compuerta cuarto circular de 2 m de longitud mostrada en la figura se encuentra articulada en la parte inferior. Determine: (a) la fuerza horizontal y vertical ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la reacción en la articulación y (c) la fuerza P necesaria para mantener la compuerta en dicha posición
  123. 123. Ejemplo 03• Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas la compuerta mostrada en la figura si H = 6 m, R = 2 m y la compuerta tiene 4 m de longitud
  124. 124. Ejemplo 04• ¿Qué fuerza P se requiere para mantener cerrada la compuerta de 4 m de anchura que se muestra en la figura?
  125. 125. Ejemplo 05• Calcular la fuerza P necesaria para mantener el objeto cilíndrico de 10 m de longitud en la posición que se muestra
  126. 126. Ejemplo 06• El cilindro de la figura tiene anchura de 1 m. El líquido que se encuentra a su izquierda es agua. Calcular las fuerzas hidrostáticas que se ejercen sobre el cilindro y el momento creado en el centro del mismo por dichas fuerzas.
  127. 127. Ejemplo 07• Hallar las componentes vertical y horizontal, valor y punto de aplicación, sobre la compuerta de la figura cuyo perfil responde a la ecuación de una parábola y una longitud perpendicular al papel de dos metros. El líquido que retiene la compuerta tiene un peso especifico de 9000 N/m3.
  128. 128. Ejemplo 08• En la compuerta de la figura que posee una anchura perpendicular al papel de 1m. Calcular la resultante y línea de aplicación de las fuerzas horizontales y verticales y el momento que crean en el punto 0.
  129. 129. Ejemplo 09• El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa 2450 daN y tiene una longitud de 1.5 m., normal al dibujo. Determinar las reacciones en A y B en kgf despreciando rozamientos.
  130. 130. Ejemplo 10• Calcular la fuerza F necesaria para mantener la compuerta mostrada en la figura en la posición cerrada. Considere que R = 60 cm y que la compuerta tiene un ancho de 1,2 m
  131. 131. Ejemplo 11• La compuerta cuarto-circular AB mostrada en sección, tiene una anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del papel) y regula la circulación de agua dulce sobre el borde B. La compuerta tiene un peso total de 30840 N y está articulada por su borde superior A. Determine la fuerza mínima necesaria para mantener cerrada la compuerta. Desprecie el grosor frente a su radio de 275 cm.
  132. 132. Ejemplo 11• El costado correspondiente al agua de una presa de hormigón tiene forma parabólica de vértice en A. Determinar la posición b del punto B de la base en que actúa la fuerza resultante del agua contra el frente C de la presa.
  133. 133. Ejemplo 12• El apoyo semicónico BC de 1,2 m de radio y 1,8 m de altura, se utiliza para soportar el cuarto de esfera AB de 1,2 m de radio, sobre la cara de corriente arriba de un dique. Determine: (a) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza horizontal hidrostática sobre el cuarto de esfera; (b) La magnitud y dirección de la fuerza vertical hidrostática sobre el cuarto de esfera; (c) La magnitud y la localización de las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática ejercida por el agua sobre la superficie semicónica BC
  134. 134. Ejemplo 13• La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de circunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto de aplicación y el momento que crean en el punto O.
  135. 135. Ejemplo 14• ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos secciones del tanque están completamente aisladas una de la otra por el tabique AB?.
  136. 136. Ejemplo 14• En la figura se muestra un tanque que se encuentra herméticamente dividido en dos partes que contienen agua y aire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D se encuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúa como partición EC y se extiende por igual en el agua por encima y en el aceite por debajo, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidos sobre la esfera?.
  137. 137. Ejemplo 15• Un tronco está en equilibrio como se muestra en la figura. Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceite sobre el tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobre el tronco, (c) La fuerza ejercida por el muro sobre el tronco y (d) El peso específico relativo del tronco si su longitud es de 4m m y R = 0,6 m.
  138. 138. Ejemplo 16• El agujero que hay en el fondo del depósito de la figura, está cerrado con un tapón cónico cuya densidad es 400 kg/m3. Determine la fuerza F necesaria para mantener cerrado el depósito.
