LİSE - FONKSİYONLAR

Derse giriş için tıklayın...

Fonksiyonun Tarihi
A. Tanım
B. Fonksiyonun Gösterimi
C. Görüntü Kümesi

A. Fonksiyon Çeşitleri
1. Bire Bir Fonksiyon
2. Örten Fonksiyon
3. İçine Fonksiyon
4. Birim (Özdeş) Fonksiyon
5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu
B. Eşit Fonksiyon
C. Fonksiyon Sayısı
D. Ters Fonksiyon
E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )
F. Bileşke İşleminin Özellikleri

A. Tanım
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B de yalnız bir elemanla
eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.
A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de fonksiyonun değer kümesi denir.
∀x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu f : A → B veya x → f(x) = y
biçiminde gösterilir.
Örnek ...1
Örneği görmek için tıklayın

A = {1,2,3} ve B = {1,3,4,5,9} kümeleri verilsin. A dan B ye bir f bağıntısı,
f = {(x,y) : y = x2 } biçiminde tanımlanıyor.
y = f(x) = x2 ⇒ f(1) = 12 = 1
⇒ f(2) = 22 = 4
⇒ f(3) = 32 = 9
olduğuna göre
Tanım kümesi : A = {1,2,3}
Değer kümesi : B = {1,3,4,5,6}
f bağıntısı : f = {(1,1), (2,4), (3,9)} olur.

Ana Menü İleri

f bağıntısında tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinin en az bir elemanıyla eşleştirildiği için ve
tanım kümesinin elemanları değer kümesinin en çok bir elemanıyla eşleştirildiği için, f bağıntısı fonksiyondur.

Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı bir fonksiyon olmayabilir.

Örnek ...2 Örneği görmek için tıklayın

Aşağıdaki bağıntıları inceleyelim.
f g h
A B C D E F
1. .2 1. .2 1. .2
2. .3 2. .3 .3
.4 3. 2. .4

f = {(1,2) , (2,3)} g = {(1,2) , (2,3)} h = {(1,2) , (1,3) , (2,4)}
f : A → B ye g : C → D ye h : E → F ye
fonksiyondur. fonksiyon değildir. fonksiyon
değildir.
Sonuç için tıklayın

f : A → B ye fonksiyon ise
1) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz ancak değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.
2) Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşleşemez.
Fakat tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenebilir.

Geri Ana Menü

B. Fonksiyonun Gösterimi
Fonksiyonlar dört biçimde gösterilebilir.
1) Bağıntı ile
2) Liste yöntemi ile
3) Venn şeması ile
4) Grafik ile


A= {-2,1,2}
B= {0,1,2,3,4}
f(x)= x2-1
bağıntısı, tanım kümesi A ve değer kümesi B olan bir fonksiyondur. Fonksiyonun
yukarıdaki gibi gösterimine bağıntı ile gösterim adı verilir.

f(x)= x2-1⇒ f(-2)=(-2)2-1=3
⇒ f(1)=12-1=0
⇒ f(2)=22-1=3
olduğuna göre;

f={(-2,3), (1,0), (2,3)} gösterimine fonksiyonun liste yöntemi ile gösterimi adı verilir.

Ana Menü İleri

Bu fonksiyonun Venn şeması ve grafik ile gösterimi aşağıdaki gibidir.

A B B
4

-2 .
0. . 3 . f

1.
1. 2
2.
2. 1
3.
4. .
-2 0 1 2 A
Fonksiyonun
Fonksiyonun grafiği üç
Venn Şeması
noktadan oluşmaktadır.

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel
doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen
bağıntı bir fonksiyondur.

Geri Ana Menü

C. Görüntü Kümesi
f : A →B ye fonksiyon olsun.
(x,y) ∈f ise y = f(x)’e x in f fonksiyonu altındaki görüntüsü veya f nin x için değeri denir.

Örnek ...4
A B Örneği görmek için tıklayın
f(1) = a Tanım kümesi: A = {1,2,3}
1. a.
f(2) = a Değer kümesi: B = {a,b,c,d}

2. b. f(3) = c dir Görüntü kümesi= f(A) = {a,c}

c. f fonksiyonu: f = {(1,a), (2,a), (3,c)} dir.
3.
d.


Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
f: A → B ⇒ f(A) ⊂ B dir.

Ana Menü İleri

Örnek ...5

y A ⊂ IR olmak üzere,
f: A → IR fonksiyonunun
7 . grafiği yanda verilmiştir.

Buna göre,
-1 x √ Grafikte, -1 ≤ x ≤ 5 olduğundan tanım kümesi A = [-1,5] tir.
0 4 5 √ Grafikte, -9 ≤ y ≤ 7 olduğundan görüntü kümesi f(A) = [-9,7] dir.
√ x = -1 için y = -5 olduğundan -1 in f fonksiyonuna göre görüntüsü -5 tir.
. -5 Yani f (-1) = -5 tir.
-9 . √ f fonksiyonuna göre görüntüsü 7 olan sayı 5 tir. Yani f(5) = 7 dir.

Geri Ana Menü

A. Fonksiyon Çeşitleri
1. Bire Bir Fonksiyon
f, A dan B ye bir fonksiyon olsun.
f nin tanım kümesindeki her farklı elemanının görüntüsü farklı ise, f fonksiyonuna
bire bir ( 1-1 ) fonksiyon denir.

A B

1. .1 Yandaki Venn şeması ile gösterilen f
fonksiyonu yukarıdaki tanıma uygun
.4 olduğundan bire bir fonksiyondur.
2.
.9
3.
.16

∀x1,x2 ∈ A için,
f (x1) = f (x2) iken x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Ya da
f (x1) ≠ f (x2) iken x1 ≠ x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.

Ana Menü İleri

Örnek ...1
f g
A B C D Örneği görmek için tıklayın
.a .1 .a .1
.2 .b .2
.b
.3 .c .3
.c
f fonksiyonu g fonksiyonu
1-1 dir. 1-1 değildir.

Örnek ...2
f : IR → IR f(x) = x + 3 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını Örneği görmek için tıklayın
araştıralım.
Çözüm Çözümü görmek için tıklayın
f (x1) = f (x2)
x1 + 3 = x2 + 3
x1 + 3 - 3 = x2 + 3 - 3
x1 = x2 ... (*) f (x1)
= f (x2) ⇒ x1 = x2
olduğundan f fonksiyonu bire birdir.

Geri Ana Menü İleri

Örnek ...3
y Örneği görmek için tıklayın
Yandaki şekilde f : IR → R,
y=x -1 2
f (x) = x2 - 1 fonksiyonunun
bire bir olup olmadığını
x araştıralım.
-1 0 1
-1

Çözüm
Çözümü görmek için tıklayın
y
Şekilde tanım kümesindeki x1 ve x2 elemanları değer
y1 y = x - 1
2

kümesindeki y1 elemanıyla eşlenmiştir.
x Yani f(x1) = f(x2) ve x1 ≠ x2 ‘dir.
x1 0 x2
-1 Buna göre f : IR → IR, f(x) = x2 - 1 fonksiyonu bire bir
değildir.


Grafiği verilen bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını anlamak için Ox eksenine paralel doğru
çizilir. Bu paralel doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Birden fazla noktada
kesiyorsa fonksiyon bire bir değildir.

Geri Ana Menü

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

f : A → B’ ye

f(x) = y ile tanımlı olan f örten ⇔ f(A) = B dir.

f g h
R Ç M F B E
a. .1 a. .1 a. .1
b. .2 b. .2 b. .2
c. .3 c. c. .3

f , bire bir ve g, bire bir değil h, bire bir değil ve
örtendir. fakat örtendir. örten de değildir.

Örten fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman bulunmaz.

Ana Menü

3. İçine Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesinin özalt kümesi olan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.

Kısaca, örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.

A = {-1,0,1} ve B = {0,1,2}
olmak üzere, Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için
değer kümesi üzerinden Ox eksenine paraleller çizilir. Bu paraleller
f:A→B eğriyi daima kesiyorsa fonksiyon örtendir. Eğer çizilen paralellerden
f(x) = x2 bazıları eğriyi kesmiyorsa fonksiyon içinedir.

Fonksiyonunu inceleyelim.

