Bab 11 membahas gerak benda dalam dua dimensi dengan menganalisis gerak lurus, parabola, dan melingkar menggunakan vektor, diferensial, dan integral. Konsep kunci meliputi vektor posisi, perpindahan, kecepatan rata-rata dan sesaat, serta hubungan antara gaya dan percepatan."

1. Bab11
Gerak dalam
Dua Dimensi
Sumber: www.rit.edu
Pada bab ini, Anda akan diajak untuk dapat menganalisis gejala alam dan keteraturannya
dalam cakupan mekanika benda titik dengan cara menganalisis gerak lurus, gerak melingkar,
dan gerak parabola dengan menggunakan vektor.
Pernahkah Anda menjentikkan uang logam dengan jari Anda? Jika Anda A. Persamaan Gerak
pernah melakukannya dan dapat mengamati bentuk lintasan yang dibentuk Benda
saat uang logam itu bergerak, Anda akan dapat melihat bahwa lintasan B. Gerak Parabola
tersebut berbentuk parabola. Bentuk lintasan uang logam yang berbentuk
C. Gerak Melingkar
parabola tersebut dapat difoto menggunakan stroboscope, seperti terlihat pada
gambar.
Di Kelas X, Anda telah mempelajari gerak lurus dan gerak melingkar.
Dalam materi bab ini, Anda akan mempelajari tentang gerak secara ke-
seluruhan, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar dengan
menggunakan analisis vektor, perhitungan diferensial, dan integral.
Setelah mempelajari materi bab ini, Anda akan memahami bahwa gerak
parabola dapat dianalisis melalui perpaduan antara gerak lurus beraturan
(GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang arahnya saling tegak
lurus. Dapatkah Anda menyebutkan contoh-contoh gerak keseharian lain
yang lintasannya berbentuk parabola?
1

2. Soal Pramateri A Persamaan Gerak Benda
1. Apakah perbedaan
antara besaran vektor
dan skalar?
Apakah yang dimaksud dengan gerak? Banyak definisi telah dikemuka-
2. Sebutkanlah definisi kan oleh para ilmuwan untuk mendeskripsikan gerak. Namun, secara Fisika
posisi, perpindahan, Anda dapat menyatakan bahwa gerak ditentukan karena adanya kelajuan,
kecepatan, dan
percepatan. kecepatan, dan percepatan benda. Seluruh kajian tentang gerak benda yang
3. Jelaskanlah pengertian Anda pelajari akan berhubungan dengan kedudukan benda, kecepatan,
kecepatan sudut.
percepatan, dan waktu. Dalam membahas tentang gerak benda, seringkali
benda dimisalkan sebagai partikel atau benda titik, yaitu benda yang
ukurannya diabaikan dan memiliki massa tetap (konstan). Hal ini di-
maksudkan untuk memudahkan dalam mempelajari gerak benda tersebut.
y Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang gerak lurus dan gerak melingkar,
serta hubungan antara gaya dan percepatan. Dalam bab ini, Anda akan
mempelajari materi tentang gerak dengan lebih dalam menggunakan
perhitungan vektor, diferensial, dan integral.
j
x
1. Vektor Posisi
o i Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisika
Gambar 1.1 digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran
Vektor satuan i pada arah vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja,
sumbu-x dan vektor satuan j sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.
pada arah sumbu-y.
Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengan
kecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60
y
km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan besaran
vektor? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaran
yj A
vektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut
sebagai besaran skalar. Apabila benda dianggap sebagai benda titik, atau
r = xi + yj partikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan
x vektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai ke
o xi
posisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xy
dapat dinyatakan sebagai berikut.
Gambar 1.2
Posisi titik A dinyatakan r = xi + yj (1–1)
dalam vektor posisi
dengan rA = xi + y j . dengan (x, y) adalah koordinat partikel, sementara i dan j adalah vektor
satuan yang menyatakan arah pada sumbu-x dan sumbu-y. Vektor satuan
memiliki nilai 1 satuan.
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 1.3 berikut.
y (cm)
5
Gambar 1.3
4
Posisi titik A apabila
3 A
dinyatakan dalam vektor posisi
rA=(5i + 3j) cm. 2
1 rA
x (cm)
0 1 2 3 4 5
Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau
pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut.
rA = xAi + yA j = (5i + 3j) cm.
2 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

3. 2. Perpindahan
Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam y
waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut Q
lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 1.4. Apabila posisi titik P dinyatakan
P
sebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang Δr
terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δ r, yaitu
rP rQ
Δr = rQ – rP (1–2)
Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa x
perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi
awal. Gambar 1.4
Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh Garis putus-putus menyatakan
partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau lintasan partikel. Perpindahan
posisi partikel dari posisi awal
mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, di titik P ke posisi titik Q
partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel dinyatakan dengan Δr..
berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ.
Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2)
dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j.
Apabila xQ – xP = Δx dan yQ – yP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan y
partikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi
Q
Δr
Δr = Δxi + Δyj (1–3) P Δy
θ
Δx
Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δr
maka dapat dituliskan rP rQ
| Δr| = ( Δx )2 + ( Δy)2 (1–4)
x
Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang
Gambar 1.5
dibentuk oleh vektor perpindahan Δ r terhadap sumbu-x. Perhatikanlah
Perpindahan vektor Δ r menurut
Gambar 1.5 berikut.
sumbu-x adalah sebesar Δ x dan
Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δ r terhadap menurut sumbu-y sebesar Δ y.
sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai
Δy
tan θ = (1–5)
Δx
Contoh 1.1
Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor
posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan
dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.
Jawab
Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8).
Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalah
rP = 3i + 2j
r Q = 11i + 8j
Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δ r yang diperoleh sebagai berikut
Δ r = rQ – rP = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δ r = 8i + 6j
Besar vektor Δr adalah
| Δ r| = 8 2 + 6 2 = 100 = 10 satuan
Gerak dalam Dua Dimensi 3

4. Δy 6 3
Arah perpindahan vektor itu adalah tan θ = = = sehingga θ = 37°
Δx 8 4
Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan,
dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih
jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.
y
8
Δr
2
θ
rP rQ
x
0 3 11
3. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Secara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi per
satuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yang
terbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akan
membahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari
perhitungan vektor.
a. Kecepatan Rata-Rata
Perhatikanlah Gambar 1.6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan
sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh
Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr.
y
Q
Δr
P
r + Δr
r
Gambar 1.6
Sebuah benda berpindah secara Δt
x
linear dari titik P ke titik Q. 0 t1 t2
Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda
adalah sebagai berikut.
Δr = (r + Δr) – r
Berdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan
v=
( r + Δr ) − r = Δr
(1–6)
(t + Δt ) − t Δt
Δr
dengan v atau disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata
Δt
benda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan cara
memasukkan nilai Δr dari Persamaan (1–3) sebagai berikut.
Δx i + Δy j Δx Δy
v= = i+ j (1–7)
Δt Δt Δt
4 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

