Identificacao de conicas

1. Identifica¸cão de Cônicas Uma equa¸cão do segundo grau ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 define de maneira impl´ıcita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equa¸cão. Por exemplo, o conjunto dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equa¸cão 5x2 − 6xy + 5y2 − 30 √ 2x + 18 √ 2y + 82 = 0 é uma elipse. O gráfico desta elipse é –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 y 3 3.5 4 4.5 5 5.5x Figura 1: Elipse de equa¸cão 5x2 − 6xy + 5y2 − 30 √ 2x + 18 √ 2y + 82 = 0. Nem sempre uma equa¸cão do segundo grau representa uma curva suave. Por exemplo, embora a equa¸cão x2 + y2 = 1 represente o c´ırculo com centro na origem e raio 1, a equa¸cão x2 + y2 = 0 representa apenas um ponto (a origem (0, 0)), a equa¸cão x2 + y2 = −1 não representa nada (pois não existe nenhum ponto (x, y) que satisfa¸ca esta equa¸cão; outra maneira de dizer isso é que ela representa o conjunto vazio), e a equa¸cão x2 − y2 = 0 representa duas retas que se interceptam na origem (as retas de equa¸cões y = x e y = −x). Por outro lado, os tipos de curvas no plano que uma equa¸cão do segundo grau pode representar são em número limitado. Dependendo dos valores dos coeficientes a, b, c, d, e, f a curva poderá ser um c´ırculo, uma elipse, uma hipérbole, uma parábola ou um caso degenerado, que pode ser o conjunto vazio, um ponto ou um par de retas. Não há outras possibilidades. Desenvolveremos um método algébrico para identificar a curva representada pela equa¸cão, sem precisar tra¸car o seu gráfico. Para isso, realizaremos uma série de mudan¸cas de coordenadas até que a curva esteja colocada na melhor posi¸cão poss´ıvel, ou seja, onde a sua equa¸cão é simples e de fácil identifica¸cão. A primeira coisa a fazer é saber quais são as equa¸cões das curvas quando elas já se encontram na melhor posi¸cão poss´ıvel. 1

2. Elipse Defini¸cão. Uma elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos (chamados focos) é constante. dist(P, F1) + dist(P, F2) = constante. Figura 2: Elipse e seus focos. Equa¸cão da Elipse: O sistema de coordenadas que escolhemos, a fim de que a equa¸cão da elipse assuma a forma mais simples poss´ıvel é o seguinte: os eixos coordenados são escolhidos de maneira que os focos F1, F2 da elipse tenham coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente; em outras palavras, os focos estão situados no eixo x, ocupando posi¸cões simétricas em rela¸cão à origem. Deste modo, a distância entre os focos é dist(F1, F2) = 2c. A constante que dá a soma das distâncias de um ponto da elipse aos focos é escolhida como sendo 2a. Note que necessariamente a > c, pois o comprimento do lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados (veja a Figura 3). Figura 3: dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a < 2c. Portanto, a equa¸cão da elipse neste sistema de coordenadas é dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, 2

3. ou (x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a. Vamos eliminar os radicais para obter uma expressão mais simples. Observe que simplesmente elevar ambos os lados desta equa¸cão ao quadrado não é a melhor maneira de proceder; ao contrário, fazendo isso criaremos um novo radical cujo radicando é um polinômio do quarto grau. Temos que eliminar os radicais um por um, isolando cada um em um lado da equa¸cão e elevando a equa¸cão ao quadrado para eliminá-lo. Mais precisamente, isolamos o primeiro radical no lado esquerdo da equa¸cão, escrevendo (x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2. Em seguida, elevamos ambos os lados da equa¸cão ao quadrado, obtendo (x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 ∴ x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ∴ 4cx = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2, e conseguimos assim eliminar um dos radicais. Isolando o radical que sobrou novamente no lado esquerdo da equa¸cão, temos a (x − c)2 + y2 = a2 − cx, e elevando ambos os lados da equa¸cão ao quadrado, obtemos finalmente a2 [(x − c)2 + y2 ] = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Matematicamente não há como simplificar mais esta última equa¸cão, mas visualmente há. Chamando b = √ a2 − c2 (como a > c, esta defini¸cão faz sentido porque a2 −c2 > 0) e dividindo a última equa¸cão obtida por a2 b2 = a2 (a2 − c2 ), obtemos a equa¸cão para a elipse neste sistema de coordenadas privilegiado x2 a2 + y2 b2 = 1. (1) Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, encontramos y = ±b. Isso dá uma interpreta¸cão geométrica para os números a e b: a é o comprimento do semieixo maior da elipse, enquanto que b é o comprimento do semieixo menor da elipse. Os pontos (−a, 0), (a, 0), (0, b) e (0, −b) são chamados os vértices da elipse. 3

