Edo paula utfpr

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  1. 1. Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA Profa Paula Francis Benevides
  2. 2. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 1 AULA 01 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1 – INTRODUÇÃO: Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas; b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza; d) o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: é possível escrever: dy = f(x).dx que se denomina equação diferencial. f) uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral. 1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. As equações diferenciais da forma ( )yfy =′ são chamadas de autônomas. Exemplos: 1) 13 −= x dx dy 2) 0=− ydxxdy 3) 2 2 3 2 0 d y dy y dxdx + + = 4) 2 "' 2( ") ' cosy y y x+ + =
  3. 3. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 2 5) 2 3 2 ( ") ( ') 3y y y x+ + = 6) 2 2 2 2 2 z z x y x y ∂ ∂ + = + ∂ ∂ 7) z z z x x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1.2 - Classificação: Havendo uma só variável independente, como em (1) a (5), as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária. Havendo duas ou mais variáveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. 1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As equações (1), (2) e (7) são de primeira ordem; (3), (5) e (6) são de segunda ordem e (4) é de terceira ordem. 1.2.2 - Grau: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau. As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. Exemplos: 1 3 33 3 =− dx yd y dx yd x ⇒ 3 32 3 3 dx yd y dx yd x =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒ 3a ordem e 2o grau yx dx dy =− 2 lnln ⇒ y x dx dy =2 ln ⇒ y e dx dy x =. 1 2 ⇒ y ex dx dy 2 = ⇒ 1a ordem e 1o grau Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto a ordem e grau. 1.3 – Origem das Equações Diferenciais: Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 4 y x Cx= + ou 2 y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um número menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva.
  4. 4. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 3 Exemplos: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: a) 6 2 3 2 +−= x x y b) y = C1 sen x + C2 cos x c) y = Cx2 d) y = C1 x2 + C2
  5. 5. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 4 e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes f) y = C1 e3x + C2 e- 2x AULA 01 – EXERCÍCIOS 1) x2 + y2 = C2 2) y = C ex 3) x3 = C (x2 – y2 ) 4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 5) y = (C1 + C2x) ex + C3 6) y = C1 e2x + C2 e- x 7) ay y x Lg += 1 8) x2 y3 + x3 y5 = C 9) y = Ax2 + Bx + C 10) y = Ae2x + Bex + C 11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 12) ln y = Ax2 + B Respostas: 1) 0=+ ydyxdx 2) 0=− y dx dy 3) dx dy xyxy 23 22 =− 4) 042 2 =+ y dx yd 5) 02 2 2 3 3 =+− dx dy dx yd dx yd 6) 022 2 =−− y dx dy dx yd 7) 0ln =−⋅ y dx dy y x x 8) 2 2 3 3 5 0 dy dy y x xy y x dx dx ⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9) 3 3 0 d y dx = 10) 023 2 2 3 3 =+− dx dy dx yd dx yd 11) 3 2 3 2 6 11 6 0 d y d y dy y dxdx dx − + − = 12) 2 " ' ( ') 0xyy yy x y− − =
  6. 6. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 5 AULA 02 1.4 - Resolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. 1.5 - Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial. Exemplo: x dx dy 2= 1.6 – Tipos de Solução: Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno.Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. As soluções ainda podem ser: Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) é chamada solução explícita. Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 trata-se de uma solução implícita
  7. 7. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 6 Exemplo: Consideremos a resolução da seguinte EDO: x dx dy += 1 ( ) cxxy dxxdy ++= += ∫∫ 2 3 3 2 1 A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita. Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: 2 2 xxy y dx dy − = tem como solução: x y Cey = , ou seja, uma solução implícita. 1.7 - Existência e unicidade de solução para uma EDO Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características. Teorema: Considere o problema de valor inicia ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+ 00 )( )()( yxy xqyxp dx dy Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções. 1.8 - Problemas de Valor Inicial (PVI) Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominada Problema de Valor Inicial (PVI). Exemplo: ex y' + 2y = arctan(x) y(0) = π Se forem conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.
  8. 8. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 7 2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de 1a ordem e 1o grau: ),( yxF dx dy = ou 0=+ NdyMdx em que M = M(x,y) e N = N(x,y). Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 2.1 – TIPOS DE EQUAÇÃO: 2.1.1 - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Se a equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 puder ser colocada na forma P(x).dx + Q(y).dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. Resolução: ∫ ∫ =+ Cdy).y(Qdx).x(P Exemplos: Resolver as seguintes equações: 1) 13 −= x dx dy 2) y dx – x dy = 0
  9. 9. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 8 3) 0 4 = − − dy y x xdx 4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx 5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx
  10. 10. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 9 6) xyx y dx dy )1( 1 2 2 + + = 7) 2 2 1 1 x y dx dy + + = AULA 02 – EXERCÍCIOS 1) 0. 1 =− dx dy tgy x 2) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 4) xy dx – (1 + x2 ) dy = 0 5) 42 2 + = − x e dx dy y 6) (1 + x2 ) y3 dx + (1 – y2 ) x3 dy = 0 7) dx dy xyy dx dy xa =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 9) (x2 + a2 )(y2 + b2 )dx + (x2 – a2 )(y2 – b2 )dy = 0 10) (x – 1) dy – y dx = 0 11) (1 + x2 )dy – xydx = 0 12) 0cos =+ xy dx dy Respostas: 1) x cos y = C 2) C y x =−+ 1 )1ln(2 2 3) (2 + y)(3 – x) = C 4) C y2 = 1 + x2 5) C x arctge y =− 2 2 6) C yxy x =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− 22 11 2 1 ln 7) y y k a a ex + = ln 2 8) tg x . tg y = C 9) C b y barctgy ax ax ax =−+ + − + 2ln 10) y = c(x – 1) 11) Cxy .1 2 += 12) senx e K y =
  11. 11. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 10 AULA 03 2.1.2 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈ R, vale a relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈ R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y) Exemplos: 1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2. 2) 2 2 ),( y x yxg = e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y arctgyxh ),( são funções homogêneas de grau 0 Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função possuem o mesmo grau. No caso de uma função racional (quociente de polinômios), os membros do numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominador devem também ter um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do denominador pode ser menor ou igual que o grau da expressão do numerador. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal y’ = f(x, y) é dita homogênea se ),( yxff = é uma função homogênea de grau zero. Exemplos: 1) xy yx dx dy 22 + = 2) 2 2 ' y x y = 3) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y arctgy' Resumindo, As equações homogêneas são as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são funções homogêneas em x e y e do mesmo grau. 2.1.2.1 – Resolução: Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 Tem-se: N M dx dy −= Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y F dx dy (1) É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as variáveis.
  12. 12. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 11 Dessa forma, substitui-se x y por u. uxy .= (2) Derivando y=x.u em relação a x tem-se dx du xu dx dy += (3) Substituindo (2) e (3) em (1), temos: x dx uuF du uuF dx du x uF dx du xu = − −= =+ )( )( )( Que é uma equação de variáveis separáveis. Em resumo: Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x,y) pode ser transformada em uma equação separável. Exemplos: 1) (x2 – y2 ) dx – 2xy dy = 0
  13. 13. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 12 AULA 03 – EXERCÍCIOS 1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 3) (x2 + y2 ) dx + (2x + y)y dy = 0 4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 5) (x2 + y2 ) dx – xy dy = 0 6) 044 2 2 2 2 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dy yxy dx dy y 7) Determinar a solução particular da equação (x2 – 3y2 )dx + 2xydy = 0 para y = 1 e x = 2. Respostas: 1) y2 + 2xy – x2 = K 2) Kyyxx =−− 22 422 3) y3 + 3xy2 + x3 = k 4) x y arctgyxC =+ 22 1ln 5) 2 2 2 x y kex = 6) Cxyx =±− 23 22 7) xxy 8 3 1−=
  14. 14. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 13 AULA 04 2.1.3 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS DE VARIÁVEIS SEPARADAS; São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. São equações da forma: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ++ = 222 111 cybxa cybxa F dx dy onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de eixos. Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: 2.1.3.1 – O determinante 22 11 ba ba é diferente de zero Resolução: Seja o sistema (1) ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 0 0 222 111 cybxa cybxa cuja solução é dada pelas raízes x = α e y = β . A substituição a ser feita será: ⎩ ⎨ ⎧ =∴+= =∴+= dvdyvy dudxux β α Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ( βα, ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma vez eu o determinante considerado é diferente de zero. Assim sendo, a equação transformada será: x y u v P
  15. 15. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 14 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++ ++++ = 22222 11111 cbavbua cbavbua F du dv βα βα Como α e β são as raízes do sistema: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = vbua vbua F du dv 22 11 que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. Exemplos: Resolver a equação 23 132 −+ −− = yx yx dx dy
  16. 16. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 15 2.1.3.2 – O determinante 22 11 ba ba é igual a zero. Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as retas no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. Como 22 11 ba ba = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode escrever: a1b2 = a2b1 ∴ 1 2 1 2 b b a a = (1) Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: 1 2 1 2 1 2 c c m b b a a ≠== a2 = ma1 b2 = mb1 Assim: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ++ = 211 111 )( cybxam cybxa F dx dy Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se: )( 1 1 1 xat b y −= Derivando em relação a x: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 1 1 1 a dx dt bdx dy Equação transformada: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 1 1 cmt ct Fa dx dt b )(11 tGba dx dt =− que é uma equação de variáveis separáveis. Exemplo: Resolver a equação 136 12 −− +− = yx yx dx dy
