Estruturas Placas

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Estruturas Placas

  1. 1. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Placas Placas Placas e Cascas – 7641 3º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1. Teoria de Flexão de Placas • Uma placa é um corpo tridimensional com: – uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas; – a curvatura da sua superfície média na configuração inicial é nula. superfície média Placas • Exemplos de placas: – – – – – Tampos de mesa; Tampas de esgoto; Painéis laterais e telhados de edifícios; Discos de turbinas; Fundos de tanques. Pedro V. Gamboa - 2009
  2. 2. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.1. Introdução • As placas podem ser classificadas em 3 grupos: – Placas finas com deflexões pequenas; – Placas finas com deflexões grandes; – Placas espessas. Placas • Consideram-se placas finas quando a razão da sua espessura pelo lado menor é inferior a 1/20; • Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos externos com as deformações, tensões e deslocamentos: – Forças da superfície: • Forças concentradas quando actuam num ponto; • Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita. – Forças do corpo: • Forças que actuam noselementos volumétricos da placa; • Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver movimento, da inércia da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.1. Introdução • O primeiro estudo significativo das placas deu-se nos anos 1800; • Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de placas: – A teoria fundamental: • Navier; • Kirchhoff; • Lévy. Placas – Resoluções numéricas: • Galerkin; • Wahl. Pedro V. Gamboa - 2009
  3. 3. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.2. Comportamento Geral de Placas Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide com o plano médio sendo, assim, a defleção em z igual a zero. As componentes do deslocamento num ponto nas direcções x, y e z são u, v e w, respectivamente. Placas Quando, devido a carregamentos laterais, existe deformação, a superfície média num ponto qualquer (xa,ya) tem defleção w. Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões pequenas (teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e finas) baseia-se na geometria das deformações. Pedro V. Gamboa - 2009 1.2. Comportamento Geral de Placas Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Pedro V. Gamboa - 2009
  4. 4. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.2. Comportamento Geral de Placas Hipótese de Kirchhoff (pressupostos fundamentais): 1. Placas 2. 3. 4. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a espessura da placa. O declive da superfície deflectida é, portanto, muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado com a unidade; O plano médio permanece sem extensão após a flexão; Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem planas e normais à superfície após a flexão. Isto indica que as extensões de corte verticais, γxz e γyz, são desprezáveis. A deflexão da placa está, assim, principalmente associada às extensões de flexão. Conclui-se que a extensão normal εz resultante do carregamento transversal pode ser omitido. A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as outras componentes e pode ser despresada. Esta suposição torna-se irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.3. Relações Extensão-Curvatura Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-se a geometria de deformação. Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-deslocamento são ∂u ∂v ∂w εx = ; εy = ; εz = =0 ∂x ∂y ∂z Placas γ xy = ∂u ∂v ∂w ∂u ∂w ∂v + ; γ xz = + = 0 ; γ yz = + =0 ∂y ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z onde γyx=γxy, γzx=γxz e γzy=γyz. Integrando a equação de εz, tem-se w = w( x, y ) indicando que a deflexão lateral não varia na espessura da placa. Pedro V. Gamboa - 2009
  5. 5. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.3. Relações Extensão-Curvatura Da mesma forma, integrando as expressões de γxz e γyz tem-se u = −z ∂w ∂w + u 0 ( x, y ) ; v = − z + v0 ( x, y ) ∂x ∂y Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam, respectivamente, os valores de u e de v na superfície média. Com base no pressuposto (2) conclui-se que u0=v0=0. Assim, Placas u = −z ∂w ∂w ; v = −z ∂x ∂y Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3). Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-se ε x = −z ∂2w ∂2w ∂2w ; ε y = − z 2 ; γ xy = −2 z 2 ∂x∂y ∂y ∂x Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.3. Relações Extensão-Curvatura A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de variação do ângulo do declive da curva em relação à distância ao longo da curva. Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser considerado desprezável e as derivadas parciais das equações anteriores representam as curvaturas da placa. Placas Assim, as curvaturas κ na superfície média em planos paralelos ao plano xz, yz e xy são, respectivamente 1 ∂ ⎛ ∂w ⎞ = ⎜ ⎟ = κx rx ∂x ⎝ ∂x ⎠ ; 1 ∂ ⎛ ∂w ⎞ = ⎜ ⎟ =κy ry ∂y ⎝ ∂y ⎠ ; 1 ∂ ⎛ ∂w ⎞ = ⎜ ⎟ = κ xy rxy ∂x ⎝ ∂y ⎠ Onde κxy=κyx. A última expressão também é conhecida como a torção do plano médio em relação aos eixos x e y. Pedro V. Gamboa - 2009
  6. 6. Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.3. Relações Extensão-Curvatura Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem representar-se na seguinte forma ε x = − zκ x ; ε y = − zκ y ; γ xy = −2 zκ xy Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as extensões estão relacionadas pela lei de Hook generalizada, válida para um material isotrópico homogéneo: εx = 1 1 1 [σ x −ν (σ y + σ z )] ; ε y = E [σ y −ν (σ x + σ z )] ; ε z = E [σ z −ν (σ x + σ y )] E Placas γ xy = τ xy G ; γ xz = τ xz G ; γ yz = τ yz G onde τyx=τxy, τzx=τxz e τzy=τyz. E é o módulo elástico longitudinal, ν é o coeficiente de Poisson e G é o módulo elástico transversal dado por G= E 2(1 + ν ) Pedro V. Gamboa - 2009
  7. 7. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões Substituindo εz=γyz=γxz=0, obtém-se as relações tensão-extensão da placa fina: σx = E (ε x −νε y ) ; σ y = E 2 (ε y −νε x ) ; τ xy = Gγ xy 1 −ν 2 1 −ν Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com a forma seguinte 2 2 Ez ⎜ 2 ⎟ (κ x +νκ y ) = − Ez 2 ⎛ ∂ w +ν ∂ w ⎞ ∂y 2 ⎟ 1 −ν 2 1 −ν ⎜ ∂x ⎝ ⎠ ∂2w ⎞ Ez Ez ⎛ ∂ 2 w (κ y +νκ x ) = − 2 ⎜ 2 +ν 2 ⎟ σy =− ∂x ⎟ 1 −ν 2 1 −ν ⎜ ∂y ⎝ ⎠ Placas σx = − τ xy = − Ez Ez ∂ 2 w κ xy = − 1 −ν 1 −ν ∂x∂y Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia linearmente ao longo da espessura da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem momentos flectores, momentos torsores e forças de corte verticais. Placas Estes momentos e forças por unidade de comprimento são conhecidas por resultantes de tensões. Da figura, para a tensão σx, tem-se ∫ t 2 −t 2 zσ x dydz = dy ∫ t 2 −t 2 zσ x dz = M x dy Pedro V. Gamboa - 2009
  8. 8. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes resultantes de tensão ⎧Mx ⎫ ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ t2⎪ ⎪ ⎨ M y ⎬ = ∫−t 2 ⎨σ y ⎬ zdz ⎪M ⎪ ⎪τ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ onde Mxy=Myx. Placas Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se ⎧Qx ⎫ t 2 ⎧τ xz ⎫ ⎨ ⎬ = ∫−t 2 ⎨ ⎬dz ⎩τ yz ⎭ ⎩Q y ⎭ É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o efeito das deformações γxz=τxz/G e γyz=τyz/G na flexão, as forças verticais Qx e Qy não são desprezáveis. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões Substituindo as equações das tensões em função dos deslocamentos nas equações dos momentos podemos derivar as fórmulas dos momentos fletores e torsores em função das curvaturas e deflexões Placas ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ M x = − D(κ x + νκ y ) = − D⎜ 2 + ν 2 ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎝ 2 2 ⎛∂ w ∂ w⎞ M y = − D (κ y + νκ x ) = − D⎜ 2 + ν 2 ⎟ ⎜ ∂y ∂x ⎟ ⎠ ⎝ M xy = − D(1 −ν )κ xy = − D(1 −ν ) ∂2w ∂x∂y onde D é a rigidez de flexção dada por D= Et 3 12(1 −ν 2 ) As forças de corte verticais Qx e Qy serão obtidas mais tarde. Pedro V. Gamboa - 2009
  9. 9. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões Substituindo as equações dos momentos nas equações das tensões pode obter-se as tensões em função dos momentos 12 M y z 12 M xy z 12 M x z ; σy = ; τ xy = σx = 3 3 t t t3 A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em z=±t/2) da placa. Placas Desta análise pode observar-se que existe um correspondência directa entre os momentos e as tensões. Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões e dos momentos são análogas. A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as tensões também se aplicam aos momentos. A determinação das tensões σz, τxz e τyz através da lei de Hook não é possível porque não se relacionam com as extensões. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa sujeito a um estado de tensão genérico podem ser usadas para ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + =0 + ∂x ∂z ∂y ∂σ y ∂τ xy ∂τ yz + + =0 ∂y ∂x ∂z ∂σ z ∂τ xz ∂τ yz + =0 + ∂x ∂y ∂z Das duas primeiras equações as tensões de corte τxz e τyz são, depois de integrar t 2 ⎞ ⎡ ∂ ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎤ ⎛ ∂σ x ∂τ xy ⎞ E ⎛ t2 ⎜ − z 2 ⎟ ⎢ ⎜ 2 + 2 ⎟⎥ + ⎟dz = − 2 ⎜ ⎟ ⎟ ∂x ⎜ ∂x 2(1 −ν )⎝ 4 ∂y ⎟⎦ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎠⎣ ⎝ τ xz = ∫ ⎜ ⎜ z t 2 2 ⎛ ∂σ x ∂τ xy ⎞ E ⎛ t2 ∂ 2 w ⎞⎤ 2 ⎞⎡ ∂ ⎛ ∂ w + ⎟ ⎟dz = − 2(1 −ν 2 )⎜ 4 − z ⎟ ⎢ ∂y ⎜ ∂x 2 + ∂y 2 ⎟⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎠⎣ ⎝ ⎝ τ yz = ∫ ⎜ ⎜ z Pedro V. Gamboa - 2009
