Seminario tenuto al Dipartimento di Filosofia, Università degli Studi di Firenze, 19 aprile 2013.

1. Fondazione point-free della matematica
una introduzione al ragionamento senza punti
Dr M Benini
DiSTA
Università degli Studi dell’Insubria
19 aprile 2013

2. Introduzione
In questo seminario si vuole introdurre una possibilità alternativa nel
concepire la fondazione della matematica, usando un insieme di idee che
traggono ispirazione dai recenti sviluppi nella topologia formale.
Una breve introduzione alla fondazione della matematica
L’idea della topologia formale
Una fondazione ‘priva di punti’
Qualche spunto di discussione
(2 of 33)

3. Fondazione della matematica
(3 of 33)

4. Fondazione della matematica
Nella metà del ’800, a seguito della scoperta delle geometrie non-euclidee, e
con lo sviluppo di alcuni esempi di funzione apparentemente paradossali
nell’ambito dell’analisi matematica, ci si pose la domanda:
La matematica è corretta?
Non viene richiesto se un risultato è corretto, o se una teoria abbia senso,
ma se tutto l’edificio della matematica, nel suo complesso, sia dotato di
significato coerente.
In particolare, si inizia a chiedersi se sia possibile ridurre tutta la matematica
ad un principio primo, ad una teoria universale che permetta di descriverla
tutta e di ridurne tutte le questioni in un ambito comune.
(4 of 33)

5. Frege
Il primo tentativo di fornire una fondazione alla matematica fu fatto da
Gottlob Frege.
Basandosi sulla logica classica e sulla teoria
degli insiemi, e utilizzando per primo una
consistente forma di quantificazione, riuscì a
iniziare l’opera di riduzione della matematica,
in particolare dell’aritmetica, alla pura logica.
Tuttavia, il suo lavoro, per quanto
interessante, risulta oggi fuori dal tempo, sia
per l’uso ‘ingenuo’ della teoria degli insiemi,
sia per l’adozione di una notazione veramente
complessa e poco agile.
(5 of 33)

6. Russell
Il lavoro di Frege fu stroncato da Bertrand
Russell, il quale, con il suo famoso paradosso,
fece vedere come la teoria degli insiemi
utilizzata da Frege fosse contraddittoria,
rendendo la sua fondazione vacua.
Russell, con il collega Whitehead, si propose
di ripensare il progetto di Frege eliminando il
problema creato dal proprio paradosso.
Questo lavoro, immenso e complesso, è
contenuto nei Principia Mathematica.
In esso, attraverso una stratificazione degli insiemi, e un uso più agile della
logica, il paradosso viene evitato e gran parte della matematica corrente
viene effettivamente formalizzata.
Tuttavia, i Principia risultano di notazione piuttosto pesante e la
stratificazione degli insiemi è anti-intuitiva e di difficile utilizzo.
(6 of 33)

7. Hilbert
Altri matematici si occuparono di fondazione, con ispirazioni differenti. Ad
esempio, David Hilbert introdusse il suo programma, in cui chiariva in che
cosa dovesse consistere una fondazione accettabile.
Linguaggio: un formalismo dotato di un
insieme prefissato di regole, che permetta
di esprimere tutta la matematica
Completezza: una prova che tutti i fatti
veri possano essere dimostrati
Consistenza: una prova ‘finitistica’ che il
sistema sia non contraddittorio
Decidibilità: un algoritmo che, presa una
affermazione matematica, stabilisca se
essa sia vera o falsa
Conservazione: una prova che ogni risultato riguardante ‘oggetti reali’
ottenuto usando ‘oggetti ideali’, possa essere riformulato senza il ricorso
ad essi
(7 of 33)

8. Brouwer
Nello stesso periodo, L.E.J. Brouwer mise in dubbio la validità della logica
classica, in particolare del principio del terzo escluso, fornendo degli esempi
che mettevano in crisi l’aderenza della deduzione con il senso comune.
Citando Kleene, Introduction to
Metamathematics, p. 46:
. . . Brouwer, in a paper entitled “The
untrustworthiness of the principles of
logic”, challenged the belief that the rules
of the classical logic, which have come
down to us essentially from Aristotle
(384–322 B.C.) have an absolute validity,
independent of the subject matter to
which they are applied”.
Nasce un differente tipo di logica: la logica intuizionista, che si riferisce
idealmente al ragionamento come inteso da Brouwer.
(8 of 33)