  17. 17. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 16 Aula 04 – Exercícios 1) (2x – 3y)dx – (3x – y -1)dy = 0 2) (x + 2y – 4)dx – (2x + y -5)dy = 0 3) (3y + x)dx + (x + 5y – 8)dy = 0 4) (2x + 3y -1)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0 5) yx yx dx dy ++ −− = 1 331 Respostas: 1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 3) ln[5(y – 4)2 + 4(x + 12)(y – 4) + (x + 12)2 ] – 2 arctg ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − 2 12 )4(5 x y = K 4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 5) 3x + y + 2ln(-3x – 3y + 3) = K
  18. 18. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 17 AULA 05 2.1.4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS: Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja diferencial dada por: dy y u dx x u du ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2). Então, comparando (1) e (2) teremos: ),( yxM x u = ∂ ∂ (3) e ),( yxN y u = ∂ ∂ (4). Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), em relação à variável x, da qual teremos ∫ += )(),(),( ygdxyxMyxf (5). Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: )(' ),( yg y dxyxM y f + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ (6). Igualando (6) e (4) resulta: ),()(' ),( yxNyg y dxyxM =+ ∂ ∂∫ . Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: 1 ),( ),()( Cdy y dxyxM yxNyg + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −= ∫ ∫ (7). Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: Cdy y dxyxM yxNdxyxMyxf = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −+= ∫ ∫ ∫ ),( ),(),(),( . Logo, a solução é da forma ∫ ∫ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −+= Cdy y P NMdxyxU ),( onde costuma-se denotar ∫= MdxP
  19. 19. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 18 Exemplos: 1) (x2 – y2 )dx – 2xy dy = 0 2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0
  20. 20. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 19 AULA 05 – EXERCÍCIOS 1) (x3 + y2 ) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 2) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 3) 2xy dx + x2 dy = 0 4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 5) 0)( 22 =−− θθ drrdre 6) 2222 yxy xdy y dy yx dx + =+ + Respostas: 1) Ksenyxy x =++ 2 4 4 2) Cyxey =− 2 3) x2 y = K 4) coshxcosy = K 5) Kre =− 22θ 6) Kyxx =++ 22
  21. 21. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 20 AULA 06 2.1.4.1 – FATOR INTEGRANTE: Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: x N y M ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ . Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED exata. Se ela é exata, existe u(x, y) = cte e MF dx u .= ∂ e NF dy u .= ∂ e FN x FM yx N y M yx u ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂∂ ∂2 Tomando a condição de exatidão FN dx FM y ∂ = ∂ ∂ F x N N x F F y M M y F ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ e achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor então que F(x,y) = F(x) x N FN x F y M F ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ dividindo tudo por FN ≠ 0 e organizando, temos: x N Nx F Fy M N ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ 111 x N Ny M Nx F F ∂ ∂ ⋅− ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ 111 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ x N y M Nx F F 11 reescrevendo: dx x N y M N dF F ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅= 11 integrando: ∫ += CdxxRF )(ln ∫= dxxR exF )( .)( onde: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = x N y M N xR 1 )( analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: ∫= dyyR eyF )( .)( onde: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ −= x N y M M xR 1 )(
  22. 22. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 21 Em resumo: Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, x N y M ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ , mostra-se que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. F(x): F(y): ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = x N y M N xR 1 )( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ −= x N y M M yR 1 )( ∫= dxxR exF )( )( ∫= dyyR eyF )( )( Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator integrante. 1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
  23. 23. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 22 2) (x2 – y2 ) dx + 2xy dy = 0 AULA 06– EXERCÍCIOS 1) (2cos y + 4x2 ) dx = x sen y dy 2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 3) seny dx + cos y dy = 0 Encontre a solução particular em: 4) 2xy dy = (x2 + y2 ) dx para y(1) = 2 Respostas: 1) x2 cos y + x4 = C 2) Ctgyex = 2 3) Ceseny x =. 4) xxy 32 +=
  24. 24. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 23 AULA 07 2.1.5 – EQUAÇÕES LINEARES: Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma: )()( xQyxP dx dy =+ (1) Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) ≠ 0, a equação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber: 1o Método: Fator Integrante: Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de nosso problema: QPy dx dy =+ Vamos reescrever esta última sob a forma 0)( =+− dydxQPy Multiplicando ambos os membros por ∫ Pdx e (fator integrante) obtemos a expressão ( ) 0=∫+−∫ dyedxQPye PdxPdx . Aqui, identificamos as funções “M” e “N”: ( )QPyeM Pdx −∫= e ∫= Pdx eN Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: ∫= ∂ ∂ Pdx Pe y M e ∫= ∂ ∂ Pdx Pe x N confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.
  25. 25. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 24 2o Método: Substituição ou de Lagrange: Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (matemático francês: 1736- 1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) e Z= )(xψ , sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. Derivando em relação a x, tem-se: dx dZ t dx dt Z dz dy += (2) Substituindo (2) em (1) vamos obter: QPZt dx dZ t dx dt Z =++ Q dx dZ tPt dx dt Z =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + (3) Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber: i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy += ∫ (4) ii) Q = 0, então 0=+ Py dx dy (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de variáveis separáveis. Daí, 0=+ Pdx y dy . Integrando essa última, resulta em ∫−= PdxCyln . Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução ∫=∫= −− PdxCPdxC eeey . Fazendo C ek = , temos ∫= − Pdx key (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta. Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez que y=Z.t, teremos a solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado a partir desta condição. Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0=+ Pt dx dt (6), que é da mesma forma já estudada no caso ii. Assim, ∫= − Pdx ket . Substituindo este resultado em Q dx dZ t = obtemos Q dx dZ ke Pdx =∫− . Daí, Qe kdx dZ Pdx∫= 1 e Qdxe k dZ Pdx∫= 1 . Integrando este último resultado, temos CQdxe k Z Pdx +∫= ∫ 1 (7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo “t” e “Z”: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +∫∫= ∫ − CQdxe k key PdxPdx 1 , onde resulta, finalmente em: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +∫∫= ∫ − CdxQeey PdxPdx .. (8) que é a solução geral da equação (1)
  26. 26. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 25 Exemplos: 1) Resolver a equação 2−=− x x y dx dy por: a. Fator integrante b. Lagrange
  27. 27. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 26 AULA 7 – EXERCÍCIOS 1) 0 cot =−+ x gx x y dx dy 2) arctgxy dx dy x =++ )1( 2 3) xytgx dx dy cos. += 4) x x y dx dy =− 5) 32 x x y dx dy =+ 6) senxytgx dx dy =− 7) Achar a solução particular para y = 0 e x=0 em x ytgx dx dy cos 1 =− Respotas: 1) [ ]Csenx x y += )ln( 1 2) arctgx eCarctgxy − +−= .1 3) xCxsenxy sec2 4 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 4) 2 xCxy += 5) 2 4 6 1 x C xy += 6) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += C xsen xy 2 sec 2 7) x x y cos =
  28. 28. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 27 AULA 08 2.1.6 – EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existem algumas delas que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os principais tipos de tais equações são: 2.1.6.1 – EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: n yxQyxP dx dy )()( =+ (1) para 1≠n e 0≠n Onde P(x) e Q(x) são funções continuas. Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, de modo a transformá-la em uma EDO linear. Pois, se: n = 0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior n = 1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea Solução: Transformação de variável: Substitui por ty n =−1 Deriva-se em relação a x: dx dt dx dy yn n =− − )1( (2) Substituindo (1), que é: n QyPy dx dy =+ ⇒ PyQy dx dy n −= em (2) temos: ( ) dx dt PyQyyn nn =−− − )1( ( )( ) dx dt PyQn n =−− −1 1 como ty n =−1 , temos: dx dt PtQn =−− ))(1( QntPn dx dt )1(])1[( −=−+ Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior.
  29. 29. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 28 Exemplos: 1) 2 3 2 xy x y dx dy =−
  30. 30. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 29 AULA 08 – EXERCÍCIOS 1) 33 yxxy dx dy =+ 2) xyy dx dy x ln2 =+ 3) 33 yxy dx dy x =+ 4) yxy xdx dy += 4 5) 02 2 =+− xy dx dy xy 6) 3 2 xyxy dx dy =− Respostas: 1) 2 .1 1 2 x eCx y ++ = 2) Cxex y + = ).ln( 1 3) 1.2 2223 =+− yxCyx 4) 2 4 ln 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += Cxxy 5) x C xy ln.2 = 6) Ke e y x x + −= 2 2 2 2 2 2
  31. 31. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 30 AULA 09 2.1.6.2 – EQUAÇÃO DE RICCATI: A equação de Jacopo Francesco Riccati (matemático italiano 1676 – 1754) é da forma )()()( 2 xRyxQyxP dx dy ++= (1) onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação linear e, quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Liouville (matemático francês) mostrou que a solução da equação de Riccati só é possível quando se conhece uma solução particular y0. Caso contrário, ela só é integrável através de uma função transcendente. Resolução: Admitindo-se uma solução particular y0 da equação (1) e fazendo y = y0 + z (2), onde “z” é uma função a ser determinada. Como y0 é solução, temos RQyPy dx dy ++= 0 2 0 0 (3) Por outro lado, derivando (2) tem-se: dx dz dx dy dx dy += 0 (4) Substituindo (2) e (4) na equação (1) : RzyQzyP dx dz dx dy ++++=+ )()( 0 2 0 0 Desenvolvendo e agrupando os termos: RQyPyzQPyPz dx dz dx dy +++++=+ 0 2 00 20 )2( (5) Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em: 2 0 )2( PzzQPy dx dz =+− (6) que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida. Em resumo: Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 qualquer de (1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente R(x) transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli.
  32. 32. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 31 Exemplo: Mostrar que y = - x é solução particular da equação ( ) 0121 223 =++++ yxxy dx dy x e procurar a solução geral.