  139. 139. Ejemplo 17• El depósito cuya sección recta se muestra en la figura, tiene 2 m de anchura y está lleno de agua a presión. Determine las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro de 1 m de radio en la posición mostrada, despreciando el peso del mismo.
  140. 140. Ejemplo 18• Un taque se encuentra dividido en dos cámaras independientes. La presión del aire actúa en ambas secciones. Un manómetro mide la diferencia entre éstas presiones. Una esfera de madera (DR = 0,60) se coloca en la pared tal como se muestra. Determine: (a) La fuerza vertical sobre la esfera, (b) la magnitud (solamente) de la fuerza horizontal resultante causada por los fluidos.
  141. 141. Ejemplo 19• Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la superficie semiesférica mostrada en la figura
  142. 142. Ejemplo 20• ¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido por todos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad relativa del aceite es 0,8.
  143. 143. Ejemplo 21• El apoyo semicónico se usa para soportar una torre semicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un dique. Calcular la magnitud, dirección y sentido de las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre el apoyo: (a) cuando la superficie del agua se encuentra en la base del semicilindro; (b) cuando la superficie del agua se encuentra a 1,2 m sobre este punto.
  144. 144. Ejemplo 22• Determine la fuerza P, necesaria para que la compuerta parabólica mostrada se encuentre en equilibrio. Considere que H = 2 m y el ancho de la compuerta es 2 m.
  145. 145. Ejemplo 23• La compuerta AB, mostrada en la figura es utilizada para retener agua de mar ( = 10050 N/m3) tiene la forma de tres octavos de círculo, una anchura de 3 m, está articulada en B y se apoya en A. Determine las fuerza de reacción en A y B.
  146. 146. Ejemplo 24• En la figura se muestra un depósito abierto de gasolina cuya densidad relativa es 0,72 que tiene una anchura de 4 m normal al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza que la gasolina ejerce sobre la superficie curva; (b) la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida por el fluido sobre la superficie curva
  147. 147. Ejemplo 25• La cúpula semiesférica mostrada en la figura pesa 30 kN, está llena de agua y sujeta al suelo por medio de seis tornillos igualmente espaciados. Determine la fuerza que soporta cada tornillo.
  148. 148. Ejemplo 26• Calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante del agua sobre el tapón cónico sólido
  149. 149. Ejemplo 27• Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene 8 m de profundidad. Determine la fuerza hidrostática resultante que actúa por metro de longitud a lo largo de la longitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho
  150. 150. Ejemplo 28
  151. 151. Ejemplo 29• Se muestra una superficie curva que tiene un cuerpo de fluido estático. Calcule la magnitud de las componentes horizontal, vertical y resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre dicha superficie y su ángulo. La superficie mide 3.00 pies de longitud, el ángulo es de 75° y el fluido es agua (Calcular en sistema Ingles consistente.
  152. 152. Ejemplo 29• El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremo semiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua. Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultante sobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud y dirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por los fluidos sobre la superficie semiesférica ABC.
  153. 153. Ejemplo 29F1V V ace sobrela sup. F2V 1 ( Vcilindro ) 1 ( Vesfera ) aceite 2 w 4 1 1 acei . 2 Vcilindro 4 Vesfera R2 H 1 4 R3 aceite w ( ) 1 1 4 .R 3 2 4 3 acei . .R 2 H 2 4 3 (32 )(5) (33 ) (32 )(5) .(33 ) 900 1000 900 2 3 2 3 F2V 91891, 6 kgf (2)F1V 38170, 4 kgf ............................(1)
  154. 154. • Fuerza horizontalF1H pCG Apro. FH pCG Apro. R2 4R R2 h h acei . acei . w ( ) acei . CG 2 3 2 4(3) (3 ) 2 4 x3 (32 ) 900 5 900(5) 1000( ) 3 2 3 2   F1H 47417,3 kg .................(3) FH 81617,3 kg .................................(4)
  155. 155. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente que actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyes de boyantez o empuje se enuncian:1° Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación (empuje) verticalmente hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluid equivalente a su propio peso.
