Com Apoio de :
Marcos Mateus e Guillaume Riflet
Objectivos da Disciplina
• O que é um modelo,
• Os modelos matemáticos,
• Elementos que constituem um modelo,
• Os process...
Programa
• Conceitos básicos de métodos
  numéricos,
• Programação em Visual Basic,
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Conhecimentos requeridos
• Mecânica dos Fluidos e Processos de
  Transporte,
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• Ecologia e funcionamento dos...
Dificuldades Encontradas em
        Anos Anteriores
• Programação é a grande dificuldade.
• Mecânica dos Fluidos é uma
  d...
Equações que vamos
                 resolver
 • Conservação da massa:
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Onde aparecem os conceitos
         requeridos
• Equação de Evolução (ou de
  Transporte),
• Na equação de Transporte de
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Como se resolvem as
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• Métodos Numéricos:
• Diferenças finitas/Volumes Finitos
• Elementos Finitos/Ele...
O que representa a série de
          Taylor?                       t           t            t

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Como usar para calcular as
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Outro Método
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O que representa a série de
          Taylor?                       t           t            t

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Derivadas no espaço?
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Derivadas no espaço?
                    
                                                        ¿                 ...
Equações Algébricas
• Obtêm-se substituindo as derivadas
  pelas aproximações:

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Explícito Upwind
   c
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Qual é o melhor método?
• Se o erro de truncatura fosse o único
  indicador seria Crank-Nicholson, com
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Modelação Ambiental - Aula 1 e 2 - 2007-02-27

