UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO                                  ESCOLA DE ARTES, CIÊNCIAS E HUMANIDADES                        ...
São Paulo                                                           Dezembro / 2009Sumário2. Composição do portfólio com r...
1. Introdução          O presente trabalho visa calcular a composição de uma carteira de ações queminimiza o risco para um...
2. Composição do portfólio com risco mínimo2.1 Seleção dos dados          Para a seleção das empresas foram realizadas pes...
Tabela 2. Variação Percentual.              Brasil                                                  Nossa                 ...
Tabela 4. Ativos defensivos.                                              Ativos Defensivos             Brasil            ...
Tabela 5. Retorno exigido através do CAPM.                                                   CAPM       Brasil            ...
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Tabela 16 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada                 Risco                        ...
Tabela 17 – Melhor elemento usando-se crossover uniforme e roleta viciada                 Risco                           ...
Tabela 18 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e seleção por                                           tornei...
Tabela 19 – Melhor elemento usando-se crossover de dois pontos e seleção por                                           tor...
Tabela 20 – Melhor elemento usando-se crossover uniforme e seleção por                                           torneio  ...
Tabela 21: Melhor elemento utilizando-se os parâmetros dos testes anteriores e                               aplicando-se ...
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6. Considerações finais       A carteira ótima de ativos pode ser calculada de diferentes formas. O trabalho depré-process...
o resultado obtido pelo algoritmo genético é melhor, tendo em vista melhor desempenhosegundo os índices de Sharpe e Treyno...
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COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES COM RISCO MÍNIMO E RETORNO ESPECIFICADO: UM ESTUDO UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO E A FUNÇÃO SOLVER

  1. 1. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ARTES, CIÊNCIAS E HUMANIDADES SISTEMAS DE INFORMAÇÃO COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES COM RISCO MÍNIMO E RETORNO ESPECIFICADO: UM ESTUDO UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO E A FUNÇÃO SOLVERDisciplina: ACH2036 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de EmpresasOrientador: Fernando Fagundes FerreiraAutores:Mário Januário Filho - 5365372Pedro Felipe do Prado - 5365643
  2. 2. São Paulo Dezembro / 2009Sumário2. Composição do portfólio com risco mínimo............................................................................ 4 2.1 Seleção dos dados .............................................................................................................. 4 2.2 Indicadores......................................................................................................................... 5 2.3 Capital Asset Price Model - CAPM................................................................................... 6 2.4 Seleção das Empresas que irão compor o Portfólio ....................................................... 73. Utilização do Solver................................................................................................................... 9 3.1 Resultados – Solver .......................................................................................................... 104. Algoritmo Genético ................................................................................................................ 11 4.1 Operadores Genéticos....................................................................................................... 11 4.1.1 Taxas de Crossover e Mutação.................................................................................. 11 4.1.2 População inicial e numero de gerações .................................................................. 