  33. 33. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 32 AULA 09 – EXERCÍCIOS 1) Verificar se y = x é solução particular da equação 32 2 =++ x y x y dx dy . Em caso afirmativo, calcular a solução geral 2) Mostrar que x y 1 = é solução particular da equação 2 2 2 x y dx dy −= e calcular a sua solução geral. 3) Sabendo que y = 1 é solução particular da equação 1)12( 2 −=−−+ xxyyx dx dy calcular a sua solução geral. 4) Calcular a solução da equação 1 1 12 1 2 −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= xy x y xdx dy sabendo que y = x é solução particular. 5) Dar a solução geral da equação 0232 =+++ yy dx dy sabendo que y = - 1 é solução particular. Resposta 1) 1 3 4 5 − + = Kx xKx y 2) kx x x y + −= 3 2 31 3) Cxe Cxe y x x +− +− = )1( )2( 4) 2 32 2 xk xxkx y − −+ = 5) 1 2 − − = x x Ce Ce y
  34. 34. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 33 AULA 10 3 – EQUAÇÕES DE 1a ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 3.1 – Envoltórias e Soluções Singulares: 3.1.1 – Envoltória de uma Família de Curvas: Seja f(x,y,α )=0 uma família de curvas dependentes do parâmetro “α ”. Define-se como envoltória a curva que é tangente a toda a linha que constituem a família de curvas. Pode-se existir uma ou mais envoltórias para uma mesma família de curvas, como também poderá não haver nenhuma. As curvas que forma a família são chamadas envolvidas. Geralmente, a envoltória é definida pelo sistema ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = 0 ),,( 0),,( α α α yxf yxf ...(1), cuja equação pode ser obtida pela eliminação do parâmetro α em (1). Também podemos obter a equação da envoltória sob a forma paramétrica, resolvendo o sistema para x e y. Logo: Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação diferencial. Envoltória: Tomando-se como exemplo a família de curvas dependentes de um parâmetro f(x,y,α )=0, define-se como envoltória a curva que é tangente a todas as linhas que constituem a família. Envolvida: É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução particular da equação. Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltórias para uma mesma família, como também poderá não haver nenhuma. Por exemplo, uma família de circunferências concêntricas não apresenta envoltória. Não há envoltória
  35. 35. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 34 e → envolvidas de equação f(x, y, α ) = 0 E → envoltória Exemplo: Obter a envoltória de uma família de circunferência com centro sobre o eixo x e raio igual a 5. e e e E F(x,y,C(x,y))=0
  36. 36. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 35 3.1.2 – Soluções Singulares: Uma equação diferencial não linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa 0,, =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dy yxF Foi visto que uma equação diferencial pode apresentar três tipos de solução: - geral - particular - singular (eventualmente) A solução geral é do tipo F(x,y,C)=0, que representa uma família de curvas (curvas integrais), a cada uma das quais está associada uma solução particular da equação dada. A envoltória dessa família de curvas (caso exista) representa a solução singular da equação original. De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas (xo,yo) da envoltória e da curva integral corresponde a dyo/dxo. Além disso, tem-se que os elementos xo, yo e dyo/dxo de cada ponto da envoltória satisfazem à equação acima, pois são elementos de uma curva integral. Portanto, a envoltória é uma solução da equação que não resulta da fixação da constante C, e por esta razão, é uma solução singular. Exemplo: Determinar a solução geral e a solução singular da equação 2 22 x dx dy x dx dy y +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
  37. 37. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 36 AULA 10 – EXERCÍCIOS 1) Dar a envoltória das seguinte famílias de curvas: a) α α 1 4 2 += xy b) 0)2(2 222 =++++ αα yyx 2) Determinar a envoltória de um segmento de reta cujas extremidades descrevem 2 retas perpendiculares. 3) Obter a solução singular da equação 12 2 2 =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ y dx dy y 4) Achar a solução geral e a solução singular da equação: 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− dx dy dx dy xy Respostas: 1) a ) y3 = 27x b) x2 + 4y = 0 2) 3 2 3 2 3 2 l=+ yx (astróide) 3) y = ± 1 4) y = Cx + c2 (solução geral) 4 2 x y −= (solução singular)
  38. 38. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 37 AULA 11 3.2 – EQUAÇÃO DE CLAIRAUT: A Equação de Clairaut (Aléxis Claude Clairaut – matemático francês: 1713 – 1765) tem a forma ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += dx dy dx dy xy φ . Resolução: Chamando p dx dy = a equação de Clairaut fica ( )pxpy φ+= . (1) Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: dx dp pp dx dp x dx dy )('1. φ++= ( ) 0)(' =+ px dx dp φ (2) 0= dx dp ∴ Cp = A solução geral é dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C Assim, )(CCxy φ+= é a solução geral da equação de Clairaut (família de retas) De (2), tem-se: 0)(' =+ px φ (3) xp −=∴ )('φ Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relação F(x,y)=0 que representa a solução singular. Exemplos: Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut: 0 2 =+−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ y dx dy x dx dy
  39. 39. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 38 AULA 11 – EXERCÍCIOS Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut: 1) dx dy dx dy xy ln−= 2) 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− dx dy dx dy xy 3) 01 23 =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dy y dx dy x 4) 045 =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− y dx dy x dx dy 5) 2 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= dx dy dx dy xy Respostas: 1) y= Cx – lnC (geral) y = 1 + lnx (singular) 2) y = Cx + 3C2 (geral) x2 = -12y (singular 3) 2 1 C Cxy += (geral) 4y3 = 27x2 (singular) 4) C(5 – y + xC) + 4 = 0 (geral) (y – 5)2 = 16x (singular) 5) 2 4 CCxy ++= (geral) 2 22 2 1 )1(4 x x y − ± =
  40. 40. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 39 AULA 12 3.3 – EQUAÇÃO DE LAGRANGE: A equações da Lagrange tem a forma ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx dy dx dy xFy φ ...(1). Observamos que a equação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange, se dx dy dx dy F =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . Resolução: A solução da equação de Lagrange, geralmente é dada sob a forma paramétrica. Chamando p dx dy = a equação de Lagrange fica ( )ppxFy φ+= )( . Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: dx dp p dx dp pxFpFp )(')(')( φ++= dx dp p dx dp pxFpFp )(')(')( φ=−− Multiplicando por dp dx e dividindo por [p – F(p)], tem-se: )( )(' )( )(' pFp p x pFp pF dp dx − = − − φ De onde se pode escrever QPx dp dx =+ Como em geral não será possível isolar p na solução da equação linear anterior, a solução geral da equação de Lagrange será dada na forma paramétrica: ⎩ ⎨ ⎧ = = )( )( pyy pxx Exemplo: Resolver a equação 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += dx dy x dx dy y
  41. 41. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 40 AULA 12 - EXERCÍCIOS 1) dx dy dy dx xy −= 2) dx dydx dy xy 1 2 += 3) 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= dx dy x dx dy xy Respostas: 1) [ ] ( )[ ]⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−−+ − −= −−+ − −= pCpp p y Cpp p p x 1ln 1 1 )1ln( 1 2 2 2 2 2) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = + = 2 ln ln2 p Cp x p Kp y 3) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −= = C p C y p C x 2
  42. 42. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 41 AULA 13 3.4 – Outros tipos de equação de 1a Ordem e grau diferente de um: Resolver as seguintes equações: a) 2 2 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += dx dy xy b) dx dy dx dy senx ln+=
  43. 43. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 42 3.5 – Equações de ordem superior a primeira: Resolver a equação: 0)1( 2 2 =++ dx dy dx yd x
  44. 44. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 43 AULA 13 – EXERCÍCIOS 1) 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+= dx dy dx dy y 2) dx dy e dx dy y . 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3) dx dy dx dy y ln2 2 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4) dx dy dx dy y ey 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 5) 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += dx dy dx dy y dx yd y 6) xe dx yd x 2cos2 2 2 += 7) 2 2 2 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− dx dy dx yd 8) 02 2 2 =+ yk dx yd Respostas: 1) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −+= carcsenppx ppy ln 1 2 2) ⎩ ⎨ ⎧ +++= += cppsenppy psenpx cos ln 3) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= += c p px ppy 2 2 ln22 4) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ + = c y p arctgyp p py x 22 22 ln 2 ln 5) 2 11 ln 1 Cx Cy y C +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 6) 21 2 2cos 4 1 4 1 CxCxey x ++−= 7) [ ] 21 )22(ln CCxseny ++= 8) ( )kxsenkCkCsenkx k C y coscos. 2 22 1 +=
  45. 45. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 44 AULA 14 4 - EXERCÍCIOS GERAIS Calcule as Equações Diferenciais abaixo: 1) 0)2(3 =−− dyyxydx 2) 0 2 =+ − dyyexdx x 3) 0)1( 2 =−− dxydyx 4) 0coscos2 =⋅+⋅ xdysenysenxdxy 5) )cos( yx dx dy += 6) 0)()(2 22 =+++ dyyxdxyxx 7) dxyxydxxdy 22 +=− 8) 0)( 22 =−+− xydydxyxyx 9) 0)2( =−+ dyxxyydx 10) 0)52()42( =+−++− dxyxdyyx 11) 342 12 ++ ++ = yx yx dx dy 12) 0)139()23( =+−++− dyyxdxyx 13) 0 1 2)cos()cos( =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + dy y xxyxdx x y xyy 14) 0 32 4 22 3 = − + dy y xy dx y x 15) 0)46()63( 3222 =+++ dyyyxdxxyx 16) yxy xyx dx dy 2 2 + + −= 17) 0)cos1()1( =−++ dyxdxysenx 18) 0)2.(sec).(sec =+−+− dyxtgyydxytgxx 19) 0)cos2( 2 =−− senydyxdxeyx x , determinar a solução particular para x = 0. 20) dxexydxxdy x2 =− 21) 02 =−+ xdyydxdyy 22) 0)ln( 3 =−+ dyxydx x y 23) Achar a solução particular para y = b e x = a em 0=−+ x ey dx dy x 24) 0)32(2 =+− dyxydxy 25) 2 2 2 y x y dx dy =+ 26) dxyyxdy )1( 2 += 27) 22 )1( xyxy dx dy x +=− 28) Conhecendo-se a solução particular y = ex da equação xx eyye dx dy 22 )21( −=++− calcular sua solução geral. Calcular a solução geral e a singular das seguintes equações: 29) 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= dy dx dx dy xy 30) 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= dx dy dx dy xy 31) dx dy dx dy xy += 32) dx dy sen dx dy xy += Resolver as seguintes equações de Lagrange: 33) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= dx dy x dx dy y 2 2 1 34) 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += dx dy dx dy xy
  46. 46. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 45 Respostas: 1) )ln(126 2 Cyxy =− 2) 22 2 Cey x =+ 3) 1)1(ln =− xCy 4) Cyx =+ secsecln 5) Cxyxgyx +=+−+ )(cot)sec(cos 6) Cyyxx =++ 323 32 7) 222 yxCxy +−= 8) C X y xy =+− )ln( 9) Cy y x =+ ln 10) )3()1( 3 +−=−+ yxCyx 11) Cxyyx =−+++ 48)584ln( 12) )126ln(62 +−=++ yxCyx 13) Cyxyxysen =++ ln2)( 14) C yy x =− 1 3 2 15) Cyyxx =++ 4223 3 16) Cyyx =++ 222 )1( 17) Cxyyx =−+ cos 18) Cx)-y(2secysecx =++ 19) 1cos2 −=− x eyx 20) x xeCxy += 21) Cyxy =+2 22) Cyyx =+ 3 ln2 23) x eabe y ax −+ = 24) y Cyx 12 −= 25) 0122 =−+ xyyCx 26) 2 2 2 xC x y − = 27) 11 1 2 −− = xC y 28) 1 2 − −+ = x xxx Ce eCeCe y 29) 23 2 4 27 1 xy C Cxy −= −= 30) 2 2 2 1 )1( 1 x x y CCxy − +± = ++= 31) CCxy += Não há solução singular 32) 2 1arccos xxxy senCCxy −+= ++ 33) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −−= −= − 22 1 2 1 2( 6 1 )( 3 1 pCpy pCpx 34) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = −= p pC y p p C x 3 2 3 2 3 3 2