9. Gödel
Nel 1929, Kurt Gödel dimostrò che la logica
classica al primo ordine era completa. Nel
1931, egli dimostrò che l’aritmetica di Peano
era incompleta così come ogni sistema
formale sufficientemente potente.
Il secondo risultato, lievemente esteso da
Rosser, vale la pena enunciarlo
esplicitamente: Ogni sistema formale che sia
(1) consistente, (2) effettivo, e
(3) sufficientemente potente da rappresentare
l’aritmetica, è necessariamente incompleto.
Il risultato di incompletezza pose fine alla ricerca sulla fondazione della
matematica, così come concepita fino ad allora, in quanto impossibile da
realizzare.
(9 of 33)

10. Fondazione della matematica
Tuttavia, il filone di ricerca sui fondamenti non si è esaurito. Anzi, il risultato
di Gödel ha moltiplicato gli approcci e i risultati, pur nella consapevolezza
dell’impossibilità di realizzare compiutamente il progetto iniziale.
Oggi, si evidenziano tre linee principali:
fondazione classica, basata su una formalizzazione della teoria degli
insiemi accoppiata alla logica classica. Nonostante l’incompletezza e la
mancanza di decidibilità, è il contesto di riferimento per la maggioranza
dei matematici.
fondazione categoriale, basata sulla teoria delle categorie, è il contesto
favorito per accoppiare logiche non-classiche, in primis, quella
intuizionista, con opportune generalizzazioni della teoria degli insiemi. Di
particolare rilievo la teoria dei topos, che costituisce ad oggi il contesto
più usato per la ricerca matematica di punta.
fondazione effettiva, che usa una restrizione della teoria degli insiemi o
delle categorie, accoppiata al richiedere la presenza di procedure di
decisione. Sebbene il suo scopo non sia comprendere l’intero spettro della
matematica in uso, essa enfatizza gli aspetti calcolabili e di tali si occupa.
(10 of 33)

11. Fondazione categoriale
La fondazione categoriale procede dal concetto di categoria, una
generalizzazione radicale della nozione di insieme.
Il mondo categoriale permette di costruire al proprio interno la logica, come
dimostrato da William Lawvere.
Nel mondo categoriale, esistono ‘universi’ ove
è possibile modellare tutta la matematica
comune, i topos, speciali categorie che
godono di proprietà profonde di simmetria,
dotate di una propria logica e di un concetto
di insieme interno.
In un certo senso, la fondazione categoriale è
una concezione algebrica della matematica, in
cui il sistema di ragionamento e la
rappresentazione di una teoria T viene
generata dalla struttura algebrica
dell’universo, il topos, da cui osserviamo T .
(11 of 33)

12. Fondazione effettiva
Un approccio fondazionale differente, ma sulla falsariga di quello categoriale,
è dato dalla teoria dei tipi, che rientra tra i metodi di fondazione ‘effettivi’.
Già attorno al 1935, con l’introduzione del λ-calcolo, nacque l’idea che la
computazione fosse descrivibile in termini puramente astratti. Successivi
sviluppi di questa teoria, passando per l’introduzione dei tipi, portarono alla
scoperta che esiste una identità tra dimostrazioni nella logica intuizionista e
funzioni calcolabili, espresse come λ-termini.
Estremizzando questo fatto, e definendo una
teoria degli insiemi che avesse profonde
caratteristiche di costruibilità, Per Martin-Löf
introdusse la teoria dei tipi che porta il suo
nome.
Essa permette di costruire al suo interno una
logica, essenzialmente intuizionista, e genera
gli oggetti di cui una teoria parla, quando
questa è sviluppata nel suo linguaggio e
seguendo alcuni canoni sintattici.
(12 of 33)

13. Topologia formale
(13 of 33)

14. Topologia
Una delle conseguenze della scoperta delle
geometrie non-euclidee fu la questione della
‘natura’ dello spazio matematico. Una
risposta venne dal lavoro di numerosi
matematici, che culminò nella costruzione di
una nuova disciplina, la topologia.
Tra essi, spicca la figura di Henri Poincaré, il
primo a formalizzare l’idea di spazio
topologico in tutta la sua generalità, nel 1894.
Uno spazio topologico è dato da una coppia 〈S , T 〉, con S un insieme e T
una topologia, ovvero una famiglia di sottoinsiemi di S tali che
∈T e S ∈T
se A, B ∈ T allora anche A ∩ B ∈ T
se {Ai }i ∈I è una famiglia di elementi di T , indicizzata da un qualche
insieme I , allora anche i ∈I Ai ∈ T
(14 of 33)