  10. 10. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.4. Tensões e Resultantes de Tensões Pode observar-se que as distribuições de τxz e τyz na espessura da placa variam de acordo com uma lei parabólica. A componente σz pode calcular-se usando a terceira equação de equilíbrio, substituindo para τxz e τyz e integrando Placas σz = − E ⎛ t 3 t 2 z z 3 ⎞ ⎡⎛ ∂ 2 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎤ ⎜ − + ⎟ ⎢⎜ 2 + 2 ⎟⎜ 2 + 2 ⎟⎥ 2 ⎜ 2(1 −ν )⎝ 12 4 3 ⎟ ⎣⎜ ∂x ∂y ⎟⎜ ∂x ∂y ⎟⎦ ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ A tensão normal σz varia na forma de uma parábola cúbica ao longo da espessura da placa. Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4). As tensões de corte na direcção z também são consideradas muito pequenas quando comparadas com as outras tensões. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes de tensão) variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa carregada. Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da estática. O cumprimento destas condições estabelece certas relações conhecidas por equações de equilíbrio. Placas Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um carregamento por unidade de área uniformemente distribuído, p. Pedro V. Gamboa - 2009
  11. 11. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor pequeno, no carregamento p não afecta a precisão do resultado. Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por simplicidade, assume-se que as componentes de força e de momento estão distribuídas uniformemente em cada uma das faces. Placas Na figura elas estão representadas por um vector único, representando os valores médios, aplicado no centro de cada face. Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda para a face direita, a componente do momento Mx que actua na face negativa de x varia em valor relativamente à face positiva de x. Esta variação pode ser representada por uma série de Taylor truncada Mx + ∂M x dx ∂x Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa Usa-se a derivada parcial pois Mx é função de x e y. Trantando todas as componentes de forma similar, obtém-se o estado das resultantes de tensão a partir da figura. Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero obtém-se ∂Q ∂Qx dxdy + y dxdy + pdxdy = 0 ∂x ∂y Placas ou seja ∂Qx ∂Q y + + p=0 ∂x ∂y O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por ∂M xy ∂M y dxdy + dxdy − Q y dxdy = 0 ∂x ∂y Pedro V. Gamboa - 2009
  12. 12. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa ou ∂M xy ∂x + ∂M y ∂y − Qy = 0 Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p, foram omitidos. Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y tem-se ∂M xy Placas ∂y + ∂M x − Qx = 0 ∂x Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos em ordem às forças por unidade de comprimento e substituíndo os resultados na equação do equilíbrio da força anterior resulta em ∂ 2 M xy ∂ 2 M y ∂2M x +2 + = −p ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de placas finas. Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte verticais Qx e Qy em função da deflexão w, usando as equações acima para Qx e Qy juntamente com o resultado dos momentos da secção 1.4: Placas Qx = − D ∂ ∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ⎜ ⎟ = − D (∇ 2 w) + ⎟ ∂x ∂x ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎠ ⎝ Qy = − D ∂ ∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ⎜ ⎟ = − D (∇ 2 w) + ⎟ ∂y ∂y ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎠ ⎝ onde ∇2 = ∂2 ∂2 + 2 2 ∂x ∂y é o operador de Laplace. Pedro V. Gamboa - 2009
  13. 13. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de placas contém 3 incógnitas, Mx, My e Mxy, não é possível obter uma solução directamente. Os problemas de placas são, internamente, estaticamente indeterminados. Placas Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as relações momento-deslocamento. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser facilmente derivada com base nos resultados obtidos anteriormente. Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões para Mx, My e Mxy tem-se ∂2w ⎞ ∂2 ⎛ ∂2w ⎞ ∂2w ⎞ ∂2 ⎛ ∂2w ∂2 ⎛ ∂2w ⎜ 2 + ν 2 ⎟ − 2(1 −ν )D ⎜ 2⎜ ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ − D ∂y 2 ⎜ ∂y 2 + ν ∂x 2 ⎟ = − p ⎜ ⎟ ⎟ ∂x∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎠ ⎝ Agrupando os termos 0 ∂4w ⎞ p ∂4w ∂4w ⎛ ∂4w ∂4w ∂4w + 2 2 2 + 4 +ν ⎜ 2 2 − 2 2 2 + 2 2 ⎟ = ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎠ D ∂y ∂x ∂y ∂x 4 ⎝ Placas −D e, finalmente ∂4w p ∂4w ∂4w +2 2 2 + 4 = D ∂y ∂x ∂y ∂x 4 Pedro V. Gamboa - 2009
  14. 14. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange em 1811, pode ser escrita numa forma compacta ∇4w = p D onde ∇ 4 = ∇ 2∇ 2 = (∇ 2 ) Placas 2 Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas finas. Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as constantes de integração dependentes das condições de fronteira apropriadas (ver secção seguinte). Esta equação também pode ser escrita em função das curvaturas: ∂ 2κ xy ∂ 2κ y p ∂ 2κ x +2 + = D ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa Quando não esxiste carregamento lateral na placa a equação reduz para ∂4w ∂4w ∂4w +2 2 2 + 4 =0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y ou Placas ∇4w = 0 Substituindo as equações das forças de corte verticais e a equação diferencial para a deflexão nas equações das tensões τzx, τyx e σz obtém-se para estas tensões 2 ⎞ 12(1 −ν )Qx 3Qx ⎡ ⎛ 2 z ⎞ ⎤ E ⎛ t2 ⎜ − z2 ⎟ = 1− ⎜ ⎟ ⎥ τ xz = ⎢ ⎟ 2t ⎣ ⎝ t ⎠ ⎦ 2(1 −ν 2 )⎜ 4 Et 3 ⎠ ⎝ 2 ⎞ 12(1 −ν )Q y 3Q y ⎡ ⎛ 2 z ⎞ ⎤ E ⎛ t2 ⎜ − z2 ⎟ = τ yz = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎟ 2t ⎣ ⎝ t ⎠ ⎦ 2(1 −ν 2 )⎜ 4 Et 3 ⎠ ⎝ 3 3 2 3 2 E ⎛t t z z ⎞ 12(1 −ν ) p 3 p ⎡2 2z 1 ⎛ 2z ⎞ ⎤ ⎜ − =− ⎢ − + ⎜ ⎟ ⎥ σz = − + ⎟ 2 ⎜ 3 3⎟ 4 ⎣3 t 3⎝ t ⎠ ⎦ 2(1 −ν )⎝ 12 4 Et ⎠ Pedro V. Gamboa - 2009
  15. 15. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com secção rectangular, ocorre em z=0, e pode ser representado pelas equações τ xz ,max = 3Qx 2t ; τ yz ,max = 3Q y 2t Placas Assim, a chave para determinar as componentes da tensão, usando as fórmulas derivadas, é a solução da equação diferencial da deflexão para w. Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão é igualar a tensão normal à placa ao carregamento superfical por unidade de superfície na superfície superior da placa. Assim, com z=t/2 e σz=-p, e usando a equação de σz tem-se Et 3 ∇4w = p 12(1 −ν 2 ) Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa É significativo notar que a soma das componentes do momento flector é invariante. Isto é Placas ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ M x + M y = − D(1 + ν )⎜ 2 + 2 ⎟ = − D(1 + ν )∇ 2 w ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎝ Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por M= Mx + My = − D∇ 2 w 1 +ν as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na seguinte forma Qx = ∂M ∂x ; Qy = ∂M ∂y Pedro V. Gamboa - 2009
  16. 16. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa Desta forma pode escrever-se a equação da placa em duas equações. A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e a função momento, é ∂2M ∂2M + 2 = −p ∂x 2 ∂y Placas A segunda, usando a definição de função momento, é ∂2w ∂2w M + 2 =− 2 ∂x ∂y D Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais parciais de segunda ordem que é por vezes preferível, dependendo do método de solução usado. Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode obter-se M da primeira equação e depois a segunda equação fornece w. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.6. A Equação da Placa Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma forma que as equações que descrevem a deflexão de uma membrana esticada uniformemente e carregada lateralmente. Placas Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e problemas de membrana, o que permite derivar inúmeras técnicas experimentais e técnicas numéricas aproximadas. Pedro V. Gamboa - 2009
  17. 17. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem que ser satisfeita dentro da placa. A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que acomode as condições de equilíbrio em relação às forças ou deslocamentos impostos na fronteira. Placas A solução da equação da placa requer que duas condições de fronteira sejam satisfeitas em cada extremidade. Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e momento, ou uma combinação. A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas a placas e as das vigas é a existência de momentos torsores ao longo das extremidades da placa. Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Vamos considerar as condições de fronteira de uma placa rectangular com extremidades a e b paralelas aos eixos x e y, respectivamente. Considerando dois comprimentos elementares sucessivos dy na extremidade x=a, pode ver-se que, no elemento do lado direito actua um momento de torção Mxydy, enquanto no do lado esquerdo actua um momento xy + (∂M xy ∂y )dy ]dy . Placas [M Pedro V. Gamboa - 2009
  18. 18. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Na figura os momentos estão representados como binários de forças estaticamente equivalentes. Placas Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha a traço interrompido, pode ver-se a força para cima Mxy e a força para baixo M xy + (∂M xy ∂y )dy. A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de corte Qx para produzir uma força transversal efectiva, por unidade de comprimento, para uma extremidade paralela ao eixo y, Vx. Assim V x = Qx + ∂M xy ⎛ ∂3w ∂3w ⎞ ⎟dy = − D ⎜ 3 + (2 − ν ) ⎜ ∂x ∂y ∂x∂y 2 ⎟ ⎠ ⎝ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela ao eixo x, que ∂M xy ⎛ ∂3w ∂3w ⎞ = − D⎜ 3 + (2 −ν ) 2 ⎟dy ⎜ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎝ As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de Mxy ao longo de uma extremidade é estaticamente equivalente a uma dsitribuição de forças de corte. Placas Vy = Qy + Para além destas forças nas extremidades, também podem existir forças concentradas, Fc, produzidas nos cantos. Considerando, por exemplo, o caso de uma placa rectangular com carregamento uniforme e com apoios simples nas extremidades, a acção dos momentos torsores no canto (a,b) é, sabendo que Mxy=Myx, Fc = 2 M xy = −2 D(1 −ν ) Pedro V. Gamboa - 2009 ∂2w ∂x∂y
