matematicas

1. Polígonos
Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego:
“polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es una figura con
varios ángulos.
También se define como una poligonal cerrada.
El polígono más pequeño es el triángulo, que tiene tres lados y tres
ángulos.
El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una
que está dentro, llamada región interior del polígono y una exterior,
llamada región exterior del polígono. El plano es la unión de estos tres
subconjuntos.
Un polígono está formado por elementos básicos. Éstos son:
1. vértice
2. lado
3. ángulo interior
4. ángulo exterior
5. diagonal
1. Vértice: es el punto de intersección de dos segmentos
contiguos. Se designan con una letra mayúscula A, B, C, D...
2. Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. Se designa con dos letras mayúsculas
ubicadas en sus extremos, o con una letra minúscula en correspondencia con el vértice opuesto: AB = d, BC = e ,
CD = a, DE = b, EA = c
3. Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados del polígono. El ángulo interior se designa con una letra
griega o con las tres letras mayúsculas de los vértices que correspondan.

2. 4. Angulo exterior: es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior.
Generalmente se designa con la letra griega del ángulo interior adyacente acompañada de un subíndice
5. Diagonal: es el trazo que une dos vértices no consecutivos del polígono. Se designa con las dos letras
mayúsculas correspondientes a los vértices que se unen, o por una letra d con subíndice: AC =d1, AD = d2.
Apotema de un polígono regular
La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polígono. Es básica
para conocer el área del polígono ya que es la altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y
el lado.
Elementos secundarios de un polígono
En todo polígono (el triángulo es un polígono) podemos obtener elementos secundarios como:
Bisectrices, se denomina bisectriz al rayo que dimidia al ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
Simetrales, la simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo.
Alturas, una altura, cuyo símbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice
opuesto.
Transversales, la transversal es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Medianas, son los segmentos que unen los puntos medios del triángulo.
Ver Polígono inscrito y circunscrito.

3. Círculo y Circunferencia
Una de las formas más difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse más o
menos "redondeadas".
Desde la antigüedad, el hombre se ha inquietado por conocer cuál es el perímetro de una rueda o de un platillo
circular, para esto ha utilizado su ingenio; por ejemplo, ideó un procedimiento para trazar un círculo sin compás.
¿Cómo funciona este procedimiento?
En primer lugar se requiere tener un cordel y dos estacas con punta; en segundo lugar, se determina un punto a
partir del cual se trazará el círculo. A dicho punto se le identificará con el nombre de centro del círculo.
El cordel debe amarrarse a ambas puntas de las estacas y una de éstas se clavará en el punto escogido como
centro. La otra estaca, con el cordel bien estirado marcará, entre el centro y la punta de la estaca, el radio del círculo
que trazaremos haciendo girar la estaca hasta que se dibuje claramente, en el suelo o en la superficie elegida. la
circunferencia.
Llamaremos círculo a la superficie interior que se encuentra limitada por la circunferencia trazada por el cordel
(Ver:Elementos de la circunferencia y del círculo
Ver, en Internet, apuntes gratuitos:
http://www.eneayudas.cl/apt.htm)

4. .
Si éste es un círculo, entonces, ¿qué es una circunferencia?
Una circunferencia es una línea curva y cerrada, en la cual todos los puntos que la conforman se encuentran a la
misma distancia de un punto llamado centro.
A partir del centro se había estirado un cordel al que se le identificó con el nombre de radio. ¿Qué es el radio?
Radio es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella.

5. Si el segmento de recta llamada radio se prolonga, se tendrán dos radios o bien un diámetro, entonces, ¿qué es un
diámetro?
Diámetro es la recta que, pasando por el centro de la circunferencia, une dos puntos de ella.
Elaborados los conceptos de círculo y de circunferencia pensemos en el problema de cómo saber las medidas de
una rueda.
Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de
la rueda.
Si dividimos la longitud entre el diámetro de la rueda
obtenemos un valor que es independiente del tamaño
de la rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamaño que
sea, al dar una vuelta completa recorre un camino de
una determinada longitud. Si dividimos dicha longitud
entre el diámetro de la rueda siempre obtenemos el
mismo valor.
Este hecho era conocido por los babilonios y ya se
encuentran noticias sobre el mismo en los papiros egipcios que se conservan en el Museo Británico.
Esta relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es, posiblemente, la más popular de todas las
constantes matemáticas: el número Π (pi). Dicho número, irracional, ha ocupado a generaciones de matemáticos y
su atractivo perdura en nuestros días, y para fines prácticos se considera que su valor es de 3,1416.
Conocemos el valor del número Π, pero ¿cómo podríamos demostrar prácticamente que en todo círculo existe una
relación constante entre el diámetro y la circunferencia.
Para hacerlo debemos operar de la siguiente manera:
Tomamos dos círculos (a y b), que son de diferente tamaño y diferente diámetro. Pero sabemos que en ambos
casos el diámetro cabe tres veces y una pequeña fracción (equivalente más o menos a un séptimo) en toda la
circunferencia.