15. Topologia
L’idea soggiacente alla definizione è sottile: dato uno spazio topologico
〈S , T 〉, i sottoinsiemi in T sono detti aperti.
L’idea di spazio è quella di un insieme S di ‘punti’ i quali siano tra loro
incollati opportunamente. La ‘colla’ viene descritta indirettamente dalla
topologia T , elencando gli aggregati di punti, gli aperti, che lo spazio
pretende siano incollati assieme.
Non tutte le aggregazioni di punti permettono di interpretare un insieme S
come uno spazio, ovvero definire i concetti e dedurre le proprietà che siamo
soliti associare ad uno spazio. Gli assiomi di spazio topologico identificano in
modo semplice ed elegante quali topologie diano adito ad uno spazio avente
S come punti.
(15 of 33)

16. Senza punti
Già Alfred Whitehead notò che la definizione
di topologia è indiretta, evitando una esplicita
descrizione della ‘colla’, e preferendo il
concetto ausiliario di insieme aperto.
Introducendo un concetto lievemente più
esteso, quello di ricoprimento aperto (open
cover in inglese), egli notò come la definizione
assumesse un carattere più astratto, in cui
l’insieme S non aveva, di fatto, alcun ruolo
diretto.
In altri termini, i ‘punti’ non sembravano indispensabili per definire la
nozione di spazio topologico, che poi divenne il concetto standard di spazio
della matematica del XX secolo. Solo in applicazioni concrete e in alcuni
particolari teoremi, il ricorso ai punti sembrava essere inevitabile.
(16 of 33)

17. Grothendieck
Tralasciando i numerosi sviluppi intermedi, il passo successivo verso la
formalizzazione di una nozione di spazio generalizzato che non avesse i punti
come concetto fondante, è stato compiuto da Alexandre Grothendieck.
Egli, definendo il concetto di topos di
Grothendieck come una categoria di fasci su
un sito, fornisce una nozione di spazio
altamente astratta. La nozione di fascio è
determinata in relazione ad una opportuna
topologia, che generalizza gli spazi topologici
usuali, e che non usa il concetto di punto.
Vi sono varie specializzazioni dell’approccio di
Grothendieck alla definizione di spazi, come,
ad esempio, la nozione di locale, che sono, a
tutti gli effetti spazi privi di punti.
Vale la pena rammentare che i topos di Grothendieck costituiscono anche
una classe di universi atti alla fondazione della matematica, legando
intimamente la nozione di spazio al ragionamento logico-matematico.
(17 of 33)

18. Sambin
Procedendo su una linea molto distante, il concetto di topologia formale
nell’ambito costruttivo è stato introdotto da Giovanni Sambin.
Basandosi sulla teoria dei tipi di Martin-Löf,
egli ha avviato la propria ricerca di una
topologia costruttiva e predicativa, arrivando
a definire in modo compiuto un concetto di
spazio in cui i punti, quando presenti, sono
una nozione non primitiva.
Data la natura costruttiva della topologia
formale come sviluppata dalla scuola di
Sambin, essa presenta un carattere
computazionale intrinseco, che la differenzia
profondamente dall’approccio categoriale.
Essa si lega allo studio dei fondamenti, mostrando come lo sviluppo
costruttivo della matematica fornisca una interpretazione più fine della
disciplina, suggerendo, in ultima analisi, che la preservazione
dell’informazione sia quanto determina la ‘struttura’ della matematica.
(18 of 33)

19. Topologia formale
Tra i numerosi studiosi della topologia formale contemporanea, una
posizione di spicco è occupata da Thierry Coquand.
Egli ha mostrato come numerosi risultati della
topologia classica siano dimostrabili
nell’impianto ben più debole della topologia
formale di Sambin. Inoltre, le sue tecniche di
ricostruzione illustrano una profonda
connessione tra la possibilità di ragionare
senza i punti, e l’esistenza di procedure di
calcolo per le entità di cui si prova l’esistenza.
E’ dovuta essenzialmente al suo lavoro la
chiarificazione della relazione tra i locale e le
topologie formali.
Attualmente, Coquand è impegnato nello sviluppo della teoria omotopica dei
tipi, in collaborazione con Vladimir Voevodosky, medaglia Fields nel 2002
per i contributi alla topologia algebrica.
(19 of 33)