  156. 156. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• Para demostrar la primera de éstas leyes consideremos un cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestra en la Figura
  157. 157. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• La fuerza de flotación o empuje sobe el cuerpo sumergido es la diferencia entre la componente vertical debida a la presión sobre la parte inferior AMB y la componente vertical de la fuerza debida a la presión sobre la parte superior AUB. Esto esdFB dFV dFV p dA pdA ( p0 h2 )dA ( p0 h1 )dA (h2 h1 )dAdFB hdA• Pero hdA =dV, entoncesdFB dV FB V dV Vsumerg
  158. 158. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• Para encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación se toma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un eje conveniente y se iguala al momento de la resultante con respecto al mismo eje, esto es yC FB ydV V ydV V yC dV V La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a través del centroide del volumen de fluido desplazado.
  159. 159. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal como se muestra en la figura, la fuerza de flotación viene expresada en la forma FB Vdesplazado W f gVS• Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que el peso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje , por tanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso
  160. 160. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN• Por otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra e la figura, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical de sección recta dA, esdFB ( p2 p1 )dA ( 1H 2 2h) 1 ( H h1 ) dAdFB ( 2 h2 h )dA 1 1 FB ( 2 h2 h )dA 1 1 FB V 1 1 V 2 2 Para ubicar la fuerza de flotación se toma momentos respecto a un eje convenientemente elegido esto es yC FB 1 y1dV1 2 y2dV2
  161. 161. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS• La estabildad rotacional de un cuerpo sumergido depende de la ubicación del centro de gravedad G y el centro de flotación B. – Cuando G se encuentra debajo de B: Estable – Cuando G se encuentra sobre B: Inestable – Cuando G coincide con B: estabilidad neutra.
  162. 162. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS• Sin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser estable si G está por encima de C esta situación se muestra en la figura a. Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluido desplazado se mueve a un nuevo punto C’, que se muestra en la figura b. Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un momento restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la altura metacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta el punto de intersección de la fuerza de flotación antes de la rotación con la fuerza de flotación después de la rotación. Si GM es positiva como se muestra, el cuerpo es estable; si GM es negativa (M está debajo de G) el cuerpo es inestable.
  163. 163. Ejemplo 01• ¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga?. La barcaza tiene 6 m de ancho.
  164. 164. Ejemplo 02• Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 es forzada dentro del agua mediante una fuerza de 150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál es la profundidad d ?.
  165. 165. Ejemplo 03• El tapón circular de 0,25 m de diámetro y 0,025 m de espesor tiene un peso específico de 76 kN/m3. Calcular el diámetro D de la esfera de peso despreciable para que la válvula se abra cuando el agua tenga 1,5 m de profundidad. Considere que el peso del cable es despreciable.
  166. 166. Ejemplo 04• El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3 m cuya densidad es 400 kg/m3 de la figura se mantiene en la posición mostrada por la acción de la cuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El ángulo θ cuando h= 0,9 m, (b) El valor mínimo de h para que θ sea 90º.
  167. 167. Ejemplo 05• El cuerpo homogéneo A de la figura es un cono circular recto (ρ = 640kg/m3). El cuerpo B (ρ = 2400kg/m3) se fija a A mediante un alambre. Si los cuerpos están en equilibrio en la posición mostrada. Determinar: (a) El volumen del bloque B, (b) La resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie lateral del cono
  168. 168. Ejemplo 06• Los cuerpos A y B de la figura son dos cilindros sólidos y homogéneos, la sección transversal de cada cilindro es 0,09 m2. Las densidades de los cilindros A y B son de 1800 y 2600 kg/m3, respectivamente. Un resorte de tensión (uno que sólo actúa a tensión) interconecta a A con el fondo del tanque. En la figura se representa al resorte sin deformar. Calcule la posición de la superficie del cilindro A con respecto a la superficie correspondiente del cilindro B cuando el módulo de elasticidad del resorte es 900 N/m.
  169. 169. Ejemplo 07• Los dos bloques prismáticos A y B de la figura son de madera (ρm= 600 kg/m3). Las áreas de las secciones transversales son 0,045 m2 para A y 0,108 m2 para B. La barra CD se construyó con la misma madera y el área de su sección transversal es 0,018 m2. Calcular la distancia que el bloque B debe subir o hundirse para que el sistema recobre su configuración de equilibrio.