5. Perhatikanlah Gambar 1.7. Gambar tersebut menunjukkan grafik
perpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.
x
x2 Q Gambar 1.7
Apabila gerak benda hanya pada
Δ x = x2 – x1 arah sumbu-x maka kecepatan
x1 P
rata-rata benda v x adalah
Δ t = t2 – t1 kemiringan garis yang
menghubungkan titik P dengan
Δx
t titik Q, yaitu .
t1 t2 Δt
Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, benda
berpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arah
Δx
sumbu-x, yaitu dituliskan dengan lambang vx . Apabila benda tersebut
Δt
juga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah
Δy
sumbu-y, yaitu dituliskan dengan lambang v y . Dengan demikian,
Δt
kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagai
berikut.
Δr
v= = v xi + v y j (1–8)
Δt
Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan per-
samaan berikut.
| v| = vx2 + vy2 (1–9)
Perlu Anda
b. Kecepatan Sesaat Ketahui
Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung
dr dx
, dan
dy disebut
kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat ,
dt dt dt
atau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut. fungsi turunan posisi (r, x,
atau y) terhadap waktu t.
Δr
lim
v = Δt → 0 v = Δ t → 0
lim (1–10) Rumus fungsi turunan:
Δt
dr
r = at n → = nat n −1
Perhatikanlah Gambar 1.8 berikut. dt
contoh:
dr
x r = 3t 4 →
dt
(
= (4 )(3) t 4 −1 )
S
= 12t 3
R
Q
P
Δ t3 Gambar 1.8
Grafik x terhadap t untuk selang
Δ t2
waktu Δ t yang semakin kecil.
Δ t1
t
t1 t2 t3 t4
Gerak dalam Dua Dimensi 5

6. Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang
menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila
selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan
sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P,
yaitu turunan posisi terhadap waktu.
Pada Gambar 1.8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan
sebagai berikut.
lim Δ x = dx
v = Δt → 0 (1–11)
Δt dt
Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurut
sumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut.
Δr dr dx dy
v = lim = = i+ j (1–12)
Δ→
t 0 Δt dt dt dt
dx dy
y
Oleh karena = vx dan = vy maka Persamaan (1–12) dapat dituliskan
vy v dt dt
menjadi
P θ v = vxi + vy j (1–13)
vx
Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung
dengan menggunakan persamaan berikut.
|v| = vx2 + vy2 (1–14)
x
Perhatikanlah Gambar 1.9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda
Gambar 1.9 di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut
Arah percepatan v di titik P terhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ .
terhadap sumbu-x positif. Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut
vy
tan θ = (1–15)
vx
Perlu Anda dengan: vx = v cosθ , dan
Ketahui vy = v sinθ .
Pada buku ini, besaran
vektor ditulis dengan huruf
tebal dan miring,
Contoh 1.2
contohnya: r, v, a. Adapun, Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat x
vektor satuan ditulis
dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i +
dengan huruf tebal dan
tegak, contohnya: i, j, (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:
dan k. a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;
b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;
c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon.
Jawab
Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j.
a. t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter.
t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter.
Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah
Δr = r2 – r1= (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter
Besar vektor Δr adalah
Δr = | Δr| = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 m.
b. Kecepatan rata-rata partikel adalah
6i + 8 j (3i + 4j) m/s
v = Δr = =
Δt 2−0
6 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

7. Besar kecepatan rata-rata partikel adalah
v = 32 + 4 2 = 5 m/s.
c. Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.
vx = dx = d (6 + 3t) = 3 m/s
dt dt
dy d
vy= = (8 + 4t) = 4 m/s
dt dt
Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah
v = vxi + vy j = (3i + 4j) m/s. Jelajah
Besar kecepatan sesaat partikel adalah
Fisika
v = 32 + 4 2 = 5 m/s. Galileo Galilei
(1564–1642)
Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan
v
tan θ = y = 4
vx 3
θ = 53°.
Contoh 1.3
Perhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut.
x (m)
12
Galileo lahir di Pisa, Italia. Pada
umur 19 tahun, ia mempelajari
matematika dan
mengembangkan penelitiannya
tentang gerak mekanik,
terutama mengenai gerak di
bidang miring, gerak pendulum,
t (s)
dan gerak jatuh bebas. Saat
0 3 8 12 mengajar di Universitas Padua,
ia menjadi penyokong teori
Copernicus mengenai sistem
Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu: Matahari, yang bertentangan
a. antara t = 0 sampai t = 3 s; dengan teori yang diakui saat
b. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan itu. Saat menerbitkan karyanya,
c. antara t = 8 sampai t = 12 s. ia disidang untuk menyangkal
hasil penelitiannya, namun ia
Jawab tetap yakin dengan penelitiannya
dan tidak mau menyerah.
Δx i Setelah ia dijatuhi hukuman
Diketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata v = .
Δt tahanan rumah, ia meninggal
a. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah pada umur 78 tahun. Walaupun
begitu, ia menyelesaikan
(12 − 0) i m
v= penelitiannya mengenai gerak.
(3 − 0)s = 4i m/s Karya tulisnya, kemudian
diselundupkan dari Italia dan
b. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah
diterbitkan di Belanda.
v=
(12 − 12) i m Sumber: www.hao.ucar.edu
= 0i m/s
(8 − 3)s
c. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah
v=
(0 − 12) i m
= –3i m/s
(12 − 8)s
Gerak dalam Dua Dimensi 7

