Επιμέλεια: Θωμάς Ποδηματάς αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. 1
Θεωρητικά Λήμματα για τη Γ΄ Λυκείου
Προκλήσεις για τον Επανασχεδιασμό της
Μαθηματικής Εκπαίδευσης
Θωμάς Ποδηματάς
Αλεξάνδρας 113 – Λώρη – Βόλος
thomaspodimatas@gmail.com
Περίληψη
Στην παρακάτω εργασία, παρουσιάζω μερικά θεωρητικά Λήμματα
της Ανάλυσης της Γ΄ Τάξης του Λυκείου. Τα περισσότερα από αυτά
προέρχονται από παρατήρηση της συμπεριφοράς διαφόρων γραφημάτων,
όπως καταδεικνύεται παρακάτω. Από τη γεωμετρική ερμηνεία του
φαινομένου, προκύπτει η γενική διατύπωση του Λήμματος, το οποίο στη
συνέχεια αποδεικνύεται. Τονίζεται ότι κανένα από τα παρακάτω Λήμματα
δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη στις Γενικές Εξετάσεις.
Λέξεις Κλειδιά: Ελάχιστη απόσταση από γράφημα, Ακρότατα,
Θεώρημα Fermat, Ύπαρξη ρίζας, Σύνολο τιμών, ΘΜΤ, Ελάχιστο εμβαδό
Abstract
In this work, I present some theoretical lemmas of calculus taught in
the third grade of high school. Most of these lemmas stem from graphical
observations, as shown below. The formal statements of the lemmas stem
from the geometrical interpretation of these observations, which are
subsequently proved. We emphasize that none of these lemmas can be used
in the Final Exams without its proof.
Το πρόβλημα της εύρεσης του πλησιέστερου σημείου 0M μιας
καμπύλης fC σε ένα γνωστό εξωτερικό της σημείο A , είναι κλασσικό και
αναφέρεται στο Σχολικό βιβλίο, για παράδειγμα στην άσκηση 8 της Β΄
Ομάδας στην παράγραφο 2.7. Πάντα (;) η εφαπτομένη της fC στη θέση
0M είναι κάθετη στην ευθεία 0AM . Το πρόβλημα αυτό με οδήγησε στο
παρακάτω
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 13

2. 2
Λήμμα 1ο : Ελάχιστης απόστασης από γράφημα
Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R και  A a,b ,
a,b R ένα σημείο του επιπέδου, εκτός της fC . Έστω ακόμη
  M x,f x ,x R ένα τυχαίο σημείο της fC . Αν είναι
  0 0 0 0M x ,f x ,x R το σημείο του γραφήματος στο οποίο η απόσταση
 d A,M γίνεται η ελάχιστη δυνατή, τότε η εφαπτόμενη της fC στο σημείο
0M είναι κάθετη στην ευθεία 0AM .
Απόδειξη
Η απόσταση d δίνεται από τον τύπο :
      
22
d A,M x a f x b    , όπου x R
και είναι παραγωγίσιμη στο R με
 
1
d A,M
2
 
    
22
2
x a f x b  
 x a 2      f x b f x   ή
 
    
    22
1
d A,M x a f x b f x
x a f x b
      
  
 1
Στη θέση 0x , η συνάρτηση d παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο, είναι
και παραγωγίσιμη, το 0x είναι και εσωτερικό σημείο του R , άρα κατά το
Θεώρημα Fermat,
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13

3. 3
 0d x 0 
Έτσι, από τη σχέση  1 :
    
    0 0 022
0 0
1
x a f x b f x 0
x a f x b
     
  
ή
    0 0 0x a f x b f x 0     2
Η εφαπτόμενη της fC στο σημείο   0 0 0M x ,f x , έχει συντελεστή
διεύθυνσης
 εφ 0λ f x
και ένα παράλληλο σε αυτή διάνυσμα είναι το
  1 0δ 1,f x
ενώ είναι
  0 0 0AM x a,f x b  
Για να είναι κάθετα, πρέπει και αρκεί :
    1 0 0 0 0δ ΑΜ 0 x a f x b f x 0      
που είναι αληθής από τη σχέση  2 (οεδ) 
Λήμμα 2ο
: Ύπαρξης ρίζας
Αν  f : α,β R συνεχής στο  α,β και παραγωγίσιμη στις θέσεις
1x α και 2x β , με τις ιδιότητες :
    f α f β 0  ,
  f α 0  και
  f β 0  ,
τότε η εξίσωση  f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  α,β .
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13

4. 4
Απόδειξη
Είναι  
     
x α x α
f x f α f x
f α lim lim 0
x α x α 
 

   
 
, οπότε από τη θεωρία,
 f x
0
x α


σε διάστημα της μορφής  α,α δ με δ 0 .
Όμως, τότε x α 0  , δηλαδή  f x 0 , δηλαδή υπάρχει
 1x α,α δ  με  1f x 0
Ανάλογα,
είναι  
     
x β x β
f x f β f x
f β lim lim 0
x β x β 
 

   
 