11 4.2 Modos de seleção............................................................................................................. 11 4.2.1 Roleta......................................................................................................................... 11 4.2.2 Torneio....................................................................................................................... 11 4.3 Modos de crossover ......................................................................................................... 11 4.3.1 Um ponto ................................................................................................................... 11 4.3.2 Dois pontos ................................................................................................................ 12 4.3.3 Uniforme.................................................................................................................... 12 4.4 Modos de mutação........................................................................................................... 12 4.4.1 Um bit ........................................................................................................................ 12 4.3 Elitismo ............................................................................................................................. 125. Análise dos resultados............................................................................................................ 126. Considerações finais................................................................................................................ 237. Referencias Bibliográficas ...................................................................................................... 248. Bibliografia.............................................................................................................................. 24Anexo A....................................................................................................................................... 25ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 2
  3. 3. 1. Introdução O presente trabalho visa calcular a composição de uma carteira de ações queminimiza o risco para um retorno especificado. Para tal, são realizadas comparaçõesentre a função solver do Microsoft Excel e a codificação, em linguagem Java, de umAlgoritmo Genético (AG). A primeira parte do trabalho apresenta o pré-processamento, ou seja, a seleçãodos ativos através de cálculos do risco, retorno e de indicadores que quantificam osvalores e comportamentos financeiros. Estão detalhadas e justificadas as técnicas utilizadas de modelagem decromossomo e de função fitness consideradas adequadas ao problema. São apresentados e confrontados os diferentes resultados obtidos através daaplicação de diferentes técnicas de seleção, mutação e técnicas de crossover, uso dediferentes percentuais de mutação e crossover, além da utilização da estratégia deelitismo para a preservação dos elementos mais aptos de uma população após os ciclosde recombinação. Assim o presente trabalho tem por objetivo comparar e estudar os resultadosobtidos com o cálculo da carteira ótima pela função solver e pelo AG.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 3
  4. 4. 2. Composição do portfólio com risco mínimo2.1 Seleção dos dados Para a seleção das empresas foram realizadas pesquisas bibliográficas eselecionadas empresas que obtiveram um bom desempenho na bolsa de valores de SãoPaulo em 2008, conforme SALLES (2008) e CAMARGO (2009). Os dados foram coletados no sítio www.yahoo.com.br/finance. O períodoselecionado para a realização deste trabalho foi de 01/agosto/2008 a 01/setembro/2009,onde foram considerados os valores de fechamento ajustados mensais das empresascitadas, conforme tabela 1. Tabela 1. Valores de fechamento das empresas e índice bovespa. Brasil Nossa Souza ibovespa Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas Date Telecom Caixa Cruz Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close*01/09/2009 55815 13,5 20,81 48,6 27,23 30,4 75,4 37,15 