Unidad II: Teoría de Conjuntos Juan Miguel Olalla P.
ESPOCH – Escuela de Ingeniería en Sistemas 1
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
EXTENSIÓN MORONA SANTIAGO
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE CONJUNTOS
1) Representar gráficamente: [(A’B)U(C-B)] B’
U U
A B A B
C C
A’ (A’B)
U U
A B A B
C C
(C-B) (A’B)U(C-B)
U U
A B A B
C C
B’ [(A’B)U(C-B)] B’

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2) Expresarlo simbólicamente
a) U b) U
A B P D
C F
(AUBUC)’U[(BC)-A] (D-F)U[F-(PUD)]
3) Sean los conjuntos: N = [d, i) E = (e, z) Z = [d, e], Siendo e, d, z, i  Re.
Con d < i < e < z. Hallar:
a) (NZ)-E = ?
d i e z
NZ = [i, e]
(NZ)-E = [i, e]
d i e z
b) [(EZ)Z]UN = ?
EZ = 
d i e z
(EZ)Z = Z = [d, e]
[(EZ)Z]UN = [d, e]
d i e z
c) [(Z-N) Z](NUE) = ?
Z-N = [i, e]
d i e z

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(Z-N) Z = [i, e]
d i e z
NUE = [d, i) U (e, z)
d i e z
[(Z-N) Z](NUE) = [d, z)
d i e z
4) Sean los conjuntos:
A = {x/ x >-10, x Z+
} D = {x/ 20 < x  30, x F}
B = {x/ -5  x < 15, x Z} E = {x/ 7< x  50, x Q}
C = {x/ x  100, x Re}
Donde F es el conjunto formado por las expresiones de la forma m/n no reducibles
con m y n  Z+
Hallar:
a) AB = {x/ 0 < x < 15, x Z+
}
(AB)-D = {x/ 0 < x < 15, x Z+
}
Z+
( [ )
-10 -5 Z 15
b) (DUC)B = x (-, 100]  x {-5, -4, -3, -2 … 12, 13, 14}
{x/(x  100, x Re)  (-5  x  14, xZ)}
DUC = {x/ x  100, x Re}
Re
( ] ]
20 F 30 100

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c) (A-C)U(CD) = {x/ (x > 100, x Z+
)  (20 < x  30, x F)}
A-C = {x/ x > 100, x Z+
} CD = {x/ 20 < x  30, x F}
Z+
( ]
-10 Re 100
d) (BA)  (E-D) = {x/ 15  x  50, x Z}
BA = {x/ -5  x < 0  x  15, x Z}
Z+
( [ )
-10 -5 Z 15
E-D = {x/ (7< x  20, x Q)  (20 < x  30, x Z)  (30 < x  50, x Q)}
Q
( ( ] ]
7 20 F 30 50
e) (EB)(CUE) = {x/ (x < 7, x R)  (7 < x < 15, x F)  (7 < x < 15, x Q’) 
(15  x  100, x R)}
EB = {x/ 7 < x < 15, x Z} CUE = {x/ x  100, x Re}
Z
Q
[ ( ) ]
-5 7 15 50
5) En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:
1) 68 se comportan bien.
2) 138 son inteligentes.
3) 160 son habladores.
4) 120 son habladores e inteligentes.
5) 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.
6) 13 se comportan bien y no son habladores.
7) 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.
¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son
habladores y no son inteligentes?