  19. 19. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira O sinal negativo indica o sentido para cima. Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que ter a mesma magnitude e sentido em todos os cantos da placa. Placas Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita tendem a levantar. As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes condições nas extremidades podem ser obtidas de maneira similar; por exemplo, quando duas extremidades adjacentes estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas extremidades não existe momento torsor. Agora, pode formular-se uma variedade de situações normalmente encontradas. As consições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma placa retangular com extremidades paralelas aos eixos x e y são descritas em seguida. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Extremidade embutida ou encastrada: Placas Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na extremidade considerada, isto é ∂w w=0 ; = 0 ; (x = a ) ∂x Pedro V. Gamboa - 2009
  20. 20. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Extremidade com apoio simples: Neste caso, tem-se deflexão e momento flector igual a zero na extremidade em questão. Assim ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ w = 0 ; M x = ⎜ 2 +ν 2 ⎟ = 0 ; (x = a ) ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎝ A primeira destas equações implica que ao longo da extremidade x=a Placas ∂w ∂2w =0 ; =0 ∂y ∂y 2 Desta forma as condições de fronteira podem ter a forma equivalente w=0 ; ∂2w =0 ; ∂x 2 (x = a ) Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Extremidade livre: Neste caso, tem-se momento flector e força de corte vertical igual a zero na extremidade em questão. Isto é Placas ⎛ ∂2w ∂3w ∂ 3w ∂2w ⎞ ⎜ 2 +ν 2 ⎟ = 0 ; + (2 − ν ) =0 ; ⎟ ⎜ ∂x ∂x 3 ∂x∂y 2 ∂y ⎠ ⎝ Pedro V. Gamboa - 2009 (x = a )
  21. 21. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Extremidade deslisante: Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente, mas a rotação não é permitida. O apoio não é capaz de resistir a qualquer força de corte. Logo (x = a) Placas ∂w ∂3w ∂3w =0 ; + (2 − ν ) =0 ; 3 ∂x ∂x ∂x∂y 2 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.7. Condições de Fronteira Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de forma idêntica. Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de dois tipos básicos: -Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão ou declive; Placas -Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou momentos) nas extremidades da placa às forças de corte externas (ou momentos) dadas. Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições são cinemáticas; numa extremidade livre as duas condições são estáticas; nas extremidades de apoio simples e deslizante as consições são mistas. Em vez de especificar consições de fronteira homogéneas, é possível especificar outros valores de corte, momento, rotação ou deslocamento. Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são representadas substituindo os zeros das condições acima por valores especificados. Pedro V. Gamboa - 2009
  22. 22. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.8. Solução da Deflexão de Placas Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de placas apenas com dificuldade considerável. É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste método, parte-se de uma solução assumida para w que satisfaça a equação fundamental e as condições de fronteira. Placas Alguns casos podem ser analisados com a utilisação de polinómios para w em x e y com coeficientes indeterminados. Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma aceitável. O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em que, tendo obtido uma solução para o carregamento sinusoidal, qualquer outro carregamento pode ser analisado através de séries infinitas. Este método apresenta uma vantagem importante que consiste no facto de uma única expressão ser aplicada em toda a superfície da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.8. Solução da Deflexão de Placas Os métodos de energia devem ser usados na análise de casos gerais. Estes podem ser aplicados para a obtenção de uma solução, muitas vezes na forma de séries infinitas. Estes dois métodos têm duas funções: Placas -Podem fornecer soluções “exactas” quando as configurações do carregamento e geoemtria são simples; -Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através da análise numérica aplicada a problemas mais reais. Outro método usado para resolver a equação da placa é o método das diferenças finitas. Neste caso as equações são substituídas por expressões de diferenças finitas que relacionam w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito. As equações, neste caso, só podem ser resolvidas numericamente. Pedro V. Gamboa - 2009
  23. 23. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.8. Solução da Deflexão de Placas Exemplo 1.1 Placas Determine a deflexão e a tensão numa placa rectangular muito comprida e estreita (a>>b) que tem apoios simples nas extremidades y=0 e y=b nas seguintes condições: a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por πy p( y ) = p0 sin b onde a constante p0 representa a intensidade do carregamento ao longo da linha y=b/2, paralela ao eixo x; b) A placa suporta um carregamento uniforme de p0. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.8. Solução da Deflexão de Placas Exemplo 1.2 Uma placa rectangular de um poço de elevador está sujeita a momentos flectores uniformemente distribuídos Mx=Mb e My=Ma, aplicados ao longo das suas extremidades. Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos seguintes casos: a) Ma=Mb; Placas b) Ma=-Mb. Pedro V. Gamboa - 2009
  24. 24. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da deformação e da tensão num corpo elástico pode ser feita através de métodos de energia. Estas duas técnicas são, respectivamente, análises newtoniana e lagrangiana da mecânica. Placas Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação fundamental de um corpo elástico pode ser derivada através da minimização da energia associada à deformação e ao carregamento. Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem formas irregulares, carregamentos não uniformes, secções transversais variáveis e materiais anisotrópicos. Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso de placas finas. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico, para um estado de tensão genérico, é dado por U= 1 (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz )dxdydz 2 ∫∫∫ V A integração extende-se a todo o volume do corpo. Placas Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas σz, γxz e γyz podem ser omitidos. Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à seguinte forma, que envolve apenas tensões e constantes elásticas, U= τ xy ⎤ ⎡ 1 1 1 ∫∫∫ ⎢σ x E (σ x −νσ y ) + σ y E (σ y −νσ x ) + τ xy G ⎥ dxdydz 2 V ⎣ ⎦ Pedro V. Gamboa - 2009
  25. 25. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão ou 1 2⎤ ⎡ 1 2 2 U = ∫∫∫ ⎢ (σ x − 2νσ xσ y + σ x ) + τ xy dxdydz 2E 2G ⎥ ⎦ V ⎣ Placas Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser escrita em termos da deflexão w com a ajuda das equações que relacionam a tensão com a deflexão. Assim, 2 2 2 ⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂2w ⎞ ⎤ 2 1 ⎛ E ⎞ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎟ + 2ν ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + 2(1 −ν )⎜ U = ∫∫∫ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ z dxdydz ⎟ 2 V ⎝ 1 −ν 2 ⎠ ⎢⎜ ∂x 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣⎝ ⎦ Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se 2 ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂2w ⎞ ⎤ 1 U = ∫∫ D ⎢⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + 2ν ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ + 2(1 −ν )⎜ ⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ dxdy ⎟ 2 A ⎢⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣⎝ ⎦ onde A representa a área da superfície da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na forma U= ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ 2 ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎤ ⎫ 1 ⎪ ⎪ D ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν )⎢⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ − ⎜ ⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ ⎬dxdy ⎟ 2 ∫∫ ⎪⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎪ ⎢⎝ A ⎣ ⎦⎭ ⎩⎝ O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura gaussiana. Placas Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não linear (quadrática) da deformação ou tensão. Desta forma, o princípio da superposição não é válido para a energia de extensão. Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de energia e de vários métodos de elementos finitos. Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de extensão baseados na energia potencial e na variação da deformação dum corpo elástico. Pedro V. Gamboa - 2009
  26. 26. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Princípio do trabalho virtual Suponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento incremental arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual. Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco ser infinitesimal. Placas Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é prática comum, é razoável considerar que o sistema de forças que actua no corpo é constante. O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por unidade de área no corpo no processo de levar o corpo do seu estado inicial para o estado de equilíbrio é δW = ∫ (Txδu + Tyδv + Tzδw)dA A Aqui A é a área limite da superfície e δu, δv e δw são os deslocamentos virtuais nas direcções x, y e z, respectivamente. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão A notação δ indica uma variação de um parâmetro. A energia de extensão δU adquirida por um corpo de volume V como resultado da extensão virtual δU = 1 ∫ (σ xδε x + σ yδε y + σ zδε z + τ xyδγ xy + τ xzδγ xz + τ yzδγ yz )dV 2V Placas O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é zero, ou δU − δW = 0 Assim, o princípio do trabalho virtual de um corpo elástico é δU = δW Pedro V. Gamboa - 2009
