Este documento explica el concepto de interés compuesto, donde los intereses generados se capitalizan periódicamente y generan nuevos intereses. Compara el interés compuesto con el interés simple a través de un ejemplo numérico. Luego presenta la fórmula para calcular el monto a interés compuesto dependiendo de la tasa de interés, el capital inicial y el número de períodos de capitalización.
2. Definición
“El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado en un
período de tiempo ,siempre que no se retire, se suma al capital y este
nuevo valor vuelve a ganar intereses y se acumula al nuevo capital. Y
así sucesivamente tanta veces como períodos de capitalización se
hayan establecido. En este método, se dice que los intereses se
capitalizan.”
2
3. COMPARACION CON EL INTERES SIMPLE
Ejemplo
• Calcular el Monto a interés simple y el interés compuesto de un
capital de $ 4.000.000 invertido a una tasa de interés del 10% durante 6
períodos.
a) Interés simple.
I= Cit = 4.000.000 (0,10) (6) = $ 2.400.000
M = C (1+it) = 4.000.000 [1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000.-
3
4. b) Interés compuesto
• Para el primer período M= 4.000.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000
• Para el segundo período M = 4.400.000 [1 + 0,10(2)] = $ 4.840.000.
• Para el tercer período M = 4.840.000 [1 +0,10(3)] = $ 5.324.000.
• Para el cuarto período M = 5.324.000 [1 + 0,10(4)] = $ 5.856.400.
• Para el quinto período M = 5.856.400 [1 + 0,10(5)] = $ 6.442.040.
• Para el sexto período M = 6.442.040 [1 + 0,10(6)] = $ 7.086.244.-
4
5. Note la diferencia:
• El Monto final a Interés simple = $ 6.400.000.
• El Monto final a Interés Compuesto = $ 7.086.244.
CONCLUSIONES:
El interés simple es constante durante todo el período
El interés compuesto es creciente a través del tiempo porque los interese
se van capitalizando a través del tiempo
Mientras más períodos se capitalice, mayor será la diferencia entre el IS y
el IC
5
6. VARIABLES DEL INTERES COMPUESTO
• Período de capitalización = n: es el espacio de tiempo en el que el interés
se adiciona o acumula al capital. Este período puede ser anual, semestral,
trimestral, mensual, etc.
• Tasa de interés = i: es la tasa de capitalización del período que puede ser
anual, semestral, trimestral, mensual, diaria, etc.
6
7. Ejemplo:
• Calcular el número de períodos de capitalización y la tasa de interés por
período de capitalización de un capital invertido a interés compuesto
durante 7 años, a una tasa de interés de 15% anual capitalizable
semestralmente.
• t = 7 años
• Entonces:
• n= número total de meses / número de meses del período de capitalización
• n = 7(12)/6 = 14 semestres
7
8. • i= tasa anual/ numero de capitalizaciones al año= tasa anual /m en donde
• m= 360 / Nº de días del período = 360/ 180 = 2
• i = 0,15 anual / 2 (semestres) = 0,075 = 7,5% semestral
8
9. Ejemplo:
• Calcular el número de períodos de capitalización(n) y la tasa de interés por
período de capitalización (i) de un capital colocado a interés compuesto durante
5 años, a una tasa de interés anual del 15%, capitalizable trimestralmente
• t = 5 años
• i= 15%
• n= 5 (12/3) = 20 trimestres
• m= 360 / 90 = 4 significa que se capitaliza 4 veces al año.
• I = 0,15/ 4 (trimestres) = 0,0375 = 3,75% trimestral
9
10. FORMULA DEL MONTO A INTERES
COMPUESTO
• El Monto (M) de un capital invertido a interés compuesto, o monto
compuesto, es el valor del capital final, o capital acumulado, después de
sucesivas adiciones de los intereses.
IC = MC – C
En donde
• IC = interés compuesto
• MC= Monto Compuesto
• C= Capital original
10
11. 11
Ejemplo:
• Calcular el monto (M) a interés compuesto de un capital de $ 100.000 a 4
años plazo invertidos a una tasa del 12% anual.
• Si tenemos que I = Cit
• Primer año:
• I = 100.000(0,12) (1) = $ 12.000.
• M= 100.000 + 12.000 = $ 112.000.