  47. 47. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 46 AULA 15 5 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 5.1 - MODELO MATEMÁTICO: É freqüentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos é construída levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populações animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento radioativo de uma substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta. A construção de um modelo matemático de um sistema começa com: i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa, estamos especificando o nível de resolução do modelo. A seguir, ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema. Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um modelo de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de Física, a força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujo trabalho é predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em conta a resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra. Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvê-lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém, se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As etapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama:
  48. 48. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 47 Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita. Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro. 5.2 – DINÂMICA POPULACIONAL: Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio de matemática foi feito pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idéia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um pais cresce em um determinado instante é proporcional a população total do pais naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por: kx dt dx = , 00 )( xtx = kt exx .0= (1) onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos envolvendo crescimento ou decaimento. Conhecendo a população em algum instante inicial arbitrário t0, podemos usar a solução de (1) para predizer a população no futuro, isto é, em instantes t > t0. O modelo (1) para o crescimento também pode ser visto como a equação rS dt dS = , a qual descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente. Exemplo: Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Resolução: x(to) = x0 x(t1) = 2 3 xo kx dt dx = ∫ ∫= kdt x dx lnx = kt + c lnx – ln c = kt ln c x = kt ekt = c x x = c.ekt para t = 0 x(0) = x0 x0 = ce0 x0 = c ∴ x = x0.ekt
  49. 49. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 48 Para t = 1 x(1) = 2 3 x0 x = x0.e0,4055.t 1. 00 . 2 3 k exx = 3x0 = x0.e0,4055.t 2 3 =k e ln3 = ln e0,4055.t ek = 1,5 0,4055t = 1,0986 ln1,5 = k t = 2,71 horas k = 0,4055 5.3 - MEIA VIDA: Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia- vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. Por exemplo, a meia do ultra-radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopo de urânio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206. A.K dt dA = (2) A(0) = A0 2 )( 0A tA = kt eAA .0= Exemplo: Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectado que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desse isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente. Resolução: t = 0 → A0 t = 15 → A0 – 0,043%A0 99,957%A0 0,99957A0 kA dt dA = ∫ ∫= kdt A dA ln A = kt + c kt c A =ln kt e c A = A = c.ekt se t = 0 A(0) = A0 A0 = c.e0 C = A0
  50. 50. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 49 A(t) = A0.ekt A(15) = A0.e15k A(t) = 2 0A 0,99957 A0 = A0.e15k t eAtA 5 10.8867,2 0 .)( − − = Ln0,99957 = ln e15t 00002867,0 0 0 . 2 − = eA A -0,00043 = 15 k t e 00002867,0 2 1 − = K = - 2,8667.10- 5 -0,6931 = - 0,00002867t t = 24,180 t ≅ 24,180 anos 5.4 – DECAIMENTO RADIOATIVO: O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância. Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. Para modelar o fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de dA/dt segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional a quantidade (mais precisamente, ao número de núcleos) A(t) de substâncias remanescente no instante t: A.K dt dA = (2) Naturalmente as equações (1) e (2) são iguais, a diferença reside apenas na interpretação dos símbolos e nas constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamos em (1), k>0, para o decaimento, como em (2), k<0. O modelo (2) para o decaimento também ocorre com aplicações biológicas, como a determinação de meia vida de uma droga – o tempo necessário para que 50% de uma droga seja eliminada de um corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de dacaimento (2) aparece na descrição matemática de uma reação química de primeira ordem, isto é, uma reação cuja taxa ou velocidade dx/dt é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância não transformada ou remanescente no instante t. A questão é que: Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários fenômenos diferentes. 5.5 - CRONOLOGIA DO CARBONO: Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idade de fósseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma constante e, como conseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil com a razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de 5.600 anos.
  51. 51. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 50 O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, o tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de Turim. Exemplo: Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C-14. Determine a idade do fóssil. Resolução: A(t) = A0.ekt 5600. 0 0 . 2 k eA A = k e5600 ln 2 1 ln = 5600k = - 0,6931 K = - 0,000123776 A(t) = A0.e- 0,000123776t t eAA 000123776,0 00 . 100 1 − = t e 000123776,0 ln 100 1 ln − = - 0,000123776 t = - 6,9077 t = 55.808 anos 5.6 - RESFRIAMENTO: De acordo com a Lei empírica de Newton do esfriamento/resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de um corpo varia proporcionalmente a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/resfriamento é convertida na sentença matemática )( mTTK dt dT −= , (3) T = C.ekt + Tm onde k é uma constante de proporcionalidade. Em ambos os casos, esfriamento ou aquecimento, se Tm for uma constante, é lógico que k<0. Exemplo: Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF?
  52. 52. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 51 Resolução: T(0) = 3000 F )( mTTk dt dT −= T(3) = 2000 F )70( −= Tk dt dT T(?) = 750 ∫ ∫= − kdt T dT )70( Tm = 700 cktT +=− )70ln( kt c T = − 70( ln c T ekt 70− = 70. += kt ecT T(0) = 3000 300 = C.ek.0 + 70 C = 2300 T = 230.ekt + 70 T(3) = 200 200 = 230.e3k + 70 230 e3k = 130 230 1303 =k e 230 130 lnln 3 =k e 70.230 19018,0 += − t eT 230 130 ln3 =k 70.23075 19018,0 += − t e K = - 0,19018 230 707519018,0 − =− t e - 0,19018t = ln 230 5 T = 20,13 minutos 5.7 – MISTURAS: A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor um grande tanque de mistura contenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada quantidade de libras de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três galões por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão.Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida: se RR dt dA −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = salde saídadeTaxa salde entradadeTaxa (4) A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) é:
  53. 53. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 52 min/6)/2(.min)/3( salde entradadetaxa entradadefluxono saldeãoConcentraç salmourade entradadeTaxa lbgalkbgalRe == ↓↓↓ Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma taxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões. Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300 lb/gal, e a taxa de saída de sal Rs é: min/ 100 / 300 .min)/3( salde saidadetaxa saídadefluxono saldeãoConcentraç salmourade saídadeTaxa lb A gallb A galRs =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ↓↓↓ A equação (4) torna-se então: 100 6 A dt dA −= (5) Exemplo: Dos dados do tanque acima considerado e da equação (4), obtemos a equação (5). Vamos colocar agora a seguinte questão: se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galões iniciais, quanto sal haveria no tanque após um longo período? Resolução: 100 100100 100100 .600 600 6. . 6 100 1 100 6 t tt tt PdtPdt eCA CeeA CdteeA CQdteeA A dt dA A dt dA − − − − += ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +∫∫= =⋅+ −= ∫ ∫ para A(0) =50 550 .60050 0 −= += C eC Logo: 100 550600 t eA − −= (6) A solução acima (6) foi usada para construir a seguinte tabela: t(min) A(lb) 50 266,41 100 397,67 150 477,27 200 525,57 300 572,62 400 589,93
  54. 54. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 53 Além disso podemos observar que 600→A quando ∞→t . Naturalmente, isso é o que esperaríamos nesse caso; durante um longo período, o número de libras de sal na solução deve ser (300 gal).(2lb/gal) = 600 lb. Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a solução era bombeada para dentro era igual à taxa segundo a qual ela era bombeada para fora. Porém isso não precisa ser assim; a mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a qual é bombeada para dentro. Por exemplo, se a solução bem misturada do exemplo acima for bombeada para fora a uma taxa menor, digamos de 2 gal/min, o liquido acumulará no tanque a uma taxa de (3 – 2) gal/min = 1gal/min. Após t minutos, o tanque conterá 300 + t galões de salmoura. A taxa segundo a qual o sal sai do tanque é então: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = gallb t A galRs / 300 min)./2( Logo, a Equação (4) torna-se: t A dt dA + −= 300 2 6 ou 6 300 2 = + + A tdt dA Você deve verificar que a solução da última equação, sujeita a A(0)=50, é: 27 )300)(1095,4(2600)( − +×−+= tttA 5.8 – DRENANDO UM TANQUE: Em hidrodinâmica, a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de água em um buraco com bordas na base de um tanque cheio até a uma altura h é igual a velocidade com que um corpo (no caso, uma gota d’agua) adquiriria em queda livre de uma altura h, isto é, ghv 2= , onde g é a aceleração devida a gravidade. Essa última expressão origina-se de igualar a energia cinética 2 2 1 mv com a energia potencial mgh e resolver para v. Suponha que um tanque cheio com água seja drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade. Gostaríamos de encontrar a altura h de água remanescente no tanque no instante t. Considere o tanque ao lado: Se a área do buraco for Ah (em pés quadrados) e a velocidade de saída da água do tanque for ghv 2= (em pés/s), o volume de saída de água do tanque por segundo é ghAh 2 (em pés cúbicos/s). Assim, se V(t) denotar o volume de água no tanque no instante t, ghA dt dV h 2−= (6) onde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Agora, se o tanque for tal que o volume de água em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w=)( , onde wA (em pés quadrados) é a área constante da superfície de água, então dt dh A dt dV w= . Substituindo essa última expressão em (6), obtemos a equação diferencial desejada para a altura de água no instante t:
  55. 55. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 54 gh A A dt dh w h 2−= (7) É interessante notar que (7) permanece válida mesmo quando Aw não for constante. Nesse caso, devemos expressar a superfície superior da água como uma função de h, isto é, Aw = A(h). 5.9 – DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA: Uma doença contagiosa, por exemplo, um vírus de gripe, espalha-se em uma comunidade por meio do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e y(t) o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa dx/dt segundo a qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de pessoas. Se supusermos que o número de intereações é conjuntamente proporcional a x(t) e a y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então: kxy dt dx = (8) onde k é a constante de proporcionalidade usual. Suponha que uma pequena comunidade tenha uma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode- se argumentar que x(t) e y(t) são relacionadas por x + y = n + 1. Usando essa última equação para eliminar y em (8), obtemos o modelo )1( xnkx dt dx −+= (9) Uma condição óbvia que acompanha a equação (9) é x(0) = 1. 5.10 – CORPOS EM QUEDA: Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se da física elementar que a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecerá em repouso ou continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças ∑= kFF isto é, a força liquida ou resultante, que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será proporcional a sua aceleração a ou, mais precisamente, F = m.a, onde m é a massa do corpo. Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um prédio, conforme ilustrado na figura abaixo: Qual a posição s(t) da pedra em relação ao chão no instante t? A aceleração da pedra é a derivada segunda 22 dtsd . Se assumirmos como positiva a direção para cima e que nenhuma outra força além da gravidade age sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton mg dt sd m −=2 2 ou g dt sd −=2 2 (10) Em outras palavras, a força liquida é simplesmente o peso F= F1 = - W da pedra próximo á superfície da Terra. Lembre-se de que a magnitude do peso é W = mg, onde m é a massa e g é a aceleração devida a gravidade. O sinal de subtração foi usado em (10), pois o peso da pedra é uma força dirigida para baixo, oposta a direção positiva. Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial
  56. 56. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 55 da pedra é v0, então s é determinada, com base no problema de valor incial de segunda ordem g dt sd −=2 2 , 0)0( ss = , 0)0(' vs = (11) Embora não estejamos enfatizando a resolução das equações obtidas, observe que (11) pode ser resolvida integrando-se a constante – g duas vezes em relação a t. As condições iniciais determinam as duas constantes de integração. Você poderá reconhecer a solução de (11), da física elementar, como a fórmula 00 2 2 1 )( stvgtts ++−= . 5.11 – CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR: Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que os objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caíam com uma aceleração maior do que a de objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma pena, quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não se deve ao fato de a bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas é devida a resistência do ar. A força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em (11). Sob algumas circunstâncias, um corpo em queda com massa m, como uma pena com baixa densidade e formato irregular, encontra uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea v. Se nessas circunstancias, tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força liquida que age sobre a massa será dada por F = F1 + F2 = mg – kv, onde o peso F1 = mg do corpo é a força que age na direção positiva e a resistência do ar F2 = - kv é uma força chamada amortecimento viscoso que age na direção oposta ou para cima. Veja a figura abaixo: Agora, como v esta relacionado com a aceleração a através de a = dv/dt, a segunda lei de Newton torna-se F = m.a = m. dv/dt. Substituindo a força liquida nessa forma da segunda lei de Newton, obtemos a equação diferencial de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no instante t. kvmg dt dv m −= (12) Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distancia do corpo em queda no instante t a partir do ponto inicial, então v = ds/dt e a = dv/dt = d2 s/dt2 . Em termos de s, (12) é uma equação diferencial de segunda ordem: dt ds kmg dt sd m −=2 2 ou mg dt ds k dt sd m =+2 2 (13) 5.12 – CORRENTE DESLIZANTE: Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em pés seja pendurada em um pino de metal preso a uma parede bem acima do nível do chão. Vamos supor que não haja atrito entre o pino e a corrente e que a corrente pese ρ libras/pés. A figura abaixo (a) ilustra a posição da corrente quando em equilíbrio; se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda, a corrente deslizaria pelo pino. Suponha que a direção positiva seja tomada como sendo para baixo e que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caído no tempo t. A posição de equilíbrio corresponde a x = 0. Na figura (b), a corrente é deslocada em x0 pés e é mantida no pino até ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0. Para a corrente em movimento, conforme mostra a figura (c), temos as seguintes quantidades:
  57. 57. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 56 Peso da corrente: W = (L pés) . ( ρ lb/pés) = L ρ Massa da corrente: m = W/g = L ρ /32 Força resultante: xpx L x L F 2 22 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ρρ Uma vez que a = d2 x/dt2 , ma = F torna-se x dt xdL ρ ρ 2 32 2 2 =⋅ ou 0 64 2 2 =− x Ldt xd (14) 5.13 - CIRCUITOS EM SÉRIE: Considere o circuito em série de malha simples mostrado ao lado, contendo um indutor, resistor e capacitor. A corrente no circuito depois que a chave é fechada é denotada por i(t); a carga em um capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como indutância, capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes. Agora, de acordo com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha. A figura abaixo mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva queda de voltagem em um indutor, um capacitor e um resistor. Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem. ,2 2 dt qd L dt di L indutor = dt dq RiR resistor = q c capacitor 1 e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem )( 1 2 2 tEq cdt dq R dt qd L =++
  58. 58. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 57 Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura abaixo Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t). )(tERi dt di L =+ onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é a carga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura (a), a segunda lei de Kirchhoff nos dá )( 1 tEq C Ri =+ mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acima transforma-se na equação diferencial linear )( 1 tEq Cdt dq R =+ Exemplo: Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é ½ Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. Resolução: L= indutância = ½ ERi dt di L =+ Para i(0) = 0 R = resistência = 10 1210 2 1 =+⋅ i dt di ce0 5 6 0 += i = corrente 2420 =+ i dt di 5 6 −=c E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24 Logo: ∫ ∫ == tdtPdt 2020 t ei 20 5 6 5 6 − −= [ ]∫ +⋅= − cdxeei tt 242020 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += − ceei tt 2020 20 24 cei t ⋅+= −20 5 6
  59. 59. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 58 AULA 15– EXERCÍCIOS 1) Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é 12 Ω , a indutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é ligado quanto t = 0. Qual o valor da corrente? 2) Uma força eletromotriz é aplicada a um circuito em série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Ache a curva i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quanto t ∞→ . Use E = 30 V. 3) Uma força eletromotriz de 100 V é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 200 Ω e a capacitância é de 10- 4 farads. Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Ache a corrente i(t). 4) Uma força eletromotriz de 200 V é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 1000 Ω e a capacitância é 5 x 10- 6 farads. Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Determine a carga da corrente em t = 0,005s. Determine a carga quando t ∞→ . 5) Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? 6) Suponha que a população da comunidade do problema anterior seja 10000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população em 10 anos? 7) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 8) O isótopo radioativo de chumbo, Ph 209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia vida é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 9) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substância radioativa presente. Após 6 horas a massa diminui 3%. Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, determinar a meia vida desta substância. 10) Com relação ao problema anterior, encontre a quantidade remanescente após 24 horas. 11) Em um pedaço de madeira queimada, ou carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha se desintegrado. Qual a idade da madeira? 12) Um termômetro é retirado de uma sala, em que a temperatura é 70º F, e colocado no lado fora onde a temperatura é 10º F. Após 0,5 minuto o termômetro marcava 50º F. Qual será a temperatura marcada pelo termômetro no instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 15º F? 13) Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20o C e o corpo se resfria em 20 minutos de 100o C para 60o C, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30o C? 14) Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente, tirando os seguintes dados: A temperatura do escritório era de 20o C, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35o C. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2o C. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa viva é de 36.5o C, prende a secretária. Por que? No dia seguinte o advogado da secretária a liberta, alegando o que? 15) Sob as mesmas hipóteses subjacentes ao modelo em (1), determine a equação diferencial que governa o crescimento populacional P(t) de um país quando os indivíduos tem autorização para imigrar a uma taxa constante r. 16) Usando o conceito de taxa liquida, que é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade na comunidade, determine uma equação diferencial que governe a evolução da população P(t), se a taxa de natalidade for proporcional a população presente no instante t, mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da população presente no instante t. 17) Suponha que um estudante portador de um vírus da gripe retorne para um campus universitário fechado com mil estudantes. Determine a equação diferencial que descreve o número de pessoas x(t) que contrairão a gripe, se a taxa segundo a qual a doença for espalhada for proporcional ao numero de interações entre os estudantes gripados e os estudantes que ainda não foram expostos ao vírus. 18) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galões de água,no qual foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de 3 gal/min, e então, quando a solução esta bem misturada, ela é bombeada para fora segundo a mesma taxa. Determine uma equação diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no instante t. 19) Suponha que a água esta saindo de um tanque por um buraco circular em sua Bse de área Ah. Quando a água vaza pelo buraco, o atrito e a concentração da corrente de água nas proximidades do buraco reduzem o volume de água que esta vazando do tanque por segundo para ghcAh 2 , onde c (0<c<1) é uma constante empírica no instante t para um tanque cúbico, como na figura abaixo, O raio do buraco é 2 pol e g = 32 pés/s2 .
