4ª SESION la misión santificadora del Espíritu Santo en la vida de la Iglesi...
Límites de funciones
1. LÍMITES DE FUNCIONES
El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el
que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.
Debes saber:
CÁLCULO DE LÍMITES:
1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a
siempre es
o
, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del
polinomio:
Ejemplos.
2. Indeterminación
: Si tenemos que hacer el límite cuando x tiende a
de un
cociente de polinomios nos encontraremos con esta indeterminación, la forma de
resolverla es dividir numerador y denominador por el monomio de mayor grado, pero
siempre siguen la siguiente regla:
1
2. Ejemplo.
3. Indeterminación
: En esta indeterminación podemos tener dos casos, tener
una resta de cocientes en cuyo caso se pone común denominador y se hace la resta,
o tener una raíz, en tal caso hay que multiplicar y dividir por el conjugado de la resta
que aparece: *No entra para 1º matemáticas C.S.
Ejemplos.
La resolución de estos límites se limita a los 3 casos anteriores puesto que:
Ejemplo.
2
3. 1. Límites laterales: Se define el límite lateral por la derecha de la de la función f(x), y se
expresa como:
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores mayores que .
Por ejemplo si
tomaremos un valor muy cercano a 2 por la derecha, 2’01.
De igual modo, Se define el límite lateral por la izquierda de la de la función f(x), y se
expresa como:
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores menores que .
Por ejemplo si
tomaremos un valor muy cercano a 2 por la izquierda, 1’99.
Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente
que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:
2. Indeterminación
: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios
y el numerados no se anula pero el denominador sí, en este caso sabemos que el
límite es
, pero para resolverlo hay que hacer los límites laterales como se explica
en el punto anterior
Ejemplo.
3
4. 3. Indeterminación
: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios
y tanto el numerados como el denominador se anulan, en este caso debemos
factorizar (normalmente por el método de Ruffini) numerador y denominador para
poder simplificar el cociente y volver a hacer el límite.
Ejemplo.
En este caso el denominador no se puede factorizar pero el numerador sí, y queda:
Para practicar:
lim x 2 x 1
lim 3x x
1. lim 3x 2 6 x 1
x 1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2
x
3
x
x4 x2
lim
x x 5 1
x 2 25
lim 2
x 5 x 5 x
3x 5 x 2
lim
x
2x 2 1
x 3 6 x 2 5x
lim 4
x 1 x x 3 x 1
x 13
lim
x 3 x 34
2x 4 x 2
x 3 x 4 1
x2 1
10. lim 5
x 1 x 1
9.
lim
4