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Solución: El problema da como datos
n(B) = 68 n(I) = 138 n(H) = 160
n(HI) = 120 n(BI’) = 20
n(BH’) = 13 n(BHI’) = 15
Se pide hallar: n(B’H’ I’) = ?
B H
5 15 25
40
8 80
9 17
I
Primero se ubica en el diagrama de Venn n(BHI’) = 15 luego n(BI’) = 20, después
n(BH’) = 13, como se sabe n(B) = 68 se puede saber (restando) n(BHI) = 40. Se
puede ubicar después n(HI) = 120, y por último se saca el número de personas que son
únicamente inteligentes y únicamente habladores teniendo n(I) = 138 y n(H) = 160
(restando).
Ahora bien si hay 200 estudiantes (se resta a esta cantidad (todo) las demás del
diagrama de Venn).
n(B’H’I’) = 17
Otra forma:
n(B’H’I’) = n(BUHUI)’
n(BUHUI) = n(B) + n(H) + n(I) – n(BH) – n(BI) – n(HI) + n(BHI)
n(BUHUI) = 68 + 160 + 138 – 55 – 48 – 120 + 40 = 183
n(BUHUI)’ = 200 – 183 = 17
6) Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdió la
gente: Contabilidad, Administración y Química.
Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene:
n(CAQ) = 2 n(AQ) = 8 n(CQ) = 10
n(CA) = 7 n(C) = 25 n(A) = 15 n(Q) = 35
Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de:
a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba?
b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas?
c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era
y en la 3era
, pero no en la segunda?
d) ¿Cuántos fracasaron al menos en dos pruebas?
e) ¿Cuántos aprobaron al menos una materia?

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f) ¿Cuántos aprobaron la 2da
ó la 3era
pero no la 1era
?
Solución:
U
C A
10 2
5
2
8 6
19
8 Q
a) n[(CA)Q] = 31
b) n(CUAUQ)’ = 8
n(CUAUQ) = n(C) + n(A) + n(Q) – n(CA) – n(CQ) – n(AQ) + n(CAQ)
n(CUAUQ) = 25 + 15 + 35 – 7 – 10 – 8 + 2
n(CUAUQ) = 52
n(CUAUQ)’ = 60 – 52 = 8
c) n[(CQ) A’] = 8
n(CQ) = 10 
A’ 
U
C A
La respuesta es la parte que tiene el doble rayado.
d) n{[(CA) – (CAQ)]U[(CQ) – (CAQ)]U(AQ)} = 21
e) n[U – (CAQ)] = 58
f) n[(A’UQ’) C] = 23

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U
C A
10 5 2
2
8 6
19 8
Q
(A’ U Q’ )  C = 23
7) Simplificar:
[(AB’)U(B-A)]U{[(AB’)UB]’  (DD’)}
[(A-B)U(B-A)]U{[(AB’)UB]’  } Propiedad de diferencia, y de contradicción
(AB)U Propiedad de diferencia simétrica, y de
identidad
AB Propiedad de identidad
8) Demostrar:
AU(A’B) = AUB
(x)x [AU(A’B)]  (x) [x A  x (A’B)] Definición unión
 (x) [x A  (x A’  x B)] Definición intercepción
 (x) [x A  (x A  x B)] Definición complemento
 (x) [(x A  x A)  (x A  x B)] Postulado de
distributividad (P.D)
 (x) [V  (x A  x B)] Postulado del tercero
excluido
 (x) (x A  x B) Postulado de la identidad
(P.I)
 (x) x(AUB) Definición de unión
9) Demostrar:
A-(AB) = A-B
(x) x [A-(AB)]  (x) [x A  x (AB)] Definición de diferencia
 (x) [x A   (xA  x B)] Definición intersección
 (x) [x A  (x A  x B)] Teorema de De Morgan
(T.DD.M)
 (x) [(x A  x A)  (x A  x B)] Postulado de
distributividad (P.D)
 (x) [F  (x A  x B)] Postulado de la contradicción
 (x) (x A  x B) Postulado de la identidad (P.I)
 (x) x (A -B) Definición de diferencia.