  27. 27. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Princípio da energia potencial mínima Desde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do corpo e que as forças de superfície sejam consideradas constantes a equação anterior pode ser escrita na seguinte forma: δΠ = δ (U − W ) = 0 Nesta expressão Placas Π = U −W representa a energia potencial do corpo. A primeira equação representa a condição de energia potencial estacionária do sistema. Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser mínima. Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de fronteira e as condições de equilíbrio, a energia potencial assume um valor mínimo. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima. A energia potencial guardada numa placa sujeita a um carregamento lateral distribuído p(x,y) é Π= 1 (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dxdydz − ∫∫ ( pw)dxdy 2 ∫∫∫ V A Placas No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação pode ser escrita Π=− 1 (M xκ x + M yκ y + M xyκ xy )dxdy − ∫∫ ( pw)dxdy 2 ∫∫ A A Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima. Como ∂2w/∂x2=κx representa a curvatura da placa no plano xy, o ângulo que corresponde ao momento Mxdy é igual a –(∂2w/∂x2)dx. A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento Mx é então 0.5Mxκxdxdy. Pedro V. Gamboa - 2009
  28. 28. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão A energia de extensão resultante dos momentos Mydx e Mxydy são interpretados da mesma forma. O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma: 1 (M xδκ x + M yδκ y + M xyδκ xy )dxdy − ∫∫ ( pδw)dxdy 2 ∫∫ A A Placas δΠ = − Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Método de Ritz O método de Ritz é um procedimento conveniente para determinar soluções com o princípio da energia potencial mínima. Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas. Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de uma série que contém os parâmetros indeterminados amn (m,n=1,2,...). Placas A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de fronteira geométricas. As condições de fronteira estáticas não precisam de ser respeitadas. Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da deflexão é importante para que se obtenha uma solução precisa. Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja quase idêntica à verdadeira superfície deflectida da placa. Pedro V. Gamboa - 2009
  29. 29. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão Depois, usando a solução seleccionada, determina-se a energia potencial Π em termos de amn. Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que se ter ∂Π ∂Π = 0,K, =0 ∂a11 ∂amn Placas Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são resolvidas para os parâmetros amn. Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida para a deflexão, obtém-se a solução para um dado problema. Geralmente, amn inclui um número finito de parâmetros e, por isso, os resultados finais são apenas aproximados. Obviamente, se o w assumido for “exacto”, a solução também será “exacta”. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 1.9. Métodos de Energia de Extensão As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser relativamente fácil tratar problemas com diferentes condições de fronteira nas extremidades da placa. Este método, é assim, um dos mais simples para resolver deflexões de placas e cascas através de uma calculadora. Placas A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas de flexão, de tracção e de instabilidade em placas e cascas serão apresentadas mais tarde. Pedro V. Gamboa - 2009
  30. 30. Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2. Placas Rectangulares 2.1. Introdução • Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em placas rectangulares finas. • Como visto no capítulo anterior o elemento de placa rectangular é um modelo excelente para desenvolver relações básicas em coordenadas cartesianas. • Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão frequentemente levam a soluções na forma de séries que não são viáveis para cálculos manuais de valores numéricos. • Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos por séries infinitas complicadas. • Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por um computador. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.1. Introdução • As placas rectangulares são, geralmente, classificadas de acordo com o tipo apoios usados: Placas – – – – – Placas com apoios simples; Placas encastradas ou embutidas; Pacas com mistura de condições de apoio; Placas em fundações elásticas; Placas contínuas: • Estas placas normalmente consistem em placas isoladas suportadas por vigas ou colunas intermédias. Pedro V. Gamboa - 2009
  31. 31. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) (Placa Rectangular com Apoios Simples) Considere uma placa rectangular de lados a e b com apoios simples em todas as extremidades e sujeito a um carregamento p(x,y). Placas A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo como mostra a figura. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de Fourier seguintes para a carga e deflexão: ∞ ∞ mπx nπy p( x, y ) = ∑∑ pmn sin sin a b m =1 n =1 ∞ ∞ w( x, y ) = ∑∑ amn sin m =1 n =1 mπx nπy sin a b Placas onde pmn e amn representam os coeficientes a determinar. Este método foi introduzido por Navier em 1820. As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a deflexão de placas com as seguintes condições de fronteira ∂2w w=0 = 0 ( x = 0, x = a ) ∂x 2 ∂2w w=0 = 0 ( y = 0, y = b ) ∂y 2 Pedro V. Gamboa - 2009
  32. 32. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão cumpre estes constrangimento e que os coeficientes amn têm que satisfazer a equação diferencial da deflexão. A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim, que se determine pmn e amn. Placas Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície deflectida verdadeira da placa é uma superposição de curvas sinusoidais de m e n configurações diferentes nas direcções x e y, respectivamente. Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais máximas das curvas seno e os m’s e os n’s indicam o número de meias curvas seno nas direcções x e y, respectivamente. Por exemplo, o termo a12sin(πx/a)sin(2πy/b) está ilustrado na figura. Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão do resultado. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte forma. Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do carregamento é multiplicado por sin m′πx n′πy sin dxdy a b e integrado entre os limites 0,a e 0,b: b a Placas m′πx n′πy sin dxdy a b ∞ ∞ b a mπx nπy m′πx n′πy sin sin sin dxdy = ∑∑ pmn ∫ ∫ sin 0 0 a b a b m =1 n =1 ∫0 ∫0 p(x, y )sin Pedro V. Gamboa - 2009
  33. 33. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) Pode mostrar-se por integração directa que (m ≠ m′) (m = m′) b ⎧ 0 (n ≠ n′) mπy m′πy ∫0 sin b sin b dy = ⎨b 2 (n = n′) ⎩ a ∫ sin 0 ⎧ 0 mπx m′πx dx = ⎨ sin a a ⎩a 2 Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são Placas pmn = mπx 4 b a nπy ∫0 ∫0 p( x, y )sin a sin b dxdy ab O cálculo de amn na equação de w requer que se substituam as equações de p e de w na equação diferencial de deflexão da placa, o que dá ∞ ∞ ⎧ ⎪ 2 2 4 ⎫ ⎡ mπ ⎞ 4 nπy ⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎤ pmn ⎪ mπx sin =0 ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥− ⎬ sin a b ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ D ⎪ ⎣ a ⎠ ⎭ ⎜ ∑∑ ⎨amn ⎢⎛ ⎝ m =1 n =1 ⎪ ⎩ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) Esta equação tem que ser válida para todos os x e y. Então conclui-se que 2 2 4 ⎡⎛ m ⎞ 4 ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎤ p amnπ 4 ⎢⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − mn = 0 ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝b⎠ ⎦ D ⎣⎝ a ⎠ ou Placas 2 ⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ p amnπ 4 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − mn = 0 D ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎦ ⎣ Daqui, resolvendo em ordem a amn, tem-se amn = pmn 2 ⎡ m 2 n ⎤ π D ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ 4 Pedro V. Gamboa - 2009 2
  34. 34. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples) Finalmente, substituindo este resultado na equação do w, obtém-se a equação de superfície de deflexão da placa. w= pmn 1 ∞ ∞ mπx nπy sin sin ∑∑ π 4 D m=1 n=1 ⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ 2 a b ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ Placas onde pmn já foi obtido anteriormente. Pode observar-se que, sendo |sin(mπx/a)|≤1 e |sin(nπy/b)|≤1 para todos os x e y e m e n, a série é convergente. Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de placas rectangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de carregamento. Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do método de Navier para casos particulares. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) (Vários Carregamentos) Quando uma placa rectangular está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p(x,y)=p0, os resultados da secção anterior são um pouco simplificados. A equação do pmn depois da integração dá pmn = 4 p0 (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) π 2 mn Placas ou pmn = 4 p0 π 2 mn [1 − (− 1) ][1 − (− 1) ] m n ou aínda pmn = 16 p0 π 2 mn (m, n = 1,3,K) Como pmn=0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores ímpares. Pedro V. Gamboa - 2009
  35. 35. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) Substituindo pmn na equação de amn, obtém-se w= 16 p0 ∞ ∞ ∑∑ π 6D m n 1 2 2 ⎡ m n ⎤ mn ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ 2 sin mπx nπy sin a b (m, n = 1,3,K) Placas Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que deflectir numa forma simétrica. Esta configuração resulta quando m e n são ímpares. A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o seu valor é w= 16 p0 ∞ ∞ ∑∑ π 6D m n 1 2 2 ⎡ m n ⎤ mn ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ 2 sin mπ nπ sin 2 2 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) ou m −1 n −1 (− 1) 2 (− 1) 2 16 p ∞ ∞ w = 6 0 ∑∑ π D m n 2 Placas 2 ⎡ m 2 n ⎤ mn ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ As componentes do momento obtém-se substituindo a equação acima nas equações dos momentos. Assim 2 2 ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟ +ν ⎜ ⎟ mπx nπy 16 p0 ∞ ∞ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ M x = 4 ∑∑ sin sin 2 2 2 a b π m n ⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤ mn ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ Pedro V. Gamboa - 2009
