ESTIMATIVA DA REGIÃO DA ATRAÇÃO DE UM SISTEMA NÃO LINEAR                            (PÊNDULO)                             ...
Teorema 1: Seja           um ponto de 2quilíbrio do                   O problema pode não ser só a pesquisa de umasistema ...
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Equação (19)Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada                Z2=-0.1*Y.^2;orbital.                        ...
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5. CONCLUSÕES         O problema não é encontrar uma função de          Lyapunov qualquer, o problema é encontrar uma    ...
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Estimativa da região de atração de um sistema não linear

  1. 1. ESTIMATIVA DA REGIÃO DA ATRAÇÃO DE UM SISTEMA NÃO LINEAR (PÊNDULO) Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE222- Sistemas Não Lineares RESUMO: O presente documento consiste em um Para fazer o estudo dos pontos de equilíbrio nosrelato das atividades desenvolvidas durante os capítulos sistemas não lineares, se presentam diferentes métodos3,4 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil de Lyapunov para o analises de estabilidade.da disciplina do Programa de Pós-Graduação emEngenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual 2 BASE TEÓRICAconsiste na determinação da região real e sua estimativade atração de um sistema não linear. Será feita umabreve introdução dos principais conceitos envolvidos 2.1 ESTABILIDADE ASINTOTICA GLOBALsobre a região de atração de um sistema não linear e a DOS PONTOS DE EQUILIBRIOobtenção de seu estimativa a partir de uma função deLyapunov definida. Em seguida, será feito um Considerando um sistema autônomo3:desenvolvimento teórico da estabilidade assintóticaglobal, a determinação de uma função de lyapunov e, ̇ ( ) (1)consequentemente, uma vez definido a estabilidadeassintótica global no sentido Lyapunov, é mostrado a Definido para todo no domíniodeterminação da estimativa da região da atração a partirdas diferentes equações de lyapunov propostas e Um ponto no espaço de estados é chamadocomparadas com a região de atração real. Finalmente, ponto de equilíbrio da equação (1) se tem a propriedadeserão mostrados e discutidos os resultados a traves de de que quando o estado inicial do sistema é o estadográficos e simulações com simulink. permanece em em todo tempo futuro. PALAVRAS-CHAVE: Região de atração, matriz Um ponto de equilíbrio de (1) é assintoticamentejacobiana, função de Lyapunov, Matlab. estável se todas as soluções que se iniciam nas cercanias dele tende a 0 quando o tempo tende a infinito. O que a gente quer dizer é:1 INTRODUÇÃO  É assintoticamente estável si para todoNo relatório anterior chamado Analisis de estabilidade no , existe um ( ) tal quesentido lyapunov de uma gerador síncrono conectado auma barra infinita , a gente podem definir a estabilidade ‖ ( )‖ ( )dos pontos de equilíbrio a partir dos métodos delyapunov1. Agora tendo definido os diferentes tipos deestabilidade a gente deve centrar-se no caso quando oponto de equilíbrio é assintoticamente estável2 parapoder falar da região de atração. A região de atraçãotambém chamada região de estabilidade assintótica, estádefinida como o conjunto de todos os pontos tal que ( ) . Encontrar uma região de atraçãoanaliticamente exata poderia ser difícil mais nãoimpossível. Neste relatório a gente vai poder olhar que asfunções de lyapunov que satisfazem as condições deestabilidade assintótica sobre um domínio D podem ser Figura 1. Ponto de equilíbrio em com trajetória solução parausadas para estimar a região de atração, que é encontrar o caso: assintóticamente estável.um conjunto contendo na região de atração real.1 Método direto e indireto de Lyapunov2 Um PE é assintoticamente estável si para todo , 3existe um ( ) tal que ‖ ( )‖ e ( ) tende a 0 Um modelo é chamado autônomo quando nãoquando . depende de 1