• Segundo año:
• I = 112.000(0,12) (1)= $ 13.440
• M= 112.000 + 13.440= $ 125.440
12. 12
• Tercer año:
• I = 125.440(0,12) (1)= $ 15.052,80
• M = 125.440 + 15.052,80 = $ 140.492,80
• Cuarto año:
• I = 140.492,80(0,12) (1)= $ 16.859,14
• M= 140.492,80 + 16.859,14 = $ 157.351,94
Entonces,
• C= Capital
• i = Tasa de interés por período de capitalización
• n= número de períodos de capitalización
13. Entonces para n períodos de capitalización tenemos
13
Período
Capital
al
inicio
del
período
Interés
Monto
1
C
Ci
C
+
Ci
=
C(1
+
i)
2
C(1+i)
C
(
1
+
i)i
C(1+i)
+
C(1+i)i=
C(1+i)2
3
C(1+i)2
C(1+i)2
i
C(1+i)2
+
C(1+i)2
i=
C(1+i)3
4
C(1+i)3
C(1+i)3
i
n
C
(
1
+
i
)
n-‐1
C
(
1
+
i
)
n-‐1
i
C
(
1
+
i
)
n-‐1
+
C
(
1
+
i
)
n-‐1
i
=
C(
1+
i
)
n
14. Entonces, para cualquier período de capitalización y tasa de interés por
período, se obtiene la fórmula del monto a interés compuesto:
M= C (1 + i)n
La fórmula del Monto también puede expresarse tomando en cuenta los
períodos de capitalización menor de un año: semestral, trimestral, mensual,
diaria.
14
16. Fórmula del Monto a interés compuesto en función de m y t
M = C (1 + i/m) mn
En donde:
• M = Monto
• C = Capital inicial
• i = Tasa de interés nominal que puede ser capitalizable varias veces en un
año
• m = número de capitalizaciones al año
• n = número de años
16
17. • Si la capitalización es anual, la fórmula del monto en un año es:
M = C (1+i)n
• Si la capitalización es semestral
M = C (1 + i/2)2
• Si la capitalización es trimestral
M = C (1 + i/4)4
17
18. • Si la capitalización es bimestral
M = C (1 + i/6)6
• Si la capitalización es mensual
M = C (1 + i/12)12
• Si la capitalización es quincenal
M = C (1 + i/24)24
• Si la capitalización es diaria
M = C (1 + i/360)360
18
19. Ejemplo
• Calcular el monto de un capital de $ 200.000 invertido al 12% interés anual
compuesto durante 5 años capitalizable en la siguiente manera:
• Anualmente ( o tasa efectiva)
M= 200.000(1+0,12)5 = $ 352.468,34
• Capitalizable semestralmente
M = 200.000(1+0,12/2)10 = $ 358.169,54
• Capitalizable trimestralmente
M = 200.000(1+0,12/4)20 = $ 361.222,25
19
20. • Capitalizable bimestralmente
M = 200.000(1+0,12/6)30 = $ 362.272,32
• Capitalizable mensualmente
M = 200.000(1+0,12/12)60 = $ 363.339,34
• Capitalizable diariamente
M = 200.000(1+0,12/360)1.800 = $ 364.387,33
OBSERVE QUE CUANDO EL PERIODO DE CAPITALIZACION AUMENTA,
AUMENTA EL MONTO PORQUE AUMENTA EL INTERES COMPUESTO
20
21. Ejemplo:
• Una empresa obtiene un préstamo de $ 3.000.000 a 6 años plazo a una
tasa de interés anual del 15% capitalizable semestralmente. Calcular el
monto que debe pagar al vencimiento y el interés pagado.
• M= 3.000.000(1+0,15/2)12 = 3.000.000(1,075)12
• = 3.000.000(2,381780)= $ 7.145.338,80
• Interés que debe pagar:
• I = M – C
• I = 7.145.338,80 – 3.000.000 = $ 4.145.338,80
21
22. Monto Compuesto con períodos de capitalización
fraccionarios
Cuando el tiempo de pago no coincide con el período de capitalización, se
presenta este caso
Ejemplo:
Calcular el valor de una deuda de $ 4.000.000 contraída a interés
compuesto durante 6 años y 3 meses plazo, a una tasa de interés anual del
14% capitalizable semestralmente.
22
23. • Resolucion
Toma el valor exacto de n en la fórmula del Monto compuesto
Entonces tenemos:
• n = 6(12) + 3 / 6 = 75/6 = 12, 5 semestres
• i = 0, 14/2= 0, 07 semestral (7% semestral)
• M = 4.000.000 (1 +0, 07)12.5 = 4.000.000(2, 329685)= $ 9.318.740,34
23
24. Ejemplo:
• Calcular el Monto compuesto de un capital de $ 2.000.000 invertido a 7
años y 8 meses plazo a una tasa anual del 18% capitalizable
trimestralmente
Calculo n e i
• n= 7(12)+8/ 3 = 84+8 /3 = 30,6667 trimestres
• i = 0,18/4 = 0,045 trimestral
M= 2.000.000(1+0,045)30,6667= $ 7.713.714,13
24
25. EJERCICIOS
1.- Una empresa obtiene un préstamo de $ 4.000.000. a 10
anos plazo a una tasa de interes del 15% anual
capitalizable semestralemente . Calcule el interés y el
Monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.
