Dinàmica per 1r de batxillerat. Llei de Newton. Impuls i quantitat de moviment.

1. DINÀMICA
1r batxillerat
Lurdes Morral 1

2. Elements dels vectors força
Una força és una magnitud
vectorial. La seva unitat en el SI és
el Newton (N)
Sentit
Mòdul
Dinamòmetre,
Direcció aparell per mesurar
forces
• Mòdul o intensitat és la longitud del vector.
• Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva
inclinació.
• Sentit, indicat per la fletxa.
• Punt d’aplicació, punt on comença el vector
2

3. Suma de forces concurrents amb la mateixa direcció (4t)
Forces concurrents són aquelles les direccions de les
quals es tallen en algun punt.
Mateixa direcció i sentit
F1 = 6 N
R = 11 N
F2 = 5 N
El mòdul és la suma dels mòduls
Mateixa direcció i sentits oposats
F1 = 6 N
R= 2 N
F2 = 4 N
El mòdul és la diferència dels mòduls
3

4. Suma de forces concurrents amb diferent direcció (4t)
Si són perpendiculars
2 forces: Regla del paral·lelogram
→
→ R → Teorema de Pitàgores
F2 → R
F2
R = F12 + F22
→
F1 →
F1
Més de 2 forces:
4

5. Força neta o resultant d’un sistema de forces
Composició de forces
→
→ R
F2
→ → →
F1 R F2
•
→
•
F2 →
F1
•
→
→ F1
→
R
F3
→ → → →
En general: R = f 1 + f + f + ...
2 3
5

6. Força neta o resultant d’un sistema de forces
El mòdul de la resultant és la suma
dels mòduls de les dues forces.
El seu sentit és el de la força més
intensa i el seu mòdul és la diferència
de mòduls.
El mòdul, direcció i sentit de la força
resultant queden determinats gràficament
a partir de la regla del paral·lelogram.
Numèricament: cal descomposar els
vectors en les seves components
El mòdul de la força resultant es pot
calcular gràficament mitjançant la regla
del paral·lelogram i numèricament per
mitjà del teorema de Pitàgores.
6

7. Descomposició de forces (batx)
Coordenades cartesianes: components d’una força
Y →
→ • Es pot escriure el vector F com a suma de dos
Fy vectors dirigits sobre els eixos X i Y
→ →
F • F Es pot expressar de 2 formes:
•
→ → →
→
α F = Fx + Fy
j → → →
→ →
F = Fx i + F j y
X
i Fx
•
• Cada component : Fx = F cos α ; Fy = F sin α
→ →
2 2
• El mòdul del vector F : |F | = F = Fx + Fy
7

8. Suma de forces mitjançant components
→ → →
• La suma de dues forces: F1 = F1x i + F1y j
→ → →
F2 = F2x i + F2 y j
→ → → →
F1 + F2 = (F1x + F2 x ) i + (F1y + F2 y) j
8

9. Llei de Hooke
La llei de Hooke diu que quan s’ aplica
una força a una molla, li provoca una
deformació directament proporcional al
valor d’aquesta força.
F = k⋅ ∆l= k ⋅ ( l –lo )
L’allargament de les molles
és proporcional al pes que hi
pengem.
9

10. La primera llei de Newton o llei d’inèrcia
Si sobre un cos no actua cap força o la resultant de les forces que hi
actuen és zero, el cos resta indefinidament en el seu estat de repòs o
de moviment rectilini i uniforme se s’estava movent.
Quan el cotxe arrenca, et quedes enganxa’t Quan el cotxe frena, et desplaces cap a
en el seient, ja que tendeixes a seguir en davant, ja que tendeixes a estar en
repòs. moviment. 10

11. La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una força resultant no nul·la, el cos adquireix
una acceleració d’igual direcció i sentit que la força aplicada.
L’acceleració adquirida és proporcional a la força neta i la constant de
proporcionalitat és la massa del cos.
 
∑ F = m.a
FR = m ·a
→
a
→
F
11

12. Tercera llei de Newton. Principi d’acció i reacció
Quan un cos A exerceix una força sobre un altre cos B, el cos B
exerceix sobre el cos A una força oposada, és a dir, d’igual mòdul i
direcció però de sentit contrari.
No s’anul·len perquè actuen sobre cossos diferents
→ →
P N
El pes (P) d’un cos és la força
amb que la Terra l’atrau.
Quan un cos cau per acció del
seu propi pes, es mou amb
→ l’acceleració de la gravetat, →
-P a = g = 9,8 m/s2. Tenint en P
compte el principi fonamental
de la dinàmica:
F=m⋅a → P=m⋅g
S’anomena força normal (N)
a la força de reacció d’un pla
sobre un
cos que està sobre d’ell. És una
força perpendicular al pla i 12
de
sentit oposat al de la superfície.

