Álgebra de bloques

1. El conjunto de reglas que permiten simplificar la estructura de un
diagrama de bloques se denomina álgebra de bloques; debe indicarse
que; al aplicar dichas reglas, el diagrama resultante es mas simple,
pero los nuevos bloques individuales son más complejos. Para aplicar
adecuadamente álgebra de bloques, es necesario verificar que el
producto de funciones de transferencia en sentido directo o en un lazo
se mantenga constante tras a operación efectuada.
1
Reducción de un diagrama de bloques

2. 2
Reducción de un diagrama de bloques
Combinación de bloques
en cascada
Formas equivalentes
para mover un bloque
hacia la izquierda antes
de una unión de suma

3. 3
Reducción de un diagrama de bloques
Formas equivalentes
para mover un bloque
hacia la derecha de un
punto de derivación.
Formas equivalentes
para mover un bloque
hacia la izquierda de un
punto de derivación.

4. 4
Reducción de un diagrama de bloques
Formas equivalentes
para mover un bloque
hacia la derecha después
de una unión de suma

5. 5
Ejercicio
Determinar la función de transferencia del sistema mostrado en el
diagrama de bloques:

6. 6
Ejercicio
Determinar la función de transferencia del sistema mostrado en el
diagrama de bloques Y(s)/R(s) si N(s) = 0:

7. 7
Diagramas de Flujo de
Señales

8. 8
Diagrama de flujo de señales
Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones
dinámicas simultaneas. Es una red en la que nodos están
conectado mediante ramas, cada nodo representa una variable
y cada rama una ganancia. La ventaja del diagrama de flujo de
señales de Mason es la disponibilidad de una fórmula que
proporciona la relación entre variables del sistema sin requerir
ningún procedimiento de reducción.

9.  Nodo. Es un punto que representa una variable o señal.
 Rama. Un segmento lineal dirigido entre dos nodos.
 Transmitancia. Es la ganancia de un rama.
 Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que solo tiene una rama
9
saliente.
 Nodo salida (sumidero). Es un nodo que solo posee ramas
entrantes.
 Nodo mixto. Es un nodo que tiene ramas tanto entrantes como
salientes.
Definiciones:
Nodos mixtos
Camino directo Camino directo
a b
Nodo de entrada
(fuente)
Nodo de entrada
(fuente)
x4
x1 x2 x3
x3
Nodo de salida
(sumidero)
c
Lazo
d

10. Definiciones:
 Camino. Es un recorrido de ramas conectadas en la dirección de la
flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún nodo más de una vez el
camino es abierto. Si el camino termina en el mismo nodo desde el
que comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un vez, es
camino cerrado o lazo.
 Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen ningún nodo en
10
común.
 Camino directo. Es un camino desde un nodo de entrada hasta un
nodo de
 Salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez.
Nodos mixtos
Camino directo Camino directo
a b
Nodo de entrada
(fuente)
Nodo de entrada
(fuente)
x4
x1 x2 x3
x3
Nodo de salida
(sumidero)
c
Lazo
d

11. 11
Fórmula de ganancia de Mason
P Pk k 1
å D
D
=
k
P es la ganancia global.
PK es la ganancia del k-ésimo camino directo
D es el determinante del diagrama
D = 1- (suma de todas las ganancias de lazos individuales) + (suma de
los productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de
dos lazos que no se tocan) - (suma de los productos de ganancias de
todas las posibles combinaciones de tres lazos que no se tocan) + ...
D = -å +å -å +
n m q 1 L L L L L L 
n
r s t
m,q
DK Es el cofactor del k-ésimo camino directo. Se obtiene a partir de D
eliminando los lazos que tocan el camino PK

12. 12
Ejemplo: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado
utilizando la fórmula de ganancia de Mason .
x1
a
b
x4 x5
b
x1
x2 x3
x6
x7
x8
1
c
d
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
Diagrama de flujo de señal del ejemplo

13. x4 x5
13
Caminos directos:
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c

14. 14
Caminos directos:
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c

15. x4 x5
x4 x5
15
Lazos:
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c

16. x4 x5
16
Lazos:
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c

17. x4 x5
17
Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan:
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
o
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c

18. 18
x4 x5
c 1 x
Combinaciones de 3 Lazos que no se tocan:
x1
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
x1
b
a
x1
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
b
a
x1
x4 x5
x2 x3
x7
x8
1
e
f
g h
i
j
k
l
m n
o
d
x3
x6
c
Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan:

19. 19
Ejercicio
Obtener la función de transferencia utilizando la fórmula de ganancia
de Mason. Y5/Y1

20. 20
Ejercicio
Obtener la función de transferencia utilizando la fórmula de ganancia
de Mason. Y5/Y1

21. 21
Ejemplo
Ejemplo: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando
la fórmula de ganancia de Mason .

22. 22
Ejercicio