EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB                                            Manuel Ricardo Vargas Ávila              ...
      Setor cônico com vértice na origem e ângulo                     semiplano direito, 𝑅𝑒(𝑧) > 𝛼2 , tendo que 𝛼2 ∈    ...
A equação (12) não é uma LMI, então fazendo                𝝈 =Constante de amortecimento, cuja ubiquação está notransforma...
O sistema (1) em malha fechada:                                                                                           ...
     Síntese de realimentação de estados para a                    3 EXERCÍCIO 3          minimização    de    ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞  ...
%%%% 4 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]>0                                              %%%%% A norma H2 do sistema em malha fechada é...
Seja o seguinte sistema linear na forma: %%%%% alocação dos autovalores de (A+BK) AA=A+B*K;                               ...
O objetivo do exercício é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do                   Onde:compensador dinâmico (25), de forma gar...
Agora, fazendo união da LMI (37) e (42), nosencontramos a condição LMI que possibilita a síntese de                       ...
   Miminizar ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 considerando que a norma      ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝟐𝟑. 𝟔%%Implementação de realimentação dinâmica de         ...
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7 REFERÊNCIAS[1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB[2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino[3] Linear Quadr...
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Exercicios LMIs 2

  1. 1. EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Controle Multivariável RESUMO: O presente documento consiste em um 𝕯 ≜ {𝑧 𝜖 ℂ|𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ < 0} (2)desenvolvimento dos exercícios propostos (InequaçõesMatriciais Lineares- LMI) na aula de controle Sendo 𝑳 = 𝑳′ e M matrizes reais.multivariavel. Para a solução de LMIs, será usado opacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab. Corolário 1: Seja o modelo simplificado com base PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganho em (2) (GAHINET et al., 1995), de modo que:estabilizante. 𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝐿 + 𝑧𝑴 + 𝑧̅ 𝑴′ (3)1 EXERCÍCIO 1 As regiões mais utilizadas em projetos de sistemas de controle com otimizacao LMI são mostradas de acordo Determine uma condição LMI que possibilite a o Colorario 1 e nas figuras 1 e 2.síntese de uma realimentação de estados de forma agarantir o posicionamento dos polos do sistema em malha  Semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1fechada, nas seguintes regiões: 𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼1 + 𝑧 + 𝑧̅ (4)1.1 BASE TEÓRICA Considere o seguinte sistema controlável,observável, linear e invariante no tempo: ̇ 𝒙(𝒕) = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡) (1) 𝒛(𝒕) = 𝑪𝑥(𝑡) Sendo 𝑨 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒏 , 𝑩 ∈ 𝓡 𝒏𝒙𝒑 , 𝑪 ∈ 𝓡 𝒎𝒙𝒏 , 𝑥(𝑡) é o Figura 1 - ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1vetor de estados, 𝒛(𝒕) a saída de interesse e 𝑢(𝑡) aentrada de controle.  Semiplano direito, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 : O objetivo do problema é projetar uma condição LMIque possibilite a síntese de uma realimentação de 𝒇 𝕯 (𝒛) = −2𝛼2 − 𝑧 − 𝑧̅ (5)estados tal que os pólos de malha fechada fiquem emuma determinada região especifica.Considerando: Teorema 1: (Estabilidade de Lyapunov) Dado osistema: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 Existe uma solução 𝑷 > 0 simétrica de modo que 𝑨′ 𝑷 + 𝑷𝑨 + 𝑵 < 0, onde N > 0 (simétrica) é uma matrizarbitrária ao ponto de operação [1]. Figura 2 - ℜ{𝜆} ≥ 𝛼2 Definição 1: A Região LMI é uma região convexano plano complexo, denotada por 𝒟 simétrica comrespeito ao eixo real (GAHINET et al., 1995), definida por: 1