13. La força normal.
Cossos sobre una superfície horitzontal
Quan un cos està damunt d’una superfície, fa una força sobre ella a
conseqüència del pes. Per la 3ª llei de Newton, la superfície fa una
força igual però de sentit contrari sobre el cos, que anomenem força
normal.
Amb forces externes verticals
Sense forces externes
Sense que
s’aixequi
13

14. Força de fregament
El fregament és una força que sempre s’oposa al
moviment
Ff = μ c · N
→
→ N
Ff →
Fmotor
→
P
Fmotor-Ff = m · a
14

15. Resolució de problemes
Esquema de les forces que actuen.
Descomposició de les forces en la direcció x (tangencial -la del moviment) i en
la direcció y (normal o perpendicular).
Suma de forces en la direcció normal: Càlcul de la Normal.
Càlcul de la Força de fregament (sempre en contra del sentit del moviment).
Segona llei de Newton en el sentit del moviment, tenint com a
sentit positiu aquell en el qual en mòbil començarà a moure's.
Càlcul de l'acceleració.
Amb l'acceleració (constant) puc calcular la posició, velocitat,energia mecànica,
potencial i cinètica en qualsevol moment o en qualsevol punt.
15

16. La força normal-1
Cossos sobre una superfície horitzontal
Amb forces externes horitzontals
v
Y • Forces en la direcció de l’eix Y
N
F N−P=0 ⇒ N=mg
X • Forces en la direcció de l’eix X F=ma
P=m g
F
El cos adquireix un MRUA d’acceleració a =
m
F : força aplicada
16

17. La força normal-2
Cossos sobre una superfície horitzontal
Amb forces externes
• Forces en la direcció de l’eix Y
Fx = F cos α
Fy = F sin α
Y v ∑ f iy = m a y ⇒ N + Fy − P = 0
Fy F
N = P- Fy
N α
• Forces en la direcció de l’eix X
Fx X
∑ f ix = m a x ⇒ Fx = m a x
P= m g
F
ax =
m
F : força aplicada 17

18. La força normal-3
Cossos sobre una superfície inclinada
Sense forces externes
• Forces en la direcció de l’eix Y
Y vo = 0
N ∑ f iy = m a y ⇒ N - Py = 0
v X
Px = mg sin α
Py = mg cos α N = Py
Px
α • Forces en la direcció de l’eix X
Py
∑ f ix = m a x ⇒ P x= m a x
P=m g mg sin α = m a a x = g sin α
α x 18

19. La força normal-4
Cossos sobre una superfície inclinada
Amb forces externes
Px = mg sin α
Py = mg cos α
Per a que el cos pugi, F > P x
F : força aplicada v
• Forces en la direcció de l’eix Y
Y
N F X ∑ f iy = m a y ⇒ N − Py = 0 ⇒ N = Py
Px • Forces en la direcció de l’eix X
α
Py
∑ f ix = m a x ⇒ F − Px = m a x
P=m g F − mg sin α = m a x
α
L’acceleració del cos serà: 1
ax = ( F − m g sinα )
m 19

20. La força normal-5
Cossos sobre una superfície inclinada
Amb forces externes
• Forces en la direcció de l’eix Y
F : força aplicada Σfiy = m ay ⇒ N − Py = 0 ⇒ N = Py
Y
N
X
v
• Forces en la direcció de l’eix X
Px Px = mg sin α
F α Py = mg cos α
Py Σfix = m ax ⇒ F + Px = m ax
F + mg sin α = m ax
P=m g
α 1
ax = ( F + m g sinα )
m
20

21. La força normal-6
Cossos sobre una superfície inclinada
Amb forces externes
Fx = F cos β • Forces en la direcció de l’eix Y
v Fy = F sin β
Σfiy = m ay ⇒ N +Fy− Py = 0 ⇒
F : força aplicada
F
Y N = Py- Fy= mg cos α-F sin β
N
X
Fy
Fx
β • Forces en la direcció de l’eix X
Px Px = mg sin α
α Py = mg cos α Σfix = m ax ⇒ Fx − Px = m ax
Py
F cos β − mg sin α = m ax
P=m g
α
1
ax = ( F cos β − m g sin α )
m 21