4. Outro sistema de coordenadas em que a equa¸cão da elipse assume uma forma simples é quando os seus focos estão localizados no eixo y; neste sistema de coordenadas, a equa¸cão da elipse passa a ser x2 b2 + y2 a2 = 1. Exemplo. Determine os focos da elipse x2 16 + y2 25 = 1. Solu¸cão: Como 25, que é maior que 16, está localizado sob y2 , conclu´ımos que os focos estão localizados no eixo y. Temos c = √ 25 − 16 = √ 9 = 3, logo os focos desta elipse são F1 = (0, −3) e F2 = (0, 3). Observe que o semieixo maior desta elipse, localizado no eixo y, tem comprimento 5, enquanto que o semieixo menor, localizado no eixo x, tem comprimento 4. –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 Figura 4: Elipse x2 16 + y2 25 = 1. Hipérbole Defini¸cão. Uma hipérbole é o conjunto dos pontos P do plano tais que o módulo da diferen¸ca entre as distâncias de P a dois pontos fixos (chamados focos) é constante. |dist(P, F1) − dist(P, F2)| = constante. Equa¸cão da Hipérbole: Como no caso da elipse, escolha eixos coordenados tais que os focos F1, F2 da elipse tenham coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente, de modo que a distância entre os focos é dist(F1, F2) = 2c, e a constante do módulo da diferen¸ca entre as distâncias de um ponto da hipérbole aos focos é igual a 2a. Observe que no caso da hipérbole, desta vez temos a < c, pois o comprimento do lado de um triângulo é sempre maior que a diferen¸ca entre os comprimentos dos outros dois lados. A equa¸cão da hipérbole neste sistema de coordenadas é |dist(P, F1) − dist(P, F2)| = 2a, ou (x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a. 4

5. Figura 5: Hipérbole e seus Focos Para simplificar esta equa¸cão, procedemos da mesma maneira que no caso da elipse. Escrevendo (x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2, elevamos ambos os lados desta expressão ao quadrado, obtendo (x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 ∴ x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ∴ 4cx = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 donde ±a (x − c)2 + y2 = a2 − cx. Novamente elevamos ambos os lados desta expressão ao quadrado, obtendo a2 [(x − c)2 + y2 ] = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Chamando b = √ c2 − a2 (como a > c, esta defini¸cão faz sentido porque c2 − a2 > 0) e dividindo a última equa¸cão obtida por −a2 b2 = a2 (a2 − c2 ), obtemos a seguinte equa¸cão para a hipérbole x2 a2 − y2 b2 = 1. (2) Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, não há solu¸cão y. Portanto, a hipérbole com focos no eixo x não intercepta o eixo y. Os pontos (−a, 0) e (a, 0) são chamados os vértices da hipérbole. Existe apenas um par de retas no plano que não intercepta a hipérbole, mas tal que existem pontos da hipérbole arbitrariamente próximos a pontos destas retas. Estas duas retas são chamadas as ass´ıntotas da hipérbole. Quando a hipérbole está na posi¸cão privilegiada considerada acima, as ass´ıntotas são as retas x2 a2 − y2 b2 = 0, 5