  2. 2.  Setor cônico com vértice na origem e ângulo  semiplano direito, 𝑅𝑒(𝑧) > 𝛼2 , tendo que 𝛼2 ∈ interno de 2𝜃 onde 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é ℜ: descrito por: ∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) > 𝛼2 ⟹ 𝟐𝜶 𝟐 𝑷 − (𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ ) < 𝟎 (8) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧 − 𝑧̅) 𝒇 𝕯 (𝒛) = [ ] (6) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝑧̅ − 𝑧) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝑧 + 𝑧̅) Agora considerando uma síntese de realimentação de estados em (1): 𝑢 = 𝑲𝑥 O sistema em malha fechada fica na forma: 𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲)𝑥 (9) Agora fazendo substituição em (7), nós podemos encontrar a LMI que define o posicionamento a esquerda de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟏 : −2𝛼1 𝑷 + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (10) Figura 3 - Sector definido por 𝜃 A equação (10) não é uma LMI, então nós devemos fazer uma transformação para que seja uma LMI. Multiplicando (10) a esquerda por 𝒘′ e a direita por 𝒘,1.2 Faixa: 𝜶 𝟐 ≤ 𝕽{𝝀} ≤ 𝜶 𝟏 , 𝜶 𝟏 > 𝟎, 𝜶 𝟐 > 𝟎 considerando que 𝒘 = 𝑷−𝟏 −2𝑊 ′ 𝜶 𝟏 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 + 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 Tendo que: 𝑷𝑊 = 1 −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ + (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 Reescrevendo: −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′𝐾′𝑊′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝐾𝑊 < 0 Figura4 - faixa 𝛼2 ≤ ℜ{𝜆} ≤ 𝛼1 Agora fazendo: Corolario 2: A partir do teorema 1 e o corolário 1.Para sistemas no tempo continuo, sendo 𝕯 no semipleno 𝒀 = 𝐾𝑊esquerdo, de modo que: A LMI é: 𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0 −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0 { (11) 𝑊 = 𝑊′ > 0 Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ),tem-se que: Agora fazendo substituição de (9) em (8), nós  semiplano esquerdo, 𝑅𝑒(𝑧) < 𝛼1 , tendo podemos encontrar a LMI que define o posicionamento a que 𝛼1 ∈ ℜ: direita de uma reta vertical que passa por 𝜶 𝟐 : ∀𝑧 ∈ 𝐶, 𝑹𝒆(𝒛) < 𝛼1 ⟹ −𝟐𝜶 𝟏 𝑷 + 𝑨𝑷 + (𝑨𝑷)′ < 𝟎 (7) 2𝜶 𝟐 𝑷 − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ < 0 (12) 2
  3. 3. A equação (12) não é uma LMI, então fazendo 𝝈 =Constante de amortecimento, cuja ubiquação está notransformação para que seja uma LMI: eixo real. 𝝈 = 𝜉𝑤 𝑛 2𝑊 ′ 𝜶 𝟐 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ (𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑷𝑊 − 𝑊 ′ 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 𝒘 𝒅 = Frequência de amortecimento, cuja ubiquação está no eixo imaginário.Considerando que: 𝒘 𝒅 = 𝑤 𝑛 √1 − 𝜉 2 𝑷𝑊 = 1 𝒘 𝒏 = Frequência natural, é a hipotenusa do triangulo 2𝜶 𝟐 𝑊 − (𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑊 < 0 retângulo formado por os catetos de amortecimento 𝝈 e frequência de amortecimento 𝒘 𝒅 .Reescrevendo: O ângulo de apertura dos polos complexos 𝜃 , está relacionado com o coeficiente de amortecimento 𝜉. 2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑊 ′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝐾𝑊 < 0 𝜉 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 Onde:Agora fazendo: 0 ≤ |𝜉| ≤ 1 𝒀 = 𝐾𝑊 Considerando o Corolário1:A LMI é: Podemos definir que: 2𝜶 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′− 𝑌′ 𝐵′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0 { 𝟐 (13) Setor cônico com vértice na origem e ângulo 𝜃, onde 𝑊 = 𝑊′ > 0 𝑹𝒆(𝒛)𝑡𝑔𝜃 < |𝑰𝒎(𝒛)| é descrito por (6). Agora, a partir do Teorema1 e do corolário 2, para Agora juntando (11) e (13), nós podemos definir sistemas no tempo contınuo, sendo 𝒟 no semiplanouma LMI, para garantir o posicionamento dos polos do esquerdo, de modo que:sistema em malha fechada, naquela faixa entre 𝜶 𝟏 e 𝜶 𝟐 . −2𝜶 𝟏 𝑊 + 𝑊 ′ 𝐴′ + 𝐵′ 𝑌 ′ + 𝐴𝑊 + 𝐵𝑌 < 0 𝒇 𝕯 (𝒛) = 𝑧 + 𝑧̅ < 0 { 2𝜶 𝟐 𝑊 − 𝑊 ′ 𝐴′ − 𝑌 ′ 𝐵′ − 𝐴𝑊 − 𝐵𝑌 < 0 (14) 𝑊 = 𝑊′ > 0 Fazendo substituição de (1, 𝑧, 𝑧̅) ↔ (𝑷, 𝑨𝑷, (𝑨𝑷)′ ) em (6), tem-se que:1.3 Setor no semipleno-esquerdo: fator de (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′) (𝒄𝒐𝒔𝜽)(𝐴𝑃 − (𝐴𝑃)′) amortecimento dos pólos maior que um [ ]< 𝟎 (15) (𝒄𝒐𝒔𝜽)((𝐴𝑃)′ − 𝐴𝑃) (𝒔𝒆𝒏𝜽)(𝐴𝑃 + (𝐴𝑃)′) dado 𝝃 (Figura 3)Primeiro, nós devemos descrever quem é 𝜽: Escrevendo que: 𝑻 𝟏 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝐴′ 𝑻 𝟐 = 𝐴𝑃 − 𝑃𝐴′ 𝑻 𝟑 = 𝑃𝐴′ − 𝐴𝑃 Fazendo substituição em (14): 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟐) [ ]<0 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑻𝟑) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑻𝟏) Agora considerando uma síntese de realimentação Figura5 - Polos complexos conjugados de estados: 𝑢 = 𝑲𝑥 3
