calculo vectorial coordenadas polares esfericas y cilindricas

1. CONTENIDO
LA UTILIZACIÓN DE LAS COORDENADAS POLARES
EDITORIAL FERMIN
Miércoles 24, de septiembre del 2014
EL MATEMATICO
EL MATEMATICO
Sistema de coordenadas polares
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Graficas de ecuaciones en coordenadas polares
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Intersección de Gráficas en Coordenadas Polares
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Calcular el Área de una Re- gión Plana en Coordenadas Polares
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Sistema de coordenadas cilíndricas.
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Sistema de coordenadas esféricas
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Como cambiar de coordenadas polares a esfé- ricas y cilindri-
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¿Que son las coordenadas polares?
Las Coordenadas polares es un sistema que define la posición de un punto en un espacio bidimensional, el cual cada punto en el plano se define por un ángulo con el eje polar (θ) y una distancia al polo (d).
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores en el cual se puede definir unívoca- mente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico, respecto de un punto denominado origen. Posee un conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el ori- gen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Es muy útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio.
Aunque en muchos otros, definir ciertas fun- ciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado.
En estos casos, se debe hacer uso de las coor- denadas polares o esféricas, hacer uso de estas puede simplificarnos la vida.
A lo largo de nuestra vida hemos usado siem- pre coordenadas cartesianas. En ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las mis
mas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las coordenadas polares, que permiten expre- sar ciertas curvas en forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas o esféricas.
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las pro- yecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
Este sistema de referencia está constituido por un eje que pasa por el origen.
La primera coordenada es la distancia existen- te entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Eje x
Eje y
Origen
d
θ
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2. Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos va- lores de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y).
Usted debe ser cons- ciente de que la aparien- cia de la gráfica en calcu- ladora depende de la ventana de graficación especificada x-y, y tam- bién del rango de los valores mostrados de θ.
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificar- se algunos valores mos- trados de θ correspon- dientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de θ que produ- cen una copia de la curva polar, cuando ésta es apropiada. Se deduce que muchas curvas fami- liares tienen ecuaciones polares sencillas
Gráfica de una Ecua- ción Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ)
es el conjunto de puntos (x,y) para los cua- les x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecua- ción polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coorde- nadas polares satisfacen la ecuación dada.
Comience por dibu- jar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre pre- sente que representan las coordenadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funcio- nes y no sólo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas funciones es el si- guiente, primero grafica- mos la función r = r(θ) en coordenadas rectan- gulares y a partir de esa gráfica trazamos la co-
rrespondiente en pola- res. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable indepen- diente y generalmente va de 0 a 2π.
Continúe viendo la información en el archi- vo que esta al final de la unidad.
Graficas de ecuaciones en coordenadas polares
El calculo vectorial es una herramienta fundamental para el desarrollo intelectual e incremento del conocimiento.
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EL MATEMATICO

3. Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las mis- mas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de bus- car todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial
cuidado al determinar los puntos de intersec- ción de dos gráficas pola- res, por lo que se sugie- re realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tie- rra, dichos satélites no
entrarían en colisión en tanto lleguen a los pun- tos de intersección en tiempos diferentes (valores de q).
La colisión se produ- cirá solamente en aque- llos puntos de intersec- ción que sean "puntos simultáneos", aquellos a los que se llega en el mismo instante (valor de q).
Intersección de Gráficas en Coordenadas Polares
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EL MATEMATICO
Calcular el Área de una Región Plana en Coordenadas Polares
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos igua- les a = q < q < q <..... ...< q < q = b
A continuación apro- ximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n secto- res,
El desarrollo de una fór- mula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectan- gulares, pero con secto- res de un círculo en lu- gar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:
Luego de haber nota- do el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limi- tada por la gráfica de una función continua no ne- gativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positi- vos y negativos en el intervalo [ a , b ] .

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Sistema de coordenadas cilíndricas
Es un sistema de coordenadas para de- finir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con res- pecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
Las coordenadas cilín- dricas son muy conve- niente en aquellos ca- sos en que se tratan problemas que tie- nen simetría de ti- po cilíndrico, Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas pola- res.
Estas son muy útiles para definir la posi- ción de un punto del espacio mediante un ángulo. Una distan- cia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo propor- cionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preci- so indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por , la altura a la que se sube la carga ( ), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ().
Por lo tanto las coordenadas cilíndri- cas son de mucha ayuda para la elabo- ración de diversos trabajos que se efec- túan en dicha empre- sa.
Las coordenadas ci- líndricas es el equiva- lente en 3D a la in- troducción de coor- denadas polares en 2D. Especifica una coordenada adicional en un eje perpendi- cular al plano XY. Las coordenadas cilíndri- cas definen puntos mediante la distancia desde el origen SCP en el plano XY, el ángulo desde el eje X en el plano XY y el valor Z.
Nota
Son aplicables aquí los mismos conceptos y no- ciones respecto a sistema de coordenadas curvilíneas orto- gonales.

5. EL MATEMATICO
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Sistema de coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esfé- ricas se basa en la misma idea que las coordenadas pola- res y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distan- cia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda repre- sentado por un con- junto de tres magnitu- des: el radio , el ángulo po- lar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utili- zan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángu- lo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radia- nes) o de -180° a +180° (-π a π).
Coordenadas esféricas son útiles en sistemas que tienen un cierto grado de simetría al- rededor de un punto, tal como integrales de volumen dentro de una esfera, el campo de energía potencial que rodea una masa concentrada o cargo, o simulación de tiem- po global en la atmós- fera de un planeta analizar. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana x2 y2 z2 = c2 tiene la simple ecuación r = c en coordenadas esféricas.
El sistema de coorde- nadas esféricas también de uso general en el desarrollo de juegos 3D para rotar la cáma- ra alrededor de la posi- ción del jugador.

6. Autores
Luis Rodríguez
22195160
Kaliantoni Chirinos
24399497
Pedro de la Rosa
24386434
EL MATEMATICO
Bibliografía
 http://es.wikipedia.org/wiki/ Coordenadas_esf%C3% A9ricas
 http://centrodeartigo.com/ articulos-utiles/ article_121389.html
 http://ocw.uc3m.es/ingenieria-mecanica/astronomia- mecanica-celeste-y- exploracion-espacial/material-de-clase-1/ Te- ma_1_2_La_observacion_del_cielo.pdf
 file:///C:/Users/Tesalio/ Downloads/El%20Calculo% 20-%20Louis%20Leithold.pdf
 http:// www.wikimatematica.org/ index.php? title=Coordenadas_Cil%C3%
¿Cómo cambiar el tipo de coordenadas?
A medida que el sistema de coordenadas esféricas y cilín- dricas son sólo sistemas de coordenadas tridimensionales, existen ecuaciones para la conversión de coordenadas entre el sistema de coordena- das esféricas y cilíndricas.
De esféricas y cilíndricas a po- lares
En coordenadas esféricas, un punto se puede obtener a par- tir de sus coordenadas carte- sianas por fórmulas.
Así la tangente inversa deno- tado en f = arctan debe ser adecuadamente definido, te- niendo en cuenta el cuadrante correcto
En este punto podemos decir que las coordenadas polares son muy útiles a la hora de resolver problemas en 3 di- mensiones, también se puede llevar mediante las formulas a coordenadas polares.
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares
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Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas
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Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas
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EL MATEMATICO