6. isto é, y = ± b a x. De fato, por exemplo, a distância entre um ponto x, b x2 a2 − 1 da hipérbole situado na parte superior do ramo direito e um ponto da reta y = b a x situado exatamente acima deste ponto tende a 0 quando x → ∞, como pode ser visto através do cálculo do limite (use a regra de L’Hôpital) lim x→∞ b x2 a2 − 1 − b a x = b a lim x→∞ x2 − a2 − x = 0. –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 Se os focos da hipérbole estão localizados no eixo y, então a equa¸cão da hipérbole passa a ser y2 a2 − x2 b2 = 1 e ela não intecepta o eixo x. Parábola Defini¸cão. Uma parábola é o conjunto dos pontos P do plano eqüidistantes de uma reta (chamada reta diretriz) e de um ponto não pertencente a esta reta (chamado foco). dist(P, F) = dist(P, r). Equa¸cão da Parábola: Escolha os eixos coordenados de maneira que o foco F da parábola tenha coordenadas (0, p) e a reta diretriz seja a reta r : y = −p; em outras palavras, o foco da parábola está situado no eixo y, acima da origem, a diretriz é paralela ao eixo x e eles são simétricos em rela¸cão à origem. Neste sistema de coordenadas, a equa¸cão da parábola é x2 + (y − p)2 = |y + p| . Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos x2 + y2 − 2py + p2 = y2 + 2py + p2 , 6

7. –2 –1 0 1 2 –3 –2 –1 1 2 3x Figura 6: Parábola com Foco e Reta Diretriz donde x2 = 4py. (3) Esta é uma parábola com vértice na origem (0, 0) e concavidade para cima. Outras equa¸cões simples para a parábola são x2 = −4py para uma parábola com vértice na origem e concavidade para baixo, y2 = 4px para uma parábola com vértice na origem e concavidade para a direita, y2 = −4px para uma parábola com vértice na origem e concavidade para a esquerda. Veja as figuras a seguir. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –2 –1 1 2 Figura 7: Parábola x2 = 4py –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 –2 –1 1 2 Figura 8: Parábola x2 = −4py 7

8. –2 –1 0 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 9: Parábola y2 = 4px –2 –1 0 1 2 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 Figura 10: Parábola y2 = −4px Identifica¸cão de Cônicas Veremos agora que as curvas no plano representadas por uma equa¸cão do segundo grau podem ser comple- tamente classificadas. Ou seja, dada uma equa¸cão do segundo grau, ela representa ou um c´ırculo, ou uma elipse, ou uma hipérbole, ou uma parábola, ou um ponto, ou uma reta, ou um par de retas, ou o conjunto vazio. Não há outras possibilidades. O método que usaremos para provar isso será o mesmo método que empregaremos para identificar uma cônica a partir da equa¸cão dada. Em primeiro lugar, representando, como já é usual, vetores (x, y) do plano na forma de matrizes-coluna X = x y , notamos que qualquer equa¸cão do segundo grau ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 pode ser reescrita em forma matricial Xt AX + BX + f = 0 para alguma matriz simétrica A. Para isso, basta escrever ax2 + bxy + cy2 = ax2 + b 2 xy + b 2 xy + cy2 = x ax + b 2 y + y cy + b 2 x = x y    ax + b 2 y cy + b 2 x    = x y    a b 2 b 2 c    x y , de modo que a equa¸cão do segundo grau fica representada em forma matricial por x y    a b 2 b 2 c    x y + d e x y + f = 0. 8