  4. 4. O sistema (1) em malha fechada: A LMI que define a norma H2 é: 𝑥̇ = (𝑨 + 𝑩𝑲) 𝑥 ⏟ ̅ 𝑨 Agora fazendo substituição em (15), nós podemos 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷 𝑧𝑢 ′ [ ]<0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌encontrar a LMI que define o posicionamento dos polos 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼 (𝟐𝟎) ′no setor descrito pelo ângulo 𝜽: min(𝑡𝑟𝑎𝑐𝑜 𝑊) 𝑾= 𝑾 >0 { 𝑿 𝐵′ 𝑤 {[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊 { 𝐵𝑤 𝑊 𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ ) 𝑐𝑜𝑠𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 − 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ ) [ ]<0 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ − (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷) 𝑠𝑖𝑛𝜃((𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷 + 𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ ) (16) Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos Nós podemos olhar que a equação (16) não é uma numa strip) com a LMI (20) (Norma H2), nós podemosLMI em P e K obter uma minimização da norma sujeito ao posicionamento dos polos numa strip.Agora multiplicando a equação (16) pela matriz 𝑊 = 𝑷−𝟏 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝑾𝐶 𝑧 ′ + 𝒀′ 𝐷′ 𝑧𝑢 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′ (𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 − 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′𝑾 [ ] < 0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑊 𝑒 𝑌 [ 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾 − 𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾′(𝐴 + 𝐵𝐾)𝑷𝑾 + 𝑾′𝑷(𝐴 + 𝐵𝐾)′ 𝑾) ]<0 (17) 𝐶 𝑧 𝑾 + 𝐷 𝑧𝑢 𝒀 −𝐼 𝑿 𝐵′ 𝑤 {[ ]>0 𝐿𝑀𝐼 𝑒𝑚 𝑋 𝑒 𝑊 𝐵𝑤 𝑊 (𝟐𝟏)Agora a equação (17), resulta: −2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0 2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0 { 𝑾 = 𝑊′ > 0 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝐾′𝑾′)[ ]<0 (18) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵′ 𝐾 ′ 𝑾′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝐾𝑾) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝐾𝑾 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝐾′𝑾′) Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos definir as LMIs:Fazendo 𝒀 = 𝐾𝑊 na equação (18): 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′) [ ]<0 setlmis([]) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE CADA UMA DAS MATRIZES W=lmivar(1,[3 1]) Então a LMI que define o posicionamento dos polos Y=lmivar(2,[1 3])no setor é: X=lmivar(1,[3 1]) % % 1 LMI [WA+AW + YB+BY WC+YD ; 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 − 𝐴′ 𝑾 − 𝐵′𝑌′) CW+DY -I] [ ]<0 { 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝐴′ 𝑾 + 𝐵 ′ 𝑌′ − 𝑾𝑨 − 𝐵𝑌) 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑾𝐴 + 𝐵𝑌 + 𝐴′ 𝑾 + 𝐵′𝑌′) lmiterm([1 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW ′ 𝑊= 𝑊 >0 lmiterm([1 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB (19) lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I2 EXERCÍCIO 2 % 2 LMI [ X Bw; Bw W] lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X Usando o LMItoolbox, implemente a solução dos lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% Wseguintes problemas: % % 3 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]<0  Síntese de realimentação de estados para a lmiterm([3 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao lmiterm([3 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB posicionamento de pólos em uma strip. lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uWSeja o seguinte sistema linear na forma: %%%% 4 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]>0 lmiterm([-4 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW lmiterm([-4 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW ̇ 𝑿(𝒕) = 𝑨𝑋(𝑡) + 𝐁U(t) + 𝑩 𝒘 𝑤(𝑡) % 5 LMI W=W>0 𝒁(𝒕) = 𝑪 𝒛 𝑋(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒘 𝑊(𝑡) + 𝑫 𝒛𝒖 𝑈(𝑡) lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 lmis=getlmis;Onde Z(t) são as saídas de rendimento. 4
  5. 5.  Síntese de realimentação de estados para a 3 EXERCÍCIO 3 minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao posicionamento de pólos em uma strip. Test os problemas do item anterior considerando o sistema do exemplo 7 do artigo Scherer et al: Multiobjective Output-Feedback Control, IEEE-TAC 1997. A LMI que define a norma Hinfinito está definida por: Considere o seguinte sistema: 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵 ′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤 [ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 (22) 𝐴 𝑩 𝒘 𝐵 𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝒙̇ 𝟏 ⏞0 10 2 𝒙𝟏 ⏞1 ⏞0 { 𝑾 = 𝑾′ > 0 [ 𝒙̇ 𝟐 ] = [−1 1 0 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑤 + [1 ] 𝑢 𝒙̇ 𝟑 0 2 −5 𝒙 𝟑 1 0 𝑥1 Agora juntando a LMI (14) (posicionamento de polos 𝑦 = [0 1 0] [ 𝑥2 ] + ⏟ 𝑤 2 ⏟numa strip) com a LMI (22) (Norma Hinfinito), nós 𝑪 𝑥3 𝐷𝑤podemos obter uma minimização da norma sujeito aoposicionamento dos polos numa strip: E tem saídas de rendimento definidas por: 0 1 0 𝒙𝟏 0 𝑥2 𝑾′ 𝐴′ + 𝒀′ 𝐵′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 𝐵𝑤 𝐵𝑤 𝒛 = [0 0 1] [ 𝒙 𝟐 ] + [0] 𝑢 = [ 𝑥3 ] [ 𝐵𝑤 −𝛾 2 𝐼 𝐷′ 𝑤 ] < 0 ⏟0 0 0 𝒙𝟑 ⏟1 𝑢 𝐶𝑧 𝑾 𝐷𝑤 −𝐼 𝑪𝒛 𝑫 𝒛𝒖 (23) −2𝜶 𝟏 𝑾 + 𝑾′ 𝐴′ + 𝑩′ 𝒀′ + 𝐴𝑾 + 𝐵𝒀 < 0 2𝜶 𝟐 𝑾 − 𝑾′ 𝐴′ − 𝒀′ 𝑩′ − 𝐴𝑾 − 𝐵𝒀 < 0  Síntese de realimentação de estados para a { minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖2 sujeito ao 𝑾 = 𝑊′ > 0 posicionamento de pólos em uma strip.Agora usando a LMItoolbox de matlab podemos definiras LMIs: %%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA MINIMIZACAO DE H2 SUJEITO AO %%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIP. setlmis([]) clc %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE clear all CADA UMA DAS MATRIZES A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5]; W=lmivar(1,[3 1]) B=[0;1;0]; Y=lmivar(2,[1 3]) Bw=[1 0 0;0 0 0;1 0 0]; gamma=lmivar(1,[1 1]) Cz=[0 1 0;0 0 1;0 0 0]; u=5 Dzu=[0;0;1]; uu=7 %%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS % % 1 LMI [WA+AW + YB+BY Bw WCz+YDzu; Bw -gamma*I Dw; u=5; % CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevo uu=6; termino Dzu*Y lmiterm([1 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW setlmis([]) lmiterm([1 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DE lmiterm([1 2 1 0],Bw) %%% Bw CADA UMA DAS MATRIZES lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I W=lmivar(1,[3 1]) lmiterm([1 2 3 0],Dzw) %%% Dzw Y=lmivar(2,[1 3]) lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Cz X=lmivar(1,[3 1]) lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I % % 1 LMI [WA+AW + YB+BY WC+YD ; CW+DY -I] % % 2 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]<0 lmiterm([1 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW lmiterm([2 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW lmiterm([1 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([2 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([1 2 1 W],Cz,1) %%%%% CzW lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW lmiterm([1 2 1 Y],Dzu,1) %%%%% DzuY lmiterm([1 2 2 0],-1) %%%%% -I %%%% 3 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]>0 lmiterm([-3 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW % 2 LMI [ X Bw; Bw W] lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([-2 1 1 X],1,1) %%%%% X lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW lmiterm([-2 2 1 0],Bw) %%%%% Bw lmiterm([-2 2 2 W],1,1) %%%%% W % 4 LMI W=W>0 lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 % % 3 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]<0 lmiterm([3 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW lmis=getlmis; lmiterm([3 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([3 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW 5
  6. 6. %%%% 4 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]>0 %%%%% A norma H2 do sistema em malha fechada élmiterm([-4 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW dada porlmiterm([-4 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YBlmiterm([-4 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW G2=sqrt(trace(Wopt))% 5 LMI W=W>0 G2= 0.8425lmiterm([-5 1 1 W],1,1) %%%%% W>0lmis=getlmis;c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(3))  Síntese de realimentação de estados para aoptions=[10^-5,0,0,0,0] minimização de ‖𝑇 𝑊𝑍 ‖∞ sujeito ao[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options) posicionamento de pólos em uma strip.Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W)Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y)Xopt=dec2mat(lmis,xopt,X); %%% SINTESE DE REALIMENTACAO DE ESTADOS PARA MINIMIZACAO DE Hinfinito SUJEITO AO%%%%GANHO %%% POSICIONAMENTO DE POLOS EM UMA STRIPK=Yopt*inv(Wopt) clcK=[-4.8824 -12.5450 -0.7992] clear all A=[0 10 2;-1 1 0;0 2 -5]; B=[0;1;0];%%%%% alocação dos autovalores de (A+BK) Bw=[1;0;1]; Cz=[1 0 0;0 0 0;0 0 0];AA=A+B*K; Dzw=0;eig(AA) Dzu=[0;1;0];𝜆12 − 5.4862 ± 5.1869i %%% ALOCACAO DA FAIXA DOS POLOS𝜆3 = -5.5725 u=30;%%%%% Fazendo simulação do sistema em malha uu=31;fechada com realimentação de estados setlmis([])C=[0 1 0]; %%%% DECLARACAO DAS DIMENSOES E ESTRUCTURA DED=0; CADA UMA DAS MATRIZEST = 0:0.1:1; % simulation time = W=lmivar(1,[3 1])10 seconds Y=lmivar(2,[1 3])U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step gamma=lmivar(1,[1 1])input[XX,YY]=lsim(A+B*K,B,C,D,U,T); % simulate CON % % 1 LMI [WA+AW + YB+BY BwREALIMENTACION K WCz+YDzu; Bw -gamma*I Dw;plot(T,YY) % CzW+Dzu*Y Dw -I]%%%%% se agrego nuevogrid termino Dzu*Y lmiterm([1 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW lmiterm([1 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([1 2 1 0],Bw) %%% Bw lmiterm([1 2 2 gamma],-1,1) %%% -gamma*I lmiterm([1 2 3 0],Dzw) %%% Dzw lmiterm([1 3 1 W],Cz,1) %%% Czw 0.18 lmiterm([1 3 1 Y],Dzu,1) %%% Dzu*Y lmiterm([1 3 3 0],-1) %%% -I 0.16 % % 2 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]<0 0.14 lmiterm([2 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW 0.12 lmiterm([2 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB lmiterm([2 1 1 W],2*u,1) %%%%% 2uW 0.1 %%%% 3 LMI [WA+AW+BY+BY+2uW]>0 0.08 lmiterm([-3 1 1 W],1,A,s) %%%% WA+AW lmiterm([-3 1 1 Y],B,1,s) %%% BY+YB 0.06 lmiterm([-3 1 1 W],2*uu,1) %%%%% 2uW 0.04 % 4 LMI W=W>0 lmiterm([-4 1 1 W],1,1) %%%%% W>0 0.02 lmis=getlmis; 0 c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(1,3),eye(1)) -0.02 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 options=[10^-5,0,0,0,0] [copt,xopt]=mincx(lmis,c,options) Wopt=dec2mat(lmis,xopt,W) Yopt=dec2mat(lmis,xopt,Y) Figura6 - Simulação dos estados do sistema com Gammaopt=dec2mat(lmis,xopt,gamma) realimentação de estados %%%%GANHO K=Yopt*inv(Wopt) K=[ -5.7055 -12.9999 0.0020] 6