8. Perlu Anda 4. Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan
Ketahui Fungsi posisi suatu benda, yaitu koordinat benda (x, y) dapat diperoleh
dengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan benda sebagai fungsi
∫ adalah lambang integral.
waktu.
rumus integral:
Dalam arah sumbu-x, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.
a n +1
r = ∫ at n dt → r = t dx
n +1 vx = atau dx = vx dt
contoh:
dt
Posisi x ditentukan dengan
3 4 3 +1 x t t
r = ∫ 4t dt → r = t ∫ dx = ∫ vx dt ⇒ x – x0 = ∫ vx dt
3+1 x0 0 0
= t4 t
x = x0 + ∫ vx dt
0
Dalam arah sumbu-y, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.
dy
vy = atau dy = vy dt
dt
Posisi y ditentukan dengan
Solusi y t
∫ dy = ∫ vy dt ⇒ y – y0 = ∫ vy dt
t
Cerdas y0 0 0
t
Sebuah mobil dengan kecepatan
36 km/jam direm mendadak y = y0 + ∫ vy dt
0
sehingga terbentuk bekas di
(x 0, y 0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y)
jalan sepanjang 20 m. Waktu
pengereman yang dibutuhkan menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t.
sampai mobil tersebut berhenti Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskan
adalah .... sebagai berikut
a. 2 s d. 8 s
b. 4 s e. 10 s r = xi + yj
c. 6 s
t t
Penyelesaian r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j (1–16)
Diketahui: v0 = 36 km/jam 0 0
= 10 m/s
Δ r = luas segitiga
maka, atau r = r0 + ∫ v dt (1–17)
1
20 = ( )(t)(10)
2
Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Dengan
t =4s demikian, posisi benda dapat ditentukan dengan metode grafik sebagai
v berikut. Apabila kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan
10 vx = 2t + 5, posisi benda adalah
t t t
t
x = ∫ (2t + 5) dt = ∫ 2t dt + ∫ 5 dt = t2 + 5t 0
0 0 0
Misalkan, batas integral adalah dari t = 0 sampai dengan t = 2. Dengan
memasukkan nilai batas integral, didapatkan perpindahan benda adalah
t 2
0 t x = t2 + 5t 0
= [22 + (5)(2)] – [02 + (5)(0)] = 14
Jawab: d
Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan meng-
Soal SMPB 2005 Regional III
hitung luas daerah di bawah kurva v(t).
v (m/s)
9
x = luas daerah di bawah kurva v (t)
Gambar 1.10 = luas trapesium
5
Luas daerah yang diarsir 1
menyatakan besar perpindahan = ( )(5 + 9)(2) = 14
2
yang dilakukan benda dalam
selang waktu t = 0 sampai
dengan t = 2.
t (s)
0 2
8 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

9. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan benda
sama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secara
matematis dituliskan sebagai berikut.
(1–18)
Δr = ∫ v dt
Contoh 1.4
Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal, benda berada pada
koordinat (3,2) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaan
vx = 12 + 4t dan vy = 9 + 3t dengan v x dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon.
Tentukanlah:
a. persamaan umum vektor posisi benda,
b. posisi benda pada saat t = 3 sekon, dan
c. perpindahan benda antara t = 1 sekon dan t = 3 sekon.
Jawab
Diketahui: posisi awal benda (3, 2) m, vx = 12 + 4t, dan vy = 9 + 3t.
a. Posisi awal benda (3,2) m maka x0 = 3 m dan y 0 = 2 m. Dengan demikian,
diperoleh
t t
r = (x0 + ∫ vx dt)i + (y0 + ∫ vy dt)j
0 0
t t
r = [3 + ∫ (12 + 4t)]i + [2 + ∫ (9 + 3t)]j
0 0
3 2
r = (3 + 12t + 2t2 )i + (2 + 9t + t )j.
2
b. Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah
x = 3 + (12)(3) + (2)(32) = 57 m
3
y = 2 + (9)(3) + ( )(32) = 42,5 m
2
Jadi, pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai
r = (57i + 42,5j ) meter.
3 2
c. Pada t1 = 1 sekon maka r1 = [3 + (12)(1) + (2)(12)]i + [2 + (9)(1) + ( )(1 )]j
2
= (17i + 12,5j) meter
3
Pada t2 = 3 sekon maka r2 = [3 + (12)(3) + (2)(32)]i + [2 + (9)(3) + ( )(32)]j
2
= (57i + 42,5j) meter
Perpindahan partikel dari t1 = 1 sekon hingga t2 = 3 sekon adalah
Δ r = r2 – r1 = (57i + 42,5j) – (17i + 12,5j) = (40i + 30j) meter
Besar vektor Δ r adalah
Sumber: Fisika untuk Sains dan Teknik,
| Δ r| = 40 2 + 30 2 = 2.500 = 50 meter 1991
Gambar 1.11
Foto dari sebuah apel yang
5. Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat dijatuhkan. Gambar diambil
sebanyak 60 kali setiap sekon
Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahan agar percepatannya dapat
kecepatan per satuan waktu yang bernilai positif disebut percepatan, sedangkan diamati. Percepatan apel
ditandai dengan jarak antartitik
yang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halnya dengan apel yang semakin besar di
kecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, yaitu percepatan rata- bagian bawah foto.
rata dan percepatan sesaat.
Gerak dalam Dua Dimensi 9

10. a. Percepatan Rata-Rata
Perhatikanlah Gambar 1.12. Grafik kecepatan terhadap waktu pada
gambar tersebut menyatakan gerak benda yang berpindah dengan kecepatan
tertentu setiap saatnya. Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v dan
pada saat t + Δ t kecepatannya v + Δ v, percepatan rata-rata benda tersebut ( a )
v (m/s)
dinyatakan sebagai berikut.
v2
a a=
(v + Δv) − v = Δv
Δv (1–19)
v1 (t + Δt ) − t Δt
Δt
Penulisan Persamaan (1–19) dalam bentuk vektor dalam arah sumbu-x dan
sumbu-y adalah sebagai berikut.
Δv x i + Δv y j Δvx Δv y
t1 t2
t(s) a= = i+ j (1–20)
Δt Δt Δt
Gambar 1.12 Oleh karena Δvx = a x dan Δvy = a y, Persamaan (1–20) dapat ditulis menjadi
Grafik percepatan
a = ax i + ay j (1–21)
Besar percepatan rata-rata dinyatakan sebagai
Jelajah | a| = ax 2 + ay 2 (1–22)
Fisika Arah percepatan rata-rata dapat dituliskan sebagai berikut.
Jatuh Bebas
ay
tan θ = (1–23)
ax
b. Percepatan Sesaat
Percepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu
Δ t yang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaannya
dituliskan sebagai berikut.
Δ v dv
a = Δt → 0 a = Δt → 0
lim lim = (1–24)
Δt dt
Apabila vektornya disesuaikan menurut arah sumbu-x dan sumbu-y,
Persamaan (1–24) berubah menjadi
Dahulu orang percaya pada
gagasan Aristoteles mengenai
benda jatuh, yaitu benda yang dv x dv y
lebih berat akan lebih dulu
a= i+ j = axi + ay j (1–25)
dt dt
mencapai tanah dibandingkan
benda yang lebih ringan. Melalui dr
percobaannya dengan mengukur Oleh karena v = maka Persamaan (1–25) dapat dituliskan sebagai
waktu tempuh bola-bola yang dt
digelindingkan pada suatu bidang berikut
miring, Galileo membantah
gagasan Aristoteles tersebut. dv d ⎛ dr ⎞ d 2 r d 2 x d 2 y
Dari hasil percobaannya, Galileo
a= = ⎜ ⎟= = i+ j (1–26)
dt dt ⎝ dt ⎠ dt dt dt
berkesimpulan bahwa waktu
yang dibutuhkan kedua benda
jatuh untuk mencapai tanah
adalah sama.
Contoh 1.5
Sumber: Jendela Iptek, 1997 Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 2t2 – 3t + 10 jika v dinyatakan
dalam m/s dan t dalam sekon, tentukanlah:
a. percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 4 sekon,
b. percepatan awal partikel, dan
c. percepatan partikel pada saat t = 6 sekon.
10 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