, οπότε από τη θεωρία,
 f x
0
x β


σε διάστημα της μορφής  β ε,β με ε 0 .
Όμως, τότε x β 0  , δηλαδή  f x 0 , δηλαδή υπάρχει
 2x β ε,β  με  2f x 0
Συνεπώς, η συνάρτηση f στο διάστημα  1 2x ,x ικανοποιεί τις
προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano , άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον
   0 1 2x x ,x α,β  τέτοιο ώστε  0f x 0 , όπως θέλαμε. (οεδ) 
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13

5. 5
Σχόλια :
1. Το παραπάνω ισχύει – προφανώς – και όταν οι τιμές της
συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος, δεν είναι μηδενικές, είναι όμως
ίσες. Απλά τότε, η διατύπωση, θα είναι η ακόλουθη :
Αν  f : α,β R συνεχής στο  α,β και παραγωγίσιμη στις θέσεις
1x α και 2x β , με τις ιδιότητες :
    f α f β c  ,
  f α 0  και
  f β 0  ,
τότε η εξίσωση  f x c έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  α,β .
Η απόδειξη, είναι ακριβώς η παραπάνω, απλά το θεώρημα Bolzano
εφαρμόζεται τώρα στη συνάρτηση    g x f x c 
2. Το παραπάνω, ισχύει βέβαια και στην περίπτωση δύο
συναρτήσεων... Εκεί η διατύπωση θα ήταν η ακόλουθη :
Αν  f,g: α,β R που είναι συνεχείς στο  α,β και παραγωγίσιμες
στις θέσεις 1x α και 2x β , με τις ιδιότητες
    f α g α ,    f β g β ,
    f α g α  ,    f β g β  ,
τότε τα γραφήματα fC και gC τέμνονται μία τουλάχιστον φορά στο  α,β
Η απόδειξη, είναι ακριβώς η παραπάνω, αλλά στη συνάρτηση
     h x f x g x  , η οποία – προφανώς – ικανοποιεί όλες τις παραπάνω
απαιτήσεις, αφού :
      h α f α g α 0   ,      h β f β g β 0  
      h α f α g α 0     ,      h β f β g β 0    
οπότε, από την πρόταση που μόλις αποδείξαμε, θα υπάρχει ένα
τουλάχιστον  0x α,β με την ιδιότητα  0h x 0 ή    0 0f x g x ,
δηλαδή τα γραφήματα fC και gC τέμνονται στη θέση 0x , (οεδ)
3. Τέλος, όπως είναι φανερό, η παραπάνω πρόταση είναι
αληθής και όταν οι τιμές των παραγώγων αριθμών της συνάρτησης f στα
άκρα του διαστήματος είναι και οι δύο αρνητικές. Έτσι, αν οι τιμές μιας
συνάρτησης f στα άκρα ενός διαστήματος  α,β , είναι ίσες και οι
παράγωγοι αριθμοί της συνάρτησης f στα άκρα α,β του διαστήματος
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 13

6. 6
είναι αριθμοί ομόσημοι, τότε υπάρχει ρίζα της συνάρτησης f στα
διάστημα  α,β . Άρα, μια πιο γενική διατύπωση, θα ήταν η ακόλουθη :
Αν  f : α,β R συνεχής στο  α,β και παραγωγίσιμη στις θέσεις
1x α και 2x β , με τις ιδιότητες :
    f α f β c  ,
    f α f β 0  
τότε η εξίσωση  f x c έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  α,β . 
Λήμμα 3ο
: Συνόλου Τιμών
Α) Έστω η συνάρτηση f : R R που είναι παραγωγίσιμη στο R και
 f x α 0   , για κάθε x R , όπου *
α R . Τότε είναι  f R R
Β) Έστω η συνάρτηση f : R R που είναι παραγωγίσιμη στο R και
 f x α 0   , για κάθε x R , όπου *
α R . Τότε είναι  f R R
Απόδειξη 1η
Θα αποδείξουμε το Α). Η απόδειξη του Β), είναι εντελώς ανάλογη.
Είναι         f x α f x αx f x αx 0       , για κάθε x R
άρα η συνάρτηση με τύπο :    g x f x αx  , x R
είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο R , Έτσι :
           x 0 g x g 0 f x αx f 0 f x αx f 0         , αλλά :
  x
lim αx f 0

   (αφού είναι α 0 ), οπότε θα είναι και
 x
lim f x

  .
Όμοια :
           x 0 g x g 0 f x αx f 0 f x αx f 0         , αλλά :
  x
lim αx f 0