20. Fondazione point-free
(20 of 33)

21. La domanda fondamentale
Riassumendo sommariamente le idee esposte finora in forma di domanda,
E’ possibile immaginare una fondazione priva di punti?
In termini concreti, possiamo pensare di dare significato alla matematica
‘comune’, senza presupporre l’esistenza di un qualche universo in cui
interpretare gli oggetti di cui intendiamo trattare in una teoria matematica?
Ad esempio, è possibile dare un senso all’aritmetica prescindendo
dall’esistenza dei numeri interi?
(21 of 33)

22. Un mondo senza punti?
Sia T una teoria, ovvero un insieme di assiomi, scritta in un linguaggio
fissato L nella logica intuizionista al primo ordine.
se assumiamo anche che T e L siano effettivi, ci stiamo ponendo nella
condizione di considerare tutta la ‘matematica comune’
senza imporre ulteriori condizioni, possiamo ottenere la logica classica
richiedendo che T contenga tutte le istanze del principio del terzo
escluso, e questo non modifica l’effettività di T
L’idea è fornire un mondo dove T possa essere interpretata adeguatamente e
che sia ‘privo di punti’.
(22 of 33)

23. Categorie logicamente distributive
Sia C una categoria e M una mappa dalle formule di L agli oggetti di C.
Possiamo immaginare C come un insieme i
cui elementi sono chiamati oggetti; alcuni tra
essi denotano formule.
Inoltre, gli oggetti di C non sono isolati come
in un insieme, ma sono posti in relazione da
frecce. Nel nostro caso, intuitivamente, una
freccia π : M ψ → M φ indica una prova di φ a
partire dall’assunzione ψ.
Imponiamo che la coppia 〈C, M 〉 soddisfi un insieme di condizioni. Quando
queste condizioni sono soddisfatte diciamo che 〈C, M 〉 è una categoria
logicamente distributiva.
Il ‘mondo’ in cui andremo a interpretare T è la collezione delle categorie
logicamente distributive.
(23 of 33)

24. Categorie logicamente distributive
Le condizioni imposte su 〈C, M 〉 sono:
1. C ha tutti i prodotti finiti
2. C ha tutti i co-prodotti finiti
3. C ha esponenziazione
4. C è distributiva
5. le sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A hanno rispettivamente, oggetto
terminale e iniziale
6. esiste un’unica freccia MA × M(∃x : s . B) → M(∃x : s . A ∧ B) in C∀x : s . A ,
per ogni coppia di formule A e B tali che x : s ∈ FV(A)
7. M( ) = 1, M(⊥) = 0, M(A ∧ B) = MA × MB, M(A ∨ B) = MA + MB,
M(A ⊃ B) = MB MA , M(∀x : s . A) = 1C∀x : s . A e M(∃x : s . A) = 0C∃x : s . A
(24 of 33)

25. Prodotto e congiunzione
Le condizioni sono espresse nel linguaggio della teoria delle categorie e
risultano piuttosto tecniche. Per fornire un’idea di come operino, forniamo
un semplice esempio.
Il prodotto categoriale binario di MA e MB è
definito come un oggetto MA × MB di C con
una coppia di frecce π1 e π2 tali che, per ogni
altro oggetto simile, ovvero Γ con le frecce α
e β, come in figura, esiste un’unica freccia
!: Γ → MA × MB.
Seguendo l’interpretazione accennata in precedenza,
le frecce π1 e π2 rappresentano le istanze delle regole di inferenza di
eliminazione di ∧
la freccia ! null’altro è se non la regola di introduzione di ∧
(25 of 33)

26. La quantificazione universale
L’interpretazione dei quantificatori diverge dalle linee tracciate da Lawvere
ed è originale. Per semplicità ci limitero a illustrare il caso di ‘per ogni’.
La sottocategoria C∀x : s . A è formata
dagli oggetti MB con B formula tale che x : s ∈ FV(B) e che da B si
possa dimostrare A[t/x] per ogni termine t di tipo opportuno
dalle frecce da M(∀x : s . A) a MB, per ogni oggetto MB della
sottocategoria
Richiedere che C∀x : s . A abbia un oggetto terminale e che esso sia
M(∀x : s . A) significa dire che esiste un’unica freccia da MB a M(∀x : s . A)
per ogni formula B come sopra.
Interpretando, si ottiene che le frecce da ∀x : s . A a A[t/x] corrispondono
alle istanze della regole di eliminazione di ‘per ogni’, mentre l’unica freccia
della condizione diviene l’istanza della regola di introduzione.
(26 of 33)