59,25 42,77 44,503/08/2009 56489 13,65 21,11 49,02 27,55 30,49 75,73 37,35 59,84 43,49 44,4401/07/2009 54766 13,4 17,01 48,06 28,7 26,65 74,72 38,36 61,06 43,18 45,9301/06/2009 51465 13,05 14,4 43,62 28,65 25,81 73,32 39,58 53,67 43,85 41,304/05/2009 53198 14 15,85 48,5 26,84 25,84 73,06 42,61 49,42 45,59 37,5901/04/2009 47290 13,53 13,46 39,92 28,8 25,94 71,72 36,37 44,99 47,78 30,1902/03/2009 40926 12,9 9,64 34,1 25,92 22,6 70,85 34,6 41,98 48,19 26,402/02/2009 38183 11,69 10,29 30,26 26,2 21,06 69,9 31,98 43,97 44,19 24,0602/01/2009 39301 11,88 10,49 33,96 26,16 19,32 68,45 29,7 42,87 44,3 26,3901/12/2008 37550 13,64 11,23 28 25,89 18,43 67,71 26,89 40,4 45,71 25,2703/11/2008 36596 14,8 11,19 24,99 27 19,99 62,97 23,19 41,86 44,5 20,3101/10/2008 37257 12,58 10,54 27,72 26,25 18,15 32,03 27,94 36,54 48 24,1601/09/2008 49541 15,74 12,69 39,34 28,3 17,96 39,57 41,23 41,57 44,69 36,401/08/2008 55680 16,76 25,96 54,54 29,5 18,42 38,12 41,66 38,89 46,5 53,25 Fonte: Yahoo Finance (2009) Mediante aos dados da tabela 1, calculou-se a variação percentual mensal decada empresa, conforme tabela 2.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 4
  5. 5. Tabela 2. Variação Percentual. Brasil Nossa Souzaibovespa Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas Telecom Caixa Cruz 1,21% 1,11% 1,44% 0,86% 1,18% 0,30% 0,44% 0,54% 1,00% 1,68% -0,13% -3,05% -1,83% -19,42% -1,96% 4,17% -12,59% -1,33% 2,70% 2,04% -0,71% 3,35% -6,03% -2,61% -15,34% -9,24% -0,17% -3,15% -1,87% 3,18% -12,10% 1,55% -10,08% 3,37% 7,28% 10,07% 11,19% -6,32% 0,12% -0,35% 7,66% -7,92% 3,97% -8,98% - -11,11% -3,36% -15,08% 7,30% 0,39% -1,83% -14,64% -8,96% 4,80% -19,69% 17,69% - -13,46% -4,66% -28,38% -10,00% -12,88% -1,21% -4,87% -6,69% 0,86% -12,55% 14,58% - -6,70% -9,38% 6,74% 1,08% -6,81% -1,34% -7,57% 4,74% -8,30% -8,86% 11,26% 2,93% 1,63% 1,94% 12,23% -0,15% -8,26% -2,07% -7,13% -2,50% 0,25% 9,68% - -4,46% 14,81% 7,05% -1,03% -4,61% -1,08% -9,46% -5,76% 3,18% -4,24% 17,55% - -2,54% 8,50% -0,36% 4,29% 8,46% -7,00% -13,76% 3,61% -2,65% -19,63% 10,75% - 1,81% -15,00% -5,81% 10,92% -2,78% -9,20% 20,48% -12,71% 7,87% 18,96% 49,13% 32,97% 25,12% 20,40% 41,92% 7,81% -1,05% 23,54% 47,57% 13,77% -6,90% 50,66% 12,39% 6,48% 104,57% 38,64% 4,24% 2,56% -3,66% 1,04% -6,45% 4,05% 46,29%2.2 Indicadores Com os dados levantados foram calculados os indicadores que serviram comobase para o estudo do desempenho dos papeis das empresas. A tabela 3 apresenta oretorno esperado (E(R)), risco (desvio-padrão) e o índice Beta (β). Tabela 3. Indicadores - E(R), Risco e índice Beta (β). Brasil Nossa Souza Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas Telecom Caixa CruzE(R) 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% -3,59% -3,61% 1,98% -2,92% 0,74% 3,44%Risco 10,48% 32,76% 19,85% 5,10% 6,24% 15,49% 16,67% 7,62% 4,56% 22,78%Beta (β) 0,6958 0,1854 0,5022 0,9091 0,5037 0,2390 0,5366 0,7698 -0,6504 0,4175 Os retornos de mercado podem ser representados pelo retorno de um índice deações, no caso o índice Bovespa. O β de mercado é igual a 1. Ativos com β maior que 1possuem risco maior que o de mercado, e conseqüentemente maior retorno esperado,sendo denominados ativos agressivos. Ativos com β menor que 1 possuem risco menorque o do mercado, e conseqüentemente menor retorno esperado, sendo denominadosativos defensivos (ROSS, 2002 apud OLIVEIRA, 2004). Todos os ativos selecionados para este trabalho possuem β menor que 1,portanto todos os ativos são defensivos, conforme demonstra a tabela 4.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 5