11. Jawab
Diketahui: v(t) = 2t2 – 3t + 10.
a. Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δ v dan Δ t
sebagai berikut.
Persamaan umum kecepatan adalah v(t) = 2t2 – 3t + 10 sehingga
untuk t2 = 4 sekon, v2 = 2(4)2 – 3(4) + 10 = 30 m/s
untuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)2 – 3(2) + 10 = 12 m/s
Δv v −v 30 − 12
Diperoleh a = = t2 − t 1 = = 9 m/s2.
Δt 2 1 4−2
b. Persamaan umum percepatan sesaat diperoleh sebagai turunan pertama dari
fungsi kecepatan, yaitu
a = dv = dt (2t2 – 3t + 10) = (4t – 3) m/s2.
dt
d
Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga
a = 4(0) – 3 = –3 m/s2.
c. Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah
a = 4(6) – 3 = 21 m/s2.
Contoh 1.6
v (m/ s)
Sebuah mobil bergerak dengan grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti terlihat
pada gambar disamping.
Tentukanlah: 8
a. percepatan rata-rata benda antara t = 0 sekon sampai t = 4 sekon, dan
b. percepatan rata-rata benda antara t = 4 sekon sampai t = 8 sekon
Jawab
2
Diketahui: grafik v – t.
a. Percepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 4 sekon, yaitu t (s)
0 4 8
v −v
a = Δv = 2 1 = 8 − 2 = 1,5 m/s2.
Δt t 2 − t1 4−0
b. Percepatan rata-rata benda antara t = 4 sampai t = 8 sekon, yaitu
v −v
a = Δv = 2 1 = 0 − 8 = –2 m/s2.
Δt t 2 − t1 8−4
6. Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan
a
Fungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode
integral, yaitu
kurva a (t)
t
v = v0 + ∫ a dt t
0
∫ a dt = luas daerah di
0
bawah kurva
atau v = (vox + ∫ ax dt)i + (voy + ∫ ay dt)j (1–27)
Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Metode
yang digunakan untuk memeroleh nilai kecepatan dari fungsi percepatan dapat t
dilakukan dengan analogi pada cara untuk mendapatkan nilai perpindahan
dari fungsi kecepatan. Perhatikan Gambar 1.13. Kecepatan partikel secara grafik Gambar 1.13
dapat ditentukan sebagai berikut.
Luas daerah yang diarsir
Besar kecepatan = luas daerah di bawah kurva a (t) menyatakan besar kecepatan
yang dilakukan benda dalam
selang waktu t.
Gerak dalam Dua Dimensi 11

12. Contoh 1.7
Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika benda mengalami
percepatan a (t) = (4t –2) m/s2, tentukanlah:
a. persamaan kecepatan benda, dan
b. kecepatan benda pada t = 2 sekon.
Jawab
Diketahui: vo = 3 m/s dan a(t) = (4t – 2) m/s2.
a. Kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral.
v = v0 + ∫ a dt = 3 + ∫ (4t – 2) dt = (3 + 2t2 – 2 t) m/s2.
b. Kecepatan benda pada saat t = 2 sekon adalah
v = 3 + (2)(2)2 – (2)(2) = 7 m/s.
Solusi 7. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah
Cerdas Beraturan
v (m/s) Di Kelas X, Anda telah mengenal dan mempelajari dua jenis gerak lurus,
20
yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan
(GLBB). Pada gerak lurus beraturan, kecepatan gerak benda tetap dan
percepatan benda sama dengan nol. Persamaan geraknya diperoleh melalui
persamaan
s t
ds
v= ⇒ ds = v dt ⇒ s∫ ds = t∫ v dt
dt 0 0
t (s) Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga
0 4 10 12
persamaan dapat dituliskan menjadi
Sebuah mobil bergerak dengan s t
grafik kecepatan terhadap ∫ ds = v ∫ dt ⇒ s – s0 = vt
waktu, seperti terlihat pada s0 t0
gambar. Pada Interval waktu Dengan demikian, dapat dituliskan persamaan
antara 10 sekon hingga 12
sekon, mobil bergerak .... s = s0 + vt (1–28)
a. lurus diperlambat dengan
perlambatan 10 m/s2 dengan s0 merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.
b. lurus dipercepat dengan Pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB), benda bergerak dengan
percepatan 10 m/s2
c. lurus dipercepat dengan percepatan tetap. Persamaan geraknya diperoleh melalui
vt t
percepatan 5 m/s2 dv
d. lurus diperlambat dengan a= ⇒ dv = a dt ⇒ ∫ dv = ∫ a dt
perlambatan 10 m/s2 dt v0 0
e. lurus beraturan dengan Pada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaan
kecepatan tetap sebesar dapat dituliskan menjadi
10 m/s vt t
Penyelesaian ∫ dv = a ∫ dt ⇒ vt – v0 = at
t1 = 10 → v1 = 20 m/s v0 0
t1 = 10 → v1 = 20 m/s
Dengan demikian, diperoleh persamaan sebagai berikut.
Dalam selang waktu antara 10 vt = v0 + at (1–29)
sekon hingga 12 sekon
v 2 − v 1 0 − 20 atau
a= =
t 2 − t1 12 − 10 vt − v0
a = -10 m/s2 t= (1–30)
a
Jawab: a
Apabila Persamaan (1–29) diintegralkan, akan diperoleh jarak tempuh
benda, yaitu
ds
v(t) = ⇒ ds = v(t) dt
dt
12 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