  36. 36. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) 2 My = 16 p0 π Placas M xy = − 4 ∞ ∞ ∑∑ m n m n ν⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 mπx nπy ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ sin sin 2 2 2 a b ⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤ mn ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ mπx nπy 16(1 −ν ) ∞ ∞ 1 cos cos ∑∑ 4 2 2 2 π ab m n ⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤ a b ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ Pode observar-se que os momentos flectores Mx e My são zero em (x=0,x=a) e (y=0,y=b), respectivamente. No entanto, o momento torsor Mxy não desaparece nas extremidades nem nos cantos da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) A presença de Mxy causa uma alteração da distribuição das reacções nos suportes. Placas Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite considerar a distribuição de tensão inalterada em secções distantes das extremidades e cantos. Pedro V. Gamboa - 2009
  37. 37. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) Exemplo 2.1 Um painel de parede quadrado, sujeito a um diferencial de pressão p0, pode considerar-se que tem apoios simples em todas as suas extremidades. Determine: a) A deflexão máxima; b) O momento máximo; Placas c) A tensão máxima. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) Exemplo 2.2 Um painel do chão de um armazém de lados a e b tem apoios simples em todas as extremidades. Determine as reacções nos apoios assumindo que o material está distribuído pelo chão todo por forma a criar o seguinte caregamento Placas p( x, y ) = p0 sin πx a sin onde p0 representa a intensidade da carga no centro da placa, como mostra a figura. Pedro V. Gamboa - 2009 πy b
  38. 38. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos) Exemplo 2.3 Determine as equações da superfície elástica de uma placa rectangular com apoios simples em duas situações: a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente numa área 4cd; Placas b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) (Placa Rectangular) Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos flectores com o método de Navier tem um convergência lenta com o aumento do número de termos da série. Um método importante que resolve este problema foi desenvolvido por Lévy em 1900. Placas Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma série dupla usase uma série única. Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries únicas do que com séries duplas. Pedro V. Gamboa - 2009
  39. 39. 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) O método de Lévy é aplicável à flexão de placas rectangulares com condições de fronteira particulares em duas axtremidades opostas (por exemplo, x=0 e x=a) e condições de fronteira arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2). Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) A solução total consiste na solução homogénia wh da equação ∂4w ∂4w ∂4w +2 2 2 + 4 =0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y e da solução particular wp da equação Placas ∂4w ∂4w ∂4w p +2 2 2 + 4 = 4 ∂x ∂x ∂y ∂y D com a seguinte forma w = wh + w p Pedro V. Gamboa - 2009
  40. 40. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Uma vez que ∇ 4 wh = 0 é independente do carregamento, pode derivar-se uma única expressão para wh que seja válida para placas rectangulares com duas condições de fronteira particulares em dois lados opostos. Placas Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter uma solução para wp. A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte ⎧ mπx ⎪ sin a wh = ∑ f m ( y )⎨ mπx m =1 ⎪cos ⎩ a ∞ onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições nos apoios em y=±b/2 e satisfazer a equação acima. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Vamos descrever o método assumindo que os lados opostos da placa rectangular em x=0 e x=a têm apoios simples como mostra a figura. Neste caso a equação anterior fica ∞ wh = ∑ f m ( y )sin m =1 mπx a Esta equação cumpre as condições de fronteira para apoios simples nas extremidades ao longo de x. Pedro V. Gamboa - 2009
  41. 41. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Para completar a solução, temos que aplicar as condições de fronteira nos dois lados arbitrários com y=±b/2. Substituíndo a equação de wh em ∇4w=0, tem-se ∞ 2 4 2 ⎤ mπx ⎡d 4 fm ⎛ mπ ⎞ d f m ⎛ mπ ⎞ =0 +⎜ ⎟ ⎟ f m ⎥ sin ⎢ 4 − 2⎜ 2 a ⎝ a ⎠ dy ⎝ a ⎠ K ⎣ dy ⎦ ∑ m 1, 3, = Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que 4 2 Placas 2 d 4 fm ⎛ mπ ⎞ d f m ⎛ mπ ⎞ − 2⎜ +⎜ ⎟ ⎟ fm = 0 2 4 dy ⎝ a ⎠ dy ⎝ a ⎠ A solução geral desta equação é ′ f m = Am e mπy a ′ + Bm e − mπy a ′ + Cm ye mπy a ′ + Dm ye − mπy a Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Ou usando identidades trigonométricas f m = Am sinh mπy mπy mπy mπy + Bm cosh + Cm y sinh + Dm y cosh a a a a A solução homogénea fica, assim, Placas ∞ mπy mπy mπy mπy ⎞ mπx ⎛ + Bm cosh + Cm y sinh + Dm y cosh wh = ∑ ⎜ Am sinh ⎟ sin a a a a ⎠ a m =1 ⎝ Onde Am, Bm, Cm e Dm são constantes que serão determinadas mais tarde para casos especificados. Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios simples são respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução particular for expressa com a série de Fourier única ∞ mπx w p = ∑ k m ( y )sin a m =1 onde km(y) são funções de y apenas. Pedro V. Gamboa - 2009
  42. 42. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier ∞ p( x, y ) = ∑ pm ( y )sin m =1 mπx a onde Placas pm ( y ) = 2 a mπx dx p( x, y )sin a a ∫0 Substituindo para wp e p(x,y) na equação ∇4w=p(x,y)/D e notando a validade da expressão resultante para todos os valores de x entre 0 e a, obtém-se 4 2 2 d 4 km p ⎛ mπ ⎞ d k m ⎛ mπ ⎞ − 2⎜ +⎜ ⎟ ⎟ km = m 2 4 dy D ⎝ a ⎠ dy ⎝ a ⎠ Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação diferencial ordinária, pode calcular-se wp. O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Placa Rectangular com Apoios Simples e Carregamento Uniforme Neste caso p(x,y)=p0 pelo que a equação de pm(y) fica 4p pm = 0 (m = 1,3,K) mπ Logo, a equação de km fica 4 2 Placas 2 d 4 km 4 p0 ⎛ mπ ⎞ d k m ⎛ mπ ⎞ − 2⎜ +⎜ ⎟ ⎟ km = 2 4 dy mπD ⎝ a ⎠ dy ⎝ a ⎠ A solução particular desta equação é km = 4 p0 a 4 m 5π 5 D A solução para wp fica, então, wp = 4 p0 a 4 ∞ 1 mπx ∑1 m5 sin a 5 π D m= Pedro V. Gamboa - 2009
  43. 43. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Esta solução representa a deflexão de uma tira com carregamento uniforme com apoios simples e paralela ao eixo x. Placas Também pode ser escrita na seguinte forma p w p = 0 (x 4 − 2ax 3 + a 3 x ) 24 D A condição que diz que a deflexão da placa tem que ser simétrica em relação ao eixo x (tem que ter os mesmos valores para –y e +y) é satisfeita pela equação de wh se Am=Dm=0. Depois, adicionando a contribuição de wp tem-se w= ∞ ⎛ ∑ ⎜ Bm cosh ⎜ m =1, 3,K ⎝ mπy 4 p0 a 4 ⎞ mπx mπy + Cm y sinh + 5 5 ⎟ sin a a a m π D⎟ ⎠ Esta equação satisfaz a equação fundamental da flexão de placas e as condições de apoios simples em x=0 e x=a. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) As condições de fronteira em falta são w=0 ∂2w b⎞ ⎛ =0 ⎜y=± ⎟ 2 ∂y 2⎠ ⎝ Se aplicarmos estas condições à equação de w obtém-se duas expressões, que serão satisfeitas para todos os x se Placas 4 p a4 b Bm cosh α m + Cm sinh α m + 5 0 5 = 0 2 mπ D ⎛ Bmα m ⎞ 2⎜ + Cm ⎟ cosh α m + Cmα m sinh α m = 0 ⎝ b ⎠ onde αm = mπb 2a Pedro V. Gamboa - 2009
  44. 44. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) A solução destas equações dá a seguintes constantes Bm = 4 p0 a 4 + mπp0 a 3b tanh α m m 5π 5 D cosh α m Cm = 2 p0 a 3 m 4π 4 D cosh α m Placas A deflexão da superfície da placa pode, desta forma, ser escrita 4 p0 a 4 π 5D ∞ mπy 1 ⎛ α tanh α m + 2 2α y 1 2α y ⎞ mπx ∑,K m5 ⎜1 − m2 cosh α cosh bm + 2 cosh α a sinh bm ⎟ sin a ⎜ ⎟ m =1, 3 ⎝ ⎠ m m w= Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=0), tomando o valor de m −1 wmax 4 p a 4 ∞ (− 1) 2 = 50 ∑ π D m=1,3,K m5 ⎛ α m tanh α m + 2 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎜ 2 cosh α m ⎟ ⎝ ⎠ Uma vez que m −1 (− 1) 2 ∞ ∑ m 1, 3, Placas = K m 5 = 5π 5 29 × 3 a deflexão máxima da placa fica com a forma seguinte m −1 wmax 5 p a 4 4 p a 4 ∞ (− 1) 2 α m tanh α m + 2 = 0 − 50 ∑ 384 D π D m=1,3,K m5 2 cosh α m O primeiro termo representa a deflexão máxima wmax do meio de uma tira com apoios simples e carregamento uniforme. Pedro V. Gamboa - 2009
  45. 45. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) O segundo termo é uma série de convergência rápida. Por exemplo, no caso de uma placa quadrada (a=b e αm=mπ/2), a deflexão máxima é p a4 5 p0 a 4 4 p0 a 4 − 5 (0.68562 − 0.00025 + L) = 0.00406 0 D 384 D π D Pode ver-se que, mesmo mantendo apenas o primeiro termo da série, a solução obtida é precisa até ao terceiro algarismo significativo. Placas wmax = Introduzindo a notação na equação da deflexão máxima m −1 5 4 ∞ (− 1) 2 α m tanh α m + 2 δ1 = − 5 ∑ 384 π m=1,3,K m 5 2 cosh α m pode escrever-se wmax = δ1 p0 a 4 D a ⎛ ⎞ ⎜ x = , y = 0⎟ 2 ⎝ ⎠ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) De uma forma idêntica à secção anterior podem derivar-se expressões para os momentos, forças de corte e tensões da placa. Os momentos máximos na placa também se podem escrever na forma a ⎛ ⎞ ⎜ x = , y = 0⎟ 2 ⎝ ⎠ Valores numéricos para os coeficientes δ1, δ2 e δ3 são mostrados na tebela para várias razões de aspecto b/a. Pode ver-se que, à medida que b/a aumenta, wmax e Mx,max aumentam enquanto My,max diminui. Placas M x ,max = δ 2 p0 a 2 M y ,max = δ 3 p0 a 2 Pedro V. Gamboa - 2009