   (αφού είναι α 0 ), οπότε θα είναι και
 x
lim f x

  .
Τελικά, αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και
γνησίως αύξουσα, εξ’ αιτίας της δεδομένης  f x α 0   , για κάθε x R ,
το Σύνολο Τιμών της είναι :
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13

7. 7
        x x
f lim f x , lim f x ,R R
 
    
όπως θέλαμε (οεδ)
Απόδειξη 2η
Για κάθε x R , η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού, αφού είναι
παραγωγίσιμη στο R . Έτσι :
Για κάθε x 0 , εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στο διάστημα  0,x , οπότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον    1 1ξ ξ x 0,x  τέτοιο ώστε
      
1
f x f 0
f ξ x α
x 0

  

ή    f x αx f 0  , με x 0
  x
lim αx f 0

   (αφού είναι α 0 ), οπότε θα είναι και
 x
lim f x

  .
Όμοια :
Για κάθε x 0 , εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στο διάστημα  x,0 , οπότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον    2 2ξ ξ x x,0  τέτοιο ώστε
      
2
f x f 0
f ξ x α
x 0

  

ή    f x αx f 0  , με x 0
  x
lim αx f 0

   (αφού είναι α 0 ), οπότε θα είναι και
 x
lim f x

  .
Συνεπώς, όπως και προηγουμένως, προκύπτει ότι  f R R , όπως
θέλαμε (οεδ) 
Παρατηρήσεις
1. Προφανώς, το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και όταν  f x α 0   , για
κάθε x R .
2. Το παραπάνω μπορεί να φανεί εξαιρετικά χρήσιμο σε μερικές
περιπτώσεις δύσκολων ορίων, όπως για παράδειγμα :
Αν f : R R συνεχής στο R συνάρτηση και F: R R μια
αρχική της συνάρτησης g : R R με τύπο :
   2 x
g x f e ημx 2019  , x R , να βρεθεί το Σύνολο Τιμών της
συνάρτησης h : R R με τύπο :
   h x x F x  , x R
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13

8. 8
Απάντηση
Είναι      h x 1 F x 1 g x 1 0       , για κάθε x R , άρα...
Λήμμα 4ο : Ακρότατου και Ορίων στα άκρα
Αν η συνάρτηση f :
 Είναι παραγωγίσιμη δύο φορές στο R
 Είναι  f x 0  , για κάθε x R και
 Δεν αντιστρέφεται, τότε
Α) Έχει ολικό ελάχιστο και
Β)  x
lim f x

  και  x
lim f x

 
Απόδειξη
Από τα δεδομένα, αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη δύο
φορές και  f x 0  στο R , η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο
R  f <
Επίσης, εφόσον η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται, δεν είναι '1 1' ,
άρα υπάρχει οριζόντια ευθεία y c , η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση
fC σε δύο σημεία, ας είναι τα   1 1A x ,f x και   2 2B x ,f x με 1 2x x
χωρίς βλάβη της γενικότητας
Τότε :
Α) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle
στο διάστημα  1 2x ,x , αφού είναι παραγωγίσιμη στο R άρα και συνεχής
σε κάθε διάστημα και    1 2f x f x c  , οπότε, υπάρχει ένα τουλάχιστον
 0 1 2x x ,x τέτοιο ώστε  0f x 0  . Όμως τότε :
      
f
0 0
f :'1 1'
f x 0 f x f x x x
<
 
      
      
f
0 0f x 0 f x f x x x
<
      
      
f
0 0f x 0 f x f x x x
<
       .
Έτσι έχουμε τον πίνακα :
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13

9. 9
x  
 f x
 f x
f
 0f x
Β) Τώρα για τα δύο όρια :
 Θεωρούμε τυχαίο 0α x («δεξιά» της θέσης ελαχίστου 0x ), οπότε
είναι    
f
0 0α x f α f x 0
<
     . Η εφαπτομένη της fC στη θέση α είναι η
      1ε : y f α x α f α  
Όμως, η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω στο R , κατά συνέπεια,
το γράφημά της θα είναι πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της, με
εξαίρεση το σημείο επαφής. Έτσι :
      f x f α x α f α  
Αλλά,
αφού  f α 0  και  x
lim x α

   , είναι     x
lim f α x α f α
R

 
 
     
 
 
οπότε, από πρόταση της διδακτέας ύλης,
 x
lim f x

 
 Ανάλογα, θεωρούμε τυχαίο 0β x , («αριστερά» της θέσης
ελαχίστου 0x ), οπότε είναι    
f
0 0β x f β f x 0
<
     . Η εφαπτομένη της
fC στη θέση β είναι η
      2ε : y f β x β f β  
Όμως, η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω στο R , κατά συνέπεια, το
γράφημά της θα είναι πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της, με εξαίρεση
το σημείο επαφής. Έτσι :
      f x f β x β f β  
0x
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13