Çözüm A f B Çözümü görmek için tıklayın
f(x) = x2 ⇒ f(-1) = (-1)2 = 1 -1 . .0
⇒ f(0) = 02 = 0
⇒ f(1) = 12 = 1 olduğuna göre, 0. .1
f(A) = {0,1} dir.
1. .2

Değer kümesinde eşlenmemiş en az bir eleman olduğuna göre,f içinedir. Venn şemasından da
görüldüğü gibi f, bire bir değil fakat içinedir.

Ana Menü İleri


Aşağıdaki grafikleri inceleyelim.

y y
y = f1(x) y = f2(x)

x x

-1 0 1 -1 0 1

-1 -1

f1 : IR → IR f2 : IR → [-1, sonsuz)
f1 , içinedir. f2 , örtendir.

Geri Ana Menü

4. Birim (Özdeş) Fonksiyon
Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü yine aynı ise bu tip fonksiyona birim fonksiyon denir ve Ι
ile gösterilir.
f
A B
a. .a
f:A→B
b. .b f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c dir. Buna göre, f birim fonksiyondur.

c. .c

Ι : A → A, Ι(x) = x veya f(x) fonksiyonu birim fonksiyondur.

Örnek ...7 Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın
f : IN+ → IN+ f, birim fonksiyon ise, f(x) = x tir.
f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k Buna göre,
f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k dır.





f, birim fonksiyon olduğuna göre, m . n . k kaçtır?
0 1 0
2m - 4 = 0 ⇒ m = 2 ... (1)
2n - 5 = 1 ⇒ n = 3 ... (2)
Birim fonksiyon bire birdir. m + n + k = 0 ⇒ k = - m -n
= -2 - 3
= -5 ... (3)
m . n . n = 2 . 3 .(-5) = -30 dur.

Ana Menü

5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir tek elemana eşleyen fonksiyona
sabit fonksiyon denir.

Yani, ∀x ∈ A ve c ∈ B için,
f(x) = c oluyorsa f, Adan B ye sabit fonksiyondur.
c = 0 ve ∀x ∈ A için,
f(x) = 0 ise f fonksiyonu sıfır fonksiyonudur.

Örnek ...8
f f
A B C D
. -1 . -1
1. 1.
.0 .0
2. 2.
3. .1 3. .1
.2 .2

f(x) = 1 fonksiyonu h(x) = 0 fonksiyonu
sabit fonksiyondur. sıfır fonksiyonudur.

Ana Menü İleri

f : IR → IR
f(x) = (m -1)x + 4 + m

Fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(8) kaçtır?

Verilen f(x) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, x in katsayısı 0 olmalıdır.
Buna göre, m - 1 = 0 ⇒ m = 1 dir.
Bu değer yerine yazılırsa,
f(x) = (m - 1)x + 4 + m
f(x) = (1 - 1)x + 4 + 1
f(x) = 0 . X + 5
f(x) = 5
f(8) = 5 tir.

Geri Ana Menü

B. Eşit Fonksiyon
f : A → B ve g : A → B iki fonksiyon olsun.
f ve g fonksiyonları A’nın her elemanı için aynı değeri alıyorsa f ve g’ye eşit
fonksiyonlar denir ve f = g biçiminde gösterilir.
Buna göre, f = g ⇔ ∀x ∈ A için f(x) = g(x) tir.


A = { -1, 0, 1 }
B = { 0, 1, 2 }
f : A → B, f(x) = x + 1
g : A → B, g(x) = x3 + 1
biçiminde tanımlandığına göre, f = g olduğunu gösterelim.

(x) = x + 1 ⇒ f(-1) = -1 + 1 = 0
⇒ f(0) = 0 + 1 = 1
⇒ f(1) = 1 + 1 = 2
g(x) = x3 + 1 ⇒ g(-1) = (-1)3 + 1 = 0
⇒ g(0) = 03 + 1 = 1
⇒ g(1) = 13 + 1 =2 dir.
∀x ∈ A için f(x) = g(x) olduğundan f = g dir. Ana Menü

C. Fonksiyon Sayısı
s(A) = m
s(B) = n olsun.

1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :
nm ‘dir.
2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :
mn ‘dir.

3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı :
2m .n - nm ‘dir.
4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı :
n! 1.2.3. ... .n
= dir. (n≥m)
(n-m)! 1.2.3. ... .(n-m)

5. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı :
m! = 1.2.3. ... .m dir.

6. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı :
mm -m! dir.

7. A’dan B’ye tanımlanabilen sabit fonksiyonların sayısı :
n dir.
Ana Menü İleri

A = { 1, 2 }
B = { a, b, c }
kümeleri veriliyor.
s(A) = 2 ve s(B) = 3 olduğuna göre,

1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :
32 = 3.3 = 9 dur.

2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :
23 = 2.2.2 = 8 dir.

3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı :
22 .3 - 32 = 26 - 9 = 55 tir.

4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı :
3! 1.2.3
= = 6 dır.
(3-2)! 1

5. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı :
22 -2! = 4 - 1.2 = 4 - 2 = 2 dir.

7. A’dan B’ye 3 tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

Geri Ana Menü

D. Ters Fonksiyon

f : A → B ye bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
f-1 : B → A ya f nin ters fonksiyonu denir.

f
A B
f:A→B
f(x) = y
x. .y
f -1(y) = x

f -1


A = { 1, 2, 3 } f:A→B
B = { 3, 6, 11 } f : x → x2 + 2
fonksiyonunun tersini liste yöntemiyle yazalım.


f(x) = x2 +2 ⇒ f(1) = 12 + 2 = 3 f = {(1, 3), (2, 6), (3, 11)}
⇒ f(2) = 22 + 2 = 6 f -1 = {(3, 1), (6, 2), (11, 3)} olur.
⇒ f(3) = 32 + 2 = 11
Ana Menü İleri

f:A→B
A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3}
f1 = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)} ⇔ f1-1 = {(2, a), (1, b), (3, c)}
f2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} ⇔ f2-1 = {(1, a), (1, b), (1, c)}
Burada f1 in tersi olan f1-1 fonksiyondur.
f2 nin tersi olan f2-1 bağıntısı fonksiyon değildir.


Her fonksiyonun tersi, bir fonksiyon olmayabilir. f bire bir ve örten değilse f -1

bağıntısı fonksiyon değildir.

y = f(x) biçimindeki bir f fonksiyonunun tersini bulmak için x
yalnız bırakılır. Tanım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinden x ile y
nin değerleri değiştirilir.


f : [ - 1, ∞) → [4, ∞)
f(x) = x2 + 2x + 5
olduğuna göre f -1(5) kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2

f -1(5) = k ⇔ f(k) = 5
k değeri f nin tanım kümesindeki bir değerdir. f nin tanım
⇒ k2 + 2k + 5 = 5
kümesi [ - 1, ∞) olduğunda bu aralıkta -2 yoktur.
⇒ k2 + 2k = 0
O halde f -1(5) = 0 dır.
⇒ k(k + 2) = 0
Cevap C
⇒ k = 0 veya k + 2 = 0
⇒ k = 0 veya k = -2 dir.

x-b
1.) f : IR → IR, f(x) = ax + b ⇒ f -1(x) = a
d a
{
2.) f : IR - c }→ IR - c{ }
ax + b -dx + b
f(x) = ⇒ f -1(x) = dır.
cx + d cx - a

f : IR → IR f(x) = y ⇒ f -1(y) = x ... (*)
f(x) = 4x - 8 f(x) = 4x - 8

fonksiyonunun tersini bulalım. y = 4x - 8
y+8
=x
4
y+8 y+8
x= ⇒ f -1(y) =
4 4
x+8 olur.
⇒ f -1(x) =
4

ax + b -d
f(x) = ifadesinin fonksiyon olabilmesi için f nin paydasını sıfır yapan
cx + d c
tanım kümesinde olmamalıdır.
ax + b -dx + b
f(x) = ⇒ f -1(x) =
cx + d cx - a
olduğuna göre, f nin bire bir ve örten olması için f nin değer kümesinde f -1 in
paydasını sıfır yapan değeri olmalıdır.

ax + b -d
O halde, f(x) = cx + d nin en geniş tanım kümesi IR - c { } ve en geniş değer
a
kümesi IR - { c }olursa f nin tersi de fonksiyon olur.