  46. 46. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Exemplo 2.4 Uma janela de um prédio alto, é aproximada por uma placa rectangular com 3 extremidades com apoios simples e 1 encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme devido ao vento de intensidade p0. Placas Derive uma expressão para a deflexão da superfície. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Exemplo 2.5 Um carregamento uniforme p0 actua numa varanda rectangular com apoios simples nos lados opostos x=0 e x=a, com o lado y=b livre e a extremidade y=0 encastrada. Placas Descreva a derivação da expressão para a deflexão w. Pedro V. Gamboa - 2009
  47. 47. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular) Exemplo 2.6 Derive uma expressão para a superfície deflectida de um painel de chão muito longo e estreito sujeito a um carregamento uniforme p0. Placas Assumir que x=0, x=a e y=0 têm apoios simples. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes) (Carregamentos Não Uniformes) Vamos aplicar o método de Lévy a casos de placas rectangulares com carregamentos não uniformes que são apenas função de x. Assumindo que as extremidades x=0 e x=a têm apoios simples, o carregamento é expresso com a série de Fourier ∞ mπx p( x ) = ∑ pm sin a m =1, 2 ,K Placas onde pm = 2 a mπx dx p( x )sin a a ∫0 Usando o procedimento da secção 2.4 obtém-se wp = ∞ p a4 mπx ∑,K mm4 sin a 4 π D m=1, 2 Pedro V. Gamboa - 2009
  48. 48. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes) Esta expressão representa a deflexão de uma tira sujeita a um carregamento p(x) e satisfaz a equação ∇4w=p(x)/D bem como as condições de fronteira de apoios simples em x=0 e x=a. Assumindo que as duas extremidades arbitrárias y=±b/2 também têm apoios simples . A expressão total da deflexão fica Placas w= ⎛ mπy mπy p a 4 ⎞ mπx ⎜ Bm cosh + Cm y sinh + 4m 4 ⎟ sin ∑ ⎜ a a a m π D⎟ m =1, 2 ,K ⎝ ⎠ ∞ Onde as constantes Bm e Cm são determinadas com as condições em y=±b/2: w=0 e ∂2w/∂y2=0. Assim w= ∞ 1 a4 p ⎛ α tanh α m + 2 mπy mπy mπy ⎞ mπx ∑,K mm4 ⎜1 − m2 cosh α cosh b + 2 cosh α a sinh b ⎟ sin a 4 ⎜ ⎟ π D m=1, 2 ⎝ ⎠ m m Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes) onde αm=mπb/2, como anteriormente. Introduzindo uma dada distribuição de p(x) pode obter-se pm e depois calcular-se w. Placas Os momentos e tensões são determinadas pela forma usual. Valores de pm para alguns casos de distribução de p(x) estão mostrados na figura. Pedro V. Gamboa - 2009
  49. 49. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes) Por exemplo, considere-se a flexão de uma placa caregada hidrostaticamente: 2p mπx 2 apx m +1 (m = 1,2,K) dx = 0 (− 1) pm = ∫ 0 sin 0 a a mπ a Esta equação juntamente com a anterior representa a deflexão. Considerando uma placa quadrada (a=b), a deflexão no centro da placa (x=a/2,y=0) é p0 a 4 D Este resultado é metade da deflexão de uma placa rectangular com apoios simples sujeita a um carrgamento uniforme. Placas w = 0.00203 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas Vamos considerar uma placa rectangular com apoios simples em todas as extremidades sujeita a momentos distribuídos simétricos em y=±b/2. Descrevendo os momentos pela série de Fourier ∞ f ( x ) = ∑ M m sin b⎞ ⎛ ⎜y=± ⎟ 2⎠ ⎝ Placas m =1 mπx a Pedro V. Gamboa - 2009
  50. 50. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas Nesta expressão, Mm representa os coeficientes a determinar mπx 2 a M m = ∫ f ( x )sin dx 0 a a As condições de fronteira são ∂2w =0 ∂x 2 w=0 Placas w=0 −D ∂2w = f (x ) ∂y 2 ( x = 0, x = a ) b⎞ ⎛ ⎜y=± ⎟ 2⎠ ⎝ b⎞ ⎛ ⎜y=± ⎟ 2⎠ ⎝ Para se obter a solução deste problema é necessário assumir que a superficie de deformação tem a forma já obtida anteriormente ∞ ⎛ mπy 4 p0 a 4 ⎞ mπx mπy + Cm y sinh + 5 5 ⎟ sin w = ∑ ⎜ Bm cosh ⎜ a a a m π D⎟ m =1, 3,K ⎝ ⎠ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas Com p0=0 e m=1,2,3,..., isto é mπy mπy ⎞ mπx ⎛ + Cm y sinh w = ∑ ⎜ Bm cosh ⎟ sin a a ⎠ a m =1 ⎝ ∞ Esta equação cumpre a equação ∇4w=p/D e as primeiras condições de fronteira, como já foi visto. Placas As segundas condições de fronteira são satisfeitas quando w=0. Colocando αm=mπb/2a, como anteriormente, tem-se b Bm cosh α m + Cm sinh α m = 0 2 de onde se tira b Bm = −Cm tanh α m 2 Pedro V. Gamboa - 2009
  51. 51. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas Agora, a equação da deflexão fica ∞ mπy b mπy ⎞ mπx ⎛ − tanh α m cosh w = ∑ Cm ⎜ y sinh ⎟ sin 2 a a ⎠ a ⎝ m =1 Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira condição de fronteira tem-se mπ mπx ∞ mπx = ∑ M m sin Cm cosh α m sin a a a m =1 m =1 ∞ Placas − 2D∑ Daqui obtém-se Cm = aM m 2mπD cosh α m A deflexão fica a ∞ sin (mπx a ) mπy mπy ⎞ ⎛b w= M m ⎜ tanh α m cosh − y sinh ⎟ ∑ a a ⎠ 2πD m=1 m cosh α m 2 ⎝ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas Os momentos e as tensões são obtidas a partir desta expressão. No caso de termos momentos uniformemente distribuídos f(x)=M0, logo Mm = 4M 0 mπ Placas Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira condição de fronteira tem-se w= mπy 2 M 0 a ∞ sin (mπx a ) ⎛ b mπy ⎟ ∑1 m cosh α ⎜ 2 tanh α m cosh a − y sinh a ⎞ 2 π D m= ⎠ m ⎝ Para o caso de uma placa quadrada (a=b), a deflexão e momentos no centro da placa são w = 0.0368 M 0a2 D M x = 0.394 M 0 Pedro V. Gamboa - 2009 M y = 0.256M 0
  52. 52. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas A deflexão ao longo do eixo de simetria é dada por w= M 0 ab ∞ 1 tanh α m mπx ∑1 m 2 cosh α sin a 2 π D m= m ( y = 0) Quando a››b, pode colocar-se tanhαm≈αm e coshαm≈1, e a expressão acima reduz a Placas w= M 0b 2 ∞ 1 mπx 1 M 0b 2 ∑,K m sin a = 2 D 2πD m=1,3 É curioso que este resultado é igual ao da deflexão no centro de uma tira de comprimento b sujeita a dois momentos iguais e opostos nas extremidades. No caso de uma placa com momentos anti-simétricos, (My)y=b/2=-(My)y=-b/2, pode derivar-se a expressão da deflexão de forma idêntica modificando a terceira condição de fronteira. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas Neste caso tem-se ⎛ ∂2w ⎞ − D⎜ 2 ⎟ = (M y )y =b / 2 ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠ y =b / 2 ⎛ ∂2w ⎞ − D⎜ 2 ⎟ = −(M y )y =− b / 2 ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠ y =b / 2 O caso genérico pode ser derivado como uma combinação de situações simétricas e anti-simétricas. Placas As soluções com momentos distribuídos simétricos e anti-simétricos são úteis para resolver problemas com variadas condições de fronteira nas extremidades. Pedro V. Gamboa - 2009
  53. 53. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.7. Método da Superposição A deflexão e tensão numa placa rectangular com qualquer condição nas extremidades e carregamento arbitrário podem ser determinadas pelo método da superposição. Placas De acordo com este método, um problema complexo pode ser primeiro substituído por várias situações mais simples em que cada uma pode ser resolvida pelo método de Navier ou pelo método de Lévy. As deflexões obtidas por cada caso simplificado são, depois, adicionadas de forma a que a equação fundamental ∇4w=p/D e as condições de fronteira sejam satisfeitas no problema original. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.7. Método da Superposição Considere-se, por exemplo, a flexão de uma placa sujeita a um carregamento lateral com uma extremidade encastrada e as outras com apoios simples. A solução começa com o pressuposto de que todas as extremidades têm apoios simples. Depois, um momento flector ao longo da aresta y=0 é aplicado com uma magnitude adequada para eliminar as rotações devido ao carregamento lateral. Placas O exemplo seguinte é usado para ilustrar o método. Pedro V. Gamboa - 2009
  54. 54. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.7. Método da Superposição Exemplo 2.7 Uma placa rectangular tem as arestas opostas x=0 e x=a com apoios simples e as outras duas y=±b/2 encastradas. A placa está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com intensidade p0. Placas Derive uma expressão para a superfície deflectida e para os momentos. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz A energia de extensão U associada à flexão de uma placa é dada por U= ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ 2 ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎤ ⎫ 1 ⎪ ⎪ D ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν )⎢⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ ⎬dxdy 2 ∫∫ ⎪⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎥⎪ ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎢⎝ A ⎣ ⎦⎭ ⎩⎝ Placas O trabalho realizado pela força lateral na superfície p(x,y) pode ser representado por W = ∫∫ wpdxdy A onde A é a área da superfície da placa. A energia potencial Π=U-W fica, então, 2 ⎫ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎤ 2 D ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ ⎪ ⎪ ⎟ ⎥ − wp ⎬dxdy Π = ∫∫ ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν )⎢⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ − ⎜ ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ 2 A ⎪⎝ ∂y ⎠ ⎠ ⎥ D ⎪ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎢⎝ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ Pedro V. Gamboa - 2009
  55. 55. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz A aplicação deste método pode ser ilustrado através da flexão de uma placa rectangular com lados a e b encastrada em todas as extremidades e sujeita a um carregamento uniforme p0. As condições de fronteira são ∂w =0 ∂x ∂w w=0 =0 ∂y ( x = 0, x = a ) ( y = 0, y = b ) Placas w=0 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz Integrando por partes o último termo da equação da energia de extensão obtémse ∂2w ∂2w ∂ 2 w ∂w ∂w ∂ 3 w ∫∫ ∂x∂y ∂x∂y dxdy = ∫S ∂x∂y ∂x dx − ∫∫ ∂x ∂x∂y 2 dxdy A A Placas ∂2w ∂2w ∂w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂w ∂2w ∂2w dy + ∫∫ 2 2 dxdy dx − ∫ dxdy = ∫ ∫∫ ∂x∂y ∂x∂y S ∂x∂y ∂x S ∂x ∂y 2 ∂x ∂y A A De acordo com as condições de fronteira, os dois primeiros integrais são idênticos. Assim ⎡∂ 2 w ∂ 2 w ⎛ ∂ 2 w ⎞2 ⎤ ∫∫ ⎢ ∂x 2 ∂y 2 − ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ dxdy = 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ A ⎢ ⎣ ⎦ Pedro V. Gamboa - 2009
