Modelagem de uma Praça de Pedágio usando Teoria das Filas Disciplina: Análise do Fluxo de Tráfego Professor: Paulo César M...
Teoria das Filas - Introdução É uma modelagem dos sistemas em que as entidades que chegam aleatoriamente e necessitam de p...
Teoria das Filas - Definição A formação de uma fila decorre de um desequilíbrio entre a demanda por serviços e a capacidad...
Teoria das Filas - Definição A Teoria das Filas analisa o fenômeno de formação de filas e suas características, com a fina...
Teoria das Filas – Características As características básicas analisadas no processo de filas são: <ul><li>Processo de che...
1. Processo de chegada dos clientes (demanda) Teoria das Filas – Características <ul><li>É medido de duas formas: </li></u...
2. Padrões de serviço dos atendentes (oferta) Teoria das Filas – Características <ul><li>É descrito de duas formas: </li><...
3. Disciplina da Fila <ul><li>É a forma pela qual os clientes serão atendidos: </li></ul><ul><li>FIFO (first in, first out...
4. Número de canais de serviços <ul><li>É o número de servidores paralelos, os quais prestam serviço simultâneo aos client...
5. Capacidade de armazenamento do sistema Em alguns processos de filas existem restrições físicas na quantidade de espaço ...
6. Etapas do serviço <ul><li>Um sistema de filas pode apresentar: </li></ul><ul><li>Apenas uma etapa de serviço; </li></ul...
Teoria das Filas – Características A partir dessas características é possível mensurar a eficiência do sistema de acordo c...
Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: <ul><li>O fluxo de tráfego é constante num pequeno espaço de tempo; </...
Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: 3. O tráfego é uniforme nas saídas das cabines de pedágio; 4. Os condu...
Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: 5. Os condutores sofrem atraso na coleta do pedágio, e este atraso é d...
Teoria das Filas – Modelo Segundo nossas hipóteses, o atraso no tráfego em uma praça de pedágio é causado pela coleta real...
Teoria das Filas – Modelo Praça de Pedágio De acordo com nossas simplificações, as correntes de tráfego que adentram a pra...
Teoria das Filas – Modelo Praça de Pedágio Assim, poderemos analisar cada cabine de pedágio de forma independente, seguind...
Teoria das Filas – Modelo Pontos de Fusão O atraso total causado por processos de fusão é de difícil análise. Primeirament...
Teoria das Filas – Modelo Processo de Fusão Total Se existem T cabines de pedágio e que após a coleta de pedágio a corrent...
Teoria das Filas – Modelo Processo de Fusão Total O tempo médio total gasto corresponde ao somatório de todo o tempo médio...
Teoria das Filas – Modelo Com o modelo definido, poderemos determinar a fórmula para o tempo gasto de acordo com o número ...
Teoria das Filas – Modelo <ul><li>Taxa de serviço em um ponto de fusão: quando a fusão não ocorre ( μ 0 ) </li></ul><ul><l...
Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Cabine de Pedágio A partir das definições dadas anteriormente a taxa de chegada de...
Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Um ponto de fusão é modelado como um Sistema Markoviano. O estado  ...
Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Assim, chegaremos no sistema: Resolvendo a equação, obtemos:
Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Com as probabilidades calculadas, podemos calcular o número de cond...
Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão O tempo médio gasto por um condutor em um ponto de fusão é a difere...
Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Cabine de Pedágio + Ponto de Fusão Finalmente, o tempo médio gasto por um condutor...
Teoria das Filas – Modelo O valor mínimo referente ao tempo total médio é de 31,6 segundo, o que ocorre quando T=7, ou sej...
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Metodologia para dimencionamento de uma praça de pedágio usando teoria das filas

  1. 1. Modelagem de uma Praça de Pedágio usando Teoria das Filas Disciplina: Análise do Fluxo de Tráfego Professor: Paulo César Marques da Silva Aluno: Luiz Fernando Castilho
  2. 2. Teoria das Filas - Introdução É uma modelagem dos sistemas em que as entidades que chegam aleatoriamente e necessitam de períodos diversos de tempo para serem atendidas, possam esperar em fila até serem servidas. Os modelos desse tipo trabalham com padrões típicos de chegada e atendimento, e por meio de fórmulas analíticas, medem características intrínsecas às filas de espera, tais como: comprimento, tempo de espera entre outros.