  6. 6. Tabela 4. Ativos defensivos. Ativos Defensivos Brasil Nossa Souza Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas Telecom Caixa CruzBeta (β) 0,69577 0,18537 0,50220 0,90907 0,50372 0,23897 0,53657 0,76981 -0,65041 0,417482.3 Capital Asset Price Model - CAPM A teoria básica que associa o risco e o retorno para todos os ativos é comumentechamada de modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) (GITMAN,2002 apud OLIVEIRA, 2004). Esse modelo é baseado em valores esperados (modelo expectacional) em que oretorno esperado do ativo é a soma de dois fatores. O primeiro refere-se à rentabilidadedos ativos ou das aplicações sem risco, e o segundo, ao chamado prêmio de risco. OCAPM considera que os investidores sejam racionais e diversifiquem seusinvestimentos, a fim de evitar o risco especifico (diversificado), que pode ser canceladopor meio da diversificação primária da carteira de investimentos (SAMANEZ, 2006). Partindo deste principio, o modelo foi calculado neste trabalho da seguinteforma: Rmi = Rf + βi(Rm – Rf)Onde:Rmi = retorno esperado do ativo i;Rf = rentabilidade dos ativos sem risco;Rm = rentabilidade esperada da carteira de mercado;βi = beta do ativo i. A taxa livre de risco utilizada foi de 0,6% (HSBC, 2009) e assim foi aplicada aequação do CAPM, conforme tabela 5.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 6
  7. 7. Tabela 5. Retorno exigido através do CAPM. CAPM Brasil Nossa Souza Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Telesp Usiminas Telecom Caixa Cruz 0,57% 0,59% 0,58% 0,57% 0,58% 0,59% 0,58% 0,57% 0,62% 0,58%2.4 Seleção das Empresas que irão compor o Portfólio O primeiro critério para seleção das empresas que irão compor o portfólio, foi aanálise do retorno esperado (E(R)). Nota-se que algumas das empresas selecionadaspossuem retorno esperado negativo, o que não é desejável, conforme tabela 6. Tabela 6. Análise do retorno esperado E(R) Brasil Nossa Cosan CSN Eletrobrás Natura Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas Telecom Caixa 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% -3,59% -3,61% 1,98% -2,92% 0,74% 3,44% Assim os papeis das empresas Natura, Nossa Caixa e Souza Cruz forameliminados na faze de pré-seleção, por apresentarem retornos esperado negativo. Vale citar, que foi comparado o retorno esperado E(R) com o retorno exigido(CAPM) com as empresas restantes, contudo nenhuma empresa foi eliminada com estecritério, pois todos os papéis apresentaram retorno esperado superior ao retorno exigido,conforme tabela 7. Tabela 7. Análise do retorno esperado Retorno Esperado E(R ) X Retorno Exigido CAPM Brasil Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Telesp Usiminas Telecom E(R) 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% 1,98% 0,74% 3,44% CAPM 0,57% 0,59% 0,58% 0,57% 0,58% 0,62% 0,58%ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 7
  8. 8. O segundo critério para seleção das empresas para compor o portfólio, foi uma análise do E(R), Risco (desvio-padrão) e a covariância entre as empresas. Analisando a Tabela 3, nota-se que a Eletrobrás possui o mesmo retorno esperado que a Telesp, contudo apresenta um risco maior. Analisando a Tabela 8, observa-se que a Telesp possui covariância negativa (o que é desejável em uma carteira com risco reduzido) com 5 empresa, enquanto a Eletrobrás apenas com uma. Tabela 8. Matriz de Covariância Matriz de Covariância Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Telesp UsiminasBrasil Telecom 0,01013 0,01158 0,00831 0,00173 0,00581 -0,00135 0,00877 Cosan 0,01158 0,09907 0,04203 0,00462 0,00796 0,00069 0,04707 CSN 0,00831 0,04203 0,03637 0,00258 0,02221 -0,00051 0,03867 Eletrobrás 0,00173 0,00462 0,00258 0,00240 0,00114 -0,00069 0,00361 Petrobrás 0,00581 0,00796 0,02221 0,00114 0,02564 -0,00119 0,02557 Telesp -0,00135 0,00069 -0,00051 -0,00069 -0,00119 0,00192 -0,00070 Usiminas 0,00877 0,04707 0,03867 0,00361 0,02557 -0,00070 0,04792 Assim o papel da empresa Eletrobrás foi eliminado na faze de pré-seleção, por não ser rentável no conjunto da carteira. O ultimo critério para seleção das empresas para compor o portfólio, foi o cálculo e análise dos indicadores de Sharpe, Treynor. Dentre os ativos restantes, a Telesp é o que apresenta os índices de Sharpe e Treynor menores, conforme tabela 9. Tabela 9. Indicadores de Sharpe e Treynor Brasil Cosan CSN Petrobrás Telesp Usiminas Telecom Sharpe 14,93% 14,10% 9,68% 8,29% 3,18% 12,49% Treynor 2,25% 24,92% 3,82% 2,58% -0,22% 6,82% ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 8