9. Denotando A =    a b 2 b 2 c    e B = d e , essa equa¸cão matricial pode ser denotada por Xt AX + BX + f = 0 A matriz A é uma matriz simétrica, logo ela pode ser diagonalizada através de uma matriz ortogonal P, ou seja, A = PDPt , onde D é a matriz diagonal D = λ1 0 0 λ2 , λ1, λ2 sendo os autovalores de A. Da´ı, substituindo esta expressão de A na equa¸cão matricial acima, segue que (Pt X)t D(Pt X) + BX = −f. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas X = Pt X, de modo que X = PX , obtemos a equa¸cão matricial correspondente no novo sistema de coordenadas: (X )t DX + (BP)X = −f. Denotando a = λ1, b = λ2 e BP = d e , segue que esta equa¸cão matricial corresponde à equa¸cão algébrica a (x )2 + b (y )2 + d x + e y = −f. Ou seja, o efeito da mudan¸ca de coordenadas efetuada através da matriz ortogonal P é eliminar o termo misto em xy. Porque a mudan¸ca de coordenadas foi efetuada por uma matriz ortogonal, a cônica representada por esta equa¸cão é a mesma representada pela equa¸cão original; não houve deforma¸cões de nenhuma natureza e elas diferem apenas por uma rota¸cão ou reflexão. Observe que não podemos ter simultaneamente a = b = 0 porque A não é a matriz nula (se A fosse a matriz nula, isso significaria que a equa¸cão original seria do primeiro grau), logo ela deve possuir pelo menos um autovalor não nulo. Esta equa¸cão algébrica pode ser simplificada mais ainda através do processo de completar quadrados. Se a = 0 e b = 0, escrevemos a (x )2 + b (y )2 + d x + e y = a (x )2 + d a x + b (y )2 + e b y = a (x )2 + 2 d 2a x + d 2a 2 − d 2a 2 + b (y )2 + 2 e 2b y + e 2b 2 − e 2b 2 = a x + d 2a 2 − d 2a 2 + b y + e 2b 2 − e 2b 2 . 9

10. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas x = x + d 2a , y = y + e 2b , e denotando f = a d 2a 2 + b e 2b 2 − f obtemos a equa¸cão algébrica a (x )2 + b (y )2 = f . Podemos facilmente identificar que cônica esta equa¸cão representa no novo sistema de coordenadas (x , y ). Observe que este sistema de coordenadas é obtido através de uma transla¸cão do sistema de coordenadas (x , y ), logo não ocorre nenhuma distor¸cão de comprimentos nesta mudan¸ca de sistemas de coordenadas, apenas a posi¸cão da cônica é modificada por meio de um transporte paralelo. Agora, se a e b tem o mesmo sinal, mas f tem sinal oposto ao sinal destes, então não existem pontos (x , y ) que satisfazem esta equa¸cão; ela representa o conjunto vazio. Se a e b tem o mesmo sinal e f = 0, então o único ponto que satisfaz a equa¸cão é o ponto (0, 0); ou seja a equa¸cão representa um ponto. Se a , b , f tem o mesmo sinal, estamos diante de um c´ırculo ou uma elipse. Se a , b tem sinais opostos e f = 0, então estamos diante de uma hipérbole; se a , b tem sinais opostos e f = 0, então estamos diante de um par de retas concorrentes: a (x )2 + b (y )2 = 0 é equivalente a x + b a y x − b a y = 0, que representa as retas x = b a y e x = − b a y . Geometricamente, um ponto pode ser pensado como um caso degenerado de uma elipse (um c´ırculo é o caso especial de uma elipse cujos eixos maior e menor coincidem, enquanto que duas retas concorrentes é um caso degenerado (ou o caso limite) de uma hipérbole. Se a = 0 ou b = 0 (como observado acima, as duas possibilidades não podem ocorrer ao mesmo tempo), então estamos diante de uma parábola, um par de retas paralelas, uma única reta, ou o conjunto vazio. Por exemplo, se b = 0, há apenas um quadrado para completar e escrevemos (se e = 0) a (x )2 + d x + e y + f = a (x )2 + d a x + e y + f = a x + d 2a 2 − d 2a 2 + e y + f = a x + d 2a 2 + e y + 1 e f − a d 2a 2 e fazemos a mudan¸ca de coordenadas x = x + d 2a , y = y + 1 e f − a d 2a 2 , para obter a equa¸cão algébrica a (x )2 = −e y . 10