  3. 3. Teoria das Filas - Definição A formação de uma fila decorre de um desequilíbrio entre a demanda por serviços e a capacidade destinada ao seu atendimento. <ul><li>“ Linha de espera de clientes que demandam serviço a uma estação de serviço” MIRSHAWKA (1979); </li></ul><ul><li>“ Processo de chegada a um sistema de atendimento formado por um ou mais canais de serviços” NOVAES (1975); </li></ul><ul><li>“ De uma certa população ou fonte, surgem os clientes que formam uma fila aguardando algum tipo de serviço, saindo desse sistema após realizar tal serviço” PRADO (1999). </li></ul>
  4. 4. Teoria das Filas - Definição A Teoria das Filas analisa o fenômeno de formação de filas e suas características, com a finalidade de prever o seu comportamento de modo a permitir o dimensionamento adequado de instalações, equipamentos e sua infra-estrutura.
  5. 5. Teoria das Filas – Características As características básicas analisadas no processo de filas são: <ul><li>Processo de chegada dos clientes (demanda); </li></ul><ul><li>Padrões de serviço dos atendentes (oferta); </li></ul><ul><li>Disciplina da fila (controle ou gerência da demanda); </li></ul><ul><li>Número de canais de serviços (oferta/restrições ao atendimento); </li></ul><ul><li>Capacidade de armazenamento do sistema (oferta/restrições do armazenamento); </li></ul><ul><li>Número de etapas do serviços. </li></ul>
  6. 6. 1. Processo de chegada dos clientes (demanda) Teoria das Filas – Características <ul><li>É medido de duas formas: </li></ul><ul><li>Número médio de chegadas por uma dada unidade de tempo (taxa média de chegada); </li></ul><ul><li>Tempo médio entre chegadas sucessivas (intervalo médio de tempo entre chegadas) </li></ul>
  7. 7. 2. Padrões de serviço dos atendentes (oferta) Teoria das Filas – Características <ul><li>É descrito de duas formas: </li></ul><ul><li>Número de clientes atendidos em um dado intervalo de tempo (taxa de serviço); </li></ul><ul><li>Tempo necessário para atender o cliente (tempo de serviço). </li></ul>
  8. 8. 3. Disciplina da Fila <ul><li>É a forma pela qual os clientes serão atendidos: </li></ul><ul><li>FIFO (first in, first out): Primeiro que chega é o primeiro a ser atendido; </li></ul><ul><li>LIFO (last in, first out): Último a chegar é o primeiro a ser atendido; </li></ul><ul><li>SIRO (service in randon order): Seleção aleatória de serviços independente da ordem de chegada. </li></ul>Teoria das Filas – Características
  9. 9. 4. Número de canais de serviços <ul><li>É o número de servidores paralelos, os quais prestam serviço simultâneo aos clientes: </li></ul><ul><li>Um canal; </li></ul><ul><li>Múltiplos canais; </li></ul><ul><li>Fila única </li></ul><ul><li>Uma fila para cada canal </li></ul>Teoria das Filas – Características
  10. 10. 5. Capacidade de armazenamento do sistema Em alguns processos de filas existem restrições físicas na quantidade de espaço de espera. Referem-se a situações finitas de fila, nas quais existe um limite para seu comprimento máximo, que reflete a capacidade máxima de armazenamento de clientes pelo sistema. Teoria das Filas – Características
  11. 11. 6. Etapas do serviço <ul><li>Um sistema de filas pode apresentar: </li></ul><ul><li>Apenas uma etapa de serviço; </li></ul><ul><li>Várias etapas de serviço. </li></ul>Teoria das Filas – Características
  12. 12. Teoria das Filas – Características A partir dessas características é possível mensurar a eficiência do sistema de acordo com as seguintes medidas: <ul><li>Tempo de espera do cliente na fila; </li></ul><ul><li>Número de clientes na fila; </li></ul><ul><li>Tempo ocioso dos servidores. </li></ul>Qualidade do serviço fornecido ao cliente Empresa responsável pela oferta do serviço
  13. 13. Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: <ul><li>O fluxo de tráfego é constante num pequeno espaço de tempo; </li></ul><ul><li>O tempo entre dois veículos entrando na praça de pedágio segue uma distribuição exponencial. </li></ul>O fluxo de tráfego é normalmente considerado constante em qualquer instante, com alterações ocorrendo lentamente, enquanto as medidas são realizadas a intervalos de tempo cada vez menores. Isso significa que, visto como um processo estocástico, o tráfego entre-chegadas deve seguir uma distribuição exponencial.