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10) Demostrar:
(A-B)-(A-C) = A (C-B)
(x) x [(A-B)-(A-C)]  (x) [ x (A-B)  x (A-C)] Definición de
diferencia
 (x) [(x A  x B)   (x A  x C)] Definición de
diferencia
 (x) [(x A  x B)  (x A  x C)] Teorema de De
Morgan (T.DD.M) y
teorema de la doble
negación.
 (x) {[(x A  x B) x A ][(x A  x B)  x C]}
Postulado de la distributividad (P.D)
 (x) {[(x A  x A) x B ][(x A  x B)  x C]}
Postulado de la conmutatividad (P.C),
Teorema de la asociatividad (T.AS)
 (x) {(F  x B ]  [(x A  x B)  x C]}
Postulado de la contradicción
 (x) {F  [x A  (x C  x B)]}
Postulado de la identidad (P.I),
Postulado de la conmutatividad (P.C),
Teorema de la asociatividad (T.AS)
 (x) [x A  (x C  x B)]
Postulado de la identidad (P.I)
 (x) [x A  x (C-B)] Definición de diferencia
 (x) x[A  (C-B)] Definición de intersección
11) Demostrar:
AB = (A-B)U(B-A)
(x) x [(A-B)U(B-A)]  (x) [x (A-B)  x (B-A)] Definición de unión
 (x) [(x A  x B)  (x B  x A)]
Definición de diferencia
 (x) {[(x A  x B)  x B]  [(x A  x B)  x A)]
Postulado de distributividad (P.D)
 (x) {[(x A  x B)  (xB  x B)]  [(x A  x A)
 (xB  x A)]}Postulado de distributividad (P.D)
 (x) {[(x A  x B)  V]  [V  (x B  x A)]}
Postulado del tercero excluido
 (x) [(x A  x B)  (x B  x A)]
Postulado de la identidad (P.I)
 (x) [(x A  x B)  (x A  x B)]
Postulado de la conmutatividad (P.C)
 (x) [(x A  x B)   (x A  x B)]
Teorema de De Morgan (T.DDM)
 (x) [x (AUB)  x (AB)]
Definiciones: unión, intersección
 (x) [x (AB)] Definición de diferencia simétrica

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12) Demostrar:
B  (AUB)
[B  (AUB)]  (x) [x B  x (AUB)] Definición de subconjunto
 (x) [x B  x (AUB)] Definición de relación de implicación
 (x) [x B  (x A  x B)] Definición de unión
 (x) [x B  (x A  x B)] Definición de condicional (D.C)
 (x) [(x B  x B)  x A)] Postulado de la conmutatividad (P.C)
Teorema de la asociatividad
 (x) (V  x A) Postulado del tercero excluido
 (x) V Teorema de la tautología (T.T)
13) Demostrar:
A  B  B’ A’
(A  B  B’ A’)  (x) [x (A  B  B’ A’)] Definición de relación de
implicación
 (x) [(x A  x B)  (x B’ x A’)]
Definición de subconjunto
 (x) [(x A  x B)  (x B’ x A’)]
Definición de relación de
implicación
 (x) [(x A  x B)  (x B  x A)]
Definición de complemento
 (x) [(x A  x B)  (x B  x A)]
Definición de condicional
 (x) [(x A  x B)  (x B  x A)]
Definición de condicional
 (x) [(x A  x B)  (x A  x B)]
Postulado de la conmutatividad (P.C)
 (x) V Postulado del tercero excluido
14) Demostrar:
(E-F)-G  E-(F-G)
(x) x [(E-F)-G]  x [E-(F-G)] Definición de subconjunto
 (x) x [(E-F)-G]  x [E-(F-G)] Definición de relación de implicación
 (x) {[(x E  x F)  x G]  [x E   (x F  x G)]}
Definición de diferencia
 (x) { [(x E  x F)  x G]  [x E   (x F  x G)]}
Definición de condicional
 (x) {[ (x E  x F)  x G]  [x E  (x F  x G)]}
Teorema de De Morgan (T.DDM), y
Teorema de la doble negación
 (x) {[(x E  x F)  x G]  [x E  (x F  x G)]}
Teorema de De Morgan (T.DDM)
 (x) {[(x E  x F)  x G]  [(x E  x F)  (x E  x G)]}
Postulado de la distributividad (P.D)
 (x) {[(x E  x F)  (x E  x F)]  [x G  (x E  x G)]}
Postulado de la conmutatividad (P.C),