  1. 1. Com Apoio de : Marcos Mateus e Guillaume Riflet
  2. 2. Objectivos da Disciplina • O que é um modelo, • Os modelos matemáticos, • Elementos que constituem um modelo, • Os processos de transporte e as equações de evolução, • Os métodos Numéricos, • Programação/Linguagens gráficas, • Gestão Ambiental, Modelos, Monitorização e Estudos de processos.
  3. 3. Programa • Conceitos básicos de métodos numéricos, • Programação em Visual Basic, • Programação em PowerSim / Matlab, • Modelos Presa-Predador • Modelos Ecológicos, • Modelos Hidrodinâmicos, • Modelos de Transporte de Sedimentos.
  4. 4. Conhecimentos requeridos • Mecânica dos Fluidos e Processos de Transporte, • Programação, • Ecologia e funcionamento dos ecossistemas, • Ciclo dos Elementos e Ecologia, • Fluxos de massa e de Energia através de um ecossistema.
  5. 5. Dificuldades Encontradas em Anos Anteriores • Programação é a grande dificuldade. • Mecânica dos Fluidos é uma dificuldade adicional, mas menor. • Soluções: Acelerar o processo de aprendizagem de programação.
  6. 6. Equações que vamos resolver • Conservação da massa: ∂ ck ∂ u j ck ∂ ∂t  = ν ∂xj ∂ xj ∂xj ∂c    F k−P k  • Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento: ρ ∂t ∂ ui u j ∂ ui = ∂    ν ∂u i ∂ x j ∂ xj ∂ x j  PressãoGravidade 
  7. 7. Onde aparecem os conceitos requeridos • Equação de Evolução (ou de Transporte), • Na equação de Transporte de Quantidade de Movimento, • Em(F-P) • Se isto fosse conhecido bem como a programação, a disciplina poderia ser chamada de “Mecânica dos Fluidos Computacional….”
  8. 8. Como se resolvem as equações • Métodos Numéricos: • Diferenças finitas/Volumes Finitos • Elementos Finitos/Elementos de Fronteira. • Como se constrói o método das diferenças finitas? • Sériet  t ∂Taylor:c  t ∂ c .. . . t n ∂n c t t t de c  t ∂         t 2 2 3 3 t t c =c i i ∂t i 2! ∂ t2 i 3! ∂ t3 i n ! ∂ tn i
  9. 9. O que representa a série de Taylor? t t t         t 2 2 3 3 n n ∂c t ∂ c t ∂ c t ∂ c c t t =c ti  i t  2  3 .. . . ∂t i 2! ∂t i 3! ∂t i n ! ∂ tn i c Outras derivada s Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt Δt t1 t1+Δt t
  10. 10. Como usar para calcular as derivadas? t t t         t 2 2 3 3 n n tt t ∂c t ∂ c t ∂ c t ∂ c ci =c i  t  2  3 .. . . ∂t i 2! ∂t i 3! ∂t i n ! ∂ tn i t t t t ci =ci  t ∂c ∂t i   ° t 2  Método Explícito t cti  t −cit   ∂c = ∂t i t ° t  t t t t t t       t t 2 2 3 3 n n t t t c i =c i −   t ∂c ∂t i  t ∂ c 2 ! ∂t 2 i − t ∂ c 3 ! ∂t 3 i .. .. t ∂ c n ! ∂ tn i t t t t t ci =c i − t t t ∂c ∂t   t t t i ° t  2 Método Implícito c i −c i   ∂c ∂t i = t ° t 
  11. 11. Outro Método 2 t t / 2 3 t t / 2 n t t / 2       tt / 2  t /2 ∂2c  t / 2 ∂3c  t / 2 ∂nc tt ci t t / 2 =c i   t /2   ∂c ∂t i  2! ∂ t2 i  3! ∂t 3 i . .. . n! ∂ tn i 2 t t / 2 3 t t / 2 n t t / 2       t t / 2  t /2 ∂2c  t / 2 ∂3c  t / 2 ∂nc t− t t t / 2 c i =c i −  t /2   ∂c ∂t i  2! ∂t 2 i − 3! ∂t 3 i . .. . n! ∂t n i Subtraindo uma da outra: t t /2 t t t ci −ci =+ t ∂c ∂t   i °  t /2  [ 3 ] t  t /2 c ti  t −c ti   ∂c ∂t i = t [ °  t /2  2 ] Este método calcula a derivada no centro do intervalo de tempo e tem  precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica
  12. 12. O que representa a série de Taylor? t t t         t 2 2 3 3 n n ∂c t ∂ c t ∂ c t ∂ c c t t =c ti  i t  2  3 .. . . ∂t i 2! ∂t i 3! ∂t i n ! ∂ tn i c Método Explícito Método Implícito Outras derivada s Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt Δt Método Diferenças Centrais t1 t1+Δt t
  13. 13. Derivadas no espaço? t t t         t 2 2 3 3 n n t t ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c c i  x =c i x  2  3 . .. . ∂ x i 2! ∂ x i 3! ∂ x i n ! ∂ xn i t t t ci x =ci  x   ∂c ∂t i 2 ° x  Método downwind ci x −cit t t   ∂c = ∂x i x ° x  t t t         t 2 2 3 3 n n t t ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c c i−x =c i − x  2 − 3 . .. . ∂ x i 2! ∂ x i 3! ∂ x i n ! ∂ xn i t t t ci− x =ci − x ∂c ∂t i   ° x 2  Método upwind t cit −c ti− x   ∂c = ∂x i x ° x 
  14. 14. Subtraindo uma equação da Outra t t cix =ci−x −2 t t t x t   ∂c ∂t i 3 ° x  cix   ∂c = ∂x i 2x −ci−x ° x  2 Diferenças centrais
  15. 15. Derivadas no espaço?       ¿ ¿ ¿   ¿ 2 2 3 3 n n ¿ ¿ ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c c ix =c i  x  2  3 . .. . ∂ x i 2 ! ∂ x i 3! ∂ x i n ! ∂xn i       ¿ ¿ ¿   ¿ 2 2 3 3 n n ¿ ¿ ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c c i−x =c i − x  2 − 3 . .. . ∂ x i 2 ! ∂x i 3! ∂ x i n ! ∂ xn i Adicionando:   ¿ 2 ¿ ¿ ¿ 2 ∂ c 4 ci x ci− x =2c i − x ° x  ∂t 2 i ¿   c ¿ x −2c ¿ c¿ x 2 ∂ c i− i i− 2 = ° x  ∂ x2 i x2
  16. 16. Equações Algébricas • Obtêm-se substituindo as derivadas pelas aproximações: c t t −c t c t  x −c tx− x x c t  x −2c txc t − x x x °  t  u °  x  =ϑ 2 °  x 2  t 2x x2 • Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ªno tempo. c t  tx/ 2 −c tx− tx/ 2 c t  tx/ 2 −2c tx t / 2 c t  tx/ 2  c t  t −c t 2 °  t  u x  °  x 2  =ϑ x  °  x 2  x− t 2x x2 • Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço. O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?
  17. 17. Explícito Upwind c t t −c t c t −ctx − x x c tx x −2c tx c tx− x °  t  u °  x =ϑ 2 °  x 2  t x x2 • Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.
  18. 18. Qual é o melhor método? • Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais! • Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar. • Como se faz fisicamente a Advecção (propriedade transportiva) e a Difusão? • O método upwind respeita

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