  9. 9. Assim o papel da empresa Telesp foi eliminado, compondo por fim a carteiracom as empresas cinco empresas: • Brasil Telecom; • Cosan; • CSN; • Petrobrás e • Usiminas.3. Utilização do Solver Após a pré-seleção dos das empresas utilizando heurísticas, este item abordará autilização da função Solver do MS Excel para efetuar o cálculo de minimização do riscoda carteira baseados em restrições adotadas. A Função Objetivo será minimizar o risco conjunto entre as ações dado retornoesperado, com as restrições de que a soma das porcentagens das ações na carteira é iguala 100%, o retorno encontrado deve ser maior ou igual ao desejado e o valor percentualde cada empresa que faz parte do portfólio deve ser maior ou igual a zero. As Célulasvariáveis serão as referentes à composição percentual de ações de cada empresa noportfólio. Assim será considerada a matriz de covariância apenas com as empresasrestantes, conforme tabela 10. Tabela 10. Matriz de covariância das empresas restantes Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Usiminas Brasil Telecom 0,01013 0,01158 0,00831 0,00173 0,00581 0,00877 Cosan 0,01158 0,09907 0,04203 0,00462 0,00796 0,04707 CSN 0,00831 0,04203 0,03637 0,00258 0,02221 0,03867 Eletrobrás 0,00173 0,00462 0,00258 0,00240 0,00114 0,00361 Petrobrás 0,00581 0,00796 0,02221 0,00114 0,02564 0,02557 Usiminas 0,00877 0,04707 0,03867 0,00361 0,02557 0,04792ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 9
  10. 10. Os termos de variância e de retorno são cálculos necessários para encontrar avariância e o retorno da carteira. A somatória dos termos de variância de cada empresaresulta na variância da carteira, enquanto a somatória dos termos de retorno resultaretorno da carteira (OLIVEIRA, 2004), conforme tabela 11. Tabela 11. Termos de variância e de retorno Brasil Telecom Cosan CSN Petrobrás Usiminas Termos de Variância 0,77% 0,00% 0,00% 0,17% 0,00% Termos do Retorno 7,88% 0,00% 0,00% 0,72% 0,00%3.1 Resultados – Solver Com os dados das Tabelas 10 e 11, foi possível chegar a um resultado com afunção solver. A tabela 12 demonstra a composição do portfólio, com a porcentagem decada empresa na carteira e o seu retorno médio. Tabela 12. Termos de variância e de retorno Brasil Cosan CSN Petrobrás Usiminas Telecom TOTAL Portfolio % 82,12% 0,00% 0,00% 17,88% 0,00% 100,00% E(R) Medio 9,59% 5,18% 3,76% 4,01% 4,20% Por fim foram obtidos os dados da carteira através da função solver para umretorno especificado de 6%, conforme tabela 13. Tabela 13. Dados da carteira Variância 0,0093593 Desv. Padrão 9,67% Retorno Desejado 6,00% Retorno 6,00% Conforme o escopo proposto do trabalho, a análise do resultado será feita maisadiante quando comparada com o retorno do algoritmo genético.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 10
  11. 11. 4. Algoritmo Genético4.1 Operadores Genéticos4.1.1 Taxas de Crossover e Mutação MIRANDA (1998), cita que na maioria das literaturas os valores encontradosestão na faixa de 60% a 65% para a probabilidade de crossover e entre 0,1 e 5% para ataxa de mutação. Neste trabalho adota-se essa faixa para probabilidade de crossover etaxa de mutação.4.1.2 População inicial e numero de gerações Para os casos de teste o grupo acordou em variar a quantidade de gerações entre500 e 1000 gerações. Já a população inicial o grupo decidiu usar como mínimo 50indivíduos, conforme citado em MIRANDA (1998), e máximo 100.4.2 Modos de seleção 4.2.1 Roleta O primeiro método de seleção de pais codificado neste trabalho é a maneira clássica que a grande maioria dos pesquisadores de GA utiliza que é o método da roleta viciada (LIDEN, 2008). 4.2.2 Torneio LINDEN (2008), cita que existe a possibilidade de n elementos serem selecionados para torneio, porém o método de seleção por torneio utilizado neste trabalho foi o clássico, onde são selecionados dois elementos aleatoriamente da população, sendo que todos os elementos possuem igual probabilidade de serem escolhidos, e o elemento selecionado com melhor avaliação é escolhido para o crossover.4.3 Modos de crossover 4.3.1 Um ponto O crossover de um ponto utilizado divide o cromossomo em duas partes a partir de uma posição aleatória e cria filhos com os dados dos pais anteriores á posição de corte e com os dados posteriores invertidos, evitando assim que os filhos sejam cópias exatas dos pais.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 11