  60. 60. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 59 20) Para um movimento em alta velocidade no ar – tal como o paraquedista mostrado na figura abaixo , caindo antes de abrir o paraquedas – a resistência do ara esta próxima de uma potencia da velocidade instantânea. Determine a equação diferencial para a velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m, se a resistência do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade instantânea. 21) Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 200 C, é colocada em um recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para a barra atingir 900 C se sua temperatura aumentar 20 em 1 segundo? Quanto tempo levará para a barra atingir 980 C? 22) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 L/min; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Ache o número A(t) de gramas de sal no tanque no instante t. 23) Um grande tanque contém 500 galões de água pura. Uma salmoura contendo 2 libras por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 gal/min. A solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no instante t. Qual é a concentração da solução no tanque no instante t = 5 min? 24) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo ½ libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de 4 gal/min. Ache a quantidade de libras de sal no tanque após 30 minutos. Respostas: 1) t etI 3 55)( − −= 2) t cei 500 5 3 − += e 5 3 )(lim =∞→ tit 3) t ceq 50 100 1 − += onde C = -1/100 e t ei 50 2 1 − = 4) t ceq 200 1000 1 − += t cei 200 200 − −= 500 1 −=C coulombsq 0003,0)005,0( = ampi 1472,0)005,0( = 1000 1 →q 5) 7,92 anos. 6) x0 = 6600,66 e N(10) = 26.396,04 7) N(30) = 760 8) t = 11 horas 9) t = 136,72 horas 10) 88,5 gramas. 11) 15600 anos 12) T(1) = 36,66ºF e t = 3,06 min 13) t = 60 min 14) justificativa pessoal. 15) rkp dt dP += , rkp dt dP −= 16) 2 21 PkPk dt dP −= 17) )1000( xkx dt dx −= 18) 100 A dt dA −= 19) h c dt dh 450 π −= 20) 2 kvmg dt dv m −= 21) Aproximadamente 82,1 s Aproximadamente 145,7 s 22) A(t) = 200 – 170 e-t/50 23) A(t) = 1000 – 1000 e-t/100 0,0975 lb/gal 24) 64,38 lb
  61. 61. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 60 AULA 16 6 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2a ORDEM E ORDEM SUPERIOR As equações lineares de ordem n são aquelas da forma: ByA dx yd A dx yd A dx yd A nn n n n n n =/++++ − − − − ...2 2 21 1 10 Onde B, A0, A1, A2,..., An dependem apenas de x ou são constantes. Para começarmos este estudo vamos utilizar como padrão de uma EDO-2 linear (Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem 2) a seguinte equação: y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x) onde: p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema r(x) termos de excitação (input) y(x) resposta do sistema Se r(x) = 0, ∀ x∈I → Eq. Dif. Homogênea r(x) ≠ 0 → Eq. Dif. não homogênea A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I), isto é ctexh xy xy ≠= )( )( )( 1 2 Com isso, y1(x) e y2(x) formam uma base para a solução da EDO-2 homogênea (base fundamental). Exemplo: y" + y = 0 Se propormos como solução y1(x) = sen(x) y2 (x) = cos(x) ctextg x xsen xy xy ≠== )( )cos( )( )( )( 1 2 , logo, formam uma base, com isso, a solução geral da EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x). Se obtemos as bases para a solução da homogênea, a solução da equação fica )(...)()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn+++= Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente. Obtida uma solução y1(x) da EDO-2, pode-se obter y2(x) pelo conceito de base, onde y1(x) e y2(x) são linearmente independentes. ctexh xy xy ≠= )( )( )( 1 2 )().()( 12 xyxhxy =
  62. 62. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 61 Exemplo: Obter y2(x), sabendo que y1(x) = x (1 – x2 )y” – 2xy’ + 2y = 0 AULA 16 – EXERCÍCIOS Obter y2(x) nos exercicios abaixo: 1) x2 y” – 5xy’ +9y = 0 , com y1(x) = x3 2) 4x2 y” – 3y = 0 com y1(x) = x-1/2 3) x2 y” + xy’ + (x2 – ¼)y = 0, com y1(x) = x-1/2 cosx Respostas: 1) y2(x) = x3 lnx 2) y2(x) = 2 2 3 x 3) y2(x) = x-1/2 senx
  63. 63. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 62 AULA 17 6.1 – EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES: São aquelas da forma: 0...2 2 21 1 10 =/++++ − − − − yA dx yd A dx yd A dx yd A nn n n n n n , onde A0, A1, A2,...,An são constantes. Resolução: Para n= 1 → 010 =+ yA dx dy A yA dx dy A 10 −= dx A A y dy 0 1 −= Cx A A y +−= 0 1 ln Cx A A ey +− = 0 1 C x A A eey .0 1 − = Chamando 0 1 A A − = λ e KeC = , temos key x .λ = Para nos facilitar a demonstração, vamos usar a seguinte equação: 02 2 =++ by dx dy a dx yd onde a e b são constantes. Vamos utilizar x ey λ = calculado anteriormente como solução proposta. x ey λ = x ey λ λ=' x ey λ λ2 "= Substituindo na EDO temos: 0).( 0 2 2 =++ =++ x xxx eba beeae λ λλλ λλ λλ Como 0≠x eλ para qualquer valor de x, temos 02 =++ baλλ , a qual iremos chamar de equação característica da EDO-2 dada. Em relação a equação característica 0)( =λP temos três casos a considerar:
  64. 64. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 63 Caso 1: Raízes Reais Distintas. x ey 1 1 λ = x ey 2 2 λ = Assim a solução geral fica: xx eCeCy yCyCy 21 21 2211 λλ += += E para uma equação de ordem n fica: x n xxx n eCeCeCeCy λλλλ ++++= ...321 321 Caso 2: Raízes Múltiplas. Se λλλ == 21 , onde se aplicarmos a regra anterior teremos x ey λ =1 e x ey λ =2 . Só que é necessário encontrar soluções que sejam linearmente independentes, pois com as raízes sendo iguais temos === 1 1 2 x x e e y y λ λ constante. Assim temos que achar uma segunda solução que seja linearmente independente. Supondo a equação y” + ay’ + by = 0 e utilizando o conceito de base em que )().()( 12 xyxhxy = , onde x ey λ =1 , temos: xxx xx x heehehy heehy ehy xyxhxy λλλ λλ λ λλ λ 2 2 2 2 12 '2"" '' . )().()( ++= += = = Substituindo na equação dada: 0''2" 2 =+++++ xxxxxx bheheaeahheeheh λλλλλλ λλλ Reordenando: [ ] 0)(')2(" 2 =+++++ hbahahe x λλλλ Como 0≠x eλ e ba ++ λλ2 =0, pois como já vimos anteriormente 0)( =λP . Então: KCxh Ch h += = = ' 0" Logo: x eKCxy yhy λ ).( . 2 12 += = Solução geral: xx xx CeCeKCCy eKCxCeCy yCyCy λλ λλ 221 21 2211 )( )( ++= ++= += fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2 temos: x xx exCCy xeCeCy λ λλ )( 21 21 += += A propriedade se estende para equações de ordem superior: xn n exCxCxCCy λ )...( 12 321 − ++++=
  65. 65. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 64 Caso 3: Raízes complexas distintas. Sejam bia +=1λ e bia −=2λ as raízes da equação característica. Aplicando a condição para raízes reais distintas teríamos como solução: ( )bixbixax bixaxbixax xbiaxbia eCeCey eeCeeCy eCeCy − − −+ += += += 21 21 )( 2 )( 1 .. Das fórmulas de Euler temos: θθ θθ θ θ isene isene i i −= += − cos cos Com isso: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]senbxCCibxCCey isenbxbxCisenbxbxCey ax ax 2121 21 cos coscos −++= −++= Fazendo C1 + C2 = C1 i(C1 – C2) = C2 temos: [ ]senbxCbxCey ax 21 cos += Exemplos: 1) 03613 2 2 4 4 =+− y dx yd dx yd
  66. 66. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 65 2) y”+4y = 0, com y(0) = 3 e y(π /2) = -3 3) y” - 2√2 y’+2y = 0 AULA 17 – EXERCÍCIOS 1) y” – 5y’ + 6y = 0 2) y”’ + 3y” – 4y’ – 12y = 0 3) y” + 2y’ + 2y = 0, com y(0) = 1 e y(π /2) = 0 4) y” – 25y = 0 com y(0) = 0 e y’(0) = 20 5) y” – y’ – 2y = 0 com y(0) = -4 e y’(0) = -17 6) y”-9π 2 y=0 7) 9y” + 6y’ + y = 0 com y(0) = 4 e y’(0) = 3 13− 8) y” + 2ky’ +k2 y = 0 9) 8y” – 2y’ – y = 0 com y(0) = 0,2 e y’(0) = 0,325 10) 4y” – 4y’ - 3y = 0 com y(-2) = e y’(-2) = 2 e− 11) y” – 7y’ + 12y = 0 12) y”’ - 4y” + 5y’=0 13) y”’ – 5y” + 7y’ = 0 14) y” + 2y’ + y = 0 Respostas: 1) xx eCeCy 3 2 2 1 += 2) xxx eCeCeCy 2 3 3 2 2 1 −− ++= 3) y = e-x cosx 4) y = - 2e- 5x + 2e5x 5) y = 3e- x – 7e2x 6) xx eCeCy ππ 3 2 3 1 − += 7) 3 )34( x exy − −= 8) y = (C1 + xC2) e- kx 9) 24 5,03,0 xx eey +−= − 10) y = e – 0,5x 11) xx eCeCy 4 2 3 1 += 12) ( )senxCxCeCy x 32 2 1 cos ++= 13) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++= 2 3 2 3 cos 21 2 5 1 x senC x CeCy x 14) x exCCy − += )( 21
  67. 67. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 66 AULA 18 6.2 - EULER – CAUCHY A equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma: ByA dx dy baxA dx yd baxA dx yd baxA n n n n =+++++++ 012 2 2 2 )()()( L onde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos t eabax .=+ que irá eliminar os coeficientes variáveis. No caso da equação ter a forma: 0'"2 =++ byaxyyx Faremos: y = xm y’ = mxm-1 y” = m(m-1)xm-2 Substituindo y, y’ e y” na EDO-2, temos que: (m2 + (a – 1) m + b)xm = 0 como y(x) = xm tem que ser diferente de zero, temos m2 + (a – 1) m + b = 0, que é uma equação do segundo grau com duas raízes. Caso 1: m1 e m2 são reais e diferentes. 21 21)( mm xCxCxy += Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais )ln()( 21 xxCxCxy mm += m xxCCxy ))ln(()( 21 += Caso 3: m1 e m2 são complexas conjugadas )( bia ± )]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy a += Exemplos:
  68. 68. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 67 1) 012)12(2)12( 2 2 2 =−+−+ y dx dy x dx yd x 2) x2 y” + 2xy’ + 2y = 0 AULA 18 – EXERCÍCIOS 1) x2 y”- 20y = 0 2) (1+x)3 y”’+9(1+x)2 y”+18(1+x)y’+6y = 0 3) 10x2 y” + 46xy’+32,4y = 0 4) x2 y”+ xy’+y = 0 5) 4x2 y”+24xy’+25y = 0 com y(1) = 2 e y’(1) = - 6 6) x2 y”- 3xy’+ 4y = 0 com y(1) = 0 e y’(1) = 3 Respostas: 1) C1x-4 + C2x5 2) 3 3 2 21 )1()1(1 x C x C x C y + + + + + = (C1 + C2 lnx) x-1,8 3) C1.cos(lnx) + C2.sen(lnx) 4) (2 – lnx) 2 5− x 5) 3x2 lnx
  69. 69. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 68 AULA 19 6. 3 - EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = =++ 10 00 )(' )( )()(')(" .. Kxy Kxy xryxqyxpy IVP y1(x).y2(x) → base para a solução da EDO-2 homogênea yh(x) → solução da EDO-2 homogênea yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) yp(x) → solução particular, função qualquer que satisfaz a EDO-2 não-homogênea A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma: )()()( xyxyxy ph += Teorema da existência da Unicidade: Se p(x) e q(x) são funções contínuas sobre o intervalo aberto I e x0 ∈I, então o P.V.I. possuiu uma única solução y(x) sobre I. Para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes métodos: i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange iii. Método do operador derivada D. 6.3.1 - Solução por coeficientes a determinar (Descartes): Vale somente para EDO-2 com coeficientes constantes Padrão para solução particular: Termo em r(x) Proposta para yp(x) x keα x Ceα ,...)1,0( =nkxn 01 1 1 ... CxCxCxC n n n n ++++ − − ⎭ ⎬ ⎫ xKsen xK α αcos xsenCxC αα 21 cos + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ xsenke xke x x β β α α cos )cos( 21 xsenCxCe x ββα + obs: 1. se r(x) é composição de funções da 1o coluna, yp(x) é composição das respectivas funções na 2o coluna. 2. se r(x) coincide com uma função que compões yh(x), multiplique por x (ou por x2 ) para considerar raiz dupla da equação característica.
