una explicacion bebe de el metodo por coeficientes indeterminaos

2.  Este método es utilizo para resolver ecuaciones
diferenciales de orden suprior no homogéneas
consiste en transformar el termino f(x) a un
equivalente y así poder hacer uso del método
como la siguiente tabla lo demuestra:
α0(x)yn+αn-1(x)yn-1+…+αα(x)y´+α(x)y=f(x)
Polinomio
Exponencial
Trigonométrico
Combinación

3. f(x) ye
8cte A
x+1 AX2+BX+C
x2+x+1 Ax3+Bx2+C
x3+x2+x+1 Ax3+Bx2+C(x+1)
e3x Ae3x
sen3x Asen3x+Bcos3x
cos2x Asen2x+Bcos2x
(9x2-x)e4x (Ax2+Bx+C)e4x
e3xsen2x Ae3xsen2x+Be3xcos2x
3x2sen5x (Ax2+Bx+C)sen5x+(Dx2+Ex+F)cos5x
xe3xsen2x (Ax+B)e3xsen2x+(Cx+D)e3xcos2x

4. y’’-6y’+9y=6x2-12e3x yG=yC+yP
λ2- 6λ+9=0 f(x)=no es homogénea
(λ-3)2=0 yP=6X2+2Ax2+Bx+C
λ 1= λ2=3 yP=12e3xDe3x
Yc=C1e3xC2xe3x
yP=Ax2+Bx+C+Dx2e3X
YP’=2Ax+B+Dx2(3e3x)+e3x(2xD)
YP’’=2A+3x2D(3e3x(6xD)+2Dx(3e3x)+e3x(2D)
YP’’=2A+9x2De3x+12xDe3x+2De3x

5. 2A+9x2De3x+12xDe3x+2De3x-
6(2Ax+B+3x2De3x)+9(Ax2+Bx+C+Dx2e3x)=6x2+2-12e3x
2A+2De3x-12Ax-6B+9Ax2+9Bx+9C=6x2+2-12e3x
2D=-12 9A=6 -12A+9B=0
D=-6 A=6/9=2/3 B=8/9
yP=Ax2+Bx+C+Dx2e3x
yP=2/3x2+8/9x+6x2e3x
yG=C1e3x+C2xe3x+2/3x2+8/9+2/3-6x2e3x