  12. 12. 4.3.2 Dois pontos O crossover de dois pontos codificado corta os cromossomos pais em dois pontos aleatórios, o primeiro ponto varia de zero ao tamanho do cromossomo menos um, e o segundo ponto varia entre a posição do primeiro corte e a posição igual ao tamanho do cromossomo menos um. Os cromossomos filhos gerados possuem as partes anteriores ao primeiro corte e posteriores ao segundo idênticas às dos pais, sendo que as posições entre o intervalo dos cortes são invertidas, criando assim novos elementos. 4.3.3 Uniforme O crossover uniforme implementado percorre um a um os genes dos cromossomos pai atribuindo aleatoriamente um valor entre 0 e 1, os cromossomos filhos serão formados da seguinte forma, quando for atribuído valor 1 ao gene do pai 1 este será o gene de mesma posição do filho 1, enquanto o gene do pai 2 será utilizado no filho 2, quando o valor atribuído ao gene do pai 1 for igual a 0 o filho 1 irá receber o gene do pai 2 e o filho 2 irá receber o gene do pai 1.4.4 Modos de mutação 4.4.1 Um bit O modo de mutação de um bit atribui um valor aleatório a um cromossomo e caso este valor seja maior que a probabilidade de mutação ele irá escolher uma posição aleatória do cromossomo e substituí-la por um valor também aleatório.4.3 Elitismo De acordo com os resultados obtidos em trabalhos anteriores utilizandoalgoritmos genéticos, os quais demonstraram resultados superiores utilizando aestratégia de elitismo, o grupo acordou em utilizar essa estratégia para todos os casos deteste selecionados.5. Análise dos resultados Foram realizados diversos casos de testes, variando: (i) número de gerações; (ii)tamanho da população; (iii) taxa de crossover; (iv) probabilidade de mutação e (v)ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 12
  13. 13. método de seleção. É importante frisar que para todos os testes executados, foi definidoum retorno mínimo de 6%, exatamente como foi feito para a função Solver. Esse retorno mínimo é passado como parâmetro para a execução do algoritmogenético, que continua sua iteração até que o resultado do melhor elemento da últimageração atenda ao retorno mínimo especificado. As tabelas contendo todos os casos de testes, com todos os elementos de cadateste (não apenas o melhor de cada teste) podem ser visualizadas no Anexo I. Em todos os casos de teste executados, os parâmetros variaram de forma igual eseus domínios podem ser observados na Tabela 14: Tabela 14 – Parâmetros dos casos de teste Parâmetro Domínio Número de gerações [ 500 , 1000 ] Tamanho da população [ 50 , 100 ] Taxa de crossover [ 60% , 65% ] Probabilidade de mutação [ 1% , 5% ] Método de seleção {roleta, torneio} Tipo de crossover {um ponto, dois pontos, uniforme} Retorno mínimo 6% O primeiro conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i)crossover de um ponto e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elementodesse caso de teste podem ser observados na Tabela 15:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 13
  14. 14. Tabela 15 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada. Risco 0,11200 Retorno 0,0677 Brasil Telecom 0,4896 Cosan 0,0618 CSN 0,1443 Petrobrás 0,3041 Usiminas 0,0000 Índice de Sharpe 0,5516 Índice de Treynor 0,0770 O segundo conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i)crossover de dois pontos e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elementodesse caso de teste podem ser observados na Tabela 16:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 14
  15. 15. Tabela 16 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada Risco 0,11311 Retorno 0,0705 Brasil Telecom 0,5569 Cosan 0,0000 CSN 0,2658 Petrobrás 0,1329 Usiminas 0,0443 Índice de Sharpe 0,5710 Índice de Treynor 0,0805 O terceiro conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i)crossover uniforme e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento dessecaso de teste podem ser observados na Tabela 17:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 15