  14. 14. Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: 3. O tráfego é uniforme nas saídas das cabines de pedágio; 4. Os condutores sobre atraso enquanto esperam nas faixas de aproximação das cabines de pedágio para atendimento; Será assumido que a saída das cabines de pedágio não contribuem para o atraso de forma que pudesse alterar o valor das variáveis consideradas no modelos Se há uma fila na cabine de pedágio escolhida pelo condutor, este deverá aguardar que os condutores à sua frente sejam atendidos até que chegue a sua vez (FIFO).
  15. 15. Teoria das Filas – Modelo Simplificações do Modelo: 5. Os condutores sofrem atraso na coleta do pedágio, e este atraso é distribuído exponencialmente; Todas as cabines são idênticas, e a média de tempo no atendimento das cabines é a mesma com o fluxo máximo de veículos com cabines entre 350 e 500 veículos por hora em cabines padrão (dinheiro ou automática). Assim como o fluxo de tráfego na rodovia, esta taxa pode ser considerada constante, seguindo também uma distribuição exponencial. As cabines de pedágio expressas, nas quais os condutores não precisam parar, não são relevantes para o modelo por não permitirem a formação de fila.
  16. 16. Teoria das Filas – Modelo Segundo nossas hipóteses, o atraso no tráfego em uma praça de pedágio é causado pela coleta realizada nas cabines de pedágio e pela corrente de tráfego que se funde na saída da praça de pedágio. Dessa forma, o problema será dividido em duas partes: o atraso nas cabines de pedágio e o atraso nos pontos de fusão na saída da praça de pedágio. Assim, numa cabine de pedágio, os condutores esperam pelo atendimento de coleta de pedágio enquanto que em pontos de fusão o condutor encara a possibilidade de ter que parar e aguardar uma chance para entrar na faixa fundida.
  17. 17. Teoria das Filas – Modelo Praça de Pedágio De acordo com nossas simplificações, as correntes de tráfego que adentram a praça de pedágio serão uniformemente distribuídas em todas as cabines de pedágio, e cada cabine de pedágio receberá uma corrente de tráfego na qual o tempo entre-chegadas segue uma distribuição exponencial. Além disso, o tempo de serviço nas cabines também segue uma distribuição exponencial.
  18. 18. Teoria das Filas – Modelo Praça de Pedágio Assim, poderemos analisar cada cabine de pedágio de forma independente, seguindo o modelo de fila M/M/1, onde: First in, First out FIFO Disciplina da Fila (Z) 1,2,...,œ Capacidade do Sistema (Y) 1,2,...,œ Número de Canais de Serviço (X) Distribuição Geral G Distribuição Exponencial M Padrão de Serviço (B) Distribuição Exponencial M Padrão de Chegada (A) Descrição Símbolo Característica
  19. 19. Teoria das Filas – Modelo Pontos de Fusão O atraso total causado por processos de fusão é de difícil análise. Primeiramente, consideraremos um processo de fusão simples onde veículos em duas faixas distintas se fundem em uma única faixa, chamado do Ponto de Fusão 2-em-1. Quando um condutor se aproxima de um ponto de fusão, o atraso dependerá da existência de outro veículo trafegando na outra faixa. De forma a simplificar o problema, trataremos as duas faixas como uma fila onde o motorista deverá parar sempre que houver outro veículo na fila. Definiremos então como tempo de serviço de um veículo como o tempo gasto para o mesmo sair da área de fusão de faixas de rolamento. Assim, a taxa de serviço será igual a μ b quando mais de um veículo está presente no sistema, e μ 0 quando o sistema possui apenas um veículo, onde μ 0 e μ b são constantes.
  20. 20. Teoria das Filas – Modelo Processo de Fusão Total Se existem T cabines de pedágio e que após a coleta de pedágio a corrente de tráfego é fundida em N faixas de rolamento, o número total de pontos de fusão será dado por T – N. Contudo, as taxas de chegada nas cabines de pedágio e nos pontos de fusão são diferentes. Se um ponto de fusão receber uma corrente de tráfego de k cabines de pedágio, com um fluxo de tráfego total de Φ, sua taxa de chegada será dado por: O valor de k depende diretamente do layout da saída da praça de pedágio. Por exemplo, em uma praça com fusão lateral com T cabines de pedágio, o primeiro ponto de fusão recebe a corrente de tráfego de duas cabines de pedágio, e o segundo ponto de fusão recebe a corrente de tráfego de três cabines de pedágio.
