Matriz[1]

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Matriz[1]

  1. 1. Matriz<br />
  2. 2. Matriz<br />Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos: <br />
  3. 3. Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento. <br />Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2: <br />O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento  2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna. <br />
  4. 4. Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma: <br />a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). <br />Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna. <br />
  5. 5. Exemplo:Escreva a matriz A = (aA matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: i j)2 x 3  tal que ai j = 2i + j. <br />
  6. 6. Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence. a11 = 2 . 1 + 1              a21 = 2 . 2 + 1 a11 = 3                          a21 = 5 a12 = 2 . 1 + 2              a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4                          a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3              a23 = 2 . 2 + 3 a13= 5                           a23 = 7 <br />
  7. 7. Então os elementos que pertencem a matriz A são: <br />
  8. 8. Tipos de matrizes<br />Matriz linhaÉ toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*).<br />Observe os exemplos:<br />
  9. 9. Matriz coluna<br />É toda matriz do tipo mx1(m R*).<br />
  10. 10. Matriz quadrada<br />É Toda matriz quadrada possui duas diagonais:• A principal, composta por elementos aij tais que i=j, isto é:<br />Toda matriz cujo numero de linhas é igual ao numero de colunas. Assim, chamamos matriz quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x n. Exemplos: <br />
  11. 11. • A secundária, em que os elementos aij são tais que, i+j = n+1. veja como são as diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3×3.<br />
  12. 12. Matriz nula<br />: É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-s a notação:<br />
  13. 13. Matriz diagonal<br />É toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são todos nulos. Por exemplo:<br />
  14. 14. Matriz Transposta (At)<br />
  15. 15. Matriz Diagonal <br />É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i  j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. <br />
  16. 16. Matriz simétrica<br />matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, <br />
  17. 17. Matriz oposta<br />matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. <br />
  18. 18. Operações com Matrizes <br />Igualdade de Matrizes<br />Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij. <br />
  19. 19. Adição e subtração de Matrizes<br />A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij. <br />A subtração de matrizes é dada pela sentença: <br />
  20. 20. Exemplos<br />Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo<br />
  21. 21.  Produto de um Número Real por uma Matriz <br />Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij <br />
  22. 22. Produto de Matrizes<br />Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. <br />
  23. 23. Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos. <br />  Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:<br />
  24. 24. 1ª linha e 1ª coluna <br />
  25. 25. 1ª linha e 2ª coluna <br />
  26. 26. 2ª linha e 1ª coluna <br />
  27. 27. 2ª linha e 2ª coluna <br />
  28. 28.    Assim ,<br />   Portanto ,<br />A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não<br />vale a propriedade comutativa.<br />
  29. 29.    Vejamos outro exemplo com as matrizes<br />

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