  16. 16. Tabela 17 – Melhor elemento usando-se crossover uniforme e roleta viciada Risco 0,10543 Retorno 0,07575 Brasil Telecom 0,6356 Cosan 0,0000 CSN 0,0232 Petrobrás 0,2170 Usiminas 0,1240 Índice de Sharpe 0,661570059 Índice de Treynor 0,087008199 O quarto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossoverde um ponto e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de testepodem ser observados na Tabela 18:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 16
  17. 17. Tabela 18 – Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e seleção por torneio Risco 0,10261 Retorno 0,0742 Brasil Telecom 0,6124 Cosan 0,0155 CSN 0,0697 Petrobrás 0,3023 Usiminas 0,0000 Índice de Sharpe 0,66540583 Índice de Treynor 0,08804181 O quinto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossoverde dois pontos e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso deteste podem ser observados na Tabela 19:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 17
  18. 18. Tabela 19 – Melhor elemento usando-se crossover de dois pontos e seleção por torneio Risco 0,10219 Retorno 0,0786 Brasil Telecom 0,6789 Cosan 0,0550 CSN 0,0183 Petrobrás 0,2110 Usiminas 0,0367 Índice de Sharpe 0,710921223 Índice de Treynor 0,096234553 O sexto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossoveruniforme e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de testepodem ser observados na Tabela 20:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 18
  19. 19. Tabela 20 – Melhor elemento usando-se crossover uniforme e seleção por torneio Risco 0,11228 Retorno 0,06684 Brasil Telecom 0,4850 Cosan 0,0100 CSN 0,1850 Petrobrás 0,3100 Usiminas 0,0100 Índice de Sharpe 0,541837004 Índice de Treynor 0,068775396 Para o sétimo conjunto de testes, foram utilizados os parâmetros dos seismelhores elementos dos testes anteriores e foi-lhes aplicada à mutação dirigida. Osresultados do melhor elemento podem ser observados na Tabela 21:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 19
  20. 20. Tabela 21: Melhor elemento utilizando-se os parâmetros dos testes anteriores e aplicando-se mutação dirigida Risco 0,11293 Retorno 0,06929 Tipo de crossover Crossover uniforme Método de seleção Roleta Índice de Sharpe 0,613547879 Observando-se uma comparação entre o melhor resultado obtido utilizando-se osalgoritmos genéticos e a resposta da função Solver, temos os seguintes valores quepodem ser visualizados na Figura 1: Solver 0,0967 AG 0,102191996 0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 0,099 0,1 0,101 0,102 0,103 Figura 1 – Risco da Carteira definida pelo AG e Risco da Carteira definida pela função Solver do Microsoft Excel Através desse gráfico, observa-se que o Solver obteve um desempenho melhorna tarefa de minimizar o risco, que no problema em questão, trata-se da função objetivo. Entretanto, é interessante utilizar alguns índices de avaliação de desempenho decarteiras, como Índice de Sharpe e Índice de Treynor. A Figura 2 mostra a comparaçãoACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 20
  21. 21. do Índice de Sharpe da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pelafunção Solver: Solver 0,558428128 AG 0,710921223 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figura 2 – Índices de Sharpe da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pela função Solver Pôde-se observar através da Figura 2 que o algoritmo genético obteve umdesempenho melhor, de acordo com o Índice de Sharpe, do que a função Solver. NaFigura 3, podemos observar o desempenho das carteiras em relação ao Índice deTreynor:ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 21
  22. 22. Solver 0,084714447 AG 0,096234553 0,078 0,08 0,082 0,084 0,086 0,088 0,09 0,092 0,094 0,096 0,098 Figura 3 – Índices de Treynor da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pela função Solver Assim como o índice de Sharpe, o índice de Treynor também aponta para ummelhor desempenho da carteira gerada pelo algoritmo genético. O VaR (value at risk) determina a perda máxima de uma carteira, dado umaconfiança definida. Para realizar uma comparação, este trabalho utilizou uma confiançade 97,5% e um investimento inicial 100.000 unidades monetárias. A perda máxima paraas carteiras do Algoritmo Genético e da função Solver podem ser visualizados na Figura4: -18953,2 Solver -20029,63121 AG -20200 -20000 -19800 -19600 -19400 -19200 -19000 -18800 -18600 -18400 Figura 4: Value at Risk para as carteiras geradas pelo algoritmo genético e pela função SolverACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 22