  170. 170. Ejemplo 08• La cáscara de acero semicilíndrica co los extremos cerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa m del lastre de plomo que debe colocarse en la cáscara para que ésta sobresalga del agua la mitad de su radio de 150 mm. La densidad del acero es de 7700 kg/m3 y la densidad del plomo es 11300 kg /m3.
  171. 171. Ejemplo 09• Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones de 0,075 m fijos a un madero de 3 m de longitud y 0,3 m por 0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de longitud y 0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es 0,4. La balsa flota en agua. Sobre la balsa debe colocarse un cuerpo W de 150 kg. Determine: (a) La ubicación de W para que la balsa flote nivelada; (b) La distancia entre la parte superior de la balsa y la superficie del agua.
  172. 172. Ejemplo 10• La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantiene en posición horizontal por el ancla de concreto (24 kN/m3). Calcular el peso total mínimo que puede tener el ancla de concreto.
  173. 173. Ejemplo 10• Una baliza de canal consta de un cilindro de acero hueco de 300 mm de diámetro y 90 kg de masa, que se ancla en el fondo con un cable como se indica. Con la marea alta, h = 0,6 m. Determine la tensión T en el cable. Hallar así mismo el valor de h cuando el cable se afloja al bajar la marea. La densidad del agua marina es de 1030 kg/m3. Supóngase que la baliza está lastrada para que se mantenga en una posición vertical.
  174. 174. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS• Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal como se muestra en la Fig., sometido a una aceleración uniforme horizontal. En la figura se observa que después de ser sometido a dicha aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora.•
  175. 175. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS• Para determinar la variación de presión en dirección vertical se considera el DCL de una porción de fluido en forma vertical y se aplica la segunda ley de Newton. Fy ma ydF2 dF1 dW m(0)p2 dA p1dA gdV( p2 p1 )dA ghdA p2 p1 gh
  176. 176. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS• Para determinar la variación de presión en la dirección horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley de Newton, esto es
  177. 177. TRASLACIÓN HORIZONTAL DE MASAS LÍQUIDAS• La aplicación de la ley de Newton nos da Fy ma y dF1 dF2 dm(ax ) p0 gh1 dA p0 gh1 dA LdAax• Simplificando se tiene g ( h1 h2 ) Lax (h1 h2 ) ax L g ax tg g
  178. 178. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS• Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo un fluido, en dirección vertical con una aceleración ay . La figura, muestra en este caso la superficie libre permanece horizontal durante el movimiento. Es decir la presión en planos horizontales permanece constante, pero en dirección vertical no,
  179. 179. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS• Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical se tiene Fy ma y dF2 dF1 dm(a y ) ( p2 p1 )dA gdV dVa y ( p2 p1 )dA ghdA hdAa y p2 p1 h( g a y )Esta ecuación indica quela presión varía con laprofundidad y con laaceleración del depósito
  180. 180. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS• Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene Fy ma y dF2 dF1 dW dm(a y ) ( p1 p2 )dA gdV dVa y ( p1 p2 )dA ghdA hdAa y p2 p1 h( g a y )En el caso de que el tanque sesuelta desde el reposo, es decirtiene un movimiento de caída libre p2 p1 h( g g ) p2 p1
  181. 181. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
  182. 182. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS• Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la presión en la dirección vertical es análoga al caso hidrostático, esto es Fz maz dF2 dF1 dW 0 pzpdA ( p dz )dA g (dz )(dA) z pz g z
  183. 183. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • Analizando el movimiento en dirección normal se tiene Fn man dF2 dF1 (dm)an pr 2( pr dr )dA pr dA (dr )(dA) r r pr 2 r z • En la dirección azimutal p 0
  184. 184. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS• La variación total de la presión será Remplazando C pr pz p se obtienedp dr dz d r z 2 2 r 2 p p0 g ( z0 z) dp rdr gdz 2• Integrando indefinidamente 2 dp rdr gdz 2 2 r p gz C 2• La constante C esta dada por p0 gz0 C C p0 gz0
  185. 185. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS• La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene haciendo debido a que en la superficie libre la presión es , entonces tenemos 2 r p0 p0 g ( z0 z) 2 2 2 r Z Z0 2gEsta ecuación indica que la superficielibre es un paraboloide de revoluciónCuando existe una superficie libre en el recipienteque está girando el volumen que ocupa el fluidoque está debajo de la superficie libre delparaboloide de revolución tiene que ser igual alvolumen de fluido que tenía cuando estaba enreposo.