22. La tensió
Força que experimenten les cordes quan
s’estiren en aplicar una força, com per
exemple un pes.
22

23. Força de fregament-1
• Coeficient de fregament cinètic
µ c ≤ µ e, max El coeficient de fregament estàtic és sempre més
gran que el dinàmic.
• Forces en la direcció de l’eix Y
N−P = 0 ⇒ N=P= m g
Y v
N
F • Forces en la direcció de l’eix X
Ff X F−F f = m a
⇒ F− µN=m a x
Ff = µ N
1
P=m g
a=
m
(F− µ . m g)
23
F : força aplicada

24. Força de fregament-1
• Forces en la direcció de l’eix Y
N − Py = 0 ⇒ N = P y = m g cos
α
F X
Y • Forces en la direcció de l’eix X
N
v F − P x- F f = m a x
F f = µm g cos α
Px
Ff α F − Px − µm g cos α = m a
Py
P=m g 1
α
m ( F − mg sin α − µ mg cos α )
a=
F : força aplicada 24

25. Cossos units
Cal seguir els següents passos:
1-Elegir un sentit lògic del moviment. Si al final l’acceleració obtinguda és negativa,
significa que el sentit correcte és el contrari i caldrà fer de nou els càlculs.
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paral·leles ni
perpendiculars al desplaçament del cos. Despreciar les politges en els càlculs.
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les
que van en contra.
4-Si hi ha varis cossos units, cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos
per separat, posant per cada cos una equació on només hi hagi les forces
directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direcció amb que es
mou el cos.
5-El sistema d’equacions obtingut es resolt fàcilment sumant totes les
25
equacions

26. Cossos units-1: Màquina d’Atwood
26

27. Cossos units-2.
Cos 1:
Cos 2:
27

28. Cossos units-3.
Cos 1:
Cos 2:
28

29. Dinàmica del moviment circular.
→
v2
→ →
v3 F
→
c
F c
→
F c →
v1
→
F c
→
v4
Força centrípeta: força que cal
 v2
aplicar a un cos perquè segueixi
F c = m ⋅ an = m una trajectòria circular.
R
29

30. Dinàmica del moviment circular.
30

31. Dinàmica del moviment circular horitzontal.
1) Cos amb corda Eix X:
Eix Y:
Fc = T v2
m =T
N = mg R
2) Cotxe
Fc = Ff
• Forces en la direcció de l’eix Y
• Forces en la direcció de l’eix X
N−P=0 ⇒ N=mg
Fc = Ff = m an v2
m = µ ⋅ mg
R v = Rgµ
Ff = µ N 31

32. Dinàmica del moviment circular horitzontal.
3) Cos amb corda (con)
v2
Eix X: Fc = Tx = m
R Tx= T sinα
Eix Y: Ty = mg Ty = T cos α
v2 v2
T sinα = m tgα =
R Rg
T cosα = m g
4) Cotxe amb peralt
v2
Eix X: Fc = N x = m Nx= N sinα
R
Eix Y: Ny = mg Ny = N cos α
v2
N sinα = m v2
R tgα =
N cosα = m g Rg 32

33. Dinàmica del moviment circular vertical.
Punt baix : A
v2
Fc = T − mg = m T serà màxima
R
v2
Fc = T = m
R
Punt alt : B
v2 V min quan T=0
Fc = T + mg = m
R
v = Rg 33

34. Quantitat de moviment.
Definició
S’anomena quantitat de moviment o moment lineal el producte
de la massa d’un cos per la seva velocitat.

p

→ → v
p = m·v
m
 És el producte d’un escalar positiu (massa) per un vector
(velocitat). És, per tant, un altre vector amb la mateixa direcció
i el mateix sentit que el vector velocitat.
 En el SI s’expressa en kg·m·s-1.
34

35. Quantitat de moviment.
Relació amb la força resultant
Relació entre la força resultant constant aplicada a un
cos i la seva quantitat de moviment:
 →
 → → Δp
2ª llei de Newton: ∑ F = m·a F = ∑F =
Δt

  ∆v
a = am =
Si l’acceleració és constant:
∆t
       
 ∆v m( v - v o ) = mv - mv o = p - po = ∆p
Substituint: ∑ F = m· =
∆t ∆t ∆t ∆t ∆t
35