  23. 23. 6. Considerações finais A carteira ótima de ativos pode ser calculada de diferentes formas. O trabalho depré-processamento executado em uma planilha eletrônica permitiu restringir o númerode ativos que seriam analisados para a composição da carteira ótima, utilizando-se deparâmetros como o retorno esperado até índices de avaliação de desempenho de ativoscomo Sharpe e Treynor. Depois de selecionados quais seriam os ativos que fariam parte da carteira, asegunda tarefa executada foi a utilização da função Solver do Microsoft Excel para ocálculo da carteira ótima, que minimiza o risco, dada uma restrição de retorno mínimoigual à 6%. Neste trabalho também foi desenvolvido um algoritmo genético, modelado paraencontrar a carteira ótima, sendo necessário fornecer-lhe dados sobre o retorno dosativos, risco de cada ativo, entre outros dados, exatamente como foi feito para a funçãoSolver do Microsoft Excel. É importante frisar que ele foi codificado de forma aencontrar a carteira que minimiza o risco e atende a um retorno mínimo especificado. O melhor resultado obtido utilizando-se o algoritmo genético (a carteira quepossui o menor desvio-padrão) obteve um risco maior do que o encontrado pelo Solver,porém também obteve um melhor retorno. As duas carteiras (a melhor gerada pelo algoritmo genético e a carteira geradapelo Solver) foram comparadas utilizando-se o índice de Sharpe e o índice de Treynor.Em ambos os casos, a carteira desenvolvida pelo algoritmo genético mostrou-sesuperior a carteira desenvolvida pelo Solver. O Var também foi calculado para a carteira gerada pelo algoritmo genético e acarteira gerada pela função Solver, demonstrando que a perda máxima da carteiragerada pelo algoritmo genético é maior do que a perda máxima da carteira gerada pelafunção Solver, já que o ultimo método encontrou um risco menor. Levando-se em conta tais fatos, podemos dizer que o perfil do investidor deveser levado em conta na avaliação dos resultados obtidos pelo algoritmo genético e afunção Solver. Se o investidor é totalmente avesso ao risco, o resultado obtidoutilizando a função Solver será mais satisfatório, pois o risco da carteira gerada peloSolver é menor. Por outro lado, se o investidor busca um equilíbrio entre risco e retorno,ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 23
  24. 24. o resultado obtido pelo algoritmo genético é melhor, tendo em vista melhor desempenhosegundo os índices de Sharpe e Treynor.7. Referencias BibliográficasSAMANEZ, C. P. Gestão de investimentos e geração de valor. São Paulo: Pearson,2006.SALLES, Y. Onze ações do Ibovespa se salvam das perdas em 2008. Disponível em:< http://www1.folha.uol.com.br/folha/dinheiro/ult91u365536.shtml> Acesso em: 29 deoutubro 2009.SALLES, Y. Ações que dispararam em 2008 perdem fôlego em 2009. Disponívelem: <http://economia.uol.com.br/financas/investimentos/ultimas-noticias/2009/06/25/acoes-que-dispararam-em-2008-perdem-folego-em-2009.jhtm>Acesso em: 29 de outubro 2009.LINDEN, R. Algoritmos Genéticos. Rio de Janeiro: Brasport, 2008.MIRANDA, M. N.Algoritmos Genéticos: Fundamentos e Aplicações. Disponível em:< http://www.gta.ufrj.br/~marcio/genetic.html#Escolha> Acesso em: 20 outubro 2009.OLIVEIRA, M. H. F. Cálculo da Composição de uma Carteira de Ações queMinimiza o Risco para um Retorno Especificado. Minas Gerais: UniversidadeFederal de Itajubá, 2004.8. BibliografiaGOLDSCHMIDT, R. & PASSOS, E. Data Mining: um Guia Prático. São Paulo:Campus, 2005.LIMA, E. O. Algoritmo Genético híbrido aplicado à otimização de funções. Lavras:Universidade Federal de Lavras, 2008.ACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 24
  25. 25. Anexo AACH2016 – Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 25

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