1) (f -1)-1 = f dir.
2) (f -1(x))-1 ≠ f(x) dir.
3) y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f -1(x) in belirttiği eğri y = x
doğrusuna göre simetriktir.

y
y= x+2
y=x f(x) = x + 2 ise,
2 . y= x-2 f -1(x) = x - 2

.
-2
.2 x
olup grafikleri
yukarıdaki gibidir.
.-2

Geri Ana Menü

E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )

A, B, C birer küme olsun.
f : A → B, f(x) = z
g : B → C, f(z) = y ise
gof : A → C, (gof)(x) = g [f(x)] = y kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g nin
bileşke fonksiyonu denir.

f B g
A C

x. .z .y

gof

Ana Menü İleri

Örnek ...16
A = { 0, 1, 2 } f : A → B, f(x) = 2x + 3
B = { 3, 5, 7 } g : B → C, g(x) = 2x + 1
C = { 7, 11, 15 } fonksiyonları verilsin.
kümeleri veriliyor.

f B g
A C
Şemada görüldüğü gibi f ve g fonksiyonları A kümesinin
0. .3 .7 elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşlemiştir. Verilen
şemayı kısaca aşağıdaki biçimde gösterelim.
1. .5 . 11
2. .7 . 15

h(x) = (gof)(x)
= g(f(x))
= g(2x+3);(g(x) = 2x+1)
A h B = 2(2x+3) + 1

0. .7 = 4x + 6 + 1
= 4x + 7 ise
1. . 11
h(0) = 4. 0 + 7 = 7
2. . 15
h(1) = 4. 1 + 7 = 11
h(2) = 4. 2 + 7 = 15

f : IR → IR, f(x) = 4x + 5
fonksiyonları tanımlanıyor.
g : IR → IR, g(x) = 3x - 2

Buna göre, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulalım.


(fog)(x) = f(g(x)) (gof)(x) = g(f(x))
= f(3x - 2) = g(4x + 5)
= 4(3x - 2) + 5 = 3(4x + 5) - 2
= 4. 3x - 4. 2 + 5 = 3. 4x + 3. 5 - 2
= 12x - 3 ... (*) = 12x + 13 ... (*)

Geri Ana Menü

F. Bileşke İşleminin Özellikleri
1. Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ≠ gof
2. Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh

3. I(x) = x olmak üzere,
foI = Iof = f
olduğu için, I(x) = x fonksiyonuna bileşke işleminin birim ( etkisiz ) elemanı denir.
4. fof -1 = f -1of = I dır.
Buna göre, f nin bileşke işlemine göre tersi f -1 dir.

5. (fog) -1 = g -1of -1 dir.

(fog)(x) = x2 - 2x + 1 (fog)(x) = x2 - 2x + 1
f(x) = x + 4 f(g(x)) = x2 - 2x + 1 ve f(x) = x + 4 ise,
olduğuna göre g(x) fonksiyonunu bulalım. g(x) + 4 = x2 - 2x + 1
g(x) = x2 - 2x + 1 - 4
g(x) = x2 - 2x - 3 olur.

Ana Menü İleri

(fof)(x) = 4x + 3
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulalım.


(fof)(x) = 4x + 3 ... (℘) olduğuna göre, f(x) fonksiyonu
ax + b biçimindedir.
f(x) = ax + b olsun.

a = 2 için, ab + b = 3
(fof)(x) = f(f(x))
2b + b = 3
= f(ax + b)
3b = 3
= a(ax + b) + b
b = 1 dir.
= a x + ab + b ... ( ℵ )
2
a = -2 için, ab+ b = 3
(℘) ve ( ℵ ) eşitliğinden, -2b + b = 3
4x + 3 = a2x + ab + b ⇒ ( 4 = a2 ve 3 = ab + b ) -b = 3
a2 = 4 ⇒ ( a = 2 veya a = -2 ) dir. b = -3 tür.
Buna göre, f(x) = ax + b fonksiyonu
f(x) = 2x + 1 veya f(x) = -2x - 3 olur.



f(x) = 2x - 4
f(x) = 2x - 4 ⇒ f -1(x) =
x+4 ... (*)
2
(fog -1) -1(x) = 3x + 6
olduğuna göre, g(3) kaçtır?
(fog -1) -1 = (g -1) -1of -1 = gof -1 ... (*)
A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 2