11. Se b = 0 e e = 0, então obtemos a equa¸cão a (x )2 = −f, que representa o par de retas paralelas x = ± −f a se a , f têm sinais opostos, a reta x = 0 se f = 0, ou o conjunto vazio se a , f têm o mesmo sinal. Geometricamente, uma reta é uma parábola degenerada (ou o caso limite de uma parábola). Por outro lado, duas retas paralelas são o caso limite de uma hipérbole. Exemplos Exemplo 1. 5x2 − 4xy + 8y2 + 4 √ 5x − 16 √ 5y + 4 = 0 A forma matricial desta equa¸cão é Xt AX + BX + 4 = 0, onde A = 5 −2 −2 8 e B = 4 √ 5 −16 √ 5 . Os autovalores de A são λ = 4 e λ = 9; autovetores ortonormais correspondentes são, respectivamente 2 √ 5 , 1 √ 5 , −1 √ 5 , 2 √ 5 . Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A é P =    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    Substituindo X = Pt X e X = PX , temos x y 4 0 0 9 x y + 4 √ 5 −16 √ 5    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    x y + 4 = 0. Como x y 4 0 0 9 x y = 4(x )2 + 9(y )2 e 4 √ 5 −16 √ 5    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    = −8 −36 4(x )2 + 9(y )2 − 8x − 36y + 4 = 0. Agora completamos os quadrados: 4(x )2 + 9(y )2 − 8x − 36y = 4[(x )2 − 2x ] + 9[(y )2 − 4y ] = 4[(x )2 − 2x + 1 − 1] + 9[(y )2 − 4y + 4 − 4] = 4[(x − 1)2 − 1] + 9[(y − 2)2 − 4], 11

12. obtendo 4[(x − 1)2 − 1] + 9[(y − 2)2 − 4] + 4 = 0 ∴ 4(x − 1)2 − 4 + 9(y − 2)2 − 36 + 4 = 0, ou 4(x − 1)2 + 9(y − 2)2 = 36. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas (transla¸cão) x = x − 1, y = y − 2, obtemos 4x + 9y = 36. Dividindo esta equa¸cão por 36, obtemos finalmente x 9 + y 4 = 1. Conclu´ımos que a cônica é uma elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor 2. Exemplo 2. 2x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y + 14 = 0 A forma matricial desta equa¸cão é Xt AX + BX + 14 = 0, onde A = 2 −2 −2 −1 e B = −4 −8 . Os autovalores de A são λ = −2 e λ = 3; autovetores ortonormais correspondentes são, respectivamente 1 √ 5 , 2 √ 5 , −2 √ 5 , 1 √ 5 . Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A é P =    1 √ 5 − 2 √ 5 2 √ 5 1 √ 5    . Substituindo X = Pt X e X = PX , como −4 −8    1 √ 5 − 2 √ 5 2 √ 5 1 √ 5    = −4 √ 5 0 temos −2(x )2 + 3(y )2 − 4 √ 5x + 14 = 0. 12

13. Completando os quadrados: −2(x )2 + 3(y )2 − 4 √ 5x + 14 = −2[(x )2 − 2 √ 5x ] + 3(y )2 + 14 = −2[(x )2 − 2 √ 5x + 5 − 5] + 3(y )2 + 14 = −2[(x − √ 5)2 − 5] + 3(y )2 + 14 = −2(x − √ 5)2 + 10 + 3(y )2 + 14 = −2(x − √ 5)2 + 3(y )2 + 24. obtemos −2(x − √ 5)2 + 3(y )2 + 24 = 0. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas (transla¸cão) x = x − √ 5, y = y obtemos −2x + 3y = −24. Dividindo esta equa¸cão por −24, obtemos finalmente x 12 − y 8 = 1. Conclu´ımos que a cônica é uma hipérbole. Exemplo 3. 4x2 − 20xy + 25y2 − 15x − 6y = 0 A forma matricial desta equa¸cão é Xt AX + BX = 0, onde A = 4 −10 −10 25 e B = −15 −6 . Os autovalores de A são λ = 0 e λ = 29; autovetores ortonormais correspondentes são, respectivamente 5 √ 29 , 2 √ 29 , −2 √ 29 , 5 √ 29 . Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A é P =    5 √ 29 − 2 √ 29 2 √ 29 5 √ 29    . Substituindo X = Pt X e X = PX , como −15 −6    5 √ 29 − 2 √ 29 2 √ 29 5 √ 29    = −3 √ 29 0 temos 29(y )2 − 3 √ 29x = 0, ou x = 3 √ 29 (y )2 , uma parábola, portanto. 13