  70. 70. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 69 Exemplo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = +=+− 0)0(' 1)0( '2" 2 y y xeyyy x
  71. 71. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 70 AULA 19 – EXERCÍCIOS 1) y” + 4y = sen 3x 2) y” + 2y’ +10y = 25x2 + 3 3) y” + 2y’ – 35y = 12e5x + 37 sen 5x 4) y” – 5y’ + 6y= 2x2 – 1 5) y”’ – 4y’ = 1 – 3x 6) y”’ – 2y” = 3x2 – 2x + 1 7) y” – 7y’ +12y = 3e x− 8) y” – 7y’ +10y = 8e2x 9) y” – 4y’ +4y = 8e2x 10) y” + 4y = 3e4x 11) y” – 4y” + 3y = 3sen2x 12) xsen dx yd dx yd 484 2 2 4 4 =− 13) y”’ – 4y’ = 12sen2x 14) y” + y = 4senx 15) senxy dx yd dx yd 42 2 2 4 4 =++ Problema de valor inicial: 16) y” + 1,5y’ – y = 12x2 + 6x3 – x4 y(0) = 4 e y’(0) = - 8 17) y” – 4y = e-2x – 2x y(0) = 0 e y’(0) = 0 Respostas: 1) xsenxBsenxA 3 5 1 22cos −+ 2) xxxsenCxCe x −++− 2 21 2 5 )33cos( 3) xsenxxeeCeC xxx 56,05cos1,055 2 7 1 −−++− 4) 27 5 9 5 3 2 3 2 2 1 ++++= xx eCeCy xx 5) 48 3 22 3 2 21 x xeCeCCy xx −+++= − 6) 8 3 128 234 2 321 xxx eCxCCy x −−−++= 7) xxx eeCeCy − ++= 20 34 2 3 1 8) xxx xeeCeCy 25 2 2 1 3 8 −+= 9) xxx exxeCeCy 222 2 2 1 4++= 10) x exsenCxCy 4 21 20 3 22cos ++= 11) )2cos82( 65 33 21 xxseneCeCy xx −−+= 12) 40 42 4 2 321 xsen eCeCxCC xx ++++ − 13) xeCeCCy xx 2cos 4 32 3 2 21 +++= − 14) xxsenxCxCy cos2cos 21 −+= 15) senxxCCxxCCsenx x y )(cos)( 2 4321 2 ++++−= 16) 42 4 xe x +− 17) xxx xexee 222 4 1 2 1 16 1 16 1 −− −+−
  72. 72. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 71 AULA 20 6.3.2 - SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: Qualquer tipo de excitação r(x) Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contínuos. yn + Pn-1(x)yn-1 +...+ P1(x)y’ + P0(x)y = r(x) A solução geral da EDO é y = yh + yp como na resolução por coeficientes a determinar. mas a solução da particular fica yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn, onde y1, y2, ..., yn são as bases para a EDO homogênea. A idéia é constituir a solução particular com uma combinação destas bases utilizando parâmetros variáveis. Onde ∫= dx xW xrxW u )( )().(1 1 , ∫= dx xW xrxW u )( )().(2 2 , .... ∫= dx xW xrxW u n n )( )().( Sendo que W = W(y1,y2,...,yn), que é o Determinante de Wronski (Wronskiano) )(),...,,( 11 2 1 1 '' 2 ' 1 21 21 xW yyy yyy yyy yyyW n n nn n n n == −−− L MLMM L L Para calcularmos W1(x), substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0, 0, 0, ... ,1), para calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente: 11 2 '' 2 2 1 1 0 0 −− = n n n n n yy yy yy W L MLMM L L , 11 1 '' 1 1 2 1 0 0 −− = n n n n n yy yy yy W L MLMM L L , ...., 1 0 0 1 2 1 1 ' 2 ' 1 21 L MLMM L L −− = nn n yy yy yy W Cuidado: Antes de aplicar o método, verificar o que acompanha yn . Se tiver f(x).yn , não se esqueça de dividir r(x) por f(x). Se a Equação Diferencial for de ordem 2, tempos como solução da particular yp(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) onde, ∫−= dx xw xrxy xu )( )()( )( 2 e ∫= dx xw xrxy xv )( )()( )( 1 e y1(x) e y2(x) são as bases da homogênea.
  73. 73. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 72 Exemplo: 223 2'2""' − =+−+ xyxyyxyx
  74. 74. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 73 AULA 20 – EXERCÍCIOS 1) y” + 4y’ + 3y = 65x 2) x2 y” – 2xy’ +2y = x3 cosx 3) x2 y” – 4xy’ + 6y = 21x-4 4) 4x2 y” + 8xy’ – 3y = 7x2 – 15x3 5) x3 y”’- 3x2 y” +6xy’ – 6y = x4 lnx 6) xy”’ + 3y” = ex 7) 1234 2 2 2 4 4 +−=− xx dx yd dx yd 8) y”’ – y” – 4y’ + 4y = 12e-x 9) y”’ – y” – 2’ = x - 2 Respostas: 1) 9 260 3 65 2 3 1 −++= −− xeCeCy xx 2) xxxCxCy cos2 21 −+= 3) 43 2 2 1 2 1 − ++= xxcxcy 4) 3 )( 32 2 3 2 2 1 1 xx xCxCy − ++= − 5) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+++= 6 11 ln 6 4 3 3 2 21 x x xCxCxCy 6) x exxCxCCy 1 3 1 21 −− +++= 7) 64 10 881216 234 2 4 2 321 −+−+−+++= − xxxx eCeCxCCy xx 8) xxxx eeCeCeCy −− +++= 22 321 9) x x eCeCCy xx 4 5 4 2 2 321 +−++= −
  75. 75. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 74 AULA 21 6.4 - MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 6.4.1 – Operador “D” (operador derivada): Os operadores são símbolos sem nenhum significado isolado que indicam, de modo abreviado, as operações que devem ser efetuadas Dada uma função definida por y=f(x), chama-se operador derivada, denotado por D, a dx d D = , 2 2 2 dx d D = , 3 3 3 dx d D = , ... 6.4.2 - Propriedades: Sejam u=u(x) e v =v(x): P1. D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva) P2. D(m.u)=m.Du, (propriedade comutativa, sendo m uma constante) P3. Dm (Dn u)=Dm+n u, (sendo m e n constantes positivas) P4. O operador inverso ∫ − = − dxueeu aD axax .. 1 , a ∈ℜ. P5. O operador direto uaDuuaD .)( −=− au dx du −= , a ∈ℜ. 6.4.3 – Resolução de Equações Lineares 1) Resolver, empregando operadores: 01272 2 =+− y dx dy dx yd 2) 0442 2 =+− y dx dy dx yd
  76. 76. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 75 3) Vamos resolver utilizando operador direto, inverso, coeficientes a determinar e variação de parâmetro a equação x ey dx yd − =−2 2 .