13. Oleh karena v (t) = v0 + at maka
s t t
∫ ds = ∫ v(t)dt = ∫ (v + at )dt
s0 0
0 0
t t t t
s – s0 = ∫ v0 dt + ∫ (at)dt = v0 ∫ dt + a ∫ t dt
0 0 0 0
1
s – s0 = v0 t + at 2
2
1
s = s0 + v0 t + at 2 (1–31)
2
Jika s0 = 0, akan diperoleh persamaan
1
s = v0 t + at 2 (1–32)
2
Kemudian, jika Persamaan (1–30) disubstitusikan ke Persamaan (1–32)
diperoleh
Kata Kunci
⎛ vt − v0 ⎞
2
1 ⎛ vt − v0 ⎞ • Vektor posisi
s = v0 ⎜
⎝ a ⎟ + 2 a⎜ a ⎟
• Vektor kecepatan
⎠ ⎝ ⎠ • Vektor percepatan
• Gerak lurus beraturan
⎛ v0 vt − v0 2 ⎞ 1 ⎛ vt 2 − 2vt v0 − v0 2 ⎞ • Gerak lurus berubah
s= ⎜
⎝ a ⎟ + 2 a⎜
⎠ ⎝ a2 ⎟
⎠
beraturan
⎛ v0 vt − v0 2 ⎞ ⎛ v 2 − 2vt v0 − v0 2 ⎞
2s = 2 ⎜ ⎟ + a⎜ t ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
2as = 2v0 vt – 2v0 + vt – 2v0vt + v0
2 2 2
vt2 = v02 + 2as (1–33)
Contoh 1.8
Besar kecepatan suatu partikel yang mengalami perlambatan konstan ternyata
berubah dari 30 m/s menjadi 15 m/s setelah menempuh jarak sejauh 75 m. Setelah
menempuh jarak berapa lagi partikel tersebut berhenti?
Jawab
Diketahui: v0 = 30 m/s, vt1 = 15 m/s, vt2 = 0 m/s, dan s = 75 m
v0 = 30 m/s vt1 = 15 m/s vt2 = 0
(berhenti)
s1 = 75 m/s s2 = ?
vt12 − v0 2 152 − 302
a= = = − 4,5 m/s2.
2 s1 2 (75)
vt 2 2 − vt12 02 −152
s2 = = = 25 m.
2a 2 ( −4,5)
Gerak dalam Dua Dimensi 13

14. Soal Penguasaan Materi 1.1
Kerjakanlah di dalam buku latihan Anda.
1. Seekor semut bergerak dari titik A (–2, 5) ke titik B vx = 12 + 3t dan vy = 16 + 4t dengan vx dan vy dalam
(7, –7). Tentukanlah: m/s, dan t dalam sekon. Tentukanlah:
a. vektor posisi semut itu saat berada di titik A a. persamaan umum vektor posisi benda,
dan di titik B, dan b. posisi benda pada saat t = 2 sekon, dan
b. vektor perpindahan dari titik A ke titik B, serta c. perpindahan benda antara t = 0 sekon dan t = 4
besar vektor perpindahan tersebut. sekon.
2. Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang 4. Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan
dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel v(t) = (2,5t – 4)i + (6t + 3)j dengan v dalam m/s dan
berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = t dalam sekon. Tentukanlah:
(3 – 6t + 3t2)i + (4 – 8t + 4t2)j dengan r dalam meter a. percepatan rata-rata partikel untuk selang
dan t dalam sekon. Tentukanlah: waktu t = 0 sekon sampai t = 3 sekon, dan
a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 2 b. percepatan benda pada t = 2 sekon.
sekon sampai dengan t = 4 sekon, 5. Benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika
b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang benda mengalami percepatan a(t) = (4t – 2) m/s2,
waktu t = 2 sekon sampai dengan t = 4 sekon, dan tentukanlah:
c. besar dan arah kecepatan partikel tersebut pada a. persamaan kecepatan benda, dan
saat t = 2 sekon. b. kecepatan benda pada t = 2 sekon.
3. Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada saat
awal, benda berada di koordinat (5, 2) m komponen-
komponen kecepatan benda memenuhi persamaan
B Gerak Parabola
Perhatikanlah lintasan yang dibentuk oleh bola basket yang dilemparkan
ke dalam ring pada Gambar 1.14. Lintasan bola basket tersebut berbentuk
parabola. Gerak yang lintasannya berbentuk parabola disebut gerak parabola.
Contoh umum gerak parabola adalah gerak benda yang dilemparkan ke atas
membentuk sudut tertentu terhadap permukaan tanah. Gerak parabola dapat
dipandang dalam dua arah, yaitu arah vertikal (sumbu-y) yang merupakan
gerak lurus berubah beraturan (GLBB), dan arah horizontal (sumbu-x) yang
merupakan gerak lurus beraturan (GLB). Perhatikan Gambar 1.15 berikut.
Gambar 1.14 y
Lintasan bola basket saat
dilemparkan ke dalam ring akan vy v v = vx
berbentuk parabola.
vx vx
v 0y v0
vy
α
vx
0 x
v 0x
Gambar 1.15
Arah gaya pada lintasan gerak v
parabola. vy
Gerak pada sumbu-x (horizontal) adalah gerak lurus beraturan karena
kecepatan benda di setiap titik bernilai konstan dan berlaku persamaan
vx = v0x = v0 cos α (1–34)
14 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

