Actividad expositiva.

1. Universidad Técnica Particular de Loja
Fundamentos Matemáticos
Cónicas
Grupo N° 3
Integrantes
- Max Granda
- José Sánchez
- Digar Cueva

2. Línea Recta
 Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes
cualesquiera 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 de la recta numérica.
Su Ecuación General dada : Ax + By + C = 0
 Una ecuación de una recta es representada como una ecuación de primer grado
 Su ecuación ordinaria es: y = mx + b
m; pendiente
b; ordenada ( indica donde corta al eje de las coordenadas (eje Y)
 El valor de la pendiente m es calculado mediante la fórmula
𝒎 =
𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟐
𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐
Ecuación de la Recta que pasa por uno y dos puntos y tiene una pendiente dada
𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙 𝟏

3. PARÁBOLA
 Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un
punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.
 Características:
 Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.
 Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al
foco, es la misma que del vértice a la Directriz.
 Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.
 Directriz. Es el eje focal de la parábola.
 Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.
 Parámetro p. Distancia del foco al vértice.

4. PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN.
 Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene
una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥2
.
 Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre
hacia abajo.
 Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto,
la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia
focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
 La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan
para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.

5. Parábola
 Parábolas con Vértice (0, 0)
 • Ecuación estándar x2
= 4𝑝𝑦 𝑌2
= 4𝑝𝑥
 • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha
abajo o hacia la izquierda
 • Foco (0, p) (p, 0)
 • Directriz y =-p x =-p
 • Eje eje y eje x
 • Longitud focal p p
 • Ancho focal │4p│ │4p│

6. Parábola
 Parábolas con Vértice (h, k)
 • Ecuación estándar 𝑥 − ℎ 2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘) 𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
 • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha
 abajo o hacia la izquierda
 • Foco (h, k+p) (h+p, k)
 • Directriz y =k-p x =h-p
 • Eje x=h y=k
 • Longitud focal p p
 • Ancho focal │4p│ │4p│

7. Circunferencia

8. • Algebraicamente las secciones cónicas se pueden definir en términos de la
ecuación general de segundo grado.
• La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos
que satisfacen cierta propiedad geométrica.
• Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo
(h,k).
• Forma canónica o estándar de la circunferencia.
022
 FEyDxCyBxyAx
Circunferencia

9. x2 + y2 = r2
Con centro en (h, k)Con centro en el origen (0, 0)

11. Hipérbole

12. Es el conjunto de todos los puntos (x,y) para los que el
valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa
por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos
llamados vértices. El segmento de recta que une a los
vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje
transversal es el centro de la hipérbola . Tiene dos ramas
separadas.
Hipérbole

13. El valor absoluto de la diferencia entre las distancias es constante
Los elementos de una hipérbola son:
- F y F’, focos. - VV’, eje transverso
- V y V’, vértices. - C, centro
- L, eje focal. - L’, eje normal
- AA’, eje conjugado - CF, lado recto
Hipérbole

14. •Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma
• Sus focos son (h,k+c) y (h,k -c) y
• Sus vértices son (h-a,k ) y (h+a,k ).
1
)()(
2
2
2
2




b
hx
a
ky

15. Las intersecciones con el eje X, que también son los vértices son
x=± a, y no hay intersecciones con el eje Y. Haga x=0 y despeje Y.

16. •Si el eje transversal es horizontal, las
ecuaciones de las asíntotas son:
• Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

17. Asíntotas de hipérbola con centro (0,0)
La hipérbola se acerca a estas rectas asíntotas, en tanto un punto
P(x,y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen. Una forma
fácil de dibujar las asíntotas es primero dibujar el rectángulo y luego
trazar las diagonales de este rectángulo.

18. • Los vértices se encuentran a unidades del centro, y
los focos se encuentran a c unidades del centro con:
• La excentricidad de la hipérbola está dada por el
cociente.
• En la hipérbola c>a, entonces resulta que e>1. Si la
excentricidad es grande las ramas de la hipérbola son
casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las
ramas son más puntiagudas

19. ELIPSE
 Elementos:
 Focos: Son los puntos fijos F y F'.
 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
 Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
 Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y
PF'.
 Distancia focal: Es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
 Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
 Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2 a, a es el valor del semieje mayor.
 Eje menor:Es el segmento BB de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
 Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
 Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de
los ejes de simetría.

20. Elípse
 Elipses con centro (0,0)
 Ecuación estándar
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑦2
𝑎2 +
𝑥2
𝑏2 = 1
 Eje focal Eje x Eje y
 Focos (±c, 0) 0, ±𝑐
 Vértices (±𝑎, 0) 0, ±𝑎
 Semieje mayor a a
 Semieje menor b b
 Relación pitagórica 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2

21. Gráficas de una Elipse (0,0)

22. Elípse
 Elipses con centro (h, k)
 Ecuación estándar
𝑥−ℎ 2
𝑎2 +
𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1
𝑦−𝑘 2
𝑎2 +
𝑥−ℎ 2
𝑏2 = 1
 Eje focal y=k x=h
 Focos (ℎ ± 𝑐, 𝑘) ℎ, 𝑘 ± 𝑐
 Vértices ℎ ± 𝑎, 𝑘 (ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
 Semieje mayor a a
 Semieje menor b b

23. Gráficas de una Elipse (h,k)