Probabilidades

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Probabilidades

  1. 1. O que são probabilidades? • Existem dois tipos de experiências: • Uma probabilidade é uma forma de medir as hipóteses que um dado acontecimento tem de ocorrer.  As probabilidades interessam-se pelas experiências aleatórias! Aleatórias Deterministas Quando, à partida, não sabemos o resultado. Exemplos: Lançamento de uma moeda, totoloto, extração de uma carta, etc.. Quando, à partida, já conhecemos o resultado. Exemplos: furar um balão cheio, deixar cair um prego num copo de água, etc..
  2. 2. Espaço de resultados • O espaço de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Representa-se por E, S ou Ω. • Exemplo: Lançamento de um dado Espaço amostral = E= {1,2,3,4,5,6}
  3. 3. Acontecimentos • Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral. • Um acontecimento identifica-se como o conjunto dos seus casos favoráveis. Tipos de Acontecimentos Elementares: quando só tem um elemento. Exemplo: Experiência: Lançamento de um dado E = {1,2,3,4,5,6} A: “sair número 3” A={3} Compostos: quando tem mais que um elemento. Exemplo: Experiência: Lançamento de um dado E = {1,2,3,4,5,6} B: “sair número ímpar” B={1,3,5}
  4. 4. Tipos de acontecimentos Equiprováveis/Igualmente prováveis: têm a mesma probabilidade de acontecer. Exemplo: Experiência: Lançamento de um dado E = {1,2,3,4,5,6} C: “sair número par” D: “sair número ímpar” C e D são equiprováveis! Certos: verificam-se sempre. Experiência: Lançamento de um dado E = {1,2,3,4,5,6} E: “sair número inteiro positivo inferior a 7” E= {1,2,3,4,5,6} Impossíveis: nunca se verificam. Experiência: Lançamento de um dado E = {1,2,3,4,5,6} F: “Sair número inteiro positivo superior a 7” F= {}
  5. 5. Lei de Laplace • A probabilidade de realização de um acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis à sua realização e o numero total de casos possíveis. Simon Laplace Nasceu em Beaumont-en-Auge, a 23 de março de 1749 e morreu em Paris, a 5 de março de 1827. Foi um matemático, astrónomo e físico francês que, entre outras criações, fundou a Lei de Laplace.
  6. 6. • Propriedade 1: A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 ou 0%. • Propriedade 2: A probabilidade de um acontecimento certo é 1 ou 100%. • Propriedade 3: Em qualquer experiência, a probabilidade de um acontecimento A é um número maior ou igual a 0 mas menor ou igual a 1, ou seja:  Se A é um acontecimento impossível, mas não certo: 0P(A)1. • Propriedade 4: Quando dois acontecimentos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo: P(A ou B) = P(A) + P(B). Algumas propriedades que deves ter em conta no estudo das probabilidades
  7. 7. Lei dos Grandes Números • Para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade. • Assim: P(A) ≈ Frequência relativa de A • Sendo assim, podemos supor que, por exemplo: - se lançarmos uma moeda ao ar 500 vezes e em 400 dessas vezes obtermos face nacional, podemos considerar que a moeda esteja viciada.
  8. 8. Esquemas auxiliares de contagem Tabela de dupla entrada Só serve no caso de haver apenas dois objetos (moedas, dados, bolas, piões...). Exemplo: lançamento consecutivo de dois dados.
  9. 9. Diagrama de árvore Servem para qualquer numero de bolas, dados , moedas ou outros objetos, embora por vezes se torne difícil de desenhar. Exemplo: lançamento consecutivo de duas moedas ao ar.
  10. 10. Diagrama de Venn Por exemplo, temos uma escola com 120 estudantes, em que: 50 praticam andebol (A); 60 praticam natação (B); 40 praticam andebol e natação; os restantes não praticam desporto nenhum. 40 10 20 50-40=10 Corresponde aos alunos que só praticam andebol. Corresponde aos alunos que praticam os dois desportos. 60-40=20 Corresponde aos alunos que só praticam natação. 120-(10+40+20)=50 Corresponde aos alunos que não praticam desporto nenhum. 50

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