15. Adapun, jarak mendatar yang ditempuh oleh sebuah benda ditentukan oleh
persamaan
x = vx t = v0cos α t (1–35)
Gerak pada sumbu-y (vertikal) adalah gerak lurus berubah beraturan,
karena benda mengalami perubahan kecepatan akibat percepatan gravitasi
Bumi. Dalam hal ini, arah gerak benda vertikal ke atas sehingga persamaan
kecepatan geraknya pada setiap titik adalah
vy = v0y – gt (1–36)
oleh karena v0y = v0 sin α , Persamaan (1–36) dapat dituliskan menjadi
vy = v0 sin α – gt (1–37)
Posisi benda pada sumbu-y (menurut ketinggian) dapat dituliskan dengan
persamaan berikut
1
y = v0y t – gt 2 (1–38)
2
atau
1
y = v0 sin α t – gt 2 (1–39)
2
1. Kecepatan dan Arah Kecepatan Benda di Sembarang
Titik
Pada gerak parabola, benda memiliki kecepatan pada komponen
sumbu-x dan sumbu-y sehingga besar kecepatan benda di sembarang titik
secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.
v= v2 + v2
x y (1–40)
Arah kecepatan benda terhadap sumbu mendatar (sumbu-x) dirumuskan
sebagai berikut.
vy
tan θ = (1–41)
vx
Oleh karena nilai vx selalu positif maka positif atau negatifnya sudut θ
B
bergantung pada nilai vy.
v0
H
2. Beberapa Persamaan Khusus pada Gerak Parabola θ C
A
Persamaan-persamaan khusus gerak parabola ini hanya berlaku untuk X
gerak parabola dengan lintasan dari tanah, kemudian kembali lagi ke tanah
Gambar 1.16
seperti pada Gambar 1.16.
Lintasan gerak parabola benda
Pada contoh gerak parabola tersebut, suatu benda bergerak dari titik A dengan titik tertinggi di B dan
dengan kecepatan awal v0 dan sudut θ . Benda tersebut mencapai titik titik terjauh di C.
tertinggi di titik B dan jarak terjauh di titik C.
a. Waktu untuk Mencapai Titik Tertinggi (Titik B)
Pada saat benda yang melakukan gerak parabola mencapai titik tertinggi,
kecepatan benda pada komponen vertikal (sumbu-y) vy = 0. Persamaannya
adalah sebagai berikut.
Gerak dalam Dua Dimensi 15

16. vy = v0y – gtAB
0 = v0 sin α – gtAB
gtAB = v0 sin α
v0 sin α
tAB = (1–42)
g
1
Ketinggian benda di titik tertinggi adalah H = g(tBC) 2. Sifat simetri
Solusi grafik parabola memperlihatkan bahwa waktu yang diperlukan benda untuk
2
Cerdas mencapai titik tertinggi dari posisi awal (tAB), sama dengan waktu tempuh
Sebuah peluru ditembakkan
dengan kecepatan 60 m/s dan
benda dari titik tertinggi ke jarak terjauh (t BC). Dengan demikian, akan
sudut elevasi 30°. Ketinggian diperoleh persamaan
maksimum yang dicapai peluru
adalah .... v0 sinα 2H
a. 30 m tAB = tBC = = (1–43)
g g
b. 45 m
c. 50 m
d. 90 m
e. 100 m
b. Tinggi Maksimum (H )
Penyelesaian
Tinggi maksimum benda yang melakukan gerak parabola dapat diten-
Diketahui: vo = 60 m/s tukan dari penurunan Persamaan (1–43) sebagai berikut.
α = 30°
g = 10m/s2 v0 sinα 2H v02 sin2 α 2H
= dikuadratkan menjadi = sehingga diperoleh
v 02 sin2 α g g g2 g
H=
2g
v0 2 sin 2α
=
(60)2 sin2 (30°) H= (1–44)
(2)(10) 2g
1⎞
2 c. Jarak Terjauh (X )
(3.600) ⎛
⎜
⎝ ⎟
2⎠ Waktu tempuh untuk mencapai titik terjauh (titik C) sama dengan dua
=
20 kali waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi (tAC = 2 tAB). Jarak
= 45 m terjauh yang dicapai benda pada sumbu-x (dilambangkan dengan X) adalah
Jawab: b
⎛ v sinα ⎞ ⎛ sin α ⎞
UMPTN 1997 Rayon B X = v0x tAC = v0 cos α 2 ⎜ 0 ⎟ = v0 2 ⎜
2
⎟ cos α
⎝ g ⎠ ⎝ g ⎠
Menurut trigonometri, 2 sin α cos α = sin2 α sehingga persamaan untuk jarak
terjauh yang dapat dicapai benda dapat dituliskan
v0 2 sin 2α
X= (1–45)
g
Perbandingan antara jarak terjauh (X) dan tinggi maksimum (H) akan
menghasilkan persamaan
⎛ v0 2 sin α co s α ⎞
X ⎜
⎝ g ⎟
⎠ 4
= = (1–46)
H ⎛ v0 sin α ⎞
2 2
tan α
⎜
⎝ 2g ⎟ ⎠
16 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

17. Contoh 1.9
Dari titik A di tanah, sebuah bola dilemparkan dengan kecepatan awal 20 m/s dan
sudut elevasi 37° (sin 37° = 0,6). Jika g = 10 m/s2, hitunglah:
a. komponen kecepatan awal dalam arah horizontal dan vertikal,
b. kecepatan bola setelah 0,4 sekon, Jelajah
c. posisi bola setelah 0,4 sekon, Fisika
d. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola, dan
Loncat Batu Pulau Nias
e. jarak lemparan terjauh yang dicapai bola.
Jawab
Diketahui: v0 = 20 m/s, α = 37°, dan g = 10 m/s2.
a. Komponen kecepatan awal
1) Dalam arah horizontal
v0x = v0 cos α = (20 m/s)(cos 37°)
= (20 m/s)(0,8) = 16 m/s.
2) Dalam arah vertikal
v0y = v0 sin α = (20 m/s)(sin 37°)
= (20 m/s)(0,6) = 12 m/s.
b. Kecepatan bola setelah 0,4 s (t = 0,4 s)
1) Kecepatan dalam arah horizontal tetap, yaitu
vx = v0x = 16 m/s.
Penduduk di Pulau Nias memiliki
2) Kecepatan dalam arah vertikal tradisi unik. Seorang pemuda
vy = v0y – gt = 12 m/s – (10 m/s2)(0,4 s) = 8 m/s. Nias dewasa atau menginjak
Dengan demikian diperoleh dewasa harus mampu meloncati
batu yang tingginya sekitar 2
v= v2 + v2 =
x y 16 2 + 82 meter, sebagai tanda
keberanian, kedewasaan, dan
kesatriaan. Gerak yang dilakukan
= 8 5 m/s.
oleh pemuda Nias ini merupakan
c. Posisi bola setelah 0,4 s salah satu contoh gerak
1) Posisi pada arah horizontal parabola yang telah dikenal sejak
x = vxt = (16 m/s)(0,4 s) = 6,4 m. dulu oleh para penduduk Nias.
2) Posisi pada arah vertikal Dalam menyelesaikan tantangan
loncat batu ini, loncatan yang
1 2 dibuat peloncat harus memiliki
y = v0yt – gt kecepatan awal tertentu, tinggi
2
maksimum, dan rentang
1 maksimum, sebagaimana yang
= (12 m/s)(0,4 s) – ( )(10 m/s2)(0,4 s)2
2 telah Anda pelajari dalam
= 5,6 m. materi gerak parabola.
Dengan demikian, posisi bola setelah 0,4 s berada pada koordinat (6,4 m ; 5,6 m). Sumber: www.geocities.com
d. Tinggi maksimum yang dicapai bola
v0 2 sin 2α (20)2 (0,6)2
H= = = 7,2 m
2g 2(10)
e. Jarak lemparan terjauh yang dicapai bola
v0 2 sin 2α 2v 2 sin α cos α
X= = 0
2g g
2(20 m /s)2 (0,6)(0,8)
=
10m / s2
= 38,4 m
Gerak dalam Dua Dimensi 17