  21. 21. Teoria das Filas – Modelo Processo de Fusão Total O tempo médio total gasto corresponde ao somatório de todo o tempo médio gasto em cada ponto de fusão e a probabilidade de um condutor alcançar um determinado ponto de fusão é dado por k/T. A tabela abaixo mostra a taxa de chegada e a probabilidade em cada ponto de fusão. (T-N+1)/T ... 4/T 3/T 2/T Probabilidade (T-N+1) Φ /T ... 4 Φ /T 3 Φ /T 2 Φ /T Taxa de chegada (T-N) ... 3 2 1 Ponto de Fusão
  22. 22. Teoria das Filas – Modelo Com o modelo definido, poderemos determinar a fórmula para o tempo gasto de acordo com o número de cabines de pedágio. Assim, foi estimado o valor das seguintes constantes: <ul><li>Número de faixas de rolamento que entram na praça de pedágio ( N ) </li></ul><ul><li>Fluxo de tráfego total ( Φ ) </li></ul><ul><li>Taxa de Serviço em uma cabine de pedágio ( μ A ) </li></ul>A escala típica do número de faixas de rolamento em uma rodovia que chegam à uma praça de pedágio está entre 1 e 6. Foram considerados diferentes valores de N nos cálculos. O fluxo de tráfego máximo por faixa é 2000 veículos/hora. Como foram considerados N valores inteiros entre 1 e 6, foram considerados também vários valores de fluxo de tráfego. A taxa de serviço em uma cabine de pedágio foi estimada em 350 veículos/hora.
  23. 23. Teoria das Filas – Modelo <ul><li>Taxa de serviço em um ponto de fusão: quando a fusão não ocorre ( μ 0 ) </li></ul><ul><li>Taxa de serviço em um ponto de fusão: quando a fusão ocorre ( μ B ) </li></ul>μ 0 é a taxa de serviço quando há apenas um veículo no sistema. Assim, μ 0 considerando foi de 3017,1 veículos/hora. O μ B considerado foi de 1184,9 veículos/hora.
  24. 24. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Cabine de Pedágio A partir das definições dadas anteriormente a taxa de chegada de cada cabine de pedágio é Φ/T. Considerando a taxa de chegada e a taxa de serviço de uma cabine de pedágio, o tempo médio de serviço de cada cabine de pedágio é dado por:
  25. 25. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Um ponto de fusão é modelado como um Sistema Markoviano. O estado μ 0 representa a possibilidade de não ocorrer nenhum conflito no ponto de fusão. A taxa de chegada é dada por λ. Será calculado o tempo médio gasto t diff ( λ) após o cálculo do tempo médio de espera no sistema t sys (λ). Sabendo que P n é a probabilidade de haver n condutores no sistema.
  26. 26. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Assim, chegaremos no sistema: Resolvendo a equação, obtemos:
  27. 27. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão Com as probabilidades calculadas, podemos calcular o número de condutores esperados no sistema De acordo com o Teorema de Little, o tempo médio de espera no sistema t sys ( λ) é igual ao número de motoristas esperados no sistema L(λ) dividido pela taxa de chegada λ.
  28. 28. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Ponto de Fusão O tempo médio gasto por um condutor em um ponto de fusão é a diferença entre o tempo médio de espera no sistema t sys ( λ) e o tempo gasto quando não há conflito em um ponto de fusão (1/μ 0 ). Assim: Assim, o tempo total gasto nos pontos de fusão é:
  29. 29. Teoria das Filas – Modelo Tempo gasto – Cabine de Pedágio + Ponto de Fusão Finalmente, o tempo médio gasto por um condutor em toda a praça de pedágio será dado pela some entre w a e w b .
  30. 30. Teoria das Filas – Modelo O valor mínimo referente ao tempo total médio é de 31,6 segundo, o que ocorre quando T=7, ou seja, 7 cabines de pedágio é o valor ótimo para esta configuração da praça de pedágio.
  31. 31. Teoria das Filas – Modelo Obrigado.

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