  56. 56. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz Desta forma, a energia de extensão da flexão fica 2 D ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ U = ∫∫ ⎜ 2 + 2 ⎟ dxdy 2 A ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎝ Assumindo que a deflexão tem a seguinte forma 2mπx ⎞⎛ 2nπy ⎞ ⎛ w = ∑∑ amn ⎜1 − cos ⎟⎜1 − cos ⎟ a ⎠⎝ b ⎠ ⎝ m =1 n =1 Placas ∞ ∞ as condições de fronteira são cumpridas. Substituindo este resultado na equação da energia obtém-se U= ⎡ m2 2mπx ⎛ 2nπy ⎞ D b a⎧ ∞ ∞ 2 ⎜1 − cos ⎟ ⎨∑∑ 4π amn ⎢ 2 cos ∫0 ∫0 ⎩m=1 n=1 a ⎝ b ⎠ 2 ⎣a 2 2nπy ⎛ 2mπx ⎞⎤ ⎫ n2 + 2 cos ⎜1 − cos ⎟ ⎬ dxdy b b ⎝ a ⎠⎥ ⎭ ⎦ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz de onde 4 4 2 2 ⎧ ⎪ ∞ ∞ ⎡ ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎤ 2 U = 2π 4 abD ⎨∑∑ ⎢3⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ amn ⎝b⎠ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎦ ⎪ m=1 n=1 ⎣ ⎝ a ⎠ ⎩ 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎫ ⎛m⎞ ⎛n⎞ + ∑∑∑ 2⎜ ⎟ amr ams + ∑∑∑ 2⎜ ⎟ arn asm ⎬ a⎠ b⎠ m =1 r =1 s =1 ⎝ r =1 s =1 n =1 ⎝ ⎭ Placas que é válida para r≠s. O trabalho realizado por p0 é W = p0 ∫ b a ∫ 0 0 2mπx ⎞⎛ 2nπy ⎞⎤ ⎡∞ ∞ ⎛ ⎢∑∑ amn ⎜1 − cos a ⎟⎜1 − cos b ⎟⎥dxdy ⎝ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ m=1 n=1 ou W = p0 ab Pedro V. Gamboa - 2009
  57. 57. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz Das condições de minimização ∂Π/∂amn=0, tem-se 4 4 ∞ ∞ ⎫ ⎧⎡ ⎛ m ⎞ 4 ⎛ n ⎞ 4 ⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ ⎪ ⎪ ⎛m⎞ ⎛n⎞ 4 Dπ 4 ab ⎨⎢3⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ amn + ∑ 2⎜ ⎟ amr + ∑ 2⎜ ⎟ arn ⎬ − p0 = 0 ⎝b⎠ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎦ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎪ ⎪⎣ ⎝ a ⎠ r =1 r =1 ⎭ ⎩ que é válida para r≠n e r≠m. Placas Retirando todos os termos excepto o primeiro a11, esta equação dá a11 = p0 a 4 4π 4 D 1 4 ⎛a⎞ ⎛a⎞ 3 + 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎝b⎠ 2 No caso de uma placa quadrada (a=b), a11=p0a4/(32π4D). A deflexão máxima ocorre no centro da placa e é obtida através da substituição de a11 na equação da deflexão. p a4 wmax = 0.00128 0 D Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz Este resultado é cerca de 1.5% maior do que o valor obtido usando o método da Secção 2.7 para uma placa encastrada, que é mais elaborado. É de notar que o resultado é muito preciso, tendo em conta que só foi usado um termo da série. Placas De um modo geral, a utilização de tão poucos termos não resulta numa precisão tão grande no método de Ritz. Pedro V. Gamboa - 2009
  58. 58. 2.8. Método de Ritz Calculando a deflexão da placa considerando sete parâmetros a11, a12, a21, a22, a13, a31 e a33 obtém-se o seguinte sistema de equações: Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz A solução deste sistema de equações lineares para uma placa quadrada (a=b) dá p0 a 4 4 Dπ 4 p a4 a22 = 0.00189 0 4 4 Dπ p a4 a33 = 0.00020 0 4 4 Dπ Placas a11 = 0.11774 p0 a 4 4 Dπ 4 p a4 a13 = a31 = 0.00268 0 4 4 Dπ a12 = a21 = 0.01184 Substituindo estes valores na equação da deflexão a deflexão máxima é obtida no centro da placa com o valor wmax = 0.00126 p0 a 4 D Este valor é exactamente igual ao que seria obtido com o método da Secção 2.7. Pedro V. Gamboa - 2009
  59. 59. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 2.8. Método de Ritz Exemplo 2.8 Uma porção rectangular (a×b) do chão de uma oficina tem as suas extremidades encastradas e suporta uma carga P aplicada na posição x=x1, y=y1. Placas Determinar a deflexão máxima da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3. Métodos Numéricos 3.1. Introdução • Nos capítulos anteriores foram usados métodos de equilíbrio e de energia para problemas de flexão de placas. • Nalguns casos, estas soluções analíticas não são possíveis e é necessário recorrer a métodos numéricos aproximados. • Estes métodos numéricos permitem ao engenheiro resolver problemas práticos, com formas e carregamentos reais. • Os métodos numéricos mais importantes são: – O método das diferenças finitas; – O método dos elementos finitos. Pedro V. Gamboa - 2009
  60. 60. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial da placa e as expressões que definem as condições de fronteira com equações de diferenças equivalentes. Placas A solução de um problema de flexão reduz-se, assim, à solução simultânea de um conjunto de equações algébricas escritas para todos os nós definidos dentro da placa. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas As expressões das diferenças finitas podem ser obtidas a partir da definição da primeira derivada da função y=f(x) com respeito a x: y − yn ⎛ dy ⎞ lim ⎜ ⎟ = Δx→0 n+1 dx ⎠ n Δx ⎝ O índice n representa um ponto arbitrário na curva. Placas Num intervalo Δx=h esta expressão representa uma aproximação à derivada y − yn Δy ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ ≈ n = n+1 h h ⎝ dx ⎠ n Δyn é a primeira diferença avançada de y no ponto xn, ⎛ dy ⎞ Δyn = yn+1 − yn ≈ h⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ n Pedro V. Gamboa - 2009
  61. 61. Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Placas e Cascas 3.2. Diferenças Finitas A primeira diferença atrasada em n é ⎛ dy ⎞ ∇yn = yn − yn−1 ≈ h⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ n As diferenças centrais contêm nós colocados simetricamente em relação a xn. Assim, a primeira diferença central é δyn = ( yn+1 − yn−1 ) ≈ h⎛ ⎜ dy ⎞ ⎟ ⎝ dx ⎠ n Placas 1 2 Um procedimento idêntico a este pode ser usado para se obterem as derivadas de ordem maior. Vamos, daqui para a frente, considerar apenas as diferencças centrais. Pedro V. Gamboa - 2009 Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Placas e Cascas 3.2. Diferenças Finitas A segunda derivada pode ser escrita usando a representação de diferença da primeira derivada: ⎛d2y⎞ h 2 ⎜ 2 ⎟ ≈ Δ(∇yn ) = ∇(Δyn ) = δ 2 yn ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠n A segunda diferença central em xn, depois de substituir os resultados das primeiras diferenças na expressão acima, é ⎛d2y⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎝ dx ⎠ n Placas δ 2 yn = Δyn − Δyn−1 = ( yn+1 − yn ) − ( yn − yn−1 ) = yn+1 − 2 yn + yn−1 ≈ h 2 ⎜ ⎜ A terceira diferença central é δ 3 yn = δ (δ 2 yn ) = δ ( yn+1 − 2 yn + yn−1 ) = δyn+1 − 2δyn + δyn−1 = ⎛ 3 ⎞ 1 ( yn+2 − yn ) − ( yn+1 + yn−1 ) + 1 ( yn + yn−2 ) = 1 ( yn+2 − 2 yn+1 + 2 yn−1 − yn−2 ) ≈ h3 ⎜ d y ⎟ ⎜ dx 3 ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠n Pedro V. Gamboa - 2009
  62. 62. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas e a quarta diferença central é δ 4 yn = δ 2 (δ 2 yn ) = δ 2 ( yn+1 − 2 yn + yn−1 ) = δ 2 yn+1 − 2δ 2 yn + δ 2 yn−1 = ( yn+ 2 − 2 yn+1 + yn ) − 2( yn+1 − 2 yn + yn−1 ) + ( yn − 2 yn−1 + yn−2 ) Placas ⎛d4y⎞ = yn+ 2 − 4 yn+1 + 6 yn − 4 yn−1 + yn− 2 ≈ h 4 ⎜ 4 ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠n Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas Vamos ver o caso da função de deflexão w(x,y) de duas variáveis. Placas Considerando uma placa rectangular e colocando Δx=Δy=h, divide-se a placa numa malha quadrada. ∂w 1 ∂w 1 ≈ δ xw ≈ δ yw ∂x h ∂y h ∂2w 1 2 ∂2w 1 2 ∂ 2 w 1 ⎛ ∂w ⎞ ≈ 2 δx w ≈ 2 δyw ≈ δx⎜ ⎟ ∂x∂y h 2 ⎝ ∂y ⎠ ∂x 2 h ∂y 2 h Pedro V. Gamboa - 2009
  63. 63. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas Aqui, os índices x e y indicam a direcção em que as diferenças são calculadas. Placas Com base na definição de derivada parcial, as expressões acima podem escrever-se para um ponto 0 da seguinte forma 1 ∂w 1 ≈ [w( x + h, y ) − w( x − h, y )] = (w1 − w3 ) 2h ∂x 2h ∂w 1 1 ≈ [w( x, y + h ) − w( x, y − h )] = (w2 − w4 ) ∂y 2h 2h e 1 ∂2w 1 ≈ 2 [w( x + h, y ) − 2w( x, y ) + w( x − h, y )] = 2 (w1 − 2w0 + w3 ) 2 h h ∂x 1 ∂2w 1 ≈ 2 [w( x, y + h ) − 2w( x, y ) + w( x, y − h )] = 2 (w2 − 2 w0 + w4 ) 2 ∂y h h ∂2w 1 1 1 ≈ δ x (δ y w) = 2 (δ x w2 − δ x w4 ) = 2 (w5 − w6 + w7 − w8 ) ∂x∂y h 2 2h 4h Pedro V. Gamboa - 2009 3.2. Diferenças Finitas As derivadas mistas são 1 1 1 ∂3w 2 ≈ δ x (δ y w) = 3 δ x (w2 − 2 w0 + w4 ) = 3 (δ x w2 − 2δ x w0 + δ x w4 ) ∂x∂y 2 h 3 h h 1 = 3 (w5 − w6 − 2 w1 + 2 w3 + w8 − w7 ) 2h 1 1 ∂3w ≈ 3 δ y (δ x2 w) = 3 (w5 + w6 − 2 w2 + 2 w4 − w8 − w7 ) 2 2h ∂x ∂y h 1 1 ∂4w 2 ≈ δ x2 (δ y w) = 4 δ x2 (w2 − 2 w0 + w4 ) ∂x 2 ∂y 2 h 4 h Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior = 1 [w5 + w6 + w7 + w8 + 4w0 − 2(w1 + w2 + w3 + w4 )] h4 Pedro V. Gamboa - 2009
  64. 64. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas Tendo à disposição as várias derivadas na forma de aproximações de diferenças, pode facilmente obter-se as equações de diferenças finitas equivalentes às equações da placa. Para referência alguns operadores de diferenças finitas estão representados em esquema na figura seguinte. Placas O ponto central em cada esquema é o ponto de referência de cada operador. Pedro V. Gamboa - 2009 3.2. Diferenças Finitas Placas Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior Pedro V. Gamboa - 2009
  65. 65. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas Fórmulas similares podem ser derivadas quando os nós não estão espaçados uniformemente. No caso de uma malha rectangular com Δx=h e Δy=k, pode substituir-se o h por k nas derivadas de w em relação a y anteriores. Por exemplo, Placas ∂w 1 ≈ (w1 − w3 ) ∂x 2h ∂2w 1 ≈ (w1 − 2 w0 + w3 ) ∂x 2 h 2 ∂w 1 ≈ (w2 − w4 ) ∂y 2k ∂2w 1 ≈ (w2 − 2 w0 + w4 ) ∂y 2 k 2 ∂2w 1 ⎛ 1 1 ⎞ (δ x w2 − δ x w4 ) = 1 (w5 − w6 + w7 − w8 ) ≈ δ x ⎜ δ y w⎟ = ∂x∂y h ⎝ k 2hk ⎠ 2hk Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas O operador ∇2w fica 1 (w1 − 2w0 + w3 ) + 12 (w2 − 2w0 + w4 ) 2 h k A menos que seja especificado, daqui para a frente serão considerados apenas nós equidistantes (Δx=Δy=h). ∇2w ≈ Placas Os operadores de diferenças em coordenadas cartesianas x e y estão bem adaptadas para resolver problemas com domínios rectangulares. Quando a placa tem contornos irregulares são necessários operadores especiais junto à fronteira. Uma das malhas não cartesianas para estas condições são as malhas triangulares. Se a placa tiver a forma de um paralelogramo, é conveniente e mais preciso usar coordenadas paralelas às arestas da placa. Pedro V. Gamboa - 2009
