Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται οι ιδιότητες των όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων και ειδικότερα των όμοιων τριγώνων
για τα οποία διατυπώνονται κατάλληλα κριτήρια ομοιότητας. Η ομοιότητα επεκτείνεται στο σύνολο των στοιχείων των
ευθύγραμμων σχημάτων ενώ δίνονται πρακτικές εφαρμογές σε πραγματικά προβλήματα και σημειώνεται ότι αποτελεί
βασικό συνδετικό κρίκο Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Τέλος, παρουσιάζεται η στενή σχέση της ομοιότητας με την
τριγωνομετρία.
Ο αριθμός των ενδεικτικών ωρών είναι οι 5 διδακτικές ώρες. Οι αποδεικτικές, σύνθετα και γενικές ασκήσεις
είναι εκτός ύλης.
Γενική οδηγία: Ο διδάσκων αν θεωρεί αναγκαίο για διδακτικούς σκοπούς μπορεί να διδάξει και κάποιες από τις
ασκήσεις που έχουν εξαιρεθεί από τη διδακτέα ύλη ( 4- 5 το πολύ σε όλη την έκταση της ύλης).
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Πετρούπολη 2017 - 18
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

2. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8:
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Σε αυτό το φυλλάδιο ακολουθήσαμε όσο ήταν δυνατόν όλες τις οδηγίες
που έχουν αποσταλεί κατά καιρούς από το Υπουργείο Παιδείας για το
κεφάλαιο 8ο
.
Προσπαθήσαμε να συμπεριλάβουμε όλα όσα πρέπει να διδάξει ο
εκπαιδευτικός στις 5 διδακτικές ώρες που προτείνουν οι οδηγίες.
Η ομοιότητα δεν είναι μια νέα έννοια, την έχουν διδαχθεί οι μαθητές
στην Γ Γυμνασίου με τον πιο αναλυτικό τρόπο. Οι μαθητές διδάχθηκαν
πέρυσι την παράγραφο 1.4 που κάνει αναφορά στην ομοιοθεσία.
Έμαθαν δηλαδή πώς να βρίσκουν το ομοιόθετο ενός σχήματος όπως
είναι το σημείο, το ευθύγραμμο τμήμα, την γωνία, το πολύγωνο και τον
κύκλο.
Αν και στην καθημερινότητα οι έννοιες «ίσος» και «όμοιος» πολλές
φορές ταυτίζονται στα μαθηματικά έχουν πολύ διαφορετική σημασία.
Στα μαθηματικά η λέξη «ίσος» σημαίνει ταύτιση, καρμπόν ίδια
πράγματα ενώ, τα «όμοια» σημαίνει το ίδιο μοτίβο αλλά να είναι
μεγεθυμένο ή σε σμίκρυνση.
Αν για παράδειγμα εξετάσουμε δύο ίδιες μπλούζες σε διαφορετικά
μεγέθη πχ. Small και XL ο μαθηματικός θα πει ότι έχουμε δύο όμοιες
μπλούζες αφού έχουν το ίδιο μοτίβο – πατρόν.
Επίσης, αν εξετάσουμε τους
Πύργους της Πετρόνας (ή δίδυμοι
Πύργοι της Πετρόνας) ένας
μαθηματικός θα πει ότι είναι
ακριβώς ίδιοι ή ίσοι!
Αν όμως τη συγκρίνουμε με την
μακέτα των Πύργων (δες
εξώφυλλο) τότε έχουμε ομοιότητα!
ΘΕΛΕΤΕ…
να μετρήσετε το ύψος του
σχολείου σας;
να μετρήσετε το ύψος της
πολυκατοικία σας;
να μετρήσετε το ύψος του
Παρθενώνα;
να μάθετε πώς υπολόγισε
την ακτίνα της γης ο
Ερατοσθένης;
να μάθετε πώς υπολόγισε
ο Θαλής Μιλήσιος το
ύψος της Πυραμίδας;
Όπως η ισότητα
τριγώνων μας βοήθησε
στην εύρεση απρόσιτων
σημείων έτσι και η
ομοιότητα τριγώνων θα
μας βοηθήσει στην
εύρεση απρόσιτων
ευθυγράμμων
τμημάτων!

3. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
3
1) Ορισμός όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων
Δυο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται όμοια, αν έχουν
 τις πλευρές τους ανάλογες και
 τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.
Σχήμα:
Συμβολισμός: ΑΒΓΔΕ Α Β Γ Δ Ε    
Τύπος:
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ
λ
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄
     *
(όπου ο αριθμός λ λέγεται λόγος ομοιότητας) και
Α Α΄, Β Β΄, Γ Γ΄, Δ Δ΄, Ε Ε΄    
* Αντικαθιστούμε τους αριθμητές του ενός πολυγώνου στους αριθμητές των ίσων λόγων και στη
συνέχεια τους παρονομαστές των ομόλογων πλευρών από το άλλο πολύγωνο.
2) Ιδιότητες του λόγου ομοιότητας (λ)
Ο λόγος των ομόλογων πλευρών δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων (δηλαδή των πλευρών που
βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες) λέγεται λόγος ομοιότητας.
 Αν λ 1 τότε έχουμε
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ
1 ΑΒ Α΄Β΄, Βà ´ô, ΓΔ Γ΄Δ΄, ΔΕ Δ΄Ε΄, ΕΑ Ε΄Α΄
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄
          
δηλαδή τα σχήματα είναι ίσα.
 Αν λ 1 τότε έχουμε:
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ
1 ΑΒ Α΄Β΄, Βà ´ô, ΓΔ Γ΄Δ΄, ΔΕ Δ΄Ε΄, ΕΑ Ε΄Α΄
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄
          
άρα από το σχήμα Α Β Γ Δ Ε     πάμε σε μεγαλύτερο σχήμα το ΑΒΓΔΕάρα έχουμε μια μεγέθυνση.
 Αν 0 λ 1  τότε έχουμε:
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ
1 ΑΒ Α΄Β΄, Βà ´ô, ΓΔ Γ΄Δ΄, ΔΕ Δ΄Ε΄, ΕΑ Ε΄Α΄
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄
          
Ε΄

4. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
4
άρα από το σχήμα Α Β Γ Δ Ε     πάμε σε μικρότερο σχήμα το ΑΒΓΔΕάρα έχουμε μια σμίκρυνση.
 Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων ισούται με το λόγο ομοιότητάς
τους, διότι
1
2
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ Π
λ
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄ Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄ Π
   
      
   
Εφαρμογή 1η
Να αποδείξετε ότι τα τετράγωνα είναι όμοια.
Απόδειξη
Έστω τα τετράγωνα πλευράς α και β αντίστοιχα, τότε έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς
μία και οι πλευρές τους είναι ανάλογες με λόγο ομοιότητας
α
β
■
Εφαρμογή 2η
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, από τα μέσα Β' και Δ' των πλευρών ΑΒ και ΑΔ
αντίστοιχα, φέρνουμε παράλληλες προς τις ΑΔ και ΑΒ, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Γ'.
Να αποδείξετε ότι τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ,Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι όμοια.
Απόδειξη
Το παραλληλόγραμμο Α Β' Γ' Δ' έχει τις γωνίες του ίσες
με τις αντίστοιχες γωνίες του ΑΒΓΔ, ενώ ισχύει ότι
ΑΒ΄ ´ô Γ΄Δ΄ ΑΔ΄ 1
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΑΔ 2
    ■
Εφαρμογή 3η
Αν τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι όμοια, να συμπληρώσετε τις προτάσεις:
α) Ο λόγος ομοιότητας του ΑΒΓΔ προς το Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι....................
β) Ο λόγος ομοιότητας του Α΄Β΄Γ΄Δ΄ προς το ΑΒΓΔ είναι ……
γ) Αν η γωνία B είναι 1100
, τότε και η γωνία .….. είναι 110°.
δ) Ο λόγος των περιμέτρων του ΑΒΓΔ με το Α΄Β΄Γ΄Δ΄ ισούται ………

5. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
5
ε) Η πλευρά ΒΓ ισούται με ………. cm.
Λύση
α)
8 2
12 3