  7. 7. Seja o seguinte sistema linear na forma: %%%%% alocação dos autovalores de (A+BK) AA=A+B*K; 𝑿̇ = 𝑨𝑋 + 𝐁U + 𝑩 𝒘 𝑊 eig(AA) 𝒀 = 𝑪𝑋 + 𝑫 𝒘 𝑊 𝜆12 =−5.5680 ± 5.5450i (24) 𝜆3 = -5.8639 𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒛𝟐 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰𝟐 𝑊 %%%%% Fazendo simulação do sistema em malha fechada com realimentação de estados 𝒁∞ = 𝑪 𝒛∞ 𝑋 + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝑈 + 𝐃 𝐳𝐰∞ 𝑊 D=0; T = 0:0.1:1; % simulation time = 10 seconds Com realimentação dinâmica: U =ones(size(T)) ; % u = 1, a step input [XX,YY]=lsim(A+B*K,B,Cz,D,U,T); % simulate CON 𝝃̇ = 𝐴 𝑘 𝛏 + 𝐵 𝑘 𝒀 REALIMENTACION K (25) plot(T,YY) grid 𝑼 = 𝐶𝑘 𝝃 + 𝐷𝑘 𝑌 Onde: 𝑿 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 0.16 𝑾 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 ( Sinal de perturbação) 𝒀 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 0.14 𝒁 = 𝑆𝑎í𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 0.12 𝝃 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑼 = 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒 0.1 0.08 O sistema em malha fechada é: 0.06 0.04 𝑋̇ 𝑐𝑙 𝐴 𝑐𝑙 𝑋 𝑐𝑙 𝐵 𝑐𝑙 0.02 ⏞𝑿̇ ⏞𝐴 + 𝐁𝐷 𝑘 𝑩𝐶 𝑘 ⏞ ⏞𝑩 𝒘 + 𝐵𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 𝑿 [ ̇]= [ ][ ̇] + [ ] 𝑾 𝝃 𝐵𝑘 𝑪 𝐴𝑘 𝝃 𝐵𝑘 𝑫 𝒘 0 -0.02 𝐶 𝑐𝑙2 𝐷 𝑐𝑙2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 𝑿 𝒁 𝟐 = ⏞ 𝒛𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑪 [𝑪 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + ⏞ 𝐳𝐰𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾 [𝐃 𝝃 Figura7 - Simulação dos estados do sistema com 𝐶 𝑐𝑙∞ 𝐷 𝑐𝑙∞ realimentação de estados 𝑿 ⏞ 𝒁∞ = [𝑪 𝒛∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑪 ⏞ 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + [𝐃 𝐳𝐰∞ + 𝑫 𝒛𝒖∞ 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾 𝝃 %%%%% A norma Hinfinito do sistema em malha fechada é dada por Gamma=sqrt(Gammaopt) Equação correspondente ao espaço de estados em malha fechada: Gamma= 1.4510 𝑋̇ 𝑐𝑙 = 𝑨 𝒄𝒍 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑩 𝒄𝒍 𝑊 𝒁 𝟐 = 𝑪 𝒄𝒍𝟐 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍𝟐 𝑊4 EXERCÍCIO 4 𝒁∞ = 𝑪 𝒄𝒍∞ 𝑋 𝑐𝑙 + 𝑫 𝒄𝒍∞ 𝑊 Determine uma condição LMI que possibilite asíntese de uma realimentação dinâmica de saída deforma a garantir:  ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽 A é estável e ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 ≤ 𝛽 se existe uma matriz 𝑷 simétrica e 𝑸 tal que: [ 𝐴′ 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 ] < 0 (𝟐𝟔) 𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 𝑷 𝐶 𝑍′ [ ]>0 (𝟐𝟕) 𝐶𝑍 𝑸 Figura8 – Realimentação dinâmica de saída { 𝑇𝑟(𝑸) < 𝛽 7
  8. 8. O objetivo do exercício é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do Onde:compensador dinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨 𝒄𝒍 )tenham parte real negativa. ̂ = 𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑁𝐵 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶 𝑘 𝑀′ + 𝑁𝐴 𝑘 𝑀 𝑨Nós vamos definir agora as seguintes matrizes: ̂ = 𝑌𝐵𝐷 𝑘 + 𝑁𝐵 𝑘 𝑩 (36) 𝑋 𝐼 ̂ = 𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝐶 𝑘 𝑀′ 𝑪 𝝅𝟏 = [ ] (28) 𝑀′ 0 ̂ = 𝐷𝑘 𝑫 𝐼 𝑌 𝝅𝟐 = [ ] (29) Agora fazendo substituição de (33), (34) e (35) em 0 𝑁′ (32), nós podemos definir a primeira LMI que garante a minimização da norma H2 considerando uma Agora multiplicando ao lado esquerdo de (26) por realimentação dinâmica de saída:𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰). 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵 ̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′ ̂ 𝑨 ̂ 𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤 ′ ̂ ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 ] < 0 (37) 𝝅′𝟏 0 𝐴 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 [ 𝑨 + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝑩 𝑩 [ ][ ][ ]<0 ̂ 𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂ (𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝐼 0 𝐼 𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼 𝝅′ 𝑨′𝑷 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅 𝟏 0 É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ . 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 [ 𝟏 ][ ]<0 𝐵 𝑤 ′𝑷 −𝐼 0 𝐼 Agora multiplicando ao lado esquerdo de (27) por ′ ′ ′ 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰). 𝝅 𝟏 𝑨′𝑷𝝅 𝟏 + 𝝅 𝟏 𝑷𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟏 𝑷𝐵 𝑤 [ ]<0 (30) 𝐵 𝑤 ′𝑷𝝅 𝟏 −𝐼 𝝅′𝟏 0 𝑷 𝐶 𝑍′ 𝝅 𝟏 0 [ ][ ][ ]>0 0 𝐼 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼Agora considerando: 𝝅′𝟏 𝑷 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′ 𝝅 𝟏 0 [ ][ ]>0 𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐′ 𝐶𝑍 𝑸 0 𝐼 (31) 𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝑷𝝅 𝟏 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′ [ ]>0 (38) 𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸Fazendo substituição em (30) Fazendo substituição de (31) em (38) 𝝅′ 𝑨′𝝅 𝟐 + 𝝅 𝟐 ′𝐴𝝅 𝟏 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 𝝅′𝟏 𝐶 𝑍 ′ [ 𝟏 ]<0 (32) [ ]>0 (39) 𝐵 𝑤 ′𝝅 𝟐 −𝐼 𝐶𝑍 𝝅𝟏 𝑸 Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (39):Considerando: 𝑋 𝐼 𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (40) 𝐴 = 𝑨 𝒄𝒍 𝐼 𝑌 𝐶 𝑍 𝝅 𝟏 = [𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍 ̂𝑪 𝐶 𝑍 +𝐷 𝑍 ̂ 𝐶] 𝑫 (41)Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (32): Onde ̂ 𝒆 ̂ são definidas por (36). 𝑪 𝑫 ̂ ̂ Agora fazendo substituição de (40) e (41) em (39), 𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (33) nós podemos definir a segunda LMI que garante a ̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 𝑩 minimização da norma H2 considerando uma 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′ 𝑪 ̂′ 𝑨 realimentação dinâmica de saída: 𝝅′𝟏 𝑨′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (34) (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 ̂ 𝑋 𝐼 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′ 𝑪 𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 = [ ] (35) [ 𝐼 𝑌 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 ̂ 𝐶)′ ] > 0 (42) 𝑫 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 𝑩 𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂𝑪 𝐶𝑍 + 𝐷𝑍̂ 𝐶 𝑫 𝑄 É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , 𝑸 e ̂ . 𝑪 𝑫 8
  9. 9. Agora, fazendo união da LMI (37) e (42), nosencontramos a condição LMI que possibilita a síntese de 𝝅′𝟏 𝐴′ 𝝅 𝟐 + 𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 𝝅′𝟐 𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝐶 𝑧 ′uma realimentação dinâmica de saída que garante a [ 𝐵 𝑤 ′𝝅 𝟐 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′ ] < 0 (46)minimização da norma H2. 𝐶𝑧 𝝅 𝟏 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵 ̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′ ̂ 𝑨 ̂ 𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤 [ ̂ + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝑨 ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 ] < 0 𝑩 Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (46): ̂ 𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂ (𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝐼 𝑋 𝐼 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′ 𝑪 (43) ̂ ̂ [ 𝐼 𝑌 ̂ 𝐶)′ ] > 0 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 𝑫 𝝅′𝟐 𝐴𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] ̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 𝑩 𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂ 𝐶 𝑍 + 𝐷 𝑍 ̂ 𝐶 𝑪 𝑫 𝑄{ 𝑇𝑟( 𝑸) < 𝛽 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′ 𝑪 ̂′ 𝑨 𝝅′𝟏 𝑨′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ . 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 ̂ 𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤 Agora, resolvendo (43) com LMI Toolbox de Matlab, 𝝅 𝟐 ′𝐵 𝑤 = [ ] ̂ 𝐷𝑤 𝑌𝐵 𝑤 + 𝑩nós podemos encontrar as matrizes do controladordinâmico (25). Elas são definidas por: 𝐶 𝑍 𝝅 𝟏 = [𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍 ̂𝑪 𝐶 𝑍 +𝐷 𝑍 ̂ 𝐶] 𝑫 𝑫𝒌 = ̂ 𝑫 Onde ̂ , ̂ , ̂ 𝑒 ̂ são definidas em (36). 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑪 𝒌 = ( ̂ − 𝐷 𝑘 𝐶𝑋)(𝑀′)−𝟏 𝑪 (44) ̂ Agora fazendo substituição em (46), nós podemos 𝑩 𝒌 = 𝑁 −1 (𝑩 − 𝒀𝑩𝐷 𝑘 ) definir a LMI que garante a minimização da norma 𝑯∞ ̂ 𝑨 𝒌 = 𝑁 −1 (𝑨 − (𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑁𝐵 𝑘 𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶 𝑘 𝑀′ ))(𝑀′)−𝟏 considerando uma realimentação dinâmica de saída: 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 + 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵 ̂ 𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 + ̂ ′ ̂ 𝑨 ̂ 𝐵 𝑤 + 𝐵𝑫 𝐷 𝑤 (𝐶 𝑍 𝑋)′ + (𝐷 𝑍 ̂ )′ 𝑪  ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝜸 ̂ + (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝑨 ̂ 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 + 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 𝑩 ̂ 𝑌𝐵 𝑤 + ̂ 𝐷 𝑤 𝑩 𝐶 𝑍 ′ + (𝐷 𝑍 ̂ 𝐶)′ 𝑫 < 𝟎 ̂ 𝐵 𝑤 ′ + (𝐵𝑫 𝐷 𝑤 )′ ̂ (𝑌𝐵 𝑤 )′ + (𝑩 𝐷 𝑤 )′ −𝜸𝐼 D′ + (𝐷 𝑧 ̂ 𝐷 𝑤 )′ zw 𝑫 [ 𝐶 𝑍 𝑋 + 𝐷 𝑍̂𝑪 𝐶𝑍 + 𝐷𝑍̂ 𝐶 𝑫 Dzw + 𝐷 𝑧 ̂ 𝐷 𝑤 𝑫 −𝜸𝐼 ] A é estável e ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝜸 se e só se existe umamatriz 𝑷 simétrica tal que: É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ . 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 Agora, resolvendo com LMI Toolbox de Matlab, nós 𝐴′ 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝐶 𝑧′ podemos encontrar as matrizes do controlador dinâmico [ 𝐵 𝑤 ′𝑃 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′] < 0 (25), que estão definidas em (44). { (45) 𝐶𝑧 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 𝑷>0 5 EXERCÍCIO 5 O objetivo é calcular 𝑨 𝒌 , 𝑩 𝒌 , 𝑪 𝒌 , 𝑫 𝒌 do compensadordinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨 𝒄𝒍 ) tenham parte Com base nas condições do item anterior resolva ereal negativa e minimize a norma 𝑯∞ . confira os resultados apresentados no exemplo 7 do artigo Scherer et al: Multiobjective Output-Feedback Multiplicando ao lado esquerdo de (45) por Control, IEEE-TAC 1997.𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅′𝟏 , 𝑰, 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅 𝟏 , 𝑰, 𝑰). ′ Considere o seguinte sistema: 𝝅′𝟏 0 0 𝐴 𝑷 + 𝑷𝐴 𝑷𝐵 𝑤 𝐶 𝑧′ 𝝅𝟏 0 0 [0 𝐼 0] [ 𝐵 𝑤 ′𝑃 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′] [ 0 𝐼 0] < 0 𝐴 𝑩 𝒘 𝐵 0 0 𝐼 𝐶𝑧 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 0 0 𝐼 𝒙̇ 𝟏 ⏞0 10 2 𝒙𝟏 ⏞1 ⏞0 [ 𝒙̇ 𝟐 ] = [−1 1 0 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑤 + [1 ] 𝑢 𝒙̇ 𝟑 0 2 −5 𝒙 𝟑 1 0 𝝅′𝟏 𝐴′ 𝑷 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝐶 𝑧 ′ 𝝅 𝟏 0 0 𝑥1 [ 𝐵 𝑤 ′𝑃 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′ ] [ 0 𝐼 0] < 0 𝑦 = [0 1 0] [ 𝑥2 ] + ⏟ 𝑤 ⏟ 2 𝐶𝑧 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 0 0 𝐼 𝑪 𝑥3 𝐷𝑤 E tem saídas de rendimento definidas por: 𝝅′𝟏 𝐴′ 𝑷𝝅 𝟏 + 𝝅′𝟏 𝑷𝐴𝝅 𝟏 𝝅′𝟏 𝑷𝐵 𝑤 𝝅′𝟏 𝐶 𝑧 ′ [ 𝐵 𝑤 ′𝑃𝝅 𝟏 −𝜸𝐼 𝐷 𝑧𝑤 ′ ] < 0 0 1 0 𝒙𝟏 0 𝐶𝑧 𝝅 𝟏 𝐷 𝑧𝑤 −𝜸𝐼 𝒛 = [0 0 1 ] [ 𝒙 𝟐 ] + [0 ] 𝑢 ⏟ 0 0 0 𝒙𝟑 ⏟0 𝑪𝒛 𝑫 𝒛𝒖Agora considerando (31). 9
  10. 10.  Miminizar ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖2 considerando que a norma ‖𝑇 𝑤𝑧 ‖∞ ≤ 𝟐𝟑. 𝟔%%Implementação de realimentação dinâmica de lmiterm([5 3 4 -D_c],Dw,Dz); % DwD_cDzsaída para norma H2 tendo que a norma de lmiterm([5 3 4 0],Dzw); % DzwHinf<=23.6 lmiterm([5 4 4 0],-gamma); % -(gama)*Iclear all lmis=getlmis;clc%% Definindo matrizes A, B, C e D c=mat2dec(lmis,eye(3),eye(3),eye(3),eye(3,1),eye(A = [0 10 2; -1 1 0; 0 2 -5]; 1,3),eye(1),eye(2))B = [0;1;0]; options=[1e-2,100,1e4,0,0]C = [0 1 0]; %Matriz C de desempenho [copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)Bw = [1 0 1]; %Com relação a perturbaçãoD = 0; Q_Optimo = dec2mat(lmis,xopt,Q);Dw = 2; X_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,X)Cz = [0 1 0; 0 0 1]; Y_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,Y)z = [0; 0]; A_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,A_c);Dzw = [0]; B_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,B_c); C_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,C_c);setlmis([]); D_c_Otimo = dec2mat(lmis,xopt,D_c);%% Declaracao das variaveisX = lmivar(1, [3 1]); %% Determinando das matrizes do controladorY = lmivar(1, [3 1]); dinamicoA_c = lmivar(1, [3 1]);B_c = lmivar(2, [3 1]); N = eye(3);C_c = lmivar(2, [1 3]); M = eye(3)-X_Otimo*Y_Otimo;D_c = lmivar(1,[1 1]); Dk=D_c_Otimo;Q=lmivar(1,[2 1]); Ck=(C_c_Otimo-Dk*C*X_Otimo)*inv(M);I = 1; Bk=inv(N)*(B_c_Otimo-Y_Otimo*B*Dk); Ak=inv(N)*(A_c_Otimo-N*Bk*C*X_Otimo-%% 1 LMI Y_Otimo*B*Ck*M-lmiterm([1 1 1 X],A,1,s)% A*X+X*A Y_Otimo*(A+B*Dk*C)*X_Otimo)*inv(M);lmiterm([1 1 1 C_c],B,1,s);% B*C_c+C_c*Blmiterm([1 2 1 A_c],1,1); % A_c %%%%Sistema em malha fechada com controladorlmiterm([1 2 1 0], A); % A dinamicolmiterm([1 2 1 -D_c], C, B); % (B*D_c*C) A_ = [A+B*Dk*C B*Ck; Bk*C Ak];lmiterm([1 2 2 Y],1,A,s);% Y*A+A*Y B_ = [Bw+B*Dk*Dw; Bk*Dw];lmiterm([1 2 2 B_c],1,C,s);% B_c*C+C*B_c C_ = [Cz+Dz*Dk*C Dz*Ck];lmiterm([1 3 1 0], Bw); % Bw D_ = [Dzw+Dz*Dk*Dw];lmiterm([1 3 1 -D_c], Dw, B);% (B*D_c*Dw) sys=ss(A_,B_,C_,D_)lmiterm([1 3 2 -Y],Bw, 1);% (Y*Bw)lmiterm([1 3 2 -B_c],Dw, 1);% (B_c*Dw) a=norm(sys,2) % função para determinar valor dalmiterm([1 3 3 0],-I); % -I norma H2 para um sistema%% 2 LMI a= 3.1144 %%% Valor da norma H2 minimizadalmiterm([-2 1 1 X],1,1);% Xlmiterm([-2 2 1 0],I); % Ilmiterm([-2 2 2 Y],1,1);% Ylmiterm([-2 3 1 X],Cz,1); % Cz*Xlmiterm([-2 3 1 C_c],Dz,1);% Dz*C_c O sistema em malha fechada é:lmiterm([-2 3 2 0],Cz); % Czlmiterm([-2 3 2 