27. Correttezza e completezza
Diremo che una formula A è vera in 〈C, M 〉, una categoria logicamente
distributiva, quando esiste una freccia 1 → MA.
E’ possibile dimostrare che:
per ogni teoria T , se A è dimostrabile da T , allora A è vera in ogni
categoria 〈C, M 〉 logicamente distributiva che renda veri tutti gli assiomi
in T
per ogni teoria T , se A è vera in tutte le categorie 〈C, M 〉 logicamente
distributive che rendano veri tutti gli assiomi in T , allora A è dimostrabile
da T
In altri termini, il nostro ‘mondo’ offre una interpretazione corretta e
completa di tutte le teorie esprimibili al primo ordine.
(27 of 33)

28. Il ruolo dei termini
Come vengono interpretati i termini?
Le variabili determinano quali siano le sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A
Le variabili determinano anche il modo in cui le sostituzioni possano
evere luogo
I termini, in combinazione con le variabili, contribuiscono all’operazione
di sostituzione, completandone la definizione
Le sostituzioni, a loro volta, hanno lo scopo di ‘legare’ opportunamente le
formule nelle sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A .
E’ chiara l’ispirazione topologica della costruzione. In particolare, è evidente
che i termini non vengono interpretati in un qualche universo, e la loro
funzione è unicamente di ‘incollare’ le formule nelle sottocategorie che
controllano l’interpretazione dei quantificatori.
(28 of 33)

29. Considerazioni conclusive
(29 of 33)

30. Modelli di teorie inconsistenti
Ma le teorie non consistenti hanno un modello!
Si. Le teorie contradditorie hanno come modelli esattamente le categorie
logicamente distributive in cui l’oggetto terminale e iniziale coincidono.
Ovvero, in termini logici, i modelli di una teoria contradditoria sono quelli in
cui il vero e il falso sono identificati.
Incidentalmente, questi modelli rendono vera qualunque teoria sul linguaggio
su cui sono costruiti.
(30 of 33)

31. Incompletezza
Quindi l’aritmetica è completa. E il teorema di Gödel?
Il primo teorema di incompletezza di Gödel continua a valere, e quindi anche
il secondo.
Ma la parola ‘completo’ nel suo enunciato deve essere letta in modo
corretto: esso dice che esiste almeno un enunciato che non può essere
dimostrato pur essendo vero sul modello standard dei numeri naturali.
Quindi, se ne deduce che esistono più modelli, e, in particolare, due
categorie logicamente distributive distinte, una nella quale esiste una freccia
1 → G e un’altra nella quale tale freccia è assente. Entrambe le categorie
fungono da modelli per l’aritmetica.
Pertanto l’enunciato G , indimostrabile, non è vero in tutti i modelli e non è
nemmeno falso in tutti i modelli. Esattamente come accade nei modelli
insiemistici classici, con la semantica di Alfred Tarski. Quindi al prim’ordine
è impossibile scrivere una teoria che individui esattamente i numeri naturali e
le usuali operazioni aritmetiche.
(31 of 33)

32. Una fondazione effettiva?
Un fatto che non si è volutamente rimarcato nella presentazione, è che, oltre
a fornire una semantica per le teorie logiche al primo ordine, le categorie
logicamente distributive danno anche significato al λ-calcolo associato.
Infatti, ad ogni teoria a base intuizionista, è possibile associare un ‘sistema
di calcolo’ che opera sulle dimostrazioni, normalizzandole. Non sempre
questo sistema è effettivo, ma esso è sempre interpretabile in una categoria
logicamente distributiva, anzi, la sua interpretazione è strettamente correlata
al significato delle formule e delle prove.
Quindi, in senso lato, una fondazione basata sulle categorie logicamente
distributive è effettiva, nel limitato senso di fornire uno strumento di calcolo
sulle dimostrazioni che permette di dimostrare la non-contradditorietà della
teoria. E’ opportuno rimarcare che questo non è necessariamente un modo
‘finitista’ di procedere.
(32 of 33)

33. Conclusione
Il lavoro presentato in questo seminario è ancora in corso.
Sebbene i risultati esposti siano tutti provati e verificati, la ricerca
nell’ambito della fondazione priva di punti è ancora alle fasi iniziali.
Ogni suggerimento, spunto o critica è benvenuta.
Per informazioni o documentazione, scrivete a
marco.benini@uninsubria.it
C
CC BY: $ Marco Benini 2013
(33 of 33)