1. Resolução da Lista III – Operações com polinômios
3 2 3 2
3 2 2 2
3
3 2 3 2
2
2 5 8 1
2 – 5 8 – 1 – – 3 5 – 5 6
3 5 5 6
2 3 5 5 8 5 1 6
5 0
)
1 13 7
a
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x x x
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
5 3 7 3 4
3 5 7 3 4
– 5 3 – 7 3 – 4)
5 12
–x xy
x xy y x xy y y x
x x x xy xy y
y x xyb
y y
x xy
y y x
2 2 2 2 21
) 4 5 3 5
2
c ab a ab ab a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1
4 5 3 5
2
1
4 5 5 3
2
1 2
9 2
2 1
4 18 4
2
3 18 4 3
ou 9 2
2 2
ab a ab ab a
ab ab ab a a
ab
ab a
ab ab a
ab a
ab a
2 22 1 1 2
) 1 1
3 2 2 3
d m m m m
2 2
2 2
2 2 2
2 1 1 2
1 1
3 2 2 3
2 1 1 2
1 1
3 2 2 3
4 3 3 4
6 6
m m m m
m m m m
m m m m m m
1 1
) 2 1
2 3 2
m
e m mn mn
1 1
2 1
2 3 2
1 1
1 2
2 2 3
3 9 2 9 2
ou 3
3 3 3
m
m mn mn
m
m mn mn
mn mn mn
mn
2. 2 2 2 21 3
) 2
3 4
f ab a b ab a b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 3
2
3 4
1 3
2
3 4
4 12 24 9
12
8 5 2 5
ou
12 3 4
ab a b ab a b
a b a b ab ab
a b a b ab ab
a b ab a b ab
3 2 1
) 2 1
2
g x x x x
2
4 3
4
2
1 1 2 1
2 2 2 2
3
2 2 2
x
x x x
x x x
x
2 5
) 3 6 5
3
h ab ab a
2 2 2 25
5 10
3
a b a b a
2 3 5 – 1)i x x
2
2
10 2 15 3
10 13 3
x x x
x x
3 2
4 2 –) 3 5 – 1x x x xj
5 4 3 3 2 2
5 4 3 2
20 4 4 10 2 2 15 3 3
20 4 6 13 5 3
x x x x x x x x
x x x x x
2 3 2
– 2 5 6) – 3x x x xk
5 4 2 4 3 3 2
5 4 3 2
3 6 2 6 12 5 15 30
5 11 9 12 30
x x x x x x x x
x x x x x
Questão 2 – Calcule os seguintes quocientes:
6 – 9 –) 15 : 3a ax bx x x
6 9 15
2 3 5
3 3 3
ax bx x
a b
x x x
3. 2
8 – 4 12 : ) 4a ac a ab
2
8 4 12
2 3
4 4 4
a ac a
a c
a a a
27 – 36 – 3) 6 : – 9ab bx byc b
27 36 36
3 4 4
9 9 9
ab bx by
a x y
b b b
2
49 – 21 – 91) : 7an n npd n
2
49 21 91
7 3 13
7 7 7
an n np
a n p
n n n
2 2 2
27 – 18 – 15 : – ) 3a bc acx ab ce ac
2 2 2
2 227 18 15
9 6 5
3 3 3
a bc acx ab c
ab x b
ac ac ac
5 3 2 2 2
8 4 – 6 :) 4x y x y x yf x y
5 3 2 2
3
2 2 2
8 4 6 3
2
4 4 4 2
x y x y x y
x xy
x y x y x y
2 4
) 12 8 20 :
3
a
g a x abx axy
2
2
2
12 8 20 3 3 3
12 8 20
4 4 4 4 4 4
3 3 3
36 24 60
9 6 15
4 4 4
a x abx axy
a x abx axy
a a a a a a
a x abx axy
ax bx xy
a a a
1 1 1
) :
2 3 4 6
ab
h abx aby abc
11 1
1 6 1 6 1 632 4
2 3 4
6 6 6
6 6 6 3
3 2
2 3 4 2
abyabx abc
abx aby abc
ab ab ab ab ab ab
abx aby abc
x y c
ab ab ab
4. Questão 3 – Determine o quociente e o resto das seguintes divisões:
2
2
4 3 1
4 3
4 3
) 4 – 7 3 4 – 3
0
: 1
: 0
a a a
a
a
q
a a a
uociente a
rest
a
o
3
2 2
2
2
2
3
2
10 4 2 3 1
15
15 6
5 2
5 2
11 2) 10 5
0
2
2
:
x x
x x x x
x x
x x
x
x
quociente
b x x
x
3 1
: 0
x
resto
34
2
2
5
2
5
4 4
3 2 2 1
6 7
) 3
6 4
2 6 7 2 3
3 2
0 2
x x x x
x x
x x
x xxx
x
xc x
4
3 2
0
: 2 1
: 0
x
quociente x x
resto
3
2
2
2
2
3
2
5 9 3
3 15 27
3 15 27
54
) 5 92
: 3
:
6
54
27
x x x x
x x
x x
quocient
d x x x
e x
rest
x
o
x
5. 2
2
2 3
3 10
3 6
4
) 5 10
: 3
: 4
2
x x x
x
x
quociente x
e x x x
resto
3 2 2
3 2
2
2
2 6 2 2 3
3 8 2
3 9 3
1
) 2 9 10 2 3 1
: 2 3
: 1
x x x x
x x
x x
x
quociente x
re
f x
sto x
x x x x
3
3 2
2 2
2
2
6 12 3 3 2
4 2 5
4 8 2
6 3
) 6 16 5 5 2
:
4 1
3 2
: 6 3
x x x x
x x
x x
x
quocien
g x x x x
te x
r x
x
esto
5 4 2
6 5 4 3 2 2
4 3 2
4 3 2
3
3 236 4
0 2 0 4 2
2 4 4 2 8
2 0
0 0 0 0 0) 4 2 8 2 4
4 0 8
4 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
h x x
x
x x
x
x
2
3
: 2
: 4 2
quociente x
resto x x
6. Questão 4 - Qual o polinômio que, ao ser dividido por x – 6, tem quociente 2x
– 5 e resto – 12?