14. Exemplo 4. 9x2 + 12xy + 4y2 − 52 = 0 A forma matricial desta equa¸cão é Xt AX − 52 = 0, onde A = 9 6 6 4 . Os autovalores de A são λ = 0 e λ = 13. Substituindo X = Pt X , obtemos 13(y )2 − 52 = 0, donde y = ±2, ou seja, duas retas paralelas. Esbo¸co do Gráfico no Sistema Original de Coordenadas Podemos usar a equa¸cão da curva no sistema final de coordenadas x y ou x y (se for o caso) e as mudan¸cas de coordenadas efetuadas no processo, para tra¸car um esbo¸co do gráfico da curva no sistema de coordenadas original. Vamos considerar a curva do Exemplo 1 da se¸cão anterior. No sistema de coordenadas final x y sua equa¸cão é x 9 + y 4 = 1, ou seja, uma elipse de semi-eixo maior 3 e semi-eixo menor 2, centrada na origem (0, 0). Como √ 9 − 4 = √ 5, os focos da elipse no sistema x y têm coordenadas F1 = (− √ 5, 0) e F2 = ( √ 5, 0). O seu gráfico no sistema de coordenadas x y é –2 –1 0 1 2 y’’ –3 –2 –1 1 2 3 x’’ Para encontrar os focos desta elipse no sistema de coordenadas anterior x y temos que realizar a transla¸cão reversa. Ou seja, para voltarmos do sistema de coordenadas x y para o sistema de coordenadas x y , basta notar que como X = X + −1 −2 14

15. segue que X = X + 1 2 . Portanto, os focos da elipse no sistema x y têm coordenadas F1 = F1 + 1 2 = − √ 5 + 1 2 , F2 = F2 + 1 2 = √ 5 + 1 2 . É claro que o efeito desta transla¸cão é mover toda a elipse 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima. Logo, o gráfico da elipse no sistema de coordenadas x y é 0 1 2 3 4 y’ –2 –1 1 2 3 4 x’ Por fim, para voltar do sistema de coordenadas x y para o sistema de coordenadas original xy, basta realizar a rota¸cão reversa X = PX : F1 = PF1 =    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    − √ 5 + 1 2 = −2√ 5 − 1 F2 = PF2 =    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    √ 5 + 1 2 = 2√ 5 + 1 Em particular, o centro desta elipse, que é o ponto médio dos focos, tem coordenadas 0√ 5 no sistema original. O efeito de P é girar a elipse no sentido anti-horário de um ângulo de arccos 2 √ 5 ∼ 26, 6◦ . O eixo maior da elipse (que no sistema x y corresponde ao eixo x ) é paralelo à dire¸cão do autoespa¸co correspondente ao autovalor 4, isto é, na dire¸cão do vetor (2, 1), enquanto que o eixo menor (que no sistema x y corresponde ao eixo y ) é paralelo à dire¸cão do autoespa¸co correspondente ao autovalor 9, isto é, na 15

16. dire¸cão do vetor (−1, 2). O esbo¸co do gráfico da elipse no sistema de coordenadas original é, portanto, 0 1 2 3 4 y –2 –1 1 2x 16

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