  186. 186. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS• En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje, la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del cilindro es según la ecuación 2 2 r 0 h0 2gPor otro lado, debido a que el volumen delparaboloide de revolución es igual a la mitad delvolumen del cilindro circunscrito, el volumen dellíquido por encima del plano horizontal es, 2 2 4 2 1 2 r 0 r 0V ( r0 )( ) 2 2g 4g
  187. 187. EJEMPLO 01• Un depósito rectangular de 8 m de longitud , 3 m de profundidad y 2 m de anchura contiene 1,5 m de agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de 2,45 m/s2. (a) Calcular la fuerza total sobre cada uno de los extremos del depósito debido a la l acción del agua y (b) demostrar que la diferencia entre estas fuerza es igual a la fuerza no equilibrada, necesaria para acelerar la masa líquida
  188. 188. EJEMPLO 02Si el depósito del problema anterior se llena deagua y se acelera en la dirección de su longitudcon una aceleración de 1,52 m/s2. ¿Cuántos litrosde agua se verterán del depósito?
  189. 189. EJEMPLO 03• Un recipiente que contiene agua se acelera paralelamente y hacia arriba de un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal con una aceleración de 3,66 m/s2. ¿Qué ángulo formará la superficie libre con la horizontal?.
  190. 190. EJEMPLO 04Un depósito cúbico está lleno con 1,5 m de aceite dedensidad relativa DR = 0,752. Determine la fuerza queactúa sobre uno de los lados del depósito cuando: (a) sesomete a una aceleración vertical y dirigida hacia arriba de4,9 m/s2 y (b) cuando la aceleración de 4,9 m/s2 esvertical y dirigida hacia abajo. M
  191. 191. EJEMPLO 05• Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua. Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N en dirección horizontal tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie libre del agua alcanza una orientación fija con respecto al tanque?.
  192. 192. EJEMPLO 06• Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de lado pesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la acción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela a uno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del depósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad es mayor?.
  193. 193. EJEMPLO 06• El tanque rectangular cerrado mostrado en la figura tiene 1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho, está lleno con gasolina en sus tres cuartas partes y la presión en el espacio de aire arriba de la gasolina es de 140 kPa. Calcular las presiones en las esquinas de éste tanque cuando se le acelera horizontalmente según la dirección de su longitud, a 4,5 m/s2. Considere que la densidad de la gasolina es 680 kg/m3.
  194. 194. EJEMPLO 07• Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a de 0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos sobre la pared izquierda AB cuando se alcanza una configuración estable del agua con respecto al tanque?: El ancho del tanque es de 1,5 pies.
  195. 195. EJEMPLO 08• Un depósito cilíndrico abierto de 2 m de altura y 1 m de diámetro , contiene 1,5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico . (a) ¿Qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua?. (b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y en D cuando = 6 rad/s?.
  196. 196. EJEMPLO 09• Considere qu el depósito del problema 08 se encuentra cerrado y que el aire en la parte superior del cilindro es de 1,9 kg/cm2. Cuando se hace girar al cilindro a una velocidad angular de 12 rad/s. ¿Cuáles son las presiones, en los puntos C y D?
  197. 197. EJEMPLO 10• Un depósito cilíndrico abierto de 1,2 m de diámetro y 1,8 m de profundidad se llena con agua y se le hace girar a 60 RPM. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad en el eje?.
  198. 198. EJEMPLO 11• Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m de diámetro se llena con agua hasta una profundidad de 1,2 m. Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en el espacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión en la intersección de la pared y el fondo del tanque cuando este se hace girar alrededor de su eje central vertical a 150 RPM.
  199. 199. CONCLUSION:

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