6. Luego tomaremos dos trozos de cordel, cada uno del tamaño del diámetro de cada círculo, y con ellos podremos
comprobar lo anterior al colocarlos en forma sucesiva sobre las circunferencias.
Una vez comprobado lo anterior, y sabiendo que el valor representado con la letra griega Π es de 3,1416, tenemos
que:
El perímetro del círculo o bien la longitud de la circunferencia será siempre igual al producto de Π (pi) por el
diámetro de la misma. O bien, será igual al producto de Π por el doble del radio.
Quedando la fórmula de la siguiente manera:
Veamos ahora cómo se utiliza el valor de Π (pi)
Problema:
La boca de un pozo mide 0,75 metro de radio, ¿cuál es su perímetro?
P = Π d P = 2 Π r
d = 2 r = 2 (0,75) = 1,50 m P = 2 (3,1416) (0,75)
P = (3,1416) (1,50) P = (6,289) (0,75)
P = 4,71 m P = 4,71 m
De esta manera se tiene que la longitud de la boca del pozo es de 4,71 m.

7. Ver:Elementos de la circunferencia y del círculo
Ver, en Internet, apuntes gratuitos:
http://www.eneayudas.cl/apt.htm
COLEGIO PARTICULAR LEONARDO DA VINCI
UNIDAD ACADÉMICA II
CALAMA
PROFESORA: Rossana Herrera C.
Contenido : Circunferencia (área y perímetro).
I. Ítem de desarrollo (15 puntos)
Nombre: ………………………….. Curso: 8° A B Fecha: 14/06/2006
Puntaje ideal: __15__ Puntaje real: _____ Puntaje obtenido: _____
Para realizar cada uno de los
ejercicios. Considera π = 3.
Nota

8. 1. Lee y luego responde.
Cuando realizaste la actividad del cordel (ver figura). ¿Qué relación o razón estableciste
entre el largo de una circunferencia y la medida de su diámetro? Explica.
(1 punto)

9. 2. Calcula el perímetro de cada circunferencia, sabiendo la medida del
radio (r).
a) r = 25 cm ► ___________ d) r = 15 m ► ___________
b) r = 55 cm ► ___________ e) r = 10 km ► ___________
c) r = 30 m ► ___________ f) r = 22 km ► ___________
(3 puntos)
3. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida del
perímetro (P).
a) P = 18 cm ► ___________ c) P = 30 m ► ___________

10. b) P = 24 cm ► ___________ d) P = 12 m ► ___________
(2 puntos)
4. Calcula el área de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r).
a) r = 4 cm ► ___________ d) r = 11 m ► ___________
b) r = 8 cm ► ___________ e) r = 12 km ► ___________
c) r = 9 m ► ___________ f) r = 15 km ► ___________
(3 puntos)
5. Calcula el radio de cada círculo, sabiendo la medida del área (A).

11. a) A = 12 cm2
► _________ c) A = 27 m2
► _________
b) A = 300 cm2
► _________ d) A = 48 m2
► _________
(2 puntos)
6. Observa la figura. Luego calcula área y perímetro de ambas circunferencias y/o
círculos, según corresponda.
G F
E D
20 cm
10 cm
A B C
20 cm 10 cm

12.  Perímetro circunferencia menor ► _________
 Perímetro circunferencia mayor ► _________
 Área circunferencia menor ► _________
 Área circunferencia mayor ► _________
(4 puntos)
Puedes utilizar este espacio
para hacer tus cálculos.