  2. 2. Teorema 1: Seja um ponto de 2quilíbrio do O problema pode não ser só a pesquisa de umasistema não linear dado por (1) e seja um função de Lyapunov sino a pesquisa de aquela quedomínio que contém o origem. Seja uma assegure a maior região de atração.função continua diferençável tal que: 2.3 FUNÇÃO DE LYAPUNOV ( ) e ( ) em { } (2) ̇( ) em (3) Lyapunov demostro que algumas funções a parte da Então é estável. Mas se função de energia podem ser usadas para a determinação da estabilidade do ponto de equilíbrio de ̇( ) em { } (4) um sistema não linear. Então é assintoticamente estável Aquela função ( ) que satisfaze (2) e (3) se chama função de Lyapunov. Onde a derivada de sobre as trajetórias do sistema (1) é chamada derivada Agora que já tem definido a estabilidade assintótica, orbital, é definida como:o seguinte passo é definir a região de atração. ̇( ) ̇ ( ) (6)2.2 REGIÃO DE ATRAÇÃO Corolário: Seja um ponto de equilíbrio de (1). Quando no sistema (1) o origem é assintoticamente Seja uma funcao definida positivaestável, o seguinte conjunto continuamente diferençável sobre o domínio que contém o origem e ademais ̇ ( ) em D. Seja { | ( ) } { | ̇( ) } Se nenhuma trajetória solução de (1) que entra na região fica ali indefinidamente, a Se chama a região de atração. menos que seja a solução trivial, então o origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. [1]O conjunto está formado por todos os pontos queverificam que as trajetórias que começam em eles Si a função de Lyapunov cumpre a condições deconvergem ao origem. Encontrar a região de atração não estabilidade assintótica, então a gente pode fazer umaé fácil, mas existem formas de fazer uma estimação. estimação da região de atração a partir da equação de Lyapunov. As funções de Lyapunov que satisfazem o teorema1 podem ser usadas para estimar a região de atração.Para que uma região seja uma estimativa da RA4, deveser um conjunto invariante positivo, é dizer, toda trajetória 3. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DEque comece no conjunto deve permanecer dentro deleem todo tempo futuro. A estimativa mais simples da RA é ATRAÇÃO ESTIMADA DO PENDULOo conjunto: { | ( ) } (5) Quando é delimitado e está contendo nodomínio D. Então uma estimativa da RA é um conjuntotal que toda trajetória que comece em ele tende aoorigem quando . Figura3. Pendulo Usando a segunda lei de newton a gente pode escrever a equação de movimento na direção tangencial: ̈ ̇ Onde é a massa da bola, é a longitude do braço, é o ângulo entre a vertical e o braço, é a aceleração da gravidade, e é o coeficiente de fricção. Figura2. Curvas de nível de uma função de Lyapunov ̇ Pegando como variáveis de estado e a gente pode escrever as equações de estado4 Região de atração 2
  3. 3. ̇ A gente vai encontrar a matriz (9) e vai definir 2 matriz definidas positivas , e com ela vamos encontrar 2 funções de Lyapunov. ̇ ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ̇] ( ) As constantes são definidas:  Candidata 1 [ ] Agora vamos encontrar a solução da equação (11). Então as equações de estados ficam: ̇ (7) [ ][ ] [ ][ ] [ ] ̇ ( ) (8) Fazendo a solução: Os pontos de equilíbrio do sistema fazendo ( ̇ ̇ ) são ( ) A gente pode olhar [ ] (12)que os pontos de equilíbrio (0,0) e ( ,0) são triviais é osdemais são repetições. Fisicamente a gente pode olhar Agora com (12) a gente pode encontrar a funçãoque o ponto de equilíbrio de quadrática (10) [ ] [ ] É estável ( ) (13) Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada Enquanto o ponto de equilíbrio orbital. [ ] [ ] É instável. ̇( ) (14)3.1 FUNÇÃO DE LYAPUNOV  Candidata 2 Seja a matriz jacobiana [ ] ( )| (9) Agora vamos encontrar a solução da equação (11). Se (8) é Hurtwitz5, então sempre podemosencontrar uma função de Lyapunov quadrática. [ ][ ] [ ][ ] [ ] ( ) (10) Fazendo a solução: Encontrando a solução da equação de Lyapunov (11) [ ] (15) para alguma matriz definida positiva . Agora com (15) a gente pode encontrar a função de quadrática (10) Por tanto si (9) é Hurtwitz a gente pode sempreestimar a RA do origem. ( ) (16)5 Uma matriz é Hurtwitz, si e só si para qualquer existe que satisfaça a equação deLyapunov. 3
  4. 4. Equação (19)Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada Z2=-0.1*Y.^2;orbital. contour(X,Y,Z1,[1.98,0]); hold on ̇( ) (17) contour(X,Y,Z2,[0,0]); grid  Candidata 3 (equação de energia) { ( ) } ( ) ( ) (18) 3.3 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DEAgora com (6) a gente pode encontrar seu derivada ATRAÇÃO REALorbital. ̇( ) (19)3.2 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE ATRAÇÃO ESTIMADA  Candidata 1[X1,Y1] = meshgrid(-1:.1:1, -1:.1:1);Equação (13) Figura4. Determinação da região real (reta tangencial aZ11=X1*Y1+(10.05*X1.^2)+10*Y1.^2; trajetória)Equação (14)Z22=-(Y1.^2)+(20*X1.*Y1)-(sin(X1).*X1)-(20*Y1.*sin(X1)); ( )contour(X1,Y1,Z22,[0,0]);hold on Onde:contour(X1,Y1,Z11,[16,0]);grid = Ponto de equilíbrio instável = cada uno dos auto vetores associados a { ( ) } cada um dos autovalores com parte real negativa.  Candidata 2 = Constate pequena que me define que tanto se aleja do ponto de equilibro a reta tangencial[X11,Y11] = meshgrid(-1.5:.1:1.5, -1.5:.1:1.5); a trajetória.Equação (16)Z111=10*X11*Y11+(60.5*X11.^2)+60*Y11.^2;  [ ]Equação (17)Z222=-(2*Y11.^2)+(120*X11.*Y11)-(10*sin(X11).*X11)-(120*Y11.*sin(X11)); ( )contour(X11,Y11,Z111,[310,0]);hold on ( ) [ ] [ ] [ ]contour(X11,Y11,Z222,[0,0]);grid ( ) [ ] (20) { ( ) }  Candidata 3 (equação de energia) ( )[X,Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5); ( ) [ ] [ ] [ ]Equação (18)Z1=(0.5*Y.^2)+(1-cos(X)); 4
  5. 5. ( ) [ ] (21) 1.5  1 [ ] 0.5 ( ) 0 ( ) [ ] [ ] [ ] -0.5 -1 ( ) [ ] (22) -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Figura7. Região de atração da candidata 2 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 5 4 3 ( ) [ ] (23) 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Figura8. Região de atração da candidata 3 5 4 3Figura5. Simulação do sistema ̇ ( ) para cada uma das 2 condições iniciais (20,21,22,23). 1 0 -14. SIMULAÇÕES -2 -3 -4 1 -5 0.8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.6 Figura9. Região de atração real vs cada uma das regiões 0.4 estimadas. 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura6. Região de atração da candidata 1 5
  6. 6. 5. CONCLUSÕES  O problema não é encontrar uma função de Lyapunov qualquer, o problema é encontrar uma função de Lyapunov que garantisse a maior região de atração estimada. De acordo a figura 9, a candidata que assegura a maior região de atração é a função de energia.  A minudo, não é suficiente determinar que um sistema tem pontos de equilibro asintoticamente estável. Por tanto é importante encontrar a região do ponto ou al menos uma estimativa dele. Seu conhecimento permite que o trabalho de um engenheiro de controle se centre em chegar a este conjunto e logo a propriedade de estabilidade regulara por se só o sistema. 6. REFERÊNCIAS[1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, , 1996.[2] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em sistemas de potência, tese de Doutorado, Alexandre Sanfelice Bazanella 6

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