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Teorema de la asociatividad (T.AS)
 (x) {[ (x E  x F)  (x E  x F)]  [x G  (x E  x G)]}
Teorema de De Morgan (T.DDM)
 (x) {V  [x G  (x E  x G)]} Postulado del tercero excluido
 (x) V Teorema de la tautología (T.T)
15) Demostrar:
A  B  AUB = B
a) A  B  (AUB)  B
b) A  B  B  (AUB) Definición de igualdad
a)
(x) {(x A  x B)  [x (AUB)  x B]} Definición de subconjunto
(x) {(x A  x B)  [x (AUB)  x B]} Definición de relación de
implicación
(x) {(x A  x B)  [(x A  x B)  x B]} Definición de unión
(x) { (x A  x B)  [ (x A  x B)  x B]} Definición de condicional
(x) { (x A  x B)  [(x A  x B)  x B]} Teorema de De Morgan (T.DDM)
(x) { (x A  x B)  [(x A  x B)  (xB  x B]} Postulado de
distributividad (P.D)
(x) { (x A  x B)  [(x A  x B)  V]} Postulado del tercero excluido
(x) [ (x A  x B)  [(x A  x B)] Postulado de identidad
(x) V Postulado del tercero excluido

b)
(x) {(x A  x B)  [x B  x (AUB)]} Definición de subconjunto
(x) {(x A  x B)  [x B  x (AUB)]} Definición de relación de
implicación
(x) {(x A  x B)  [x B  (x A  x B)]} Definición de unión
(x) { (x A  x B)  [x B  (x A  x B)]} Definición de condicional
(x) { (x A  x B)  [(x B  x B)  x A]} Postulado de la conmutatividad
(P.C), Teorema de la asociatividad
(T.AS)
(x) [ (x A  x B)  (V  x A)}] Postulado del tercero excluido
(x) [ (x A  x B)  V] Teorema de la tautología (T.T)
(x) V Teorema de la tautología (T.T)
Entonces a) V  b) V
V Por teorema de idempotencia
18) Si A y B son conjuntos disjuntos entonces AB = 
a)
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  x [(AB)  ]}
Definición de conjuntos disjuntos

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(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  [x (AB)  x ]}
Definición de subconjunto
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  [x (AB)  x ]}
Definición de relación de implicación
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  [(x A  x B)  x ]}
Definición de intersección
(x) { [(x A  x B)  (x B  x A)]  [ (x A  x B)  x ]}
Definición de condicional
(x) { [(x A  x B)  (x A  x B)]  [ (x A  x B)  x ]}
Postulado de la conmutatividad (P.C)
(x) { (x A  x B)  [ (x A  x B)  x ]}
Teorema de idempotencia (T. Idemp)
(x) {(x A  x B)  [ (x A  x B)  x ]}
Teorema de De Morgan (T.DDM)
(x) {[(x A  x B)   (x A  x B)]  x }
Teorema de la asociatividad (T.AS)
(x) [V  x ] Postulado del tercero excluido
(x) V Teorema de la tautología (T.T)

b)
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  x [  (AB)]}
Definición de conjuntos disjuntos
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  [x   x (AB)]}
Definición de subconjunto
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  [x   x (AB)]}
Definición de relación de implicación
(x) {[(x A  x B)  (x B  x A)]  [x   (x A  x B)]}
Definición de intersección
(x) { [(x A  x B)  (x B  x A)]  [x   (x A  x B)]}
Definición de condicional
(x) { [(x A  x B)  (x A  x B)]  [x   (x A  x B)]}
Postulado de la conmutatividad (P.C)
(x) { (x A  x B)  [x   (x A  x B)]}
Teorema de idempotencia (T. Idemp)
(x) {(x A  x B)  [x   (x A  x B)]}
Teorema de De Morgan (T.DDM)
(x) {[(x A  x B)  (x A  x B)]  x )}
Teorema de la asociatividad (T.AS)
(x) [(x A  x B)  x )] Teorema de la idempotencia (T.Idemp)
(x) [(x A  x B)   (x A  x A)] Definición del vacío
(x) [(x A  x B)  x F] Postulado de la contradicción
(x) [(x A  x B)  V] Definición de tautología
(x) V Teorema de la tautología (T.T)
Entonces a) V  b) V
V Por teorema de idempotencia