36. Quantitat de moviment.
→
→ Δp
∑F =
Δt
 L’equació anterior és una forma alternativa d’enunciar la segona llei de Newton. El
seu interès radica en què:
 S’acosta més a la formulació original de Newton.
La resultant de totes les forces aplicades a un cos és igual al quocient
entre la variació de la seva quantitat de moviment i l’interval de temps
transcorregut.
 És vàlida tant per a la mecànica clàssica com per a la relativista.
36

37. Quantitat de moviment.
Conservació de la quantitat de moviment d’una partícula
→
→ ∆p
 L’equació ∑F = permet formular:
∆t
→
 ∆p → →
si ∑ F = 0 → = 0 → ∆p =0 → p = constant
∆t
Si la força resultant que actua sobre un cos és zero, la quantitat de
moviment del cos es manté constant.
37

38. Impuls mecànic.
Impuls mecànic d’una força constant
L’impuls mecànic que una força constant F
dóna a un cos és el producte de la força pel
temps que hi actua.
(Si acompanyem la pilota,
l’impuls és major)
→ →
I = F · ∆t
(La pilota canvia la direcció de moviment i el mòdul
de la velocitat. Per tant varia la quantitat de
moviment)
 És una magnitud vectorial, producte del vector força per l’escalar positiu ∆t.
Té, per tant, la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector força.
 En el SI el seu mòdul s’expressa en N·s.
38

39. Impuls mecànic.
Impuls mecànic d’una força constant
 Considerem una força constant F que actua un temps ∆t sobre un cos.
Representem la força en ordenades i el temps en abscisses:
F L’impuls que proporciona la força
ve donat per la superfície del
rectangle ombrejat.
F
I = F · ∆t = F · (t - t 0 ) = Àrea ombrejada
Si la força és variable, igualment, l’impuls serà
l’àrea sota la corba o recta.
t
to t
∆t
39

40. Impuls mecànic.
L’impuls d’una força és l’àrea
La força és constant. continguda sota la corba F-t.
La força és
variable.
Una força variable es pot substituir per una
força mitjana que provoca el mateix impuls
(les àrees sota els dos gràfics són iguals).
40

41. Impuls mecànic.
Relació entre l’impuls mecànic i la quantitat de moviment
→
→ Δp  
vo v de: F = ∆p = F·∆t
Δt
m F
→ →
i com: I = F · ∆t
∆t
 
s’obté: I = ∆p
 En la deducció anterior s’ha suposat que la força F és constant i que el moviment és
unidimensional. El resultat, però, pot extendre’s a una força variable i a un moviment
tridimensional.
L’impuls mecànic proporcionat a un cos és igual a la
variació que experimenta la seva quantitat de moviment.
→ → → →
I = p - p0 = ∆ p
41

42. Sistemes de partícules.
Forces internes i forces externes
 Les forces que actuen sobre un conjunt de n partícules poden ser de dos tipus:
1. Forces internes. Són les forces d’interacció entre les partícules.
 Poden ser gravitatòries, electrostàtiques, de contacte, …
 Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton), de
manera que quan es considera el sistema de dues partícules, les
forces internes s’anul·len.
2. Forces externes. Són exercides per agents exteriors al sistema.
42

43. Sistemes de partícules.
Conservació de la quantitat de moviment
 Considerem dos cossos que es troben aïllats del seu entorn. Sobre el sistema de dos
cossos no hi actuen, doncs, forces externes, només les forces internes d’interacció.
→
→ ∆ p1
Força que actua sobre el cos 1 (deguda a 2): F1 =
∆t F1 m2
→ F2
Força que actua sobre el cos 2 (deguda a 1): → ∆ p2
F2 = m1
∆t
 Segons la tercera llei de Newton:
→ → → →
∆ p1 ∆ p2 → ∆ p1 ∆ p2
F1 = - F 2→
→ →
= - + = 0 →
∆t ∆t ∆t ∆t
→ →
∆( p 1 + p 2 ) → → → →
→ = 0 → ∆( p 1 + p 2 ) = 0 → p1 + p2 = constant
∆t
43

44. Sistemes de partícules.
 Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol
de partícules i constitueix el principi de conservació de la quantitat de
moviment per a un sistema de partícules.
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de
partícules és zero, la quantitat de moviment del sistema es
manté constant.
→ → →
∑ F exteriors = 0 → ∆p =0 → p = constant
→ → → → → → →
on: p = p1 + p 2 + ... + pn = m v1 + m v 2 + ... + m v n = cte
Per 2 cossos
→ → → →
m1 v 01 + m2 v 02 = m1 v1 + m2 v 2
44
Aplicació: xocs