10. 10
Αλλά,
αφού  f β 0  και  x
lim x β

  , είναι     x
lim f β x β f β
R

 
 
     
 
 
οπότε, από πρόταση της διδακτέας ύλης,
 x
lim f x

 
όπως θέλαμε (οεδ)
Σχόλια
1. Το παραπάνω Λήμμα, λειτουργεί και στην περίπτωση που η
συνάρτηση f δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, αρκεί να είναι η
παράγωγος συνάρτηση f γνησίως αύξουσα. Έτσι, θα αρκούσε στην
εκφώνηση να είχαμε ως δεδομένο ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη
και κυρτή στο R , απ’ όπου θα είχαμε άμεσα ότι f < . Προτίμησα όμως
να δώσω ότι  f x 0  ώστε να είμαι εναρμονισμένος με τη Σχολική Ύλη.
2. Φανερά το παραπάνω λήμμα, λειτουργεί και με τις προϋποθέσεις :
Αν η συνάρτηση f :
 Είναι παραγωγίσιμη δύο φορές στο R
 Είναι  f x 0  , για κάθε x R και
 Δεν αντιστρέφεται, τότε
Α) Έχει ολικό μέγιστο και
Β)  x
lim f x

  και  x
lim f x

 
Η απόδειξη είναι εντελώς ανάλογη 
Λήμμα 5ο
: Ελάχιστου εμβαδού
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη δύο φορές στο  α,β με
 f x 0  για κάθε  x α,β και σε κάποιο  0x α,β φέρουμε την
εφαπτομένη της, τότε το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση fC , την εφαπτομένη της στη θέση   0 0M x ,f x και τις
ευθείες x α και x β , γίνεται ελάχιστο, όταν είναι 0
α β
x
2


03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13

11. 11
Απόδειξη
Έστω η συνάρτηση  f : α,β R με  f x 0  για κάθε  x α,β .
Η εφαπτομένη της στο τυχαίο σημείο της   0 0M x ,f x δίνεται από
τον τύπο :
      0 0 0ε : y f x f x x x  
Το ζητούμενο χωρίο, δίνεται από τον τύπο :
      
β
0 0 0α
E f x f x f x x x dx    .
Αλλά, η συνάρτηση f είναι κυρτή, αφού  f x 0  , οπότε η
γραφική της παράσταση είναι πάνω από την εφαπτομένη της σε κάθε
σημείο της – εκτός από το σημείο επαφής – οπότε :
      
β
0 0 0α
E f x f x f x x x dx      ,
το οποίο διαδοχικά γίνεται :
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13

12. 12
       
      
      
β β β
0 0 0α α α
β2
β β
0 0 0αα
α
2 2
β
0 0 0 0α
E f x dx f x dx f x x x dx
x
f x dx f x x f x x x
2
β α
f x dx f x β α f x x β x α
2 2
    
 
     
 
    
          
    
  


δηλαδή τελικά :
         
β
0 0 0 0α
α β
E x f x dx f x β α f x β α x
2
       
 
 ,  0x α,β
Το παραπάνω Εμβαδόν, είναι συνάρτηση ως προς 0x της οποίας
ζητούμε την ελάχιστη τιμή. Για τεχνικούς – οπτικούς λόγους, θεωρούμε τη
συνάρτηση :
         
β
α
α β
g x f t dt f x β α f x β α x
2
       
 
 ,  x α,β
για την οποία εύκολα έχουμε :
    g x f x β α         
α β
f x β α x f x β α
2
       
 
ή
    
α β
g x f x β α x
2
     
 
,
αφού    
β β
α α
f x dx f t dt  είναι ανεξάρτητο του x , δηλαδή σταθερά ως
προς x .
Όμως είναι  f x 0  και β α 0  , άρα :
  
α β α β
g x 0 x 0 x
2 2
 
      
  
α β α β
g x 0 x 0 x
2 2
 
      
  
α β α β
g x 0 x 0 x
2 2
 
       ,
Έτσι, έχουμε τον παρακάτω πίνακα :
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13

13. 13
x α
α β
2

β
 g x
g ] <
άρα, η συνάρτηση g , ελαχιστοποιείται όταν είναι 0
α β
x
2

 , όπως
θέλαμε (οεδ)
Με εντελώς ανάλογο τρόπο, αποδεικνύεται ότι ισχύει ακριβώς το ίδιο
και στην περίπτωση μιας κοίλης συνάρτησης 
Βιβλιογραφία
1) Διαδίκτυο :
https://www.mathematica.gr/forum/viewforum.php?f=52) Διαδίκτυο :
https://lisari.blogspot.com/
3) Διαδίκτυο : http://www.study4exams.gr/
4) Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Μέτης, Κ. Μπρουχούτας, Σ.
Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος (2018) «Μαθηματικά Γ Λυκείου», Σχολικό
βιβλίο.
03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13