2.- Una persona toma un depósito a plazo en su libreta de
ahorros de $ 3.000.000. al 12% de interés anual
capitalizable trimestralmente. Cuanto habrá en su libreta
ala cabo de 8 años y 6 meses.
25
26. 3.- Calcule el Monto a interes compuesto de un Capital de $
1.000.000 invertido al 12% anual durante 10 años.
4.- Rubén abre una cuenta de ahorros hoy, con $ 800.000.
a una tasa de interés del 14% capitalizable
semestralmente .Calcule cuanto habrá en la cuenta al
cabo de 7 años y 7 meses.
26
27. CALCULO DE LA TASA DE INTERES
LA TASA NOMINAL O EFECTIVA DE INTERES
SE PUEDE CALCULAR PARTIENDO DE LA
FORMULA DEL MONTO
M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
Y DESPEJAMOS APLICANDO LOGARITMOS
27
30. EJEMPLO
A qué tasa efectiva se convertirá un capital
de $ 300.000 en un monto de
$ 450.000 al cabo de 6 anos?
M = C ( 1 + i ) n
M/C = ( 1 + i )n
30
31. 450.000 / 300.000 =( 1 + i ) 6
1,5 = ( 1 + i ) 6
Aplicamos logaritmos
log1,5 = log( 1 + i ) 6
log1,5 = 6 log( 1 + i )
log1,5 /6 = log( 1 + i )
0,029348= log( 1 + i )
antilog 0,029348= 1 + i
31
32. 1, 069913 = 1 + i
0,069913 = i
i = 6,99132 %
32
33. ACTIVIDADES DE EJERCITACION
• A q u é t a s a a n u a l c a p i t a l i z a b l e
trimestralmente, un capital de $ 400.000
se convertirá en ¾ veces más al cabo de
5 años?
• A qué tasa efectiva es equivalente la tasa
del 11,35037% anual capitalizable
trimestralmente?
33
34. • A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $
500.000 en un Monto de $ 900.000 en 9 anos y
6 meses?
• A que tasa de interés annual capitalizable
trimestralmente se debe colocar un capital de $
1.000.000 para que produzca un Monto de $
5.500.000 en 6 anos y 9 meses.A qué tasa
efectiva equivale?
34
35. CALCULO DEL TIEMPO
A INTERES COMPUESTO
PARA CALCULAR EL TIEMPO, SE DEBE
CALCULAR PRIMERO n, POR LO CUAL SE
APLICA LA FORMULA DEL MONTO
M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
M = C ( 1 + i ) n
35
36. 36
M
C
M
C
log (1 + i )
n log (1 + i )
n
log
log
log
M
C
log (1 + i )
n
37. EJEMPLO
En qué tiempo un capital de $ 1.000.000. se
convertirá en $ 1.500.000. a una tasa de interés
efectiva del 18%?
Tenemos:
• M = $ 1.500.000
• C = $ 1.000.000
• i = 18%
37
38. • M/C = ( 1 + i )n
• 1.500.000 / 1.000.000 = ( 1 + 0,18)n
• 1,5 = ( 1 + 0,18)n
• log 1,5 = log ( 1 + 0,18 )n
• log 1,5 =n log ( 1 + 0,18)
• n=log 1,5 / log (1+0,18)
• n = 0,176091/0,071882
• n= 2,449726 anos (1 ano = 360 días, 0,449726 son x
días)
• n= 2 anos, 5 meses, 12 días
38
39. EJERCICIOS
• En qué tiempo un capital de $ 700.000 se
duplicará invertido a una tasa del 18%
capitalizable semestralmente?
• En qué tiempo un capital de $ 2.500.000 , se
convertirá en $ 5.625.000 invertido a una tasa
de interés anual del 24% capitalizable
semestralmente?
39
40. • En cuantos anos aumentará en ¾ su valor un
capital de $ 600.000 invertido a una tasa de
interés del 17% capitalizable semestralmente ?
40
41. VALOR ACTUAL A INTERES
COMPUESTO
• El VAC es el valor de un documento, inversión o
deuda, antes de la fecha de su vencimiento,
considerando determinada tasa de interés
• VAC significa el valor de un pago futuro en una
determinada fecha antes de su vencimiento
41
42. Responde por ejemplo a :
• Cuanto vale HOY día una deuda de $ 1.000.000
que vencerá en 5 anos mas ?