18. Contoh 1.10
Jangan Sebuah benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung yang tingginya 40 m.
Lupa Kecepatan awal benda 20 m/s dengan sudut elevasi 30°. Tentukan jarak terjauh
dari rumus trigonometri,
dalam arah mendatar yang dapat dicapai benda, dihitung dari dasar gedung.
diketahui Jawab
sin 2 α = 2 sin α cos α
Diketahui: h= 40 m, v0 = 20 m/s, dan θ = 30°.
Perhatikan gambar.
Untuk menentukan jarak terjauh v 0y v0 = 20 m/s
dalam arah mendatar (X), lebih dahulu
A 30°
Anda hitung waktu yang diperlukan v 0x
benda untuk bergerak dari A ke B.
Waktu ini bisa dihitung dari gerak
vertikal ke atas (sumbu-y) sebagai
berikut:
⎛ 1⎞ 40 m
v0y = v0 sin 30° = (20 m/s) ⎜ ⎟ = 10 m/s
⎝ 2⎠
y = v0yt – 1 gt 2
2
B
–40 = 10t –
1 (10)t2; bagi 5 X=?
2
–8 = 2t – t2
0 = t2 – 2t – 8
0 = (t + 2) (t – 4)
Diperoleh
t = –2 s (tidak digunakan)
t=4s
Dari gerak horizontal (sumbu -x), diperoleh
x = v0t cos 30°
⎛1 ⎞
= (20 m/s)(4 s) ⎜ ⎝ 2 ⎟ = 40 3 m.
3
⎠
Catatan:
nilai y diambil harga negatif (–40) karena posisi akhir (titik B) berada di bawah posisi
asal (titik A).
Contoh 1.11
Sebuah mobil hendak menyeberangi sebuah
parit yang lebarnya 4 m. Perbedaan tinggi
antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm,
15 cm
seperti ditunjukkan pada gambar. Jika
4m
percepatan gravitasi 10 m/s 2, berapakah
kelajuan (v) minimum agar penyeberangan
mobil dapat tepat berlangsung?
Jawab
Perhatikan kembali gambar. Dari gambar diketahui: y = 0,15 m, x = 4 m, v0x = v, v0y = 0,
dan g = 10 m/s2.
Pada kasus tersebut, gerak mobil merupakan perpaduan antara GLB pada arah
mendatar dan GLBB (gerak jatuh bebas) dalam arah vertikal. Oleh karena itu,
diperoleh
1) Dari gerak jatuh bebas diperoleh waktu untuk tiba di sisi parit bagian bawah
sebagai berikut:
1 2y 2 (0,15m )
y= gt2 → t = = = 0,173 s.
2 g 10 m/s
2
18 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

19. 2) Dari gerak horizontal diperoleh kelajuan v sebagai berikut
X 4m
X = v0xt = vt → v = = 0,173s = 23 m/s.
t
Jadi, kelajuan minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung
adalah v = 23 m/s.
Mahir Meneliti
a
Membandingkan Waktu Tempuh Benda pada Gerak Jauh Bebas dan Gerak
Parabola
Alat dan Bahan
1. Penggaris plastik b
2. Karton tebal
3. Dua uang logam (koin)
4. Selotip
Prosedur
1. Lipatlah karton tebal menjadi seperti huruf ''T'' terbalik dan pasangkan pada
c
penggaris plastik dengan menggunakan selotip. Kemudian, letakkan satu uang
logam (koin) di setiap sisi karton. Perhatikanlah gambar.
2. Lengkungkanlah penggaris plastik, kemudian lepaskan. Koin yang berada di
depan akan mengalami gerak parabola, sedangkan koin yang berada di
belakang akan mengalami gerak jatuh bebas.
3. Dengarkanlah bunyi yang timbul saat kedua koin tersebut jatuh dari penggaris
(a) Karton tebal yang telah
plastik. Apakah yang dapat Anda simpulkan?
dilipat.
4. Diskusikanlah kesimpulan Anda dengan teman sebangku dan guru Fisika (b) Lipatan karton tebal yang
Anda. telah dipasangkan pada
penggaris dan ditempati 2
keping uang logam.
3. Persamaan Vektor Gerak Parabola (c) Penggaris yang
dilengkungkan sebelum
Menurut analisis vektor, persamaan-persamaan gerak parabola dapat dilepaskan.
dituliskan sebagai berikut. Vektor posisi pada gerak parabola adalah
r = xi + yj
1
r = (v0 cos α t)i + (v0 sin α t – gt 2)j (1–47)
2
Vektor kecepatan gerak parabola adalah
v = vxi + vy j
v = (v0 cos α )i + (v0 sin α – gt 2)j (1–48)
Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerak
melingkar. Bumi berputar mengelilingi Matahari dalam orbit yang mendekati
lingkaran, demikian juga satelit-satelit yang bergerak dalam orbit melingkar
mengelilingi Bumi.
Mobil yang bergerak mengitari suatu sudut juga bergerak dalam busur
melingkar. Kajian tentang gerak melingkar telah Anda pelajari di Kelas X.
Dalam subbab ini, pembahasan gerak melingkar akan ditinjau secara umum
menggunakan fungsi turunan dan integral.
Contoh 1.12
Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar dengan sudut elevasi tertentu
dinyatakan oleh persamaan r = [80ti + (60t – 5t2)j] m. Jika i dan j menyatakan vektor
satuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon, tentukanlah:
a. kecepatan awal peluru,
b. sudut elevasi tembakan,
c. kecepatan peluru di titik tertinggi,
Gerak dalam Dua Dimensi 19