Buna göre, (fog -1) -1(x) = 3x + 6
( gof -1)(x) = 3x + 6
g(f -1(x)) = 3x + 6

g ( x+4
2 ) = 3x + 6 olur.
x+4
g(3) ün bulunabilmesi için yi 3 e eşitleyen x değeri bulunmalıdır.
2
x+4
= 3 ⇒ x + 4 = 6 ⇒ x = 2 dir.
2

O halde, g ( x+4
) = 3x + 6
g ( )= 6 + 6
6
2
2
g(3) = 12 olur.
g(
2+4
2 ) = 3. 2 + 6 Cevap A


Örnek ...21 y = g(x) Örneği görmek için tıklayın
Şekilde f doğrusal fonksiyonu ile g
.10 fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

3 . Buna göre, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) kaçtır?

-2
. 0
.
1
.
5
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

y = f(x)

Çözüm
Şekildeki grafiğe göre, g(1) in sonucu m ise, f(1) in sonucu da m dir.
Buna göre, f(1) = m ⇔ f -1(m) = 1 dir.
(f -1og)(1) = f -1(g(1)) = f -1(m) = 1
g fonksiyonu (0, 3) noktasından geçtiğine göre,
g(0) = 3 ⇒ g-1(3) = 0
f fonksiyonu (0, 10) noktasından geçtiğine göre, Cevap C
f(0) = 10
O halde, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) = f -1(g(1)) + f(g-1(3))
= 1 + f(0)
= 1 + 10 = 11 dir.

f fonksiyonu ile g fonksiyonu (a, b) noktasında kesişiyorlarsa
(f -1og)(a) = a ve (f og -1)(b) = b olur.
f(x) = x2 - 2x + 3
olduğuna göre, f(1 - x) - f(x - 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) -2x + 3 B)2x - 3 C) 4x + 4 D) 0 E) 4x - 4
Çözüm
f(x) = x2 - 2x + 3 Çözümü görmek için tıklayın

f(1-x) = (1-x)2 - 2(1-x) + 3
= 1 - 2x + x2 - 2 + 2x + 3
= x2 + 2 ...()
f(x-1) = (x-1)2 - 2(x-1) + 3
= x2 - 2x + 1 - 2x + 2 + 3
= x2 - 4x + 6 ...()
() ve () den
f(1-x) - f(x-1) = x2 + 2 - (x2 - 4x + 6)
= x2 + 2 - x2 + 4x - 6
= 4x + 2 - 6 Geri Ana Menü İleri
= 4x - 4 olur. Cevap E

f : IR → IR

f(x) = (x+2). f(x+3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1
f(7) =
6
olduğuna göre, f(1) kaçtır?

Çözüm
1
f(x) = (x+2). f(x+3) ve f(7) = ise,
6
x = 4 için, f(4) = (4+2). f(4+3)
f(4) = 6. f(7)
f(4) 1 = 6.
6
f(4) =1
x= 1 için, f(1) = (1+2). f(1+3)
f(1) = 3. f(4)
f(1) = 3. 1
f(1) = 3 tür. Cevap C

Geri İleri

Fonksiyonun Tarihi

Fonksiyon; bir cümlenin (kümenin) her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız bir
elemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye tanım cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesi
denir. Genellikle bu elemanlar sayılardan ibarettir. Pekçok fonksiyon, çeşitli bilim
konularından ortaya çıkar.

Fonksiyon 17.yüzyıldan beri matematiğin bir ana kavramı olmuştur. Hareketlerin
araştırılmasında Galile, Kepler ve Newton, zamanla mesafe arasında münasebetleri ortaya
koymuşlardır. Gazların sıcaklık, basınç ve hacimleri arasındaki münasebet Robert Boyle
tarafından 17. yüzyılda ve A.C. Charles tarafından 18.yüzyılda keşfedilmiştir. 19. Yüzyılda ise
akım, voltaj ve direnç arasındaki münasebet ile elektrik anlaşılır hale gelmiştir. Daha sonra
biyoloji ve sosyal ilimlerde de sayılar ile ilgili bilgiler ve bununla fonksiyon kavramı önem
kazanmıştır. Bilimde en önemli kavramın değişkenler arasındaki ilişkiler olduğu söylenebilir.

Ana Menü

LİSE - FONKSİYONLAR

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (11)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from matematikcanavari

More from matematikcanavari (20)

LİSE - FONKSİYONLAR