  77. 77. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 76 6.5 – SIMPLIFICAÇÃO DO MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA Casos particulares 1°. Na equação diferencial ax eyDP =)( a solução particular será dada por ax p e aP y )( 1 = , se P(a)≠0 2°. Na equação diferencial )()( 2 axsenyDP = a solução particular será dada por )( )( 1 2 axsen aP yp − = , desde que P(-a2 ) ≠ 0. 3°. Na equação diferencial )cos()( 2 axyDP = a solução particular será dada por )cos( )( 1 2 ax aP yp − = . 4°. Na equação diferencial m xyDP =)( a solução particular será dada por m p x DP y )( 1 = , onde )( 1 DP deverá ser desenvolvido em série de potências crescentes em D. Isto é; ao + a1D + a2D2 + ... + amDm , desprezados os termos seguintes ao Dm e sendo ao diferente de zero. 5°. Na equação diferencial )(.)( xfeyDP ax = a solução particular será dada por )( )( 1 xf aDP ey ax p + = , desde que P(D + a) seja diferente de zero. AULA 21 – EXERCÍCIOS 1) (D2 – D – 12)y = 0 2) senxy dx dy dx yd =+− 652 2 3) senxey dx dy dx yd x =+− 232 2 4) (D3 -16D)y=e4x + 1 5) (D2 – 7D+12)y = 5e3x 6) (D3 – 3D + 2)y = xe-2x 7) ( ) ( ) xx eeyDD − +=−− 2321 2 8) ( ) 142 −=− xyD 9) ( ) x eyDD 32 65 =+− Respostas: 1) y = C1e4x + C2e-3x 2) xsenxeCeCy xx cos 10 1 10 13 2 2 1 +++= 3) ( )senxx e eCeCy x xx −++= cos 2 2 21 4) 1632 44 3 4 21 x e x eCeCCy xxx −+++= − 5) xxx xeeCeCy 34 2 3 1 5−+= 6) xxxxx e x e x eCxeCeCy 2 2 22 321 1827 2 −−− ++++= 7) xxxxx eexCeBxeAey − −−++= 6 1 2 3 22 8) 4 1 4 22 +−+= − x BeAey xx 9) xxx eCeCxey 3 2 2 1 3 +−=
  78. 78. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 77 AULA 22 7 - EXERCÍCIOS GERAIS Calcule as Equações Diferenciais abaixo: 1) xsenxe dx dy dx yd x 2234 2 3 3 −−=+ 2) x ex dx dy dx yd dx yd 2 2 2 3 3 3265 +=+− 3) 13 2 2 2 +−=− x esenxy dx yd 4) 1284 2 2 2 +−=− xxy dx yd 5) 222 2 3 3 −=−− x dx dy dx yd dx yd 6) 1234 3 2 2 4 4 +−=− xx dx yd dx yd 7) x ey dx dy dx yd − =+− 3232 2 8) x ey dx yd 2 2 2 44 =− 9) x ey dx dy dx yd 2 2 2 344 =+− 10) x ey dx dy dx yd 222 2 =+− 11) senxy dx dy dx yd 2232 2 =+− 12) x dx dy dx yd cos342 2 =+ 13) xseny dx yd 23164 4 =− 14) xy dx yd 2cos542 2 =− 15) 52 2 2 2 +=− x e dx dy dx yd 16) x xey dx dy dx yd 2 2 2 44 =+− 17) xey dx dy dx yd x 2cos8822 2 −=−− 18) 2 244 2 2 2 x ey dx dy dx yd x +=+− 19) x e y dx dy dx yd x =+− 22 2 20) x y dx yd cos 1 2 2 =+ 21) senx y dx yd 1 2 2 =+ 22) xyxyyx 32'2"2 =+− 23) 02'2"3'" 23 =+−+ yxyyxyx 24) 02'2'"3 =−+ yxyyx 25) )1ln(6)1(18)1(9)1( 2 2 2 3 3 3 xy dx dy x dx yd x dx yd x +=++++++
  79. 79. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 78 RESPOSTAS: 1) 4 2 816 3 22cos 22 321 xxsenxe xsenCxCCy x +−+++= 2) 2 3 18 5 6 22 3 3 2 21 x xx xe x x eCeCCy −++++= 3) 1 32 3 2 21 −−−+= − x xx esenx eCeCy 4) 4 4 2 22 2 2 1 −+−+= − x xeCeCy xx 5) 4 5 4 2 2 321 xx eCeCCy xx +−++= − 6) 848 5 80 3 235 2 4 2 321 xxx eCeCxCCy xx −−−+++= − 7) 2 2 21 x xx e eCeCy − ++= 8) xxx xeeCeCy 22 2 2 1 ++= − 9) xxx exxeCeCy 222 2 2 1 2 3 ++= 10) )( 2 21 xxCCey x ++= 11) senxxeCeCy xx 5 1 cos 5 32 21 +++= 12) )4(cos 17 34 21 senxxeCCy x +++= − 13) 32 2cos3 22cos 43 2 2 2 1 xx xsenCxCeCeCy xx ++++= − 14) 8 2cos52 2 2 1 x eCeCy xx −+= − 15) 22 5 2 2 21 x x xex eCCy +−+= 16) x e x xCCy 2 3 21 6 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++= 17) )22cos3( 5 1 9 14 2 2 1 xsenxeeCeCy exxx ++−+= − 18) 8 1 )( 22 21 + +++= x exxCCy x 19) xxexeexCCy xxx ln)( 21 +−+= 20) xsenxxxsenxCxCy +++= coslncoscos 21 21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21 +−+= 22) xxxCxCy ln32 21 −+= 23) 2 321 ln − ++= xCxxCxCy 24) [ ])(ln)cos(ln 321 xsenCxCxxCy ++= 25) 36 11 )1ln( 6 1 )1()1(1 3 3 2 21 −++ + + + + + = x x C x C x C y
  80. 80. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 79 AULA 23 8 – MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Vimos que uma única equação pode servir como modelo matemático para fenômenos diversos. Por essa razão, examinamos uma aplicação, o movimento de uma massa conectada a uma mola, detalhadamente na seção 8.1 abaixo. Veremos que, exceto pela terminologia e pelas interpretações físicas dos quatro termos na equação linear ay” + by’ + cy = g(t), a matemática de um circuito elétrico em série é idêntica à de um sistema vibratório massa-mola. Formas dessa equação diferencial linear de segunda ordem aparecem na análise de problemas em várias áreas da ciência e da engenharia. Na seção 8.1, consideramos exclusivamente problemas de valor inicial, enquanto na seção 8.2 examinamos aplicações descritas por problemas de contorno conduzem-nos aos conceitos de autovalor e autofunção. A seção 8.3 começa com uma discussão sobre as diferenças entre mola linear e mola não-linear; em seguida, mostraremos como um pêndulo simples e um fio suspenso levam a modelos não- lineares. 8.1 – EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: 8.1.1 - Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um suporte rígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre. A distensão ou elongação da mola naturalmente dependerá da massa; massas com pesos diferentes distenderão a mola diferentemente. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora F oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Enunciado de forma simples, F = ks, onde k é a constante de proporcionalidade chamado constante da mola. A mola é essencialmente caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa de 10 libras alonga em ½ pé uma mola, então 10 = k(½) implica que k = 20 lb/pés. Então uma massa de, digamos, 8 lb necessariamente estica a mesma mola somente 2/5 pé. Segunda Lei de Newton: Depois que uma massa m é conectada a uma mola, provoca uma distensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio no qual seu peso W é igual à força restauradora ks. Lembre-se de que o peso é definido por W = mg, onde g= 32 pés/s2 , 9,8m/s2 ou 980 cm/s2 . s l x equilíbrio Posição inicial mg K(s+x)
  81. 81. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 80 Conforme indicado na figura acima, a condição de equilíbrio é mg = ks ou mg – ks = 0. Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio, a força restauradora da mola será então k(x + s). Supondo que não haja forças de retardamento sobre o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas – movimento livre – podemos igualar F com a força resultante do peso e da força restauradora: kxksmgkxmgxsk dt xd m zero −=−+−=++−= 43421 )(2 2 (1) O sinal negativo indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao do movimento. Além disso, podemos adotar a convenção de que os deslocamentos medidos abaixo da posição de equilíbrio são positivos. 8.1.1.1 - ED do Movimento Livre não amortecido: Dividindo a equação (1) pela massa m obtemos a equação diferencial de segunda ordem 02 2 2 =+ x dt xd ω (2) onde mk /2 =ω A equação (2) descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre não amortecido. Duas condições iniciais óbvias associadas com (2) são x(0) = x0 e x’(0) = x1, representando, respectivamente, o deslocamento e a velocidade iniciais da massa. Por exemplo, se x0 > 0, x1 < 0, a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dirigida para cima. Quando x1 = 0, dizemos que ela partiu do repouso. Por exemplo, se x0 < 0, x1 = 0, a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posição de equilíbrio. 8.1.1.2 - Solução e Equação do Movimento: Para resolver a Equação (2), observamos que as soluções da equação auxiliar m2 +ϖ 2 =0 são números complexos m1 = ϖ i, m2 = - ϖ i. Assim, determinamos a solução geral de (2) como: tsenCtCtx ωω 21 cos)( += (3) O período das vibrações livres descritas por (3) é T = 2 ωπ / e a freqüência é πω 2//1 == Tf . Por exemplo, para x(t) = 2 cos 3t – 4 sen 3t, o período é 2π /3 e a freqüência é 3/2π unidades; o segundo número significa que há três ciclos do gráfico a cada 2π unidades ou, equivalentemente, que a massa está sujeita a 3/2π vibrações completas por unidade de tempo. Além disso, é possível mostrar que o período 2π /ϖ é o intervalo de tempo entre dois máximos sucessivos de x(t). Lembre-se de que o máximo de x(t) é um deslocamento positivo correspondente à distância máxima de x(t) é um deslocamento positivo correspondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio, enquanto o mínimo de x(t) é um deslocamento negativo correspondente à altura máxima atingida pela massa acima da posição de equilíbrio. Vamos nos referir a cada caso como deslocamento extremo da massa. Finalmente, quando as condições iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3), diremos que a solução particular resultante ou a resposta é a equação do movimento. Exemplo: Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t = 0, a massa é solta de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 3 4 pés/s para cima. Determine a equação do movimento livre.
  82. 82. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 81 Solução: Convertendo as unidades: 6 polegadas = ½ pé 8 polegadas = 2/3 pé Devemos converter a unidade de peso em unidade de massa M = W/g = 2/32 = 1/16 slug Além disso, da lei de Hooke , 2 = k(½) implica que a constante de mola é k = 4 lb/pé, Logo, (1) resulta em: x dt xd 4 16 1 2 2 −= 0642 2 =+ x dt xd ϖ 2 = - 64 ϖ = 8i x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t O deslocamento e a velocidade iniciais são x(0) = 2/3 e x’(0) = - 4/3, onde o sinal negativo na última condição é uma conseqüência do fato de que é dada à massa uma velocidade inicial na direção negativa ou para cima. Aplicando as condições iniciais a x(t) e a x’(t), obtemos C1 = 2/3 e C2 = - 1/6, assim, a equação do movimento será: tsenttx 8 16 1 8cos 3 2 )( −= 8.1.2 – Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal, uma vez que é descrito pela Equação (1) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a massa em movimento. A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito, haverá pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente. 8.1.2.1 - ED do Movimento Livre Amortecido: No estudo de mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo são consideradas proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. Em particular, vamos supor durante toda a discussão subseqüente que essa força é dada por um múltiplo constante de dx/dt. Quando não houver outras forças externas agindo sobre o sistema, segue na segunda lei de Newton que dt dx kx dt xd m β−−=2 2 (4) onde β é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é uma conseqüência do fato de que a força amortecedora age no sentido oposto ao do movimento. Dividindo-se (4) pela massa me, obtemos a equação diferencial do movimento livre amortecido 02 2 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x m k dt dx mdt xd β (5) ou 02 2 2 2 =++ x dt dx dt xd ωλ (6) onde

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