2
2
6 2 5 12
2 5 12 30 12
2 17 18
x x
x x x
x x
Questão 5 - Determine o polinômio que, dividido por x – 1, tem quociente x –
1 e resto 2.
2
2
1 1 2
2 1 2
2 3
x x
x x
x x
Questão 6 - O quociente da divisão de um polinômio A por x2
– 2x + 1 é
x2
+ 4x + 3. O resto dessa divisão é 12x + 3. Qual é o polinômio A?
2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 2
2 1 4 3 12 3
4 3 2 8 6 4 3 12 3
2 4 10 6
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
Questão 7 - A divisão de dois polinômios é exata. O quociente dessa divisão
é x2
– 7x + 12 e o polinômio divisor é x2
– 5. Qual é o polinômio dividendo?
2 2
4 2 3 2
4 3 2
7 12 5
5 7 35 12 60
7 7 35 60
x x x
x x x x x
x x x x
Questão 8 - Dados os polinômios A = 3x2
+ 2x – 4, B = 5x – 3 e C = 2x + 5,
calcule:
a) A + B + C
2
2
3 2 4 5 3 2 5
3 9 2
x x x x
x x
7.
3 2 2
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
3 2 3 2
3 2 3 2
4 19 8 2 2 5 7 1
4 19 8 4 10 14 2 5 7 1
4 19 8 4 10 2 14 5 7 1
4 19 8 4 10 2 14 5 7 1
4 19 8 4 10 2 14 5 7 1
5
x ax x x b x x
x ax x x x x bx bx b
x ax x x x bx x bx b
x ax x x x b x b b
x ax x x b x b x
Temos entao b
b
que
14 19, 1.
10 2 , 12.
, 12 1 11.
( )
.
segue que b
Temos tambem que a b segue que a
Assim a b Resposta D
b) AB – BC
2
3 2 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2 4 5 3 5 3 2 5
15 9 10 6 20 12 10 25 6 15
15 26 12 10 19 15
15 26 12 10 19 15
15 9 45 27
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
c) A2
– 2B
22
2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 2
3 2 4 2 5 3
3 2 4 3 2 4 10 6
9 6 12 6 4 8 12 8 16 10 6
9 12 20 26 22
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
Questão 9 - A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo.
Determine:
a) a expressão que determina seu volume.
2
2 3 2
5 1
5 5
6 5 6 5
x x x
x x x x
x x x x x x
b) o volume para x = 3
3 2
3 6 3 5 3
27 6 9 15
27 54 15 96
Questão 10 - (CN) Numa divisão polinomial, o dividendo, o divisor, o quociente e o
resto são respectivamente: 4x3
+ ax2
+ 19x − 8, 2x − b, 2x2
− 5x + 7 e −1. A soma dos
valores de a e b é igual a:
a) −14.
b) −13.
c) −12.
d) −11.
e) −10.
8. Veja resumidamente:
Sendo S = 4x3
+ ax2
+ 19x − 8, temos:
S = (2x − b)(2x2
− 5x + 7) − 1
S = 4x3
− (10 + 2b)x2
+ (5b + 14)x − 7b − 1.
Veja a comparação:
4x3
+ ax2
+ 19x − 8 = 4x3
− (10 + 2b)x2
+ (5b + 14)x − 7b – 1
Temos então que 5b + 14 = 19, segue que b = 1.
Temos também que a = −(10 + 2b), segue que a = −12.
Assim, chegamos a a + b = 1 + (– 12) = −11.
Resposta D.