20. d. waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan
e. jarak mendatar maksimum tembakan.
Jawab
Diketahui: r [80ti + (60t – 5t2)j] m
a. Kecepatan awal peluru (t = 0),
dr
v= = 80i + (60 – 10t)j
dt
Pada t = 0 diperoleh
v0 = 80i + 60j
2 2
|v0| = 80 + 60 = 100 m/s
b. Sudut elevasi tembakan ( α )
v0 y 60 3
tan α = = =
v0 x 80 4
α = 37
c. Kecepatan peluru di titik tertinggi v y = 0 sehingga peluru hanya memiliki
komponen kecepatan sumbu-x
Kata Kunci d.
v = v0x = 80 m/s.
Waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) diperoleh apabila y = 0
• Gerak parabola
(60t – 5t2) = 0 dan diperoleh t = 12 sekon
• Tinggi maksimum
• Jarak terjauh e. Jarak mendatar maksimum tembakan
X = v0xt = 80t = (80)(12)= 96 m.
Soal Penguasaan Materi 1.2
Kerjakanlah di dalam buku latihan Anda.
1. Satu peluru ditembakkan dengan kecepatan 100 m/s a. kecepatan awal peluru,
dan membentuk sudut 37° terhadap arah mendatar. b. sudut elevasi tembakan,
Tentukan: c. kecepatan peluru di titik tertinggi,
a. waktu untuk mencapai titik tertinggi, d. jarak mendatar maksimum tembakan, dan
b. tinggi maksimum yang dicapai peluru, e. tinggi maksimum yang dicapai peluru.
c. jarak mendatar maksimum yang dicapai
3. Dua buah benda dilemparkan dengan kecepatan
peluru, dan
awal sama besar dan sudut elevasi berbeda, yaitu
d. kecepatan peluru setelah 2 sekon.
30° dan 60°. Jika g = 10 m/s2, tentukanlah per-
2. Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar bandingan:
dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh a. tinggi maksimum yang dicapai kedua benda;
persamaan r = [120t i + (160t – 5t2)j]m. Apabila i b. jarak mendatar terjauh yang dicapai kedua
dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan benda.
y, serta t dalam sekon. Tentukan:
C Gerak Melingkar
Di kelas X, Anda telah mempelajari bahwa suatu partikel dikatakan
bergerak melingkar beraturan, jika partikel tersebut bergerak dalam lintasan
berbentuk lingkaran atau busur lingkaran dengan kelajuan konstan.
Walaupun kelajuan partikel tersebut tidak berubah, namun partikel tersebut
tetap memiliki percepatan. Mengapa demikian? Anda tentu telah memahami
bahwa percepatan partikel (perubahan kecepatan dalam selang waktu
tertentu) merupakan perubahan kelajuan partikel tersebut. Namun, Anda
tidak boleh lupa bahwa kecepatan merupakan besaran vektor. Oleh karena
kecepatan merupakan besaran vektor, perubahan arah kecepatan saja (besar
kecepatan tetap) akan menimbulkan percepatan, seperti yang terjadi pada
gerak melingkar beraturan.
20 Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI

21. Perhatikanlah Gambar 1.17 berikut. Pada gambar tersebut ditunjukkan v
hubungan antara vektor kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar
beraturan. Besar kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar beraturan a
v
tidak berubah-ubah, namun arahnya selalu berubah-ubah setiap saat. Arah a
kecepatan selalu menyinggung lintasan lingkaran (tangensial terhadap
lingkaran), sedangkan percepatan selalu mengarah ke pusat lingkaran a
sehingga disebut percepatan sentripetal.
Perhatikanlah Gambar 1.18. Suatu partikel yang bergerak melingkar
beraturan di titik P dengan jari-jari lingkaran r. Oleh karena arah kecepatan
v
selalu tegak lurus jari-jari r (tangensial terhadap lingkaran), sudut θ yang
dibentuk oleh v terhadap garis vertikal di titik P akan sama besar dengan Gambar 1.17
sudut θ yang dibentuk oleh jari-jari r terhadap sumbu-x. Vektor kecepatan Arah vektor kecepatan dan
di titik P tersebut dapat diuraikan menjadi vektor komponennya menurut percepatan pada gerak
melingkar.
sumbu-x dan sumbu-y, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.19 berikut.
Dengan demikian, dapat dituliskan
y
v = vxi + vy j (1–49) v
θ
atau p
v = (–v sin θ )i + (v cos θ )j (1–50) r
yp
θ x
Perhatikan kembali Gambar 1.18. Dari gambar tersebut, Anda dapat xp
yp xp
mengganti sin θ dengan dan cos θ dengan sehingga Persamaan (1–50)
r r
dapat ditulis menjadi
⎛ vyp ⎞ ⎛ vx p ⎞ Gambar 1.18
v=⎜− i+ j (1–51)
⎝ r ⎟ ⎜ r ⎟
⎠ ⎝ ⎠ Partikel P bergerak melingkar
berlawanan arah jarum jam.
Percepatan gerak melingkar beraturan dapat ditentukan dari turunan Vektor kecepatannya (v ) selalu
berubah-ubah terhadap waktu,
pertama Persamaan (1–51) sebagai berikut. walaupun besar vektor
kecepatannya tetap
⎛ vyp ⎞ ⎛ vx p ⎞
d⎜ i+ j
dv ⎝ r ⎟ ⎜ r ⎟
⎠ ⎝ ⎠
a= = y
dt dt v vy
θ
vx
⎛ v dyp ⎞ ⎛ v dxp ⎞
⎜− r r ⎟ i+⎜ r r ⎟ j
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x
a= (1–52)
dt
dyp dx p
Oleh karena = vy dan = vx serta vx = -v sin θ dan vy = -v cos θ
dt dt
maka Persamaan (1–52) dapat ditulis menjadi
Gambar 1.19
⎛ v 2
⎞ ⎛v 2
⎞ Kecepatan v dan komponen
⎜ − r cos θ ⎟ i + ⎜ r sin θ ⎟ j
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
vektornya menurut sumbu-x dan
sumbu-y.
a= (1–53)
dt
Vektor percepatan dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan
sumbu-y ditunjukkan oleh Gambar 1.20. Berdasarkan uraian gambar
tersebut, dapat ditentukan besar percepatan sentripetal melalui persamaan
berikut.
Gerak dalam Dua Dimensi 21