1. Geometría Analítica en elGeometría Analítica en el
EspacioEspacio
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
CIENCIAS BÁSICAS
Realizado por el Magister Ingeniero Luis Kosteski para Analisis Matemático II de Ingeniería

3. BREVE REPASO DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Ecuación Lineal( todas las variables están elevadas a la
1°)= Recta
Ecuación General de la Recta:
Ax + By + C=0 Y=f(x)
Ecuación segmentaria de la Recta:

4. Ecuaciones cuadráticas (por lo menos una variables
elevada al cuadrado) ⇒
CónicasCónicas
Cónicas con centro en el origen:
Si los términos son positivos = elipseelipse
Si además a=b=r = circunferenciacircunferencia

5. Un término positivo y el otro negativo
= HipérbolaHipérbola
El término negativo determina el eje imaginario. La
curva NO corta al eje imaginario
No se pueden dar dos términos negativos, pues no se
estaría en el plano real.

6. Cónicas sin centro = ParábolaParábola
La parábola rodea al eje de la variable lineal.

7. Funciones de dos VariablesFunciones de dos Variables
Una función de dos variables en geometría representa
una superficie en el especio de tres dimensiones (R3
).
Z= f(x,y) Dominios formado por dos variables
independientes.
Z0= posición de la imagen que corresponde al punto del
dominio (x0, y0)

8. Ecuación Lineal ( todas las variables están elevadas ala 1° potencia)
= PLANOPLANO
ECUACIÓN General del PlanoECUACIÓN General del Plano
Ecuación segmentaria del PlanoEcuación segmentaria del Plano

9. Variando los signos positivos y negativos se obtiene
los distintos tipos de superficies.
En este tipo de superficies existe una triple
simetría, por lo tanto son simétricas respecto al
punto de intersección entre las superficies.
Entonces podemos decir que son simétricas
respecto a un centro.
SUPERFICIES CUÁDRICASSUPERFICIES CUÁDRICAS
Cuádricas concentro en el origen:Cuádricas concentro en el origen:

10. ELIPSOIDEELIPSOIDE
Los tres términos cuadráticos positivos

11. DEFINICIÓN DE TRAZAS
Curvas de intersección de la superficie con
planos paralelos a los planos de coordenadas.
Estas curvas se llaman trazas ( o secciones
transversales) de la superficie.

12. TRAZAS
Traza con el plano “xy”, z=0
Traza con el plano “xz”, y=0

13. Traza con el plano “yz”, x=0
Si una de las trazas es una circunferencia se llama
elipsoide de revolución.
De acuerdo a los valores de os parámetros el
elipsoide puede tomar distintas posiciones

14. En el caso , que todos los parámetros sean
iguales, es decir a=b=c=r, se tiene una esfera

15. Dos términos cuadráticos positivos y uno negativo==
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJAHIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
El hiperboloide NO CORTANO CORTA al eje de la variable que está
en el término negativo

16. Hipérbola con eje real en “y”, eje imaginario en “x”
Traza con el plano “xy”, z=0

17. Hipérbola con eje real en “z”, eje imaginario en “x”
Traza con el plano “xz”, y=0

18. La elipse más pequeña, se la llama elipse de garganta
Traza con el plano “yz”, x=0
ELIPSEELIPSE

19. SI en vez de tener como traza una elipse se tiene una
circunferencia, la superficie se llama HIPERBOLOIDEHIPERBOLOIDE
DE UNA HOJA DE REVOLUCIÓNDE UNA HOJA DE REVOLUCIÓN
Esta es una superficie reglada, es decir, que se la
puede obtener mediante rectas.
De acuerdo a los valores de los parámetros el
hiperboloide de una hoja puede tomar distintas
posiciones.

20. Un término cuadrático positivo y dos términos
cuadráticos negativos: HPERBOLOIDE DE DOSHPERBOLOIDE DE DOS
HOJASHOJAS
El hiperboloide NO CORTA al plano formado por los
ejes de las variables que están en los términos
negativos

21. TRAZAS DEL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Traza con el plano “xy”, z=0
NO EXISTE TRAZA

22. Plano “xy”, z= d traza con |d |> |c |
Entonces:
Y como |d |> |c |, quiere decir que entonces se puede
llegar a
ELIPSEELIPSE

23. Traza con el plano “xz”, y=0
Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “x”

24. Traza con el plano “yz”, x=0
Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “y”

25. Si los dos parámetro negativos tienen el mismo valor el HIPERBOLOIDEHIPERBOLOIDE
DE DOS HOJASDE DOS HOJAS se dice de revoluciónde revolución ( se llega a a1=b1)

26. Cuádricas sin centro
PARABOLOIDES

27. Los dos términos cuadráticos con el mismo signo: PARABOLOIDEPARABOLOIDE
ELÍPTICOELÍPTICO
• El paraboloide rodea al eje de la variable lineal

28. Trazas del paraboloide elíptico
Traza con el plano “xy”, z=0
Punto (0,0), vértice del paraboloide

29. Traza con un plano paraleloal “xy”, z=d con d> 0
Entonces se puede llegar a:
ELIPSEELIPSE

30. Traza con el plano “xz”, y=0
Parábola que abraza al eje “z”

31. Si la sección norma al eje que rodea al paraboloide es una circunferencia, es
decir p=Q, el paraboloide se llama de revolución.
Si el vértice está desplazado sobre el eje al que rodea el paraboloide, se
tiene:
Variando los parámetros ya mencionados y sus signos se pueden tener los
siguientes paraboloides:

32. Los dos términos cuadráticos con distinto signo: PARABOLOIDE HIPERBÓLICOPARABOLOIDE HIPERBÓLICO

33. Trazas del paraboloide hiperbólico
Traza con el plano “xy”, z=0
Dos rectas que pasan por el origen

34. Traza con el plano “ xz”, y=0
Parábola que abraza al eje “z” con ramas de
concavidad negativas

35. Traza con el plano “yz”, x=0
Parábola que abraza al eje “z”, con ramas de
concavidad positivas

36. Si marcamos la intersección del paraboloide hiperbólico con los
planos paralelos al “xy” tenemos
z= ±d
Dependiendo del signo de “d” son hipérbolas
con eje imaginario x ó y

38. El hiperboloide hiperbólico es una superficie reglada

39. Se llama superficie cilíndrica a una superficie generada por una
recta que se desplaza paralela a si misma siguiendo una curva C
llamada directriz

40. Si la directriz de una superficie cilíndrica en una circunferencia,
la superficie se llama circular. Análogamente, tenemos
superficies cilíndricas, parabólicas, elípticas e hiperbólicas