  66. 66. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.2. Diferenças Finitas A malha polar é usada em situações em que existem formas axi-simétricas. Os operadores de diferenças finitas em qualquer sistema coordenado são obtidos através da transformação das equações que relacionam as coordenadas x e y nesse sistema. Placas Em todos os casos, o procedimento para determinar as deflexões e momentos é o mostrado a seguir. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) (Diferenças Finitas) Podemos, agora, transformar a equação diferencial da placa flectida numa equação algébrica. Placas Vamos escrever esta equação para um nó interior; o ponto 0 por exemplo. Referindo ao operador ∇4, a equação de diferenças correspondente à equação fundamental da placa é [w9 + w10 + w11 + w12 + 2(w5 + w6 + w7 + w8 ) − 8(w1 + w2 + w3 + w4 ) + 20w0 ] 14 = p0 D h Pedro V. Gamboa - 2009
  67. 67. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Expressões idênticas são escritas para todos os nós dentro da placa. Ao mesmo tempo, as condições de fronteira têm que ser convertidas para a forma de diferenças finitas. Placas O conjunto de equações de diferenças é, depois, resolvido para se obterem as deflexões. Como método alternativo ao problema da flexão da placa, a equação fundamental da placa pode ser substituída por duas equações de segunda ordem, como já foi visto anteriormente. A aplicação do operador ∇2 a estas equações no ponto 0 dá (M 1 + M 2 + M 3 + M 4 − 4M 0 ) 12 = − p0 h (w1 + w2 + w3 + w4 − 4w0 ) 12 = − M 0 D h Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Outras equações idênticas são escritas para o resto dos nós dentro da placa. A solução do problema requer que se determine os valores de M e w de forma a satisfazer as equações algébricas e as condições de fronteira. Placas No caso de uma placa com apoios simples em todas as arestas, M e w são zero nessas arestas e, por isso, pode resolver-se o primeiro grupo de equações independentemente do segundo para determinar todos os valores de M dentro da fronteira. O segundo conjunto é resolvido depois. Para placas com outras condições de fronteira (encastramento, livre, combinações, etc..) é necessário resolver todas as equações em simultâneo. Em placas com condições de fronteira mistas os valores de M podem ser diferentes nas arestas. A deflexão w, neste caso, obtém-se mais facilmente através do primeiro método. Pedro V. Gamboa - 2009
  68. 68. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Tendo os valores de M e w disponíveis nos nós, podem derivar-se as expressões dos momentos e forças de corte. No ponto 0, estes são D [2w0 − w1 − w3 +ν (2w0 − w2 − w4 )] h2 D M y = 2 [2 w0 − w2 − w4 + ν (2 w0 − w1 − w3 )] h D(1 −ν ) (− w5 + w6 − w7 + w8 ) M xy = 4h 2 Placas Mx = e 1 (M 1 − M 3 ) 2h 1 Q y = (M 2 − M 4 ) 2h Qx = Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) As tensões são facilmente obtidas como anteriormente. Placas O método das diferenças finitas é melhor compreendido através de alguns exemplos numéricos. Pedro V. Gamboa - 2009
  69. 69. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Exemplo 3.1 Placas Use a técnica das diferenças finitas para analisar a flexão de uma placa quadrada (a×a) em que todas as arestas têm apoios simples e que está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p0. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Exemplo 3.2 Determine a deflexão e os momentos em vários pontos de uma placa quadrada de lado a com todas as arestas encastradas sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p0. Considere h=a/4 e utilize duas formas de solução: a) Aplicação das duas equações de segunda ordem; Placas b) Aplicação da equação fundamental. Pedro V. Gamboa - 2009
  70. 70. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Exemplo 3.3 Um chão, em que metade suporta um carregaemtno uniforme, é representado por uma placa contínua com as arestas opostas (y=±a/2) encastradas e as outras (x=0,x=2a) com apoios simples. O meio da placa (x=a) também tem um apoio simples. Placas Obter as deflexões nos pontos 1, 2 e 3. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Exemplo 3.4 Considere o caso de uma placa rectangular carregada uniformemente com duas arestas contíguas com apoios simples, a terceira livre e a quarta encastrada. Placas Use o método das diferenças finitas com h=a/4 para determinar w em vários pontos. Pedro V. Gamboa - 2009
  71. 71. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Placas Exemplo 3.4 Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas) Placas Exemplo 3.4 Pedro V. Gamboa - 2009
  72. 72. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito O método dos elementos finitos tem-se desenvolvido em simultâneo com os computadores digitais e o aumento do interesse nos métodos numéricos. Este método permite a estimativa das tensões e deflexões numa placa com um grau de facilidade e de precisão nunca antes possível. Placas No método dos elementos finitos, a placa é discretizada num número finito de elementos (normalmente com forma triangular ou rectangular) ligados nos nós e em fronteiras inter-elemento hipotéticas. Assim, o equilíbrio e a compatibilidade têm que ser verificadas em cada nó e ao longo das fronteiras entre elementos. Existem vários métodos de elementos finitos. Vamos, apenas, ver o método comum de deslocamentos finitos onde o conjunto das equações algébricas fundamentais é expresso em termos dos deslocamentos nodais indeterminados. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito Vamos, primeiro, definir uma série de parâmetros relevantes para um elemento finito de uma placa isotrópica. As derivações baseiam-se no pressuposto da teoria de pequenas deflexões. Em geral, a placa pode ter qualquer forma e qualquer carregamento. Considere-se uma placa fina que é substituída por um conjunto de elementos finitos triangulares. Placas As propriedades de um elemento discreto vão designar-se de e. Pedro V. Gamboa - 2009
  73. 73. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito Matriz de deslocamentos Os deslocamentos nodais {δ}e estão relacionados com os deslocamentos dentro do elemento através da função de deslocamento {w}e dada por {w}e = [P ]{δ }e Placas onde a matriz [P] é uma função da posição a determinar posteriormente para um elemento específico. Esta matriz é, muitas vezes, referida como a função de forma. É conveniente que a função de forma seja escolhida de forma a que o campo de deslocamentos reais seja representado com a maior precisão possível. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito Matrizes de extensão, de tensão e de elasticidade Fazendo uso da definição de extensão, define-se a matriz de extensão generalizada-deformação da seguinte forma Placas ⎧εx ⎫ T ∂2w ∂2w ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ∂2w ⎨ ε x ⎬ = ⎨− 2 − 2 − ⎬ ∂x∂y ⎭ ∂y ⎪γ ⎪ ⎩ ∂x ⎩ xy ⎭e ou {ε }e = [B]{δ }e onde a matriz [B] terá que ser calculada. Pedro V. Gamboa - 2009
  74. 74. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito A relação tensão-extensão generalizada, das relações de Hook, é ⎧σ x ⎫ ⎡1 ν Ez ⎢ ⎪ ⎪ ν 1 ⎨σ x ⎬ = 2 ⎢ ⎪τ ⎪ 1 −ν ⎢ 0 0 ⎣ ⎩ xy ⎭e Placas ou ⎤⎧ ε x ⎫ ⎥⎪ ε ⎪ ⎥⎨ x ⎬ (1 −ν ) 2⎥ ⎪γ xy ⎪e ⎦⎩ ⎭ 0 0 {σ }e = z[D* ]{ε }e Os momentos estão relacionados com as tensões da seguinte forma, ⎧Mx ⎫ ⎪ ⎪ t2 ⎨ M y ⎬ = ∫−t 2 z{σ }dz ⎪M ⎪ ⎩ xy ⎭ Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito Substituíndo o resultado da tensão nesta expressão tem-se a relação momentoextensão generalizada {M }e = ⎛ ∫−t 2 z 2 [D* ]dz ⎞{ε }e ⎜ ⎟ t 2 ⎝ ⎠ ou {M }e = [D ]{ε }e Placas A matriz de elasticidade para uma placa isotrópica é, então, ⎡1 ν t3 Et 3 ⎢ [D ] = [D *] = ν 1 12 12(1 −ν 2 ) ⎢ ⎢0 0 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ (1 −ν ) 2⎥ ⎦ 0 0 As relações tensão-extensão e, consequentemente, a matriz de elasticidade são diferentes para materiais anisotrópicos. Pedro V. Gamboa - 2009
  75. 75. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.4. Propriedades do Elemento Finito Devido a variadas causas (contração, variações de temperatura, etc.) podem existir extensões iniciais dentro da placa. No caso de uma placa com carregamento transversal e aquecida as matrizes de tensão e momento ficam, respectivamente, {σ }e = [D* ]({ε } − {ε 0 })e e Placas {M }e = [D ]({ε } − {ε 0 })e onde {ε0}e é a matriz de extensão térmica. Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.5. Método dos Elementos Finitos Uma forma conveniente de derivar as expressões que governam o elemento finito e as suas caraterísticas baseia-se no princípio da energia potencial. A variação da energia potencia ΔΠ da placa completa é ΔΠ = ∑ ∫∫ (M x Δε x + M y Δε y + M xy Δγ xy )dxdy − ∑ ∫∫ ( pΔw)dxdy = 0 n 1 n 1 A A Placas onde n é o número de elementos de espessura uniforme que constitúem a placa, A é a área da superfície de um elemento e p a carga lateral por unidade de área. Esta expressão pode reescrever-se da seguinte forma ∑ ∫∫ ({Δε }T {M }e − pΔw)dxdy = 0 e 1 n A ou ∑ ∫∫ ({Δδ }T [B]T [D][B]{δ }e − p[P]{Δδ }e )dxdy = 0 e 1 n A Pedro V. Gamboa - 2009
  76. 76. Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.5. Método dos Elementos Finitos ou ainda ∑ ∫∫{Δδ }T ([B]T [D][B]{δ }e − [P]T p )dxdy = 0 e 1 n A Colocando a matriz de rigidez do elemento [K ]e = ∫∫ [B]T [D][B]dxdy A e a matriz das forças nodais do elemento devido à carga transversal Placas {Q}e = ∫∫ [P]T pdxdy A ou, se considerarmos extensões iniciais, {Q}e = ∫∫ [B]T [D]{ε 0 }dxdy + ∫∫ [P]T pdxdy A A Pedro V. Gamboa - 2009 Placas e Cascas Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior 3.5. Método dos Elementos Finitos a equação fica n ∑ ∫∫{Δδ }T ([K ]e {δ }e − {Q}e )dxdy = 0 e 1 A Uma vez que as mudanças em {δ}e são independentes e arbitrárias esta equação pode reduzir a [K ]e {δ }e = {Q}e Placas para o equilíbrio de forças nodais do elemento. Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições dos elementos e obtém-se {Δδ }T ([K ]{δ } − {Q}) = 0 Esta equação tem que ser válida para todos os {Δδ}. Pedro V. Gamboa - 2009

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