D_c],Dz,C);% Dz*D_c*Clmiterm([-2 3 3 Q],1,1); % Q 𝑋̇ 𝑐𝑙 𝐴 𝑐𝑙 𝑋 𝑐𝑙 𝐵 𝑐𝑙%% 3 LMI ⏞𝑿̇ ⏞𝐴 + 𝐁𝐷 𝑘 𝑩𝐶 𝑘 ⏞ ⏞𝑩 𝒘 + 𝐵𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 𝑿lmiterm([-3 1 1 X],1,1); % X>0 positiva definida [ ̇]= [ ][ ̇] + [ ] 𝑾 𝝃 𝐵𝑘 𝑪 𝐴𝑘 𝝃 𝐵𝑘 𝑫 𝒘%% 4 LMIlmiterm([-4 1 1 Y],1,1); % Y>0 positiva definida 𝐶 𝑐𝑙2 𝐷 𝑐𝑙2 𝑿%% 5 LMI 𝒁 𝟐 = ⏞ 𝒛𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑪 [𝑪 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐶 𝑘 ] [ ̇ ] + ⏞ 𝐳𝐰𝟐 + 𝑫 𝒛𝒖𝟐 𝐷 𝑘 𝑫 𝒘 ] 𝑾 [𝐃 𝝃lmiterm([5 1 1 X],A,1,s); % AX+XA Onde:lmiterm([5 1 1 C_c],B,1,s); % B*C_c+C_cBlmiterm([5 1 2 -A_c],1,1); % A_clmiterm([5 1 2 0],A); % A 0 10 2 0 0 0lmiterm([5 1 2 D_c],B,C); % B*D_c*C −1 −12.81 0 1.013𝑒 + 09 6.639𝑒 + 07 5.019𝑒 + 07lmiterm([5 1 3 D_c],B,Dw); % B*D_c*Dw 0 2 −5 0 0 0 𝑨 𝒄𝒍 =lmiterm([5 1 3 0],Bw); % Bw 0 131.1 0 −8.13𝑒 + 09 −5.33𝑒 + 08 −4.029𝑒 + 08lmiterm([5 1 4 X],1,Cz); % XCz 0 666.8 0 −4.137𝑒 + 10 −2.712𝑒 + 09 −2.05𝑒 + 09 [ 0 −3527 0 2.186𝑒 + 11 1.433𝑒 + 10 1.083𝑒 + 10 ]lmiterm([5 1 4 -C_c],1,Dz); % C_cDzlmiterm([5 2 2 Y],1,A,s); % YA+AYlmiterm([5 2 2 B_c],1,C,s); % B_c*C+CB1 1lmiterm([5 2 3 Y],1,Bw); % Y*Bwlmiterm([5 2 3 B_c],1,Dw); % B_c*Dw −27.62lmiterm([5 2 4 -D_c],C,Dz); % C*D_c*Dz 1lmiterm([5 2 4 0],Cz); % Cz 𝑩 𝒄𝒍 = 262.3lmiterm([5 3 3 0],-gamma); % -(gama)*I 1334 [ −7053] 10
  11. 11. 0 1 0 0 0 0 𝑸 − 𝑺𝑹−𝟏 𝑺′ > 0 𝑪 𝒄𝒍 = [ ] 0 0 1 0 0 0 Obtém-se: 0 𝑫 𝒄𝒍 = [ ] 0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷 [ ]>0 (52) 𝑷𝐴 𝑑 𝑷6 EXERCÍCIO 6 Agora considerando as seguintes matrizes: Determine uma condição LMI que permita a síntese 𝑋 𝐼de uma realimentação dinâmica de saída estabilizante 𝝅𝟏 = [ ] (53) 𝑀′ 0para o caso discreto no tempo. 𝐼 𝑌 𝝅𝟐 = [ ] (54)Considere o sistema discreto dado por: 0 𝑁′ Agora pré e pós multiplicando todos os elementos 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] = 𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (47) por 𝝅𝟏′ e 𝝅𝟏, obtém-se que: O sistema (47) é assintoticamente estável se ∃𝑃 = 𝜋′1 0 𝑷 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0𝑃 ′ > 0 tal que: [ ][ ][ 0 𝜋1 ]>0 0 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝑷 𝑃 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 0 (48) 𝜋′1 𝑷 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷 𝜋1 0 [ ][ ]>0 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋′1 𝑷 0 𝜋1Nós podemos observar que (48) não é uma LMI. 𝜋′1 𝑷𝜋1 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝑷𝜋1 [ ]>0 (55)Então seja: 𝜋′1 𝑷𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝑷𝜋1 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) = 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] (49) Agora considerando:O teorema de Lyapunov discreto é definido por: 𝝅′𝟏 𝑷 = 𝝅 𝟐 ′Se: 𝑷𝝅 𝟏 = 𝝅 𝟐 Então (55) fica: 𝚫𝑽(𝒙 𝒄𝒍 [𝒌]) = 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]) − 𝑉(𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) < 0 (50) 𝜋′1 𝜋2 𝜋′1 𝐴 𝑑 ′𝜋2 [ ]>0 (56) 𝜋′2 𝐴 𝑑 𝜋1 𝜋′1 𝜋2 Então o sistema é A.E. Agora reescrevendo (50) apartir de (49). Agora fazendo substituição de (53) e (54) em (56): 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘 + 1] − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′ 𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0 𝑋 𝐼 𝝅′𝟏 𝝅 𝟐 = [ ] (57) 𝐼 𝑌Agora a partir de (47): ̂ ̂ 𝝅′𝟐 𝐴 𝑑 𝝅 𝟏 = [ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 ] (58) ̂𝑨 𝑌𝐴 + ̂ 𝐶 𝑩 ((𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘])′𝑷(𝐴 𝑑 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]) − 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′𝑷𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′ 𝑪 ̂′ 𝑨 𝝅′𝟏 𝐴 𝑑 ′ 𝝅 𝟐 = [ ̂ ̂] (59) (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ 𝑌 + 𝐶′𝑩 𝑥 𝑐𝑙 [𝑘]′(𝐴 𝑑 ′𝑷𝐴 𝑑 − 𝑷)𝑥 𝑐𝑙 [𝑘] < 0 Onde ̂ , ̂ , ̂ 𝑒 ̂ são definidas em (36). 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫Se: 𝑷 − 𝐴′𝑑 𝑷𝐴 𝑑 > 𝟎 (51) Agora fazendo substituição de (57), (58) e (59) emEntão 𝚫𝑽(𝒙) < 0 (56), nós podemos definir a LMI que permite a síntese de uma realimentação dinâmica de saída estabilizante para Agora aplicando complemento de Schur em (51), o caso discreto no tempo.o qual está definido da seguinte maneira: 𝑋 𝐼 𝑋𝐴′ + ̂ 𝐵′ 𝑪 ̂′ 𝑨 𝑸 𝑺 𝐼 𝑌 ̂ (𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶)′ 𝐴′ ̂ 𝑌 + 𝐶′𝑩 [ ]>0 >0 𝑺′ 𝑹 ̂ ̂ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑪 𝐴 + 𝐵𝑫 𝐶 𝑋 𝐼 [ ̂𝑨 𝑌𝐴 + 𝑩̂𝐶 𝐼 𝑌 ]Considerando: É uma LMI em 𝑿, 𝒀, ̂ , ̂ , ̂ e ̂ . 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑹>0 11
  12. 12. 7 REFERÊNCIAS[1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB[2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino[3] Linear Quadratic Control, Peter Dorato and Chaouki Abdallah 12

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