β)
12 3
8 2

γ) 0
Β΄ 110
δ) 1
2
Π ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 2
λ
Π Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Α΄ 3
  
  
  
ε)
ΒΓ 2 ΒΓ
λ ΒΓ 10
´ô 3 15
     ■
Εφαρμογή 4η
Αν τα πολύγωνα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι όμοια όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα
τότε:
α) Να υπολογίσετε τον λόγο των περιμέτρων τους
β) Την πλευρά ΕΖ
Λύση
α) Έχουμε:
ΔΓ 6 3
λ
ΕΘ 4 2
   άρα 1
2
Π 3
λ
Π 2
 
β) Έχουμε:
9 3 9
λ ΕΖ 6
ΕΖ 2 ΕΖ
     ■
Εφαρμογή 5η
Να κατασκευασθούν δύο τετράπλευρα των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες μία προς
μία, αλλά δεν είναι όμοια.
Λύση

6. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
6
■
2) Ομοιότητα τριγώνων
Εισαγωγή
Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με την ομοιότητα των τριγώνων. Θα αποδείξουμε ότι
δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα, άρα καταλαβαίνουμε ότι
η βάση των σχημάτων αποτελεί το τρίγωνο.
Η ομοιότητα τριγώνων είναι ήδη γνωστή από το Θεώρημα Θαλή για τα τρίγωνα. Άρα εδώ θα
ασχοληθούμε τα Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων που έχουν την ίδια λογική με τα Κριτήρια
Ισότητας τριγώνων. Είναι προτάσεις που μας αποδεικνύουν την ομοιότητα δύο τριγώνων χωρίς
να έχουμε όλες τις απαιτήσεις του ορισμού δηλαδή και πλευρές ανάλογες και γωνίες ίσες μία προς
μία. Τα κριτήρια έχουν λιγότερες υποθέσεις και μας βοηθούν στην επίλυση των ασκήσεων.
Κριτήρια ομοιότητας
Ι) Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.
ΙΙ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις
πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια.
ΙΙΙ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια.
Απόδειξη
Για εκπαιδευτικούς σκοπούς θα παρουσιάσουμε μία απόδειξη και ας είναι εκτός ύλης.
Ι) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ με Α Α΄ και Β Β΄ άρα και Γ Γ΄ .

7. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
7
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι Α'Β' < ΑΒ, επομένως υπάρχει σημείο Β'' στην ΑΒ
τέτοιο, ώστε ΑΒ'' = Α'Β'.
Από τη Β'' φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γ'', τότε τα τρίγωνα Α Β'' Γ''
και ΑΒΓ είναι όμοια, αφού ισχύει ότι ΒΓ''//ΒΓ, οπότε
ΑΒ΄΄ ΑΓ΄΄ Β΄΄Γ΄΄
ΑΒ ΑΓ ΒΓ
  και η γωνία Α είναι
κοινή ενώ Β΄΄ Β οπότε και Γ΄΄ Γ . Όμως τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα, καθώς έχουν
μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ'
είναι όμοια ■
Βασικές προτάσεις
1) Αν τα τρίγωνα με πλευρές α, β , γ και α΄, β΄, γ΄ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ τότε:
α α α
α΄ α΄ α΄
α β γ υ δ μ
λ
α΄ β΄ γ΄ υ δ μ
     
2) Δυο ορθογώνια τρίγωνα με μια οξεία γωνία ίση είναι όμοια.
3) Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους.
4) Δυο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοιχη γωνία ίση, είναι όμοια.
Απόδειξη
1) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΗ και Α΄Β΄Η΄ είναι όμοια αφού έχουν δύο γωνίες ίσες (τις ορθές και
τις γωνίες Β και Β΄), άρα α
α΄
γ υ
λ
γ΄ υ
  (1).
Επίσης τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α΄Β΄Μ΄ είναι όμοια αφού ισχύουν τα εξής:
ΑΒ ΒΜ
λ
Α΄Β΄ Β΄Μ΄
  και Β Β΄ άρα α
α΄
γ μ
λ
γ΄ μ
  (2).
Και αν ΑΔ και Α΄Δ΄ οι διχοτόμοι των γωνιών των δύο τριγώνων αντίστοιχα, τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ
και Α΄Β΄Δ΄ είναι όμοια, αφού έχουν δύο γωνίες ίσες ( ΒΑΔ Β΄Α΄Δ΄ και Β Β΄ ) οπότε
α
α΄
γ δ
λ
γ΄ δ
  (3).

8. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
8
Αν λάβουμε υπόψιν ότι τα τρίγωνα είναι όμοια έχουμε
α β γ
λ
α΄ β΄ γ΄
   . Από τις σχέσεις (1), (2)
και (3) καταλήγουμε στο ζητούμενο.
2) Προφανώς αφού έχουν δύο γωνίες ίσες, τις ορθές και την οξεία γωνία ίση μία προς μία.
3) Προφανώς, αφού έχουν τις γωνίες τους ίσες (με μέτρο 600
) μία προς μία.
4) Έστω τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ , Α΄Β΄Γ΄ (ΑΒ = ΑΓ και Α΄Β΄ = Α΄Β΄).
Αν Α Α΄ , τότε
0
180 Α
Β Γ
2

  και
0
180 Α΄
Β΄ Γ΄
2

  άρα Β Β΄ Γ Γ΄   δηλαδή οι γωνίες
τους είναι ίσες, άρα τα τρίγωνα είναι όμοια.
Αν Β Β΄ τότε Γ Γ΄ άρα τα τρίγωνα είναι όμοια ■
Εφαρμογή 1η
Έστω δύο όμοια πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ με λόγο ομοιότητας λ. Να αποδείξετε ότι
χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα.
Απόδειξη
Σημείωση: Η παρακάτω απόδειξη γενικεύεται για οποιοδήποτε όμοια ευθύγραμμα σχήματα. Η
εφαρμογή αυτή μας δίνει το δικαίωμα να μελετάμε κυρίως ομοιότητα τριγώνων αφού όλα τα
πολύγωνα αναλύονται σε αυτά.
Επειδή τα πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ έχουμε:
ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ
λ
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Δ΄ Δ΄Ε΄ Ε΄Α΄
     (1)
και
Α Α΄, Β Β΄, Γ Γ΄, Δ Δ΄, Ε Ε΄     (2)

9. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
9
Από τις κορυφές Α, Αʹ των πενταγώνων φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΑΔ και ΑʹΓʹ, ΑʹΔʹ
αντίστοιχα, οπότε κάθε πεντάγωνο χωρίσθηκε σε τρία τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΕ και ΑʹΒʹΓʹ,
ΑʹΓʹΔʹ, ΑʹΔʹΕʹ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι είναι όμοια αντίστοιχα.
Έχουμε,
ΑΒΓ ≈ Αʹ Βʹ Γʹ αφού από (1) και (2) έχουμε:
ΑΒ ΒΓ
λ
Α΄Β΄ ´ô
  και Α Α΄ .
Επίσης,
ΑΔΕ ≈ ΑʹΔʹΕʹ αφού από (1) και (2) έχουμε:
ΑΕ ΕΔ
λ
Α΄Ε΄ Ε΄Δ΄
  και Ε Ε΄ .
Επομένως,
1 1Γ Γ΄ και 2 2Δ Δ΄
όμως Γ Γ΄ και Δ Δ΄ άρα
2 2Γ Γ΄ και 1 1Δ Δ΄
άρα τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑʹΓʹΔʹ είναι όμοια ■
Εφαρμογή 2η
Δύο τρίγωνα έχουν πέντε βασικά τους στοιχεία ίσα (πλευρές ή γωνίες). Υπάρχει περίπτωση
να είναι άνισα; Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Σχόλιο : Η παραπάνω άσκηση περιέχεται στο βιβλίο ψυχαγωγικών μαθηματικών του Martin
Gardner " Το τσίρκο των Μαθηματικών" ελληνική έκδοση Τροχαλία.
Λύση
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
- Αν οι τρεις πλευρές των τριγώνων ήταν ίσες μία προς μία, τότε προφανώς τα τρίγωνα είναι
ίσα. Άρα αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.
- Έστω δύο τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες και τρεις γωνίες ίσες μία προς μία.
Αν οι ομόλογες πλευρές είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα και αυτή η περίπτωση
απορρίπτεται.
Άρα καταλήγουμε ότι οι ομόλογες πλευρές (δηλαδή οι πλευρές απέναντι από τις ίσες γωνίες) δεν
πρέπει να είναι ίσες.
Άρα θα έχουμε δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ με Α Α΄, Β Β΄, Γ Γ΄   και
ΑΒ ΒΓ ΓΑ 2
λ
Α΄Β΄ ´ô Γ΄Α΄ 3
    όπως είναι για παράδειγμα τα παρακάτω σχήματα.

10. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
10
άρα τα τρίγωνα είναι όμοια, αλλά όχι ίσα, ενώ έχουν τα 5 πρωτεύοντα στοιχεία του τριγώνου
ίσα‼■
Σημείωση: Υπάρχουν τρίγωνα με αυτές τις πλευρές αφού ισχύει η τριγωνική ανισότητα.
Εργασία: Μπορείτε να βρείτε και άλλα ζεύγη όμοιων σχημάτων με 5 πρωτεύοντα στοιχεία ίσα αλλά
να μην είναι ίσα τα τρίγωνα; Μπορείτε να βρείτε τις δυνατές τιμές που λαμβάνει ο λόγος ομοιότητας
σε αυτές τις περιπτώσεις;
Εφαρμογή 3η
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του αυ ΑΗ . Να αποδείξετε ότι αβγ 2Rυ , όπου R η
ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
Απόδειξη
Στις ασκήσεις με ομοιότητα τριγώνων κάνουμε συνήθως τα εξής:
- ξεκινάμε από τη ζητούμενη σχέση,
- την γράφουμε ως ισότητα αναλογιών
- προσπαθούμε μήπως οι ίσοι λόγοι μας «μαρτυρήσουν» ποια τρίγωνα πρέπει να αποδείξουμε
ότι είναι όμοια.
Μερικές βασικές μετατροπές είναι οι εξής:
2
2
α δ
α β γ δ
γ β
α β
α β γ
β γ
β α β
α
γ β γ
α β γ δ
α β γ δ ε ζ 1
ε ζ ε ζ
    
   
  
         
Α) Έστω ότι η γωνία Α δεν είναι ορθή, τότε έχουμε το παρακάτω σχήμα.
Επομένως, θα αποδείξουμε ότι: α
α
γ υ ΑΒ ΑΗ
βγ 2Rυ
2R β ΑΔ ΑΓ
    
ABΔ

ΑΗΓ



11. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
11
όπου ΑΔ είναι η διάμετρος (= 2R) του κύκλου.
άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΗΓ είναι όμοια. Είναι προφανές αφού είναι
ορθογώνια και έχουμε ίσες τις γωνίες Δ Γ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Β) Αν η γωνία Α είναι ορθή το συμπέρασμα προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και
ΑΗΓ (αφού είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία Γ), άρα
α α
α α
ΑΒ ΑΓ ΒΓ γ β α γ α
βγ αυ βγ 2Rυ
ΑΗ ΗΓ ΑΓ υ ΗΓ β υ β
          
Σημείωση: Τον τύπο αβγ 2Rυ θα τον ξανασυναντήσουμε στην παράγραφο 10.4 στην απόδειξη
ενός τύπου εμβαδόν τριγώνου άρα τον γνωρίζουμε ως θεωρία.
Εφαρμογή 4η
Αν δύο τμήματα ΑΒ και ΓΔ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ έτσι ώστε
ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ, τότε να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ
είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη

12. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
12
σχ. α
Η δοσμένη σχέση ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ γράφεται
ΡΑ ΡΔ
ΡΓ ΡΒ
 και αφού η γωνία Ρ είναι κοινή γωνία
τα τρίγωνα ΑΡΓ και ΒΡΔ θα είναι όμοια.
Επομένως, ΡBΔ ΡΓ Α άρα η μία γωνία του τετράπλευρου ισούται με την απέναντι εξωτερική
γωνία του οπότε είναι εγγράψιμο.
σχ. β
Η δοσμένη σχέση ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ γράφεται
ΡΑ ΡΔ
ΡΓ ΡΒ
 και αφού ΑP̂ Γ = ΒP̂ Δ (ως
κατακορυφήν γωνίες ίσες), τα τρίγωνα ΑΡΓ και ΒΡΔ θα είναι όμοια.
Επομένως, ΡBΔ ΡΓ Α άρα μια πλευρά του τετράπλευρου φαίνεται υπό ίσες γωνίες οπότε είναι
εγγράψιμο.
Εφαρμογή 5η
Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας;
Λύση
Αναζητούμε το ύψος ΓΔ.
Ένας καθηγητής βλέπει από το έδαφος την κορυφή Γ του σχολείου από δύο διαφορετικά σημεία Α
και Β.
- Χρησιμοποιώντας τοπογραφικά όργανα όπως είναι ο θεοδόλιχο ή τον εξάντα που περιγράφει
το σχολικό βιβλίο πώς να τον κατασκευάσουμε, μετράμε τις γωνίες Α,Β
π.χ. Α = 19° και B̂ = 43°.

13. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
13
- Κατόπιν μετράμε την απόσταση ΑΒ, π.χ.
ΑΒ = 12 μέτρα.
- Για να υπολογίσουμε το ύψος του σχολείου κατασκευάζουμε σε μία κόλλα χαρτί το
αντίστοιχο μοντέλο. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AʹBʹ = 6 cm. Προεκτείνουμε την ΑʹΒʹ
προς το μέρος του Βʹ και σχηματίζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο γωνίες
xAʹy = 19° και xΒ ʹz = 43°
ίσες με τις γωνίες Α και Β. Οι ημιευθείες Aʹy και Bʹz τέμνονται στο σημείο Γʹ. Από το σημείο Γʹ
φέρουμε την κάθετη ΓʹΔʹ στην ΑʹΒʹ και έχουμε κατασκευάσει το μοντέλο μας. Μετράμε ότι το
ΓʹΔʹ ισούται με 3,3 cm. Ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων είναι
ΑΒ
λ 200
Α΄Β΄
 
Επομένως το πραγματικό μήκος του ΓΔ είναι
ΓΔ 3,3
λ ΓΔ λ Γ΄Δ΄ 200 6,6
Γ΄Δ΄ 100
       μέτρα.
- Προσθέτοντας και το ύψος του καθηγητή που είναι πχ. 1,8 μέτρα, έχουμε ότι το πραγματικό ύψος
του σχολείου είναι 8,4 μέτρα!
Συμπέρασμα και ιστορικά σχόλια
Με τον παραπάνω τρόπο υπολογίζουμε τα απρόσιτα μεγέθη. Το μοντέλο - μοτίβο, η σμίκρυνση,
αποτελεί τη βασική σκέψη που μας βοηθάει να μεταφέρουμε τα απρόσιτα τμήματα στο χαρτί μας.
Στην άσκηση 4 Εμπέδωσης του σχολικού βιβλίου υπολογίζουμε το ύψος ενός δέντρου, μετρώντας
τη σκιά του. Αρχαίοι συγγραφείς αναφέρουν ότι με τον τρόπο αυτό ο Θαλής υπολόγισε το
ύψος των πυραμίδων.
Παλιά οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι για να επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα ήταν
αρκετό να έχουν έναν πίνακα με τρίγωνα και τις διαστάσεις τους, οπότε θα αρκούσε να μελετούν
τον πίνακα παρά να κατασκευάζουν μοντέλα των τριγώνων που προέκυπταν από φυσικά
προβλήματα. Παρατήρησαν ότι αρκεί ο πίνακας αυτός να έχει μόνο ορθογώνια τρίγωνα αφού
κάθε τρίγωνο διαμερίζεται σε δύο ορθογώνια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Ένας τέτοιος πίνακας είναι οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: τα ημίτονα και
συνημίτονα των γωνιών ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 1. Πρακτικά τα
αποτελέσματα από την τριγωνομετρία είναι ακριβέστερα από αυτά που προκύπτουν από μέτρηση

14. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
14
και κατασκευή μοντέλου, όπως προηγουμένως. Ωστόσο οι τριγωνομετρικοί πίνακες δεν είναι
τίποτε άλλο, παρά πίνακες όμοιων τριγώνων.
Και λίγες άλυτες ασκήσεις (απλές – εύκολες – απαιτητικές)
1) Ισχύει η μεταβατική ιδιότητα στην ομοιότητα των τριγώνων; Δηλαδή αν ΑΒΓ Α΄Β΄Γ΄ και
Α΄Β΄Γ΄ Α΄΄Β΄΄Γ΄΄ τότε ΑΒΓ Α΄΄Β΄΄Γ΄΄ ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
2) Ισχύει η μεταβατική ιδιότητα στην ομοιότητα των πολυγώνων; Να δικαιολογήσετε την
απάντησή σας.
3) Ο κύκλος  2Ο,R εφάπτεται εξωτερικά στους κύκλους    1 3Ο,R , O,R . Τα σημεία 1 2 3Ο ,Ο ,Ο
είναι διαδοχικά σημεία της διχοτόμου χOψ και οι τρεις κύκλοι εφάπτονται στις πλευρές της
γωνίας όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αποδείξετε ότι τα μέτρα των ακτινών 1 2 3R ,R ,R είναι
διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.
4) Από σημείο Σ εκτός του κύκλου  Ο,R φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΑ, ΣΒ προς τον
κύκλο. Αν Μ τυχαίο σημείο του κυρτού τόξου ΑΒ και ΜΓ, ΜΔ, ΜΕ οι αποστάσεις του Μ από τις
ευθείες ΑΒ, ΣΑ, και ΣΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 2
ΜΓ ΜΔ ΜΕ  .
(Σχολή Μηχανικών Αεροπορίας 1952 – Πανελλήνιες Εξετάσεις Β΄ Λυκείου 1982).
5) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Από τη κορυφή Β φέρουμε την κάθετη στη διχοτόμο της
γωνίας Α, η οποία τέμνει στο σημείο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Δ.
α) Β Γ 2Α ΔΒΓ ΑΒΓ
 
   

15. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
15
β)  2
α β β γ ΔΒΓ ΑΒΓ
 
   
6) (Ειδική περίπτωση της άσκησης 5)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες 0 0
Α 20 ,Β 100  και 0
Γ 60 . Αν η κάθετη από το Β προς τη
διχοτόμο της γωνίας Α τέμνει την ΑΓ στο Α, να δείξετε ότι:
α) ΔΒΓ ΑΒΓ
 

β)  2
α β β γ 
7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Μ στο εσωτερικό του. Από το Μ φέρουμε τις ευθείες
ΜΔ, ΜΕ και ΜΖ παράλληλες προς τις ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα, όπου τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι
σημεία των ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:
ΒΔ ΓΕ ΑΖ
1
α β γ
  
8) (Ειδική περίπτωση της άσκησης 7)
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο στο εσωτερικό του. Από το Ο φέρουμε τις ευθείες
ΟΔ, ΟΕ και ΟΖ παράλληλες αντίστοιχα προς τις πλευρές ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ, οι οποίες τέμνουν τις
ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ στα σημεία Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισμα ΟΔ + ΟΕ + ΟΖ
όταν η περίμετρος του τριγώνου είναι 12 μέτρα.
(Σχολή Υπομηχανικών Ε.Μ.Π 1950)
9) Στο παρακάτω σχήμα το ΑΒ εκφράζει την ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις όχθες ενός
ποταμού. Περιγράψτε ένα τρόπο υπολογισμού της απόστασης ΑΒ με την βοήθεια των όμοιων
τριγώνων (πάσσαλοι, μετροταινία, μοντέλο).
10) Ο γιος έχει ύψος 1,35 m . Ποιο είναι το ύψος του πατέρα του σύμφωνα με την παρακάτω
κλίμακα;

16. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
16
11) Και λίγο χιούμορ δεν βλάπτει!
Ο ναός της παρακάτω εικόνας που βρίσκεται; Πότε κατασκευάστηκε; Τι σχέση έχει με το
φυλλάδιό μας;
Ενδεικτικά κριτήρια αξιολόγησης
1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης
1. Έχουμε δύο ρόμβους που η πλευρά του ενός είναι διπλάσια της πλευράς του άλλου. Να
εξετάσετε αν είναι όμοιοι.
2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με ΑΒ=12, ΑΓ =16 και ΒΓ=20 από σημείο Δ της ΑΒ φέρουμε κάθετο
τμήμα στη ΒΓ, ΔΕ. Αν ΔΕ= 3, να υπολογισθούν οι πλευρές του τριγώνου ΒΔΕ.
3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ΑΔ και BE είναι ύψη. Να αποδείξετε ότι
α) ΑΔ·ΒΓ = ΑΓ·ΒΕ.
β) ΑΗ·ΗΔ = ΒΗ·ΗΕ αν Η είναι το σημείο τομής των υψών.

17. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
17
2ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης
1. i) Σε τυχαίο τρίγωνο αποκόπτουμε με παραλλήλους προς τις απέναντι πλευρές τις τρεις
κορυφές. Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα που αποκόπτονται είναι όμοια.
ii) Σε τετράπλευρο να φέρετε τις διαγώνιους και να θεωρήσετε τα μέσα τους. Να αποδείξετε ότι το
τετράπλευρο που σχηματίζεται με κορυφές τα μέσα των διαγωνίων είναι όμοιο με το αρχικό.
Ποιος είναι ο λόγος ομοιότητας;
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 12, ΑΓ = 15 και BΓ = 18. Τα σημεία Δ και Ε των ΑΒ και ΑΓ
ορίζουν τρίγωνο ΑΔΕ όμοιο του ΑΒΓ (χωρίς η ΔΕ να είναι παράλληλη στη ΒΓ) το οποίο έχει
περίμετρο 9. Να υπολογίσετε τις πλευρές του.
3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  Α 1L φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:
α) τα μέτρα των τμημάτων ΒΔ, ΑΒ, ΒΓ είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου.
β) τα μέτρα των τμημάτων ΓΔ, ΑΓ, ΒΓ είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου.
γ) το μέτρο της πλευράς ΑΔ αποτελεί τον γεωμετρικό μέσο των ΒΔ και ΔΓ.
ε) ο αριθμητικός μέσος των ΒΔ και ΔΓ είναι μεγαλύτερος από τον γεωμετρικό μέσο του
ορθογωνίου τριγώνου.
Σημείωση: Αυτή η άσκηση αποτελεί τη βάση για το επόμενο Κεφάλαιο (9ο
) των μετρικών σχέσεων.
Δραστηριότητες
1) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Να κατασκευασθεί τετράπλευρο Α'Β'Γ'Δ' το οποίο να
αποτελείται
από τρίγωνα ίσα με τα τρίγωνα στα οποία χωρίζει η διαγώνιος ΑΓ το ορθογώνιο έτσι, ώστε
το Α'Β'Γ'Δ' να μην είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ.
Υπόδειξη
Αρκεί να θεωρήσουμε το συμμετρικό μίας από τις
κορυφές του ορθογωνίου ως προς μία διαγώνιο π.χ. της
κορυφής Δ ως προς μια διαγώνιο ΑΓ.
Προκύπτει το τετράπλευρο ΑΔΓΔ΄ που είναι της
ζητούμενης μορφής.

18. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
18
2) Δίνεται η γραφική παράσταση (ιστόγραμμα) μιας τεθλασμένης γραμμής (μπλε γραμμή).
Αν  Μ x,y είναι ένα σημείο της τότε:
i) Με την βοήθεια των όμοιων τριγώνων να βρείτε τις τετμημένες x των σημείων της
τεθλασμένης γραμμής αν:
α) y 25 β) y 50 γ) y 75
ii) Με την βοήθεια των όμοιων τριγώνων να βρείτε τις τεταγμένες y των σημείων της
τεθλασμένης γραμμής αν:
α) x 6 β) x 15 γ) x 25
3) Με την βοήθεια των όμοιων τριγώνων να υπολογίσετε για το παρακάτω σχήμα:
α) την τετμημένη του σημείο Ε.
β) την τεταγμένη του σημείου Ε.
και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

19. lisari.blogpost.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
19