• En cuanto se puede vender HOY un documento
de $ 5.000.000 que en vence en 4 anos más?
42
43. • Si tenemos que:
M= C(1 + i )n
Despejamos C C = para tasa efectiva
Para tasa nominal =
43
M
(1
+
i
)n
C
M
(1
+
i/m
)mn
44. • Para el cálculo del VAC (entre la fecha de
suscripción y la fecha de vencimiento) pueden
haber dos casos generales:
• Caso 1: Cuando conocemos el valor que tendrá
un documento al cabo de n periodos ( o sea,
conocemos el Monto)
• Caso 2 : Cuando conocemos el valor hoy día del
documento que gana interés. En este caso
desconocemos el Monto (hay que calcularlo).
44
45. Ejemplo Caso 1:
• Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor al
vencimiento al final de 4 años es $ 3.500.000,
considerando una tasa de interés del 12% anual
capitalizable semestralmente?
Entonces tenemos que :
• M=$ 3.500.000.-
• J = 0,12
• m = 2
• t = 4
45
46. • C= M ( 1 + j/m)
• C = M ( 1 + 0,12/ 2)
• C = 3.500.000 ( 1 + 0,06)
• C = 3.500.000 (0,627412) = $ 2.195.943,30
46
- mt
-(2)4
-8
10 2 3 4
$ 2.195.943,30 $ 3.500.000
47. 47
Ejemplo Caso 2:
• Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor nominal
es $ 500.000 a 6 años plazo considerando una
tasa de interés del 12% anual capitalizable
semestralmente desde su suscripción si se
vende dos años antes de la fecha de
vencimiento , considerando una tasa anual del
14% capitalizable semestralmente?
49. Entonces primero se calcula el Monto a 6 anos:
• M = C ( 1 + i/m)
• M = 500.000 ( 1 + 0,12/ 2)
• M = 500.000 ( 2,012196)
• M = $ 1.006.098,236
49
mn
2(6)
50. Ahora calculamos el VAC 2 anos antes de su
vencimiento
C = M (1 + i/m)
C = 1.006.098,236 ( 1 + 0,14/ 2)
C = 1.006.098,236 (0,762895)
C = $ 767.547,58 ( VAC)
50
-mn
-2(2)
51. VAC CON TIEMPO FRACCIONARIO
Para calcular el VAC con períodos de
capitalización fraccionarios, utilizamos la fórmula
del interés compuesto
C = o lo que es lo mismo
C = M ( 1 + i )
51
M
(1 + i )
n
-n
52. Ejemplo
El valor de un pagaré al cabo de 7 anos será
$3.400.000.
Calcular su VAC luego de transcurridos 3 años y
4 meses de la fecha de suscripción ,
considerando una tasa de interés del 14%
capitalizable semestralmente
M = $ 3.400.000
i/2 = 0,14 /2 = 0,07
52
53. Calculamos primero el tiempo
n
Aplicamos la fórmula:
C
C = $ 2.070.131,25
53
=
(7)(12) – [ (3)(12) + 4 ]
6
= 44/ 6 = 7,3333
= $ 3.400.000( 1 + 0,14/2)
- 7,3333
54. EJEMPLO
Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de
suscripción se negocia un documento suscrito el
día de hoy por $ 2.800.000 a 6 años 9 meses
con una tasa de interés del 12% capitalizable
semestralmente. Calcular el valor actual a dicha
fecha considerando una tasa de interés del
11,25% efectiva.
54
55. • Se calcula el Monto al final de los 6 años y 9
meses
n
M 2.800.000 ( 1 + 0,12/2)
M $ 6.148.755,355
55
=
(6)(12)+ 9
6
=
81
6
= 13 3/6 = 13,5
=
13,5
=
56. Ahora se calcula el valor actual a los 3 años y 3
meses, si la tasa de interés es del 11,25%
efectiva
El tiempo que falta para el vencimiento del
documento es:
n
C = $ 6.145.755,355 (1+0,1125)
C = $ 4.233.866,90
56
=
[6(12) +9] – [3(12)+3]
6
= 3,5 anos
- 3,5
57. EJERCICIOS
• Calcule el VAC de un pagaré cuyo valor al
término de 3 años y 6 meses será de $
2.100.000 considerando una tasa de interés del
16% anual capitalizable semestralmente.
• Un documento suscrito hoy por $ 950.000 a 5
años plazo a una tasa del 17% anual
capitalizable semestralmente , se vende dos
anos antes de la fecha de su vencimiento
considerando una tasa del 18% anual
capitalizable semestralmente. Calcule el VAC a
esa fecha
57