13. Contenido : Superficies y volúmenes.
I. Ítem de desarrollo (15 puntos)
1. Calcula la superficie total de los siguientes poliedros.
Nombre: ………………………………..….. Curso: 8 A Fecha: 19/10/2006
Puntaje ideal: __40__ Puntaje real: _____ Puntaje obtenido: _____
Lee atentamente cada una
de las preguntas yrevisa
tus respuestas antes de
entregar la evaluación.

14. 10 cm
10 cm 6 cm
15 cm
27 cm 5 cm
8 cm
ST ► ST ►
(6 puntos)
2. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
12 m 2 m
2 m
4 m 6 m
2 m
V ► V ►
(4 puntos)

15. 3. Observa la figura que muestra una pirámide de base cuadrada. Luego responde
las preguntas.
 Determina el volumen de la pirámide de la figura.
(5 puntos)

16.  Determina la superficie de la pirámide de la figura.
(5 puntos)
4. Determina la superficie y el volumen de una esfera de diámetro 12 cm.

17. (5 puntos)
Lee y luego responde las preguntas 5, 6 y 7.
“Una figura esta compuesta por un cubo de arista 12 cm, un cilindro y un cono. Uno sobre
otro, coincidiendo todas las bases y alturas”
5. ¿Cuál es el volumen del cono?
(5 puntos)
6. ¿Cuál es el volumen del cilindro?

18. (5 puntos)
7. ¿Cuál es el volumen del cono?
(5 puntos)
¡Da lo mejor de ti!
Capítulo 10:
Ejercicios prácticos
En esta unidad didáctica le adjuntamos algunos ejercicios para que practique los
conceptos que hemos tratado durante este curso. Veamos:
1.Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y
105º. Seleccione una respuesta:
a)60º
b)32º
c)42º

19. 2.¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una
respuesta:
a)Rectángulo
b)Acutángulo
c)Obtusángulo
3.¿Qué es un paralelogramo? Seleccione una respuesta:
a)Polígono de cuatro lados iguales dos a dos
b)Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos
c)Polígono que tiene dos pares de lados consecutivos
4. ¿Qué es el diámetro? Seleccione una respuesta:
a)Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro
b)Segmento que une dos puntos de la circunferencia
c)Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia
5.Calcula el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la
medida del radio es 22,6 cm. Seleccione una respuesta:
a)141,928 cm
b)140,753 cm
c)137,053 cm
6.Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Halla la
longitud de la hipotenusa. Seleccione una respuesta:
a)7
b)6
c)5

20. 7.Halla la circunferencia de un círculo de 8,74 cm de radio. Seleccione una
respuesta:
a)60,3
b)54,9
c)44,8
8.Halla el área del círculo del ejercicio anterior tomando como referencia la medida
de su radio. Seleccione una respuesta:
A)300 cm cuadrados
b)205 cm cuadrados
c)240 cm cuadrados
9.Halla el área de un rectángulo de 3 y 7 cm. Seleccione una respuesta:
a)32
b)21
c)18
10.Halla el área de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. Seleccione una respuesta:
a)3
b)6
c)4
Geometría plana. Ejercicios
1 De t e r minar e l la d o d e u n t r iá ng ulo e quiláte r o cu y o p e r íme t ro e s ig u al a l d e
u n cu a d r a d o d e 1 2 cm d e la d o . ¿ Se r á n ig u a le s s u s á r e a s ?
2 C a lcular e l á r e a d e u n t r i á ngulo e qu iláte r o in s cr it o e n u n a cir cu n fe r e n cia
d e r a d io 6 cm.
3 Da d o u n t r iá ngulo e q uiláte ro d e 6 m d e la d o, h a llar e l á r e a d e u n o d e lo s
s e ct ore s d e te rmin ado p or la cir cu n fe re ncia cir cu nscr ita y p o r lo s r a d io s q u e
p a s a n p o r lo s v é r t ice s .

21. 4 De t e r minar e l á r e a d e l cu ad rado in s crit o e n u n a cir cu n fe r e ncia d e lo n g it u d
1 8 .8 4 m.
5 E n u n cu a d rado d e 2 m d e la d o s e in scr ibe u n cír cu lo y e n e s t e cír cu lo u n
cu a d rado y e n e s te o t r o cír cu lo. H a llar e l á r e a co mp r e n d id a e n t r e e l ú lt imo
cu a d r a d o y e l ú lt imo cír cu lo .
6 C a lcu lar e l á r e a d e la co r ona cir cu lar d e te r minada p or la s cir cu n fe r e n cia s
in s cr it a y cir cu n s cr it a a u n cu a d r a d o d e 8 m d e d ia g o n a l.
7 E n u n a cir cu nfe re n cia d e r a dio ig u al a 4 m s e in s cr ibe u n cu a dr ado y sobre
lo s la d os d e e ste y h a cia e l e x t e r ior s e co n s t r u y e n t r iá n g u lo s e q u ilá t e r o s .
H a lla r e l á r e a d e la e s t r e lla a s í fo r ma d a .
8 E l p e r íme tr o d e u n t r a pe cio is ósce le s e s d e 1 1 0 m, la s b a s e s mid e n 4 0 y
3 0 m r e s p e ct iv a me n t e . C a lcu la r lo s la d o s n o p a r a le lo s y e l á r e a .
9 Si lo s la d os n o p ar ale los d e u n t r a pe cio is ó sce le s s e p r o lo n g a n , q u e d a r ía
fo r ma do u n t r iá ng ulo e quiláte r o d e 6 cm d e la d o . Sa b ie n d o q u e e l t r a p e cio
t ie n e la mit a d d e la a lt u r a d e l t r iá n g u lo , ca lcu la r e l á r e a d e l t r a p e cio .
1 0 E l á r e a d e u n cu a d r a d o e s 2 3 0 4 cm² . C a lcu la r e l á r e a d e l h e x á g o n o
r e g u la r q u e t ie n e s u mis mo p e r íme t r o .
1 1 L a s u p e rficie d e u n a me s a e stá fo r ma da p or u n a p a r te ce n t r a l cu a d r a d a
d e 1 m d e la d o y d o s s e micírculos a d osados e n d o s la dos o p u e s t o s . C a lcu la
e l á r e a .
1 2 H a llar e l á r e a d e u n s e ct or cir cu lar cu y a cu e r da e s e l la d o d e l t r iá n g u lo
e q u ilá t e r o in s cr it o , s ie n d o 2 cm e l r a d io d e la cir cu n fe r e n cia .
1 3 H a lla r e l á r e a d e l s e ct o r cir cu la r cu y a cu e r d a e s e l la d o d e l cu a d r a d o
in s cr it o , s ie n d o 4 cm e l r a d io d e la cir cu n fe r e n cia .
1 4 Da d a s d o s cir cu n fe r e n c ia s co n cé n t r ica s d e r a d io 8 y 5 cm,
r e s pe ctiv ame nte , s e t r a z a n lo s r a d io s O A y O B, q u e fo r ma n u n á n g u lo d e
6 0 ° . C a lcu la r e l á r e a d e l t r a p e cio cir cu la r fo r ma d o .
1 5 C a lcula e l á r e a s omb re ada, s abie ndo q u e e l la d o d e cu a d r a d o e s 8 cm y
e l r a d io d e l cír cu lo me n o r mid e 2 cm.

22. 1 6 C a lcula e l á r e a d e la p a rt e s ombr e ada, s i e l r a d io d e l cír cu lo ma y o r mid e
6 cm y e l r a d io d e lo s cír cu lo s p e q u e ñ o s mid e 2 cm.
1 7 C a lcu la e l á r e a d e la p a r t e s o mb r e a d a , s ie n d o AB = 1 0 cm, ABC D u n
cu a d r a d o y AP C Y AQ C a r co s d e cir cu n fe r e n cia d e ce n t r o s B y D.
1 8 A u n h e x ágono r e g ular 4 cm d e la d o s e le in s cr ibe u n a cir cu nfe re ncia y se
le cir cu n s cr ib e o t r a . H a lla r e l á r e a d e la co r o n a cir cu la r a s í fo r ma d a .
1 9 E n u n a cir cu n fe r e n cia u n a cu e r d a d e 4 8 cm y d is t a 7 cm d e l ce n t r o .
C a lcu la r e l á r e a d e l cír cu lo .
2 0 L o s ca t e tos d e u n t r iá ngu lo in s cr ito e n u n a cir cu nfe re ncia mid e n 2 2 .2 cm
y 2 9 .6 cm r e s pe ct iv a me n t e . C a lcu la r la lo n g it u d d e la cir cu n fe